Математика - Факультет заочного обучения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Российский государственный гидрометеорологический университет
Факультет заочного обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
по дисциплине
“МАТЕМАТИКА”
Специальности – экономика и управление на предприятии
природопользования
– менеджмент организации
- бухгалтерский учет, анализ и аудит
Курс I–II
(Подлежит возврату на факультет заочного обучения)
Санкт-Петербург
2010
Одобрено Ученым советом РГГМУ
УДК 511
Учебно-методическое пособие для выполнения контрольной работы по
дисциплине “Математика”.  СПб.: изд. РГГМУ, 2010  135 c.
Учебно-методическое пособие составлено в соответствие с программой
дисциплины “Математика”. Даются основные теоретические сведения и примеры решения типичных задач, рекомендации по изучению дисциплины. Приводятся вопросы для самопроверки, рекомендуемая литература, контрольные
работы.
Составитель: В. Н. Веретенников, канд. техн. наук, проф., РГГМУ.
Ответственный редактор А. Д. Егоров, д-р физ.-мат. наук, РГГМУ.
Издание второе,
исправленное и дополненное
 Российский государственный гидрометеорологический университет
(РГГМУ), 2010.
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры.
Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению гидрометеорологических проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными
информационными технологиями.
Целью математического образования бакалавра является: воспитание
достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных
видов математического мышления, привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования при построении и
исследовании моделей сложных гидрометеорологических явлений, в практической деятельности.
В результате изучения дисциплины студент развивает логическое и алгоритмическое мышление; овладевает основными методами исследования и
решения математических задач, основными численными методами математики
их простейшими реализациями на ПК; вырабатывает умения самостоятельно
расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных гидрометеорологических задач. Это позволяет создать необходимую
основу для изучения всех последующих дисциплин. Студент должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в
мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными
объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
По дисциплине “Математика” на первом-втором курсах предусматривается изучение разделов “Линейная алгебра”, “Аналитическая геометрия”,
“Дифференциальное исчисление”, “Интегральное исчисление”, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, “Теория рядов”.
Студент I курса должен выполнить семь контрольных работ:
1) элементы линейной алгебры (1-2),
2) элементы аналитической геометрии (3-4),
3) дифференциальное исчисление (5-7).
На сессии сдается годовой зачет и экзамен. Разрешается сдавать их в течение
года по частям, т.е. два зачета и два экзамена. Первый зачет и первый экзамен
3
сдаются по разделам (1, 2). Для сдачи первого зачета и первого экзамена нужно
получить зачет по первым четырем контрольным работам. Второй зачет и второй экзамен сдаются по разделу 3. Для сдачи второго зачета и второго экзамена необходимо получить зачет по остальным трем контрольным работам.
Студент II курса должен выполнить четыре контрольных работы:
4) неопределенный (8) и определенный (9) интегралы,
5) обыкновенные дифференциальные уравнения (10),
6) теория рядов (11).
Сдача зачета и экзамена разрешается в два приема, как и на первом курсе. Первый зачет и первый экзамен сдаются по разделу интегральное исчисление (4) после выполнения и зачета контрольных работ 8, 9. Второй зачет и второй экзамен сдаются по разделам 5, 6 после выполнения и зачета контрольных
работ 10, 11.
ЛИТЕРАТУРА
1. Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1– Т. 3. – М.:
Эдиториал УРСС, 2000–2001.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. – М.: Наука, 1970-1985, т. 1, 2.
3. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. – СПб: Лань, 1997. – 727 c.
4. Щипачев В. С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 1985. – 471 с.
5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч. IIII. – М.: Высшая школа, 1980.
6. Рябушко А. П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие. В 3 ч. – Мн. Выш. Шк., 1991.
7. Веретенников В. Н. Программа дисциплины “Математика” для высших учебных заведений. – СПб.: изд. РГГМУ, 2007.  21 с.
8. Веретенников В. Н. Математика. Учебно-методическое пособие для
выполнения контрольных работ. – СПб.: изд. РГГМУ, 2010.  68 с.
9. Веретенников В. Н. Высшая математика. Множества. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра. Учебные пособия. – СПб.: РГГМУ, 2004.
10. Веретенников В. Н. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Индивидуальное домашнее задание. – СПб.: РГГМУ, 2004.
11. Веретенников В. Н. Высшая математика. Математический анализ
функций одной переменной – СПб.: РГГМУ, 2008. – 254 c.
4
УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ
Элементы линейной алгебры
Литература
1, гл. IV; [3], гл. IIV; [4], гл. 10; [5], гл. IV; 6, 1; [9], [10].
Основные теоретические сведения
1. Матрицей A  ( aij ) называется прямоугольная таблица, составленная из
m  n элементов aij (1  i  m, 1  j  n) некоторого множества. Записывается
матрица в виде
 a11

 a 21
 

a
 m1
a12
a 22

am 2
 a1n 

 a2n 
.
  

 a mn 
Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента aij обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении
которых находится этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n
столбцов, то, по определению, она имеет размерность m  n .
Матрицы A и B называются равными, если все их соответствующие
элементы aij и bij равны, т. е. aij  bij . Следовательно, равными могут быть
только матрицы одинаковой размерности.
Матрица размера n  n называется квадратной матрицей n-го порядка.
Элементы a11, a22 , , ann образуют главную диагональ матрицы. Определитель,
составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается A или det A .
1 при i  j ,
Матрица E с элементами aij  
называется единичной мат0 при i  j
рицей n-го порядка.
Основные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц,
умножение матрицы на число, умножение матриц.
5
Произведением матрицы A  (aik ) размера m  l на матрицу B  (bkj ) размера
l  n называется матрица C  A  B  (cij ) размера m  n с элементами
n
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j    ain  bnj 
a
ik
 bkj
(1.1)
k 1
(поэлементное умножение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B).
Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только тогда, когда число
столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя. Схематически правило для вычисления элементов в произведении двух матриц можно
изобразить так:




















 
 
 
 
 
 
  






















 
 

  


  


 




  
  
  
  



.


 
Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене
строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Для матрицы A транспонированную матрицу будем обозначать AT . В
частности, при транспонировании матрица-столбец превращается в матрицустроку, и наоборот.
2. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка
 a11 a12 

 называется число a11 a22  a12 a21 . Определитель матрицы обозна a21 a22 
чается  
a11 a12
 a11 a22  a12 a21 .
a21 a22
Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка,
схематически можно изобразить следующим образом:
     


     
6
 
 
или


 a11 a12 a13 


Определителем квадратной матрицы третьего порядка  a21 a22 a23  назыa

 31 a32 a33 
вается число a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32  a13 a22 a31  a12 a21 a33  a11 a23 a32 .
Определитель матрицы 3-го порядка обозначается
a11 a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23 
a33
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31  a12 a21a33  a11a23a32 .
Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению
приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения
следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», можно пользоваться правилом, схематически изображенным следующим образом:
                    
                .
                    
Определителем матрицы n-го порядка называется сумма всех n ! произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по
одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком
«плюс» или «минус» по некоторому правилу. Вычисление определителей выше третьего порядка производится путем использования различных свойств,
которыми обладают определители.
3. Минором M ij элемента aij называется определитель (n1)-го порядка  n 1 ,
полученный из определителя n-го порядка  n вычеркиванием i-й строки и j-го
столбца. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством
Aij  (1) i  j M ij .
Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид
7
 n  a11 A11  a12 A12    a1n A1n
(разложение определителя по элементам 1-й строки). Для n  3
a11 a12
 3  a21 a22
a31 a32
a13
a23  a11 A11  a12 A12  a13 A13 ,
a33
где
A11  (1)11 M 11  (1)11
a22
a32
a23
a
a23
;
; A12  (1)1 2 M 12  (1)1 2 21
a33
a31 a33
A13  (1)13 M 13  (1)13
a21 a22
.
a31 a32
Вопросы для самопроверки
1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над
матрицами, и каковы их свойства?
2. Как сложить две матрицы и всегда ли это можно сделать?
3. Как умножить матрицу на число?
4. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?
5. Что называется минором и алгебраическим дополнением?
6. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего
порядков, каковы их свойства?
7. Каковы способы вычисления определителей?
8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?
9. Как умножить матрицу на матрицу? Всегда ли это выполнимо?
10. Какая матрица называется единичной, квадратной и транспонированной?


Матрица A1 называется обратной для квадратной матрицы A A  0 , если
A1  A  A  A1  E .
8
(1.2)
Чтобы найти обратную матрицу A1 ,
нужно выполнить следующие операции:
1. найти определитель матрицы A A ;
 
2. составить матрицу из алгебраических дополнений к элементам данной матрицы;
3. транспонировать матрицу из алгебраических дополнений и получить
присоединенную (союзную) матрицу A ;
4. записать
1 
A 1 
A .
(1.3)
A
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции: 1) перестановка строк (столбцов); 2) умножение строки
(столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам какой-либо
строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: A ~ A1 .
Рангом матрицы A называется такое число r, что среди миноров r-го
порядка матрицы A имеется хоть один, не равный нулю, а все миноры (r + 1)-го
порядка (если только их можно составить) сплошь равны нулю.
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
4. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет
вид
a11x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

(1.4)
a21x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b ,
33 3
3
 31 1 32 2
где aij  коэффициенты системы; bi  свободные члены.
Определитель третьего порядка , составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем системы. Если   0 , то единственное решение системы (1.4) выражается формулами Крамера:
x1 

1

, x2  2 , x3  3 ,



(1.5)
9
где 1 ,  2 ,  3  определители третьего порядка, получаемые из определителя
системы  заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами
b1 , b2 , b3 .
Систему можно записать в матричной форме: A X  B , где
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 
 x1 
 b1 

 
 
a23 , X   x2 , B   b2  .
x 
b 
a33 
 3
 3
Тогда ее решение имеет вид
X  A1  B ,
(1.6)
если определитель системы отличен от нуля.
Метод исключения Гаусса  заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе
треугольного (или ступенчатого) вида, из которой последовательно, начиная с
последних (по номеру) неизвестных, находятся все остальные неизвестные.
Из первого уравнения системы (1.4), в которой все члены перенесены в
левую часть, выражаем x1 через остальные неизвестные. Получи
x1  b12 x2  b13 x3  b14 ,
(1.7)
a
где b1 j   a1 j , a11  0, 2  j  4 . Исключим из оставшихся уравнений x1 ; для
11
этого достаточно подставить значение x1 из (1.7) во 2, 3 и 4-е уравнения системы (1.4). Тогда придем к системе из двух уравнений, не содержащих x1 :
(1)
(1)
(1)
a22
x2  a23
x3  a24
 0,
 (1)
(1)
(1)
a32 x2  a33 x3  a34  0.
(1.8)
Из способа получения этой системы видно, что aij(1)  aij  ai1  b1 j , i  2, 3
2  j  4 . Систему (1.8) можно подвергнуть тому же преобразованию, что и
первоначальную. Приходим к уравнению x3  b34 . Итак, получаем три уравнения (вида (1.7)), которые объединяем в систему
10
 x1  b12 x2  b13 x3  b14 ,

 x2  b23 x3  b24 ,
x  b .
 3 34
(1.9)
Из уравнений (1.9) последовательно находим все три неизвестных.
Переход системы (1.4) к равносильной ей системе (1.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (1.9)  обратным ходом.
На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что
указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а расширенную матрицу системы (1.4)
 a11 a12

~  a21 a22
A
 
a
 n1 an 2
 a1n b1 

 a2n b2 
,
  
 ann bn 
(1.10)
Система (1.4) составлена из коэффициентов уравнений системы и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному
над системой (1.4), соответствует преобразование над матрицей (1.10).
Исследование и решение линейных систем можно проводить по следующей схеме.
~
1. Составить матрицу A и расширенную матрицу A из коэффициентов
данной линейной системы m уравнений с n неизвестными.
2. Найти ранг r матрицы A данной системы и ранг ř расширенной матрицы Ã.
3. Сравнить ранги указанных матриц и сделать выводы;
а) если r  ~
r , то система несовместна (не имеет решений);
б) если r  ~
r , то система совместна (имеет решения).
4. В случае r  ~
r выделить базисный минор и базисные неизвестные,
данную систему заменить равносильной ей системой, состоящей из тех r уравнений, в которые входят элементы базисного минора.
5. Если r  n , т. е. число базисных неизвестных равно числу неизвестных данной системы, то система имеет единственное решение; это решение
можно найти по формулам Крамера.
6. В случае r  n из полученной системы, равносильной исходной системе, находим выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные. Придавая свободным неизвестным произвольные вещественные значения,
11
находим бесконечное множество решений полученной и исходной линейных
систем.
5. Число  называется собственным числом (значением) квадратной матрицы
A, если существует ненулевой столбец X такой, что A X   X . Если   собственное число матрицы A, то всякий столбец X, удовлетворяющий условиям
A X   X , называется собственным столбцом (вектором) матрицы A, соответствующим собственному числу .
При условии, что вектор X  O , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений 
A  E  0 .
(1.11)
Координаты собственного вектора X i , соответствующие собственному
значению  i , являются решением системы уравнений
a12 x2   
a1n xn  0,
 (a11  i ) x1 

a21x1  (a2 2   i ) x2   
a2n xn  0,





a
x

a
n1 1
n 2 x2    (ann   i ) xn  0.

(1.12)
Вопросы для самопроверки
1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?
2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие несовместными?
3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
4. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
5. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное
решение?
6. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?
7. При каком условии однородная система n линейных уравнений с n
неизвестными имеет ненулевое решение?
8. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных
уравнений.
9. Какие разновидности метода Гаусса вы знаете?
12
10. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений?
11. Какие неизвестные в системе линейных уравнений, и в каком случае
называют свободными, а какие базисными?
12. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?
13. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли
существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?
14. Запишите систему линейных уравнений с помощью матриц.
15. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?
 2  1  3
 2 1  2




Пример 1. Найти произведение матриц A   8  7  6 , B   3  5
4 .
 3
1
4
2 
2
1


▲ Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, поэтому определено произведение A B .
Умножая матрицы, целесообразно расположить их удобным способом.
Для этого может употребляться, например, схема Фалька. Расположим умножаемые матрицы A  (aij ), B  (bij ) и произведение матриц A  B  C  (cij )
таким образом, чтобы элемент cij матрицы-произведения C лежал на пересечении i-й строки A и j-го столбца B (схема 1).
Решение представлено на схеме 2. В схеме 2 угловыми скобками выделено вычисление элемента c22 (сам элемент выделен фигурными скобками):
 
2
3
1
 
B
 
 
    
A       C  A  B;
    
Схема 1
c22
2
8
3
1
7
4
1
5
2
1
4
1
 3  2  3  11
 6  11 15  48
2 8  13
24
Схема 2
  1
 
 8  7  6    5   8   1   7    5   6  2  15 . ▼
 2
 
13
Пример 2. Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:
2 x1  x2  3x3  5,

 x1  2 x2  2 x3  17 ,
 x  x  3x  4.
2
3
 1
▲ Вычислим определитель системы:
2
1 3 2
1  9 2 1  9
1  9
  1 2
2  1  2  1  1  3  1   131
 26 .
 3 1
1
1
3 1
1
0 1 0
0
(3)
(1)
Так как   0 , решение системы может быть найдено по формулам Крамера
(1.5). Для этого найдем определители 1 ,  2 ,  3 :
5
1 3
1  17  2
2
4
1
3
( 2)
5 1 3
 7 0 4
4 1
3
2 5 3
 2  1 17
2
1
4
3
( 2)
( 1)
0  13  9
 1 17
2
1
4
3
 1   131
2
1 5
 3  1  2 17
1
1
4
( 2)
( 1)
0  13  9
0
13  1 
1
4
3
 13  9
 130 ,
13  1
0  1  13
 1  2 17
1
1
4
 1   131
14
5 1 3
7 4
 7 0  4  1  11 2
 78 ,
9
6
9 0
6
( 1)
0  1  13
 0 3
13 
1
1
4
 1  13
 52 .
3
13
Подставляя найденные значения определителей в формулы (1.5), получаем искомое решение: x1 
1

 3, x2 
2

 5, x3 
3

2.▼
Пример 3. Найти решение системы примера 2 средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
1  3
2
 x1 
  5


 
 
▲ Здесь A   1  2
2 , X   x2 , B   17  . Так как определитель матри1
x 
 4
1
3 

 3
 
цы системы   A  26 отличен от нуля (см. пример 2), то матрица A имеет
обратную матрицу. Для нахождения обратной матрицы A1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A
A11   111
2 2
1 2
1 2
 8, A12   11 2
 1, A13   113
 3,
1 3
1 3
1
1
A21   12 1
1 3
2 3
2 1
 6, A22   12 2
 9, A23   12 3
 1 ,
1
3
1
3
1 1
A31   131
1 3
2 3
2
1
 4, A32   13 2
 7, A33   133
 5 .
2
2
1
2
1 2
Составим матрицу из алгебраических дополнений Aij и присоединен-
3
  8 1
  8  6  4

  

ную матрицу A :   6
9  1, A    1
9  7  . Согласно формуле
  4  7  5
 3 1  5




1
(1.3), матрица A , обратная к A, имеет вид

  8  6  4

1 
A    1
9  7 .
26 

 3 1  5
1
Проверим правильность вычисления A1 , исходя из определения обратной
матрицы (1.2) и используя схему Фалька:
15
A
2
1
1
1
2
1
3
2
3
 8  6  4  26
0
0
A 1
9  7 0  26
0 A A
3 1  5 0
0  26

Схема 3
0
0  1 0 0
  26
 

1 
1 
A A
A A    0  26
0   0 1 0  E .
26
26 
0  26   0 0 1
 0
1
Матричное решение данной системы в силу
 x1 
 8  6
 
1 
1

1
A B   26 A B имеет вид  x2      1
9
26 
x 
 3
 3 1
формулы (1.6) и равенства
 4    5
  
 7    17  ;
 5   4 
5
B 17
4
 8  6  4  78

A 1
9  7 130 A B;
3  1  5  52
 x1 
  78   3 
 
  
1 
 x2     130     5 
26 
x 
  
 3
  52   2 
.
Схема 4
Откуда следует, что x1  3, x2  5, x3  2 . ▼
Пример 4. Найти решение системы примера 2 методом Гаусса.
▲ Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных чле2
1  3  5

~ 
2 17  .
нов: A   1  2


1
3 4
1
16
Последовательно переставим местами строки: 31, 12, 23. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.
Умножим первую строку матрицы последовательно на (2) и (1) и
сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.
Умножим вторую строку на (3) и сложим ее с третьей строкой матрицы. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.
1
Умножим вторую строку на (1), а третью строку умножим на 26
. Получим матрицу, эквивалентную исходной матрице.
1
1
3 4  ( 2) ( 1)  1
1
3
4



~ 
1  3  5
  0  1  9  13  ( 3) 
A  2




2 17 
1 2
 0  3  1 13 
1 1
 1 1 3 4
3
4

 ( 1) 

0

1

9

13
 
  0 1 9 13  .


 216


 0 0 26 52 
 0 0 1 2
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную
 x1  x2  3x3  4,

исходной: 
x2  9 x3  13,

x3  2.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из третьего уравнения x3  2 .
Подставив значение x3 во второе уравнение, найдем x2  5 . Подставив значения x3 , x2 в первое уравнение, найдем x1  3 . ▼
Пример 5. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы
 1 1 3


A  1 5 1 .
 3 1 1


▲ Характеристическое уравнение (1.11) для данной матрицы имеет вид
17
1 
1
3
1
5
1  0 , или 3  72  36  0 .
3
1
1 
Его корнем, как легко проверить, будет 1  2 . Разделим левую часть этого
уравнения на двучлен +2. Квадратное уравнение для определения остальных
двух корней будет 2  9  18  0 . Таким образом, матрица A имеет три собственных значения 1  2,  2  3,  3  6 .
Собственный вектор X1 , соответствующий 1  2 , определяется из
системы уравнений вида (1.12)
1  2x1 

x1 


3
x1 

x2 
5  2x2 
x2 
3x3  0,
x2  3x3  0,
3x1 

x3  0, или  x1  7 x2  x3  0,
3x 
1  2x3  0,
x2  3x3  0.
 1
Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы
 3 1 3


системы A   1 7 1  меньше числа неизвестных. Найдем ранг матрицы A,
 3 1 3


для чего преобразуем ее к более простому виду:
( 3)
7 1
 1 7 1
1
 1 7 1



 ( 1)


A   3 1 3
  0  20 0 
  0 1 0 .
 3 1 3
 0  20 0 
 0 0 0






Так как A  0 (две одинаковые строки в определителе матрицы A) и имеется
минор второго порядка
1 7
0 1
, отличный от нуля, ранг этой матрицы равен двум
(r  2) и данная система имеет нетривиальное решение. В матрице A минор
3 1
1 7
отличен от нуля. Этому базисному минору соответствует система первых
3x1  x2  3x3 ,
двух уравнений, которую можно написать так: 
где x1 , x2 
 x1  7 x2   x3 ,
18
базисные неизвестные; x3  свободная неизвестная. Решая эту систему по
формулам Крамера, находим
x1 
 3x3
 x3
1
7
  x3 , x2 
3 1
1 7
3  3x3
1  x3
3 1
1 7
 0.
Итак, система имеет решение x1   x3 , x2  0 . Придавая свободной неизвестной x3 произвольные значения x3  t , получаем решения исходной системы в виде x1  t , x2  0, x3  t .
Следовательно, первый собственный вектор X1  t (1; 0; 1)T .
Второй собственный вектор X 2 , соответствующий собственному значению  2  3 , определяется из системы уравнений вида (2.8):
1  3x1 

x1 


3x1 

x2 
3x3  0,
x3  0,
x2  1  3x3  0.
5  3x2 
Эта система сводится к системе
 2 x1  x2  3x3 ,

 x1  2 x2   x3 ,
решение которой x1  x3 , x2   x3 . Полагая x3  t , запишем ее решение в виде
x1  t , x2  t . Следовательно, второй собственный вектор есть
X2  (t;  t; t )T  t (1; 1; 1)T .
Третий собственный вектор X 3 , соответствующий собственному значению 3  6 , определяется из системы уравнений:
19
1  6x1 

x1 


3x1 

x2 
5  8x2 
x2 
3x3  0,
x3  0,
1  6x3  0.
 5 x1  x2  3x3 ,
Эта система уравнений сводится к системе 
Реше x1  x2   x3 .
ние этой системы x1  x3 , x2  2 x3 . Полагая x3  t , запишем ее решение в виде x1  t , x2  2t . Следовательно, третий собственный вектор есть
X3  (t; 2t; t )T  t (1; 2; 1)T .
После изучения темы “Элементы линейной алгебры” выполните контрольные работы 1, 2.
Элементы векторной алгебры
и аналитической геометрии
Литература
[1], гл. I-IV; 3, гл. I, VII-IX; [4], гл. 3, 9, 10; [5], гл. I-III; [6], 1-4; [8][10].
Основные теоретические сведения
Векторы. Линейные операции над векторами
Скалярная величина  это величина, которая характеризуется только
числом. Векторная величина  это величина, которая для своей характеристики кроме числа, требует еще указать направление (сила, скорость и др.).
Вектор  это направленный отрезок (AB, a) , один из концов которого
называется началом (A), а другой  концом (B). Длина вектора – скаляр, характеризующий вектор AB  a . Направление вектора характеризуется заданием


начала и конца или углами, которые он образует с осями координат ( ;  ;  ) .
Косинусы этих углов – направляющие косинусы – обладают свойством
cos2   cos2   cos2   1 .
20
Над векторами можно производить алгебраические операции: умножать
на число, складывать и вычитать. Свойства этих операций над векторами в основном совпадают со свойствами аналогичных операций в алгебре.
Вектор 1 a1   2 a 2    n a n , полученный в результате проведения
нескольких линейных операций, называется линейной комбинацией векторов
a1, a2 , , an . Числа 1 ,  2 , ,  n называются коэффициентами этой линейной
комбинации.
Понятия, которые нужно запомнить!
1. Орт – вектор, длина которого равна 1 (единичный вектор).
2. Нулевой вектор – вектор, длина которого равна 0, а направление не определено.
3. Векторы коллинеарны, если они лежат на параллельных прямых линиях a || b . Условие коллинеарности 1 a   2 b  0 или b   a .
4. Векторы перпендикулярны, если они образуют угол 90 a  b .
5. Векторы равны a  b  , если они коллинеарны, имеют равные длины
a  b  и одинаково направлены (сонаправлены a  b ).
6. Векторы противоположны, если a  b , они коллинеарны и противопо-


ложно направлены a  b .
7. Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
8. Базисные орты – орты i, j, k , направленные по осям координат.
Система векторов a1, a2 , , an называется линейно-зависимой, если
существуют числа λ 1 , λ 2 , , λ n , из которых хотя бы одно отлично от нуля,
такие, что 1 a1   2 a2    n an  0 .
Если для системы векторов ai 1  i  n это равенство верно только в
случае, когда числа  i  0 , то эта система называется линейно независимой.
Пару векторов будем называть «упорядоченной парой», если указано,
какой вектор пары считается первым, а какой вторым.
Упорядоченная пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов
e1 , e 2 называется базисной системой векторов (базисом) на плоскости,
определяемой заданными векторами.
Теорема разложения 1. Всякий вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов, это представление
(разложение по базисной системе) единственно a  a x e1  a y e 2 , где a x , a y
координаты вектора a в базисе e1 , e 2 .
21
Упорядоченная тройка (если указано, какой вектор тройки считается
первым, какой вторым и какой третьим) линейно независимых (некомпланарных) векторов e1 , e 2 , e 3 называется базисной системой векторов (базисом)
в пространстве.
Теорема разложения 2. Всякий вектор может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов; это представление (разложение
по базисной системе) единственно a  ax e1  a y e2  az e3 , где ax , a y , az координаты вектора a в базисе e1 , e 2 , e 3 .
Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i , j , k .
Вопросы для самопроверки
1. Что называется вектором и модулем вектора?
2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?
3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными?
Если да, то чем они могут различаться?
4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной
точки A пространства. Где находятся концы этих векторов?
5. Какие операции над векторами называются линейными, и каковы
свойства этих операций?
6. Что называется базисом на прямой линии, на плоскости и в пространстве?
7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми, и в каком –
линейно независимыми?
8. Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами) в некотором базисе.
9. Какой базис называется ортонормированным?
10. Как определяется, декартова система координат?
11. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, которое
обозначается a b и равно произведению модулей данных векторов на косинус
угла между ними
(2.1)
a b  | a |  | b | cos(a, b) .
22
Если a  ax i a y j az k , b  bx i  by j bz k , то
cos(a,  b) 
ab  axbx  a yby  azbz ,
(2.2)
| a | ax2  a 2y  az2 ,
(2.3)
a b

| a || b |
a xbx  a y by  a z bz
a x2  a 2y  a z2 bx2  by2  bz2
.
(2.4)
Вопросы для самопроверки
1. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его
свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в
ортонормированном базисе?
2. Какие свойства скалярного произведения совпадают, а какие отличаются от произведения чисел?
3. Каков геометрический смысл скалярного произведения?
4. Каков физический смысл скалярного произведения?
5. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и
расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.
6. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его
свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в
ортонормированном базисе?
7. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его
свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в
ортонормированном базисе?
9. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов,
чтобы их можно было принять за базис пространства?
Основные задачи на прямую линию на плоскости
Любому уравнению первой степени Ax  By  C  0 соответствует прямая линия на плоскости Oxy и наоборот. В зависимости от условия задачи уравнение
Ax  By  C  0 может быть записано по-разному:
23
Ax  By  C  0
B0
при любых
A, B, C
C0
x y
 1
a b
y  kx  b
Общее уравнение прямой линии
x cos  y sin   p  0
Ax  By  C  0 .
(2.5)
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом
y  kx  b ,
(2.6)
k  tg  угловой коэффициент прямой.
Угол наклона прямой линии ( ) измеряется от положительного направления оси Ox до прямой линии (против часовой стрелки). Начальная ордината
b – отрезок, отсекаемый прямой от оси Oy .
Уравнение прямой линии в отрезках
x y
 1,
a b
(2.7)
a, b – отрезки, отсекаемые прямой линией на осях Ox, Oy соответственно.
Нормальное уравнение прямой линии
x cos  y sin   p  0 .
(2.8)
  угол наклона нормали прямой, p – расстояние от начала координат до
прямой линии.
Если даны две прямые A1 x  B1 y  C1  0, A2 x  B2 y  C2  0 , то коор
 A1 x  B1 y  C1  0,
динаты точки пересечения находят как решение системы 

 A2 x  B2 y  C2  0.
Угол между прямыми линиями определяется формулой
tg  
24
k 2  k1
,
1  k 2 k1
(2.9)
где k1 и k 2  угловые коэффициенты сторон угла, 0   
угол между двумя прямыми).

2
(  наименьший
Если прямые линии
y  k1x  b1 , y  k2 x  b2 ( A1 x  B1 y  C1  0, A1x  B1 y  C1  0)
параллельны, то k1  k 2

A1
A2

B1
B2
,
если перпендикулярны, то k1  k 2  1 ( A1 A2  B1B2  0) .
Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку M 0 ( x0 ; y0 ) в
данном направлении (tg   k )
y  y0  k ( x  x0 ) .
(2.10)
Если k не задано (произвольно), то это же уравнение – уравнение пучка
прямых линий.
Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 ( x1; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) ,
y  y1
x  x1
.

y2  y1 x2  x1
(2.11)
Расстояние от точки до прямой линии. Чтобы найти расстояние от точки
( x0 ; y0 ) до прямой Ax  By  C  0 , нужно уравнение прямой привести к нормальному виду и в него вместо текущих координат подставить координаты
точки ( x0 ; y0 ) :
d
Ax0  By0  C
A2  B 2
.
(2.12)
Определение основных элементов в треугольнике
1) Определение вершин треугольника по уравнениям сторон. Приведем решение задачи в общем виде. Даны уравнения сторон: (AB), (AC), (CB). Найти
вершины A, B, C.
25
Из схематического чертежа, очевидно, что каждая из вершин – точка пересечения соответствующих сторон. Для определения вершины A нужно ре( AB)
( AB)
( AC)
шить систему 
, вершины B – систему 
, вершины C – систему 
.
( AC)
( BC)
(CB)
2) Вычисление длин сторон, медиан, биссектрис и высот по координатам
вершин.
а) Дано: A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) . Найти длины сторон.
C
A
B
H
N
M
Длина каждой из сторон – расстояние между соответствующими вершинами. Это одна из основных задач на метод координат и можно воспользоваться готовой формулой
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 .
(2.13)
Имеем AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2 .
Аналогично находятся длины остальных сторон
б) Дано: A( x A ; y A ), B( x B ; y B ), C ( xC ; yC ) . Найти длины медиан.
Длина медианы CM – расстояние CM. Можно воспользоваться формулой (2.13), но сначала нужно найти координаты точки M по формулам деления
отрезка пополам:
x  xB
y  yB
xM  A
; yM  A
.
(2.14)
2
2
Аналогично находятся длины остальных медиан.
в) Дано: A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) . Найти длины биссектрис.
26
Длина биссектрисы CN – расстояние между двумя точками, координаты
точки N неизвестны. По свойству биссектрис точка N делит сторону AB в отношении пропорциональном длинам прилежащих сторон
xN 
где  
AN
NB

AC
CB
x A   xB
y   yB
, yN  A
,
1 
1 
(2.15)
. После определения координат точки N нужно воспользовать-
ся формулой (2.13).
г) Дано: A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) . Найти длины высот.
Длина высоты – расстояние от точки до прямой линии. Если уравнение
AB имеет вид A1 x  B1 y  C1  0 , то по формуле (2.12)
AB 
A1 xC  B1 yC  C1
A12  B12
,
где C ( xC ; yC )  вершина, из которой опущена высота.
3) Определение уравнений сторон, медиан, биссектрис и высот по координатам вершин.
Дано: A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) . Найти (CB), (CM ), (CN ), (CH ) .
а) Уравнение стороны CB – уравнение прямой, проходящей через точки
C и B определяем по формуле (2.11)
y  yC
x  xC

y B  yC xB  xC
.
б) Уравнение медианы CM определяется уравнением (2.11), но координаты точки M еще нужно найти по формулам деления отрезка пополам (2.14).
в) Уравнение биссектрисы CN также определяется уравнением (2.11),
координаты точки N можно найти по формулам (2.15) деления отрезка в отноAC
шении   CB
.
г) Уравнение высоты CH определяется как уравнение прямой, проходящей через вершину C перпендикулярно стороне AB
y  yC  k CH ( x  xC ), k CH   k 1 .
AB
4) Вычисление внутренних углов треугольника.
а) Сделать точный чертеж треугольника в системе Oxy .
27
B
C
k2
k3
k1
A
б) Определить угловые коэффициенты сторон. Если заданы координаты
вершин, то ki 
yi
xi
; если заданы уравнения сторон вида Ai x  Bi y  Ci  0 , то
A
k i   Bi (i  1, 2, 3) .
i
в) Составить формулы для определения тангенсов внутренних углов.
Пусть k1 , k 2 , k 3  угловые коэффициенты сторон (см. чертеж). Необходимо
отметить для каждого угла положительное направление его измерения дугой
со стрелкой (против часовой стрелки). Тогда в каждой формуле
tg A 
k3  k1
k k
k k
, tg B  1 2 , tg C  2 3
1  k3k1
1  k1k2
1  k 2 k3
в числителе уменьшаемым является угловой коэффициент той стороны, к которой обращена стрелка.
г) По тангенсам найти углы как арктангенсы.
Вопросы для самопроверки
1. Выведите формулы деления отрезка в данном отношении.
2. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин.
3. Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат.
4. Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности, и
другие множества точек?
5. Как можно найти точку пересечения двух линий, трех поверхностей,
линии и поверхности?
6. Какова характерная особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей?
28
7. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей.
8. Какие поверхности и линии называются алгебраическими?
9. Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической поверхности?
10. Что называется направляющим вектором прямой и направляющими
векторами плоскости?
11. Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости?
12. Какие уравнения соответствуют плоскости в пространстве в координатной и векторной форме?
13. Какое уравнение плоскости называется уравнением в отрезках?
14. Что называется угловым коэффициентом прямой линии на плоскости, и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе
координат?
15. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в
пространстве и на плоскости?
16. Какое уравнение плоскости называется нормальным?
17. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?
18. Как построить плоскость по ее уравнению?
19. Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в
пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой?
20. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
(на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости?
21. Как найти расстояние от точки до плоскости?
Кривые второго порядка
Окружность. Каноническое уравнение окружности
( x  a)2  ( y  b)2  R2 .
(2.16)
Общее уравнение окружности Ax2  C y 2  2D x  2E y  F  0 . Признаком общего уравнения окружности является равенство коэффициентов перед переменными x 2 и y 2 ( A  C ) , отсутствие члена с произведением x y и возможности найти R после приведения общего уравнения к каноническому виду.
Чтобы привести общее уравнение к каноническому виду, нужно из членов, содержащих переменные x и y выделить полный квадрат.
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
29
x2 y2

1.
a 2 b2
(2.17)
Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
x2 y 2

1 .
a 2 b2
(2.18)
Парабола. Если парабола симметрична относительно оси Ox (O y) и ее
вершина находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
y 2  2 px ( x 2  2 p y) .
(2.19)
Если ось симметрии параболы параллельна оси Ox (O y ) и ее вершина
находится в точке ( x0 ; y0 ) , то ее уравнение будет иметь канонический
вид


( y  y0 ) 2  2 p( x  x0 ) ( x  x0 ) 2  2 p( y  y0 ) .
(2.20)
Основные задачи на элементарные свойства кривых второго порядка состоят в отыскании одного из параметров этих кривых по некоторой совокупности других.
Пример 1. Доказать, что векторы a  (3;  1; 0), b  (2; 3; 1), c  (1; 4; 3) образуют базис, и найти координаты вектора d  (2; 3; 7) в этом базисе.
▲ Составим векторное равенство 1 a   2 b   3 c  0 или
 3
 2
  1  0 
 
 
   
1  1   2  3    3  4    0  .
 0
 1
 3  0 
 
 
   
 31  2 2   3  0,


Задача свелась, таким образом, к решению системы:  1  3 2  4 3  0,

 2  3 3  0.


30
3 2 1
Вычисляем    1 3 4  22 . Так как   0 , то однородная система имеет
0 1 3
единственное нулевое решение: 1   2   3  0 , т. е. векторы a, b, c образуют
систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.
Найдем координаты вектора d в базисе a, b, c. По теореме разложения
вектор d линейно выражается через базисные векторы:
d   1 a  2 b  3 c
или
 3
 2
  1  2   3 1  2 2   3  2,

 
 
    
 1   1   2  3    3  4    3     1  3 2  4 3  3,
 0
 1
 3  7  
 2  3 3  7.
 
 
    

Решаем полученную систему методом Гаусса.
 3 2 1 2   1 3 4

 
A   1 3 4 3   0 1 3

 
 0 1 3 7   3 2 1
3   1 3 4 3
 

7   0 1 3 7 
 

2   0 11 11 11 
  1 3 4 3   1 3
4 3


 
3 7 .
  0 1 3 7   0 1


 
 0 1 1 1  0 0  2  6 
Откуда на обратном ходе находим  1  3,  2  2,  3  3 , поэтому
d  (3;  2; 3)  3 a 2 b 3 c . ▼
Пример 2. По координатам точек A(5; 1; 6), B(1; 4; 3) и C (6; 3; 9) найти: а) модуль вектора a  4 AB  BC ; б) скалярное произведение векторов a и b  BC ;
в) проекцию вектора c  b на вектор d  AB ; г) найти косинус угла между
векторами AB и AC .
▲ а) Последовательно находим
AB  1   5i  4  1 j  3  6k или AB  (6; 3;  3) ,
31
BC  6  1i  3  4 j  9  3k или BC  (5; 1; 6) ,
4 AB  BC  4  6  5i  4  3   1 j 4   3  6k
или 4 AB  BC  (29; 11;  6) .
Модуль вектора 4 AB  BC находим по формуле (2.3)
4 AB  BC  29 2  112  (6) 2  998 .
б) Скалярное произведение вектора a  29; 11;  6 , и b  (5;  1; 6) .
Находим по формуле (2.1) ab  29  5  11  (1)  (6)  6  98 .
в) Так как пр d c 
c d
, d  (6; 3;  3) ,
|d|
cd  30  3  18  9 , | d | 36  9  9  54 ,
то пр AB BC 
9
54

3
6
.
г) Косинус угла между векторами AB и AC находим по формуле (2.4)


cos AB ,  AC 
6 11  3  2  (3)  3
6 2  32  (3) 2 112  2 2  32

21
.
2 201
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через
точки A(2; 3 ) и B(0; 2) .
▲ Каноническое уравнение эллипса имеет вид (2.17). Найдем параметры a и b
из условия, что эллипс проходит через точки A и B:
3
4
 A  (эллипсу),  2  2  1,  4 3
2

a
 2   1, 
a  16,
b
4


a



 2

B  (эллипсу), 0  4  1,
b 2  4,
b  4.



 b2
32
Искомое уравнение
x2 y2

 1 (рис. 1).
16
4
у
1
−4
O
−1
4 х
Рис. 1
Из уравнения эллипса следует, что координаты точек эллипса удовлетворяют
неравенствам | x |  a, | y |  b . Это значит, что эллипс расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми линиями x  a, x  a, y  b , y  b и
симметричного осям координат. Следовательно, для построения эллипса достаточно построить его часть в первой координатной четверти и затем симметрично отобразить полученную часть на остальные координатные четверти. ▼
Пример 4. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что вещественная полуось равна 4, а эксцентриситет 1.25.
▲ Каноническое уравнение эллипса имеет вид (2.18). Найдем параметр b.


a  4,
a  4,
a  4,




 2
c
2
2

b  c  a  9.
  a , c  a    4 1.25  5, 
Искомое уравнение
x2 y2

1.
16 9
Для построения гиперболы найдем уравнения асимптот y   ba x 
y   34 x (рис. 2).
Из уравнения гиперболы видно, что x  a или x  a . Отсюда следует,
что все точки гиперболы находятся вне полосы ограниченной прямыми
x  a, x  a . Гипербола симметрична относительно осей координат. Асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника, стороны которого
параллельны осям координат и равны 2a и 2b. Центр прямоугольник совпадает
с началом координат. Этот прямоугольник называется основным. Для построения гиперболы строят сначала основной прямоугольник, проводят прямые
33
линии, совпадающие с диагоналями основного прямоугольника, и, наконец,
строят гиперболу. ▼
у
1
O
−4
1
4
х
Рис. 2
Пример 5. Составить каноническое уравнение параболы, имеющей директрису
x  3 .
▲ Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид
p
y 2  2 px , а уравнение ее директрисы x   2 . Но по условию задачи уравне-
ние директрисы x  3 . Поэтому 
уравнение параболы имеет вид
p
2
 3, p  6 и искомое каноническое
y  12x (рис. 3). ▼
2
у
●
−3
х
O
Рис. 3
Для построения параболы, являющейся графиком квадратного трехчлена y  ax2  bx  c ( x  a y 2  by  c) нужно справа выделить полный квадрат
по x ( y) и найти координаты вершины, затем найти точку пересечения параболы с осью O y (Ox ) и точку, симметричную оси параболы.
Пример 6. Найти каноническое уравнение и вершину параболы
y  2x 2  4x  3 .
34
▲ Для приведения уравнения y  2 x 2  4 x  3 к каноническому виду
( x  a)2  2 p ( y  b) ,
нужно:
1. Вынести коэффициент перед переменной x 2 за скобки:
y  2( x 2  2 x)  3 .
2. Члены в скобке дополнить до полного квадрата
y  2( x 2  2 x  1 1)  3  2( x  1) 2  5 .
3. Записать каноническое уравнение ( x  1) 2  12 ( y  5) .
4. Для построения параболы из полученного уравнения запишите координаты вершины A(1;  5) , из исходного уравнения ( y  2 x 2  4 x  3) найдите точку пересечения с осью Oy B(0;  3) и на чертеже постройте точку B
симметричную относительно оси симметрии параболы. ▼
у
−1 O
−1
B'
х
B
A −5
Рис. 4
Вопросы для самопроверки
1. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы?
2. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса,
гиперболы и параболы?
3. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы?
4. Что называется асимптотами гиперболы?
5. Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические
уравнения.
35
6. Приведите примеры уравнений линии в полярных координатах.
7. В чем состоит метод сечений?
8. Как определить название поверхности по методу сечений?
9. Как построить поверхность по методу сечений?
10. Что называется поверхностью вращения?
После изучения темы “Элементы векторной алгебры и аналитической
геометрии” выполните контрольные работы 3, 4.
Дифференциальное исчисление
Введение в математический анализ
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Литература
1, гл. VII−X; [2], т. 1, гл. 1, 2, 7, п. 15; 3гл. 2, гл. 3, п. 14; [4], гл.
15; [5], ч. 1 гл. 5, 6; [6], 5, 6; [8]; [11].
Основные теоретические сведения
1. Если даны числовые множества X  {x}, Y  { y} , и по некоторому закону f
каждому элементу x  X поставлен в соответствие один и только один злемент
y  Y , то говорят, что на множестве X задана функция y  f (x) , x называют
аргументом функции, y  ее значением.
Через f (a) или y(a) обозначается то значение y, которое соответствует
значению x  a .
Множество X называется областью определения функции, множество
Y  областью изменения функции.
К основным элементарным функциям относятся: степенная функция
n
y  x ; показательная функция y  a x ; логарифмическая функция y  log a x ;
тригонометрические функции y  sin x, y  cos x, y  tg x, y  ctg x ; обратные тригонометрические функции: y  arcsin x, y  arccos x, y  arctg x, y  acrctg x .
Графиком функции y  f (x) называется множество точек ( x; y) плоскости,
координаты x и y которых связаны соотношением y  f (x) , x принадлежит
области определения данной функции.
36
2. Число A называется пределом функции f (x) в точке a ( при x  a ), если
  0   ( )  0 такое, что x  X , удовлетворяющих условию 0  x  a   ,
выполняется неравенство f ( x)  A   .
Обозначение: lim f ( x)  A , или f ( x)  A при x  a .
x 0
Если существует предел вида lim f ( x) , который обозначается также
x a
xa
lim f ( x) , или f (a  0) , то он называется пределом слева функции f (x) в
x a  0
точке a.
Аналогично, если существует предел вида lim f ( x) , в другой записи
x a
x a
lim
x a  0
f ( x) , или
f (a  0) , то он называется пределом справа функции f (x)
в точке a. Пределы слева и справа называются односторонними.
Функция f ( x) F ( x) называется бесконечно малой (бесконечно боль-


шой) при x  a , если lim f ( x)  0  lim F ( x)    .
x a
x

a


Для сравнения двух бесконечно малых функций  (x)
при x  a находят предел их отношения.
Если lim
x a
и
 (x)
 ( x)
 1 , то бесконечно малые функции  (x) и  (x) при зна ( x)
чении x  a называются эквивалентными (равносильными).
Обозначение:  (x)   (x) .
Например, при x  a sin ax  ax, tg ax  ax, ln(1  ax)  ax, e ax 1  ax .
Если  (x)  1 ( x) ,  (x)  1 ( x) , то предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций при x  a не изменится, если каждую из
них заменить эквивалентной ей функцией
lim
x a
 ( x)
 ( x)
 ( x)
 ( x)
 lim 1
 lim
 lim 1
.
 ( x) x a  ( x) x a 1 ( x) x a 1 ( x)
(3.1)
37
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности.
Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
2. Какая последовательность называется: а) сходящейся; б) расходящейся?
3. Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной последовательности, если:
а) из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следования?
б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены
последовательности в порядке их следования?
в) в ней изменить произвольным образом конечное число членов?
4. Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.
5. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси
области изменения переменной величины?
6. Дайте определение функции. Что называется областью определения
функции?
7. Каковы основные способы задания функции?
8. Какая функция называется периодической?
9. Какая функция называется сложной?
10. Какие функции называются элементарными?
11. Как, зная график функции y  f (x) , можно построить графики
функций y  f (ax), y  f (ax  b), y  k f (ax  b)  c ?
12. Сформулируйте определение предела функции в точке.
13. Дана функция f ( x) 
x
x
. Определена ли функция f (x) в точке
x  0 ? Существует ли lim f ( x) ?
x0
14. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?
15. Существует ли f (3  0) и f (3  0) , если f ( x) 
3 x
3 x
? Существует ли
lim f ( x) ?
x3
16. При каких условиях из существования односторонних пределов следует существование предела функции.
17. Какая функция называется бесконечно малой, и каковы ее основные
свойства?
38
18. Сформулируйте определение и приведите примеры бесконечно малой функции  (x) :
а) одного порядка с функцией  (x) в точке a;
б) эквивалентной функции  (x) в точке a;
в) более высокого порядка при x  a , чем  (x) .
Что означает символическая запись   o( ),   O( ) при x  a ?
19. Какая функция называется бесконечно большой и какова её связь с
бесконечно малой?
20. Докажите основные теоремы о пределах функций.
21. Что означает такая краткая запись
  0    0, x  x0   ,  f ( x)  f ( x0 )   ?
22. В чем состоит геометрический смысл предела функции?
23. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.
24. Покажите, что при x  0 бесконечно малые sin x, arcsin x, tg x ,
arctgx попарно эквивалентны.
25. Пусть x  0 . При каком значении a бесконечно малые величины
a sin 2 x и 1  cos x эквивалентны?
26. Перечислите известные вам эквивалентные бм величины.
27. Какие свойства эквивалентных бм величин используются при отыскании пределов?
3. Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: lim f ( x)  f (a) .
x a
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении
, 0  , 1 , 0 0 ,  0 .
их пределов, приводит к неопределенностям вида   , 00 , 

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
1. сокращение на множитель, создающий неопределенность;
2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для
отношения многочленов при x   );
3. применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
функций;
4. использование двух замечательных пределов
39
1
sin  ( x)
 1; lim 1   ( x)  ( x )  e .
  x  0  ( x)
  x  0
lim
(3.2)
Отметим также, что
lim C
x a f ( x)
 0, если lim f ( x)  ; lim
C
x a f ( x)
x a
  , если lim f ( x)  0 ;
x a
f ( x)
lim
x a g ( x)
 0, если lim f ( x)  0, lim g ( x)   ;
f ( x)
lim
x a g ( x)
 , если lim f ( x)  , lim g ( x)  0 .
x a
x a
x a
x a
4. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x  x0 , если:
1. функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;
2. существует конечный предел функции f (x) в точке x0 ;
3. этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е.
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x 0
(3.3)
Если положить x  x0   x , то условие непрерывности (3.3) будет равносильно условию
lim  f ( x0 )  lim  f ( x0   x)  f ( x0 )   0 , т.е. функция
 x 0
 x 0
y  f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента  x соответствует бесконечно малое приращение
функции  f ( x0 ) .
y  f (x) называется разность  f (x) 
 f ( x   x)  f ( x) , где  x  приращение аргумента.
Для того чтобы функция y  f (x) была непрерывна в точке x  x0 ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия:
1. существовал предел слева f ( x0  0) и предел справа f ( x0  0) ;
2. пределы слева и справа были равны друг другу
Приращением функции
f ( x0  0)  f ( x0  0)  C ;
40
3. выполнялось условие f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) .
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке. Точка x  x0 , называется точкой разрыва первого
односторонних предела конечны, но f ( x0  0)  f ( x0  0)
(нарушается условие 2). Точка x  x0 называется точкой разрыва второго
рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности
(нарушается условие 1). Точка x  x0 называется точкой устранимого разрырода, если оба
ва, если f ( x0 )  C (нарушается условие 3).
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определения:
а) непрерывности функции в точке;
б) непрерывности функции справа (слева) в точке.
2. Сформулируйте определение непрерывности: lim  y  0 .
 x 0
3. Аналогично другое определение: lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
4. Сформулируйте необходимые и достаточные условия непрерывности
функции в точке.
5. Какие точки называются точками разрыва функции?
6. Какого типа разрывы существуют и с чем они связаны?
7. Какие операции надо вспомнить, чтобы исследовать точку разрыва?
8. Какие операции, и в какой последовательности надо вспомнить, чтобы, исследуя точку разрыва, построить график функции?
9. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.
10. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.
11. Для каких функций область непрерывности совпадает с областью
определения функции?
5. Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению
аргумента  x при произвольном стремлении  x к нулю называется производной функции y  f (x) в точке x и обозначается одним из следующих симdy
волов: y, f ( x), dx . Таким образом, по определению
y  f ( x) 
dy
y
f ( x   x)  f ( x)
.
 lim
 lim
d x  x 0  x  x 0
x
(3.4)
41
Если указанный в формуле (3.4) предел существует, то функцию f (x)
называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной
y   дифференцированием.
Физический смысл производной. Производная f ( x0 ) − это скорость
изменения функции y  f (x) в точке x0 (иными словами, скорость изменения
зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной
x в точке x0 ). В частности, если x − время, y  f (x) − координата точки, движущейся по прямой линии, в момент x, то f ( x0 ) − мгновенная скорость точки
в момент времени x0 .
Геометрически величина производной f ( x0 ) представляет тангенс
угла  наклона касательной в точке M 0 ( x0 , y0 ) , к графику функции y  f (x) .
Уравнение касательной к графику функции y  f (x) в точке M 0 ( x0 , y0 )
y  y0  f ( x0 )  ( x  x0 ) .
(3.5)
Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y  f (x) в точке M 0 ( x0 , y0 ) :
y  y0  
1
( x  x0 )  f ( x0 )  0 .
f ( x0 )
(3.6)
Производная обратной функции.
Теорема 1. Если функция y  f (x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x0 , имеет производную в точке x0 и f ( x0 )  0 , то
существует обратная функция x  f 1 ( y) , которая определена в некоторой
окрестности точки y0  f ( x0 ) и имеет производную в точке y0 , причем
f
1


( y0 ) 
1
.
f ( x0 )
(3.7)



Физическая интерпретация формулы (3.7): производная f 1 ( y0 ) есть
скорость изменения переменной x по отношению к изменению переменной y, а
f ( x0 ) − скорость изменения переменной y по отношению к изменению переменной x. Ясно, что эти величины являются взаимно обратными.
42
Производная сложной функции.
Теорема 2. Если функция u  u(x) имеет в точке x0 производную u( x0 ) , а
функция y  f (u) имеет в точке u0  u( x0 ) производную f (u0 ) , то сложная
функция y  f (u( x))  f ( x) имеет производную в точке x0 , причем
f ( x0 )  f (u( x0 ))  u( x0 ) .
(3.8)
Физическая интерпретация формулы (3.8): производная u( x0 ) есть скорость изменения переменной u по отношению к изменению переменной x, а
производная f (u0 ) − скорость изменения переменной y по отношению к изменению переменной u. Ясно, что скорость f ( x0 ) изменения переменной y по
отношению к переменной x равна произведению скоростей f (u0 ) и u( x0 ) .
(Если u движется быстрее x в k раз, а y − быстрее u в l раз, то y движется быстрее x в kl раз.)
Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции
x  x(t ), y  y(t )
(3.9)
определены на некотором промежутке изменения переменной t, которую назовем параметром. Пусть функция x  x(t ) является строго монотонной на этом
промежутке. Тогда существует обратная функция t  x 1 ( x) , подставляя которую в уравнение y  y(t ) получим
y  y( x 1 ( x))  f ( x) .
Таким образом, переменная y является сложной функцией переменной x. Задание функции y  f (x) с помощью уравнений (3.9) называется параметрическим.
Уравнения (3.9) можно интерпретировать как зависимость координат
точки, движущейся на плоскости (x; y), от времени t. При такой интерпретации
график функции y  f (x) представляет собой траекторию точки.
Если функции x  x(t ) и y  y(t ) имеют производные x(t )  0 и y(t ) , то
функция y  f (x) также имеет производную, причем
f ( x) 
y (t )
.
x(t )
(3.10)
43
Заметим, что существование производной x(t ) определенного знака является
достаточным условием строгой монотонности функции x  x(t ) и, следовательно, существования функции y  f (x) , заданной параметрически.
6. Функция y  f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение  y  f ( x0   x)  f ( x0 ) в этой точке можно представить в виде
 y  A x   x ,
(3.11)
где A − некоторое число, а α − функция аргумента  x , бесконечно малая и
непрерывная в точке x  0 (т.е. lim  ( x)   (0)  0 ).
 x 0
Теорема 3. Для того чтобы функция y  f (x) была дифференцируемой в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f ( x0 ) .
Отметим, что при этом A  f ( x0 ) .
Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции y  f (x) в
точке x0 (дифференцируемой в этой точке) называется функция аргумента
 x : dy  f ( x0 ) x .
Если f ( x0 )  0 , то дифференциал является главной (линейной относительно  x ) частью приращения функции в точке x0 .
Дифференциалом независимой переменной x называется приращение
этой переменной: dx   x . Таким образом, дифференциал функции y  f (x) в
точке x0 имеет вид
dy  f ( x0 )dx ,
(3.12)
откуда
f ( x0 ) 
dy
,
dx
т.е. производная функции y  f (x) в точке x0 равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной.
Геометрический и физический смысл дифференциала. Геометрический
смысл дифференциала нетрудно уяснить из рисунка 3, на котором изображены
график функции y  f (x) (жирная линия) и касательная MP к графику в точке
M ( x0 ; f ( x0 )) .
44
Дифференциал dy равен приращению линейной функции, графиком которой
является касательная MP.
у
f ( x0   x)
N
y
f ( x0 )
P
M
dy
x
o
O
xo
xo   x
х
Рис. 3
Дифференциал dy равен приращению линейной функции, графиком
которой является касательная MP.
Если x − время, а y  f (x) − координата точки на прямой линии в момент x, то дифференциал dy  f ( x0 ) x равен тому изменению координаты,
которое получила бы точка за время  x , если бы скорость точки на отрезке
времени [ x0 ; x0   x] была постоянной и равной f ( x0 ) .
Использование дифференциала для приближенных вычислений. Так как
y  dy при малых значениях  x , т.е. f ( x0   x)  f ( x0 )  f ( x0 ) x , то
f ( x0   x)  f ( x0 )  f ( x0 ) x .
(3.13)
Эта формула позволяет находить приближенные значения f ( x0   x) при малых значениях  x , если известны f ( x0 ) и f ( x0 ) . При этом погрешность при
замене f ( x0   x) правой частью формулы (3.13) тем меньше, чем меньше
 x , и, более того, эта погрешность при значении x  0 является бесконечно
малой более высокого порядка, чем  x .
Пример 1. Вычислить lim
x 3  3x 2  2 x
.
x2  x  6
▲ Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при
значении x  2 . Если x  2  корень многочлена, то этот многочлен делится
на двучлен x  2 без остатка. По теореме Безу в этом случае каждый многочлен (в числителе и знаменателе) может быть представлен в виде произведения
( x  2) на некоторый многочлен. Таким образом, нахождение предела сводится, прежде всего, к выделению в числителе и знаменателе множителя ( x  2) ,
x 2
45
незримое присутствие которого и создает неопределенность
0
0
. Практически
это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на
множители, например, делением «уголком».
x 3  3x 2  2 x
x2
x2  x  6
x2
x  2x
x x
x  2x
x 3
3
2
2
2
x 2  2x
 3x  6
x 2  2x
 3x  6
Теперь искомый предел можно представить в виде
lim
x 2
x 3  3x 2  2 x
x2  x  6
( x  2)( x 2  x)
x2  x
0 
.
    lim
 lim
 0  x 2 ( x  2)( x  3) x 2 x  3
Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим
x2  x
42
2

 .▼
x 2 x  3
23
5
lim
Раскрытие неопределенностей
0
0
Для того чтобы раскрыть неопределенность вида
Pn ( x )
x a Qm ( x )
предела отношения многочленов lim
0
0
при отыскании
, нужно
1. определить тип неопределенности,
2. если неопределенность вида 00 , то поделить числитель и знаменатель на двучлен x  a  .
Пример 2. Вычислить
1  2x  3
.
x 2
▲ При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида 00 используется рассмотренный выше прием, но только после
lim
x 4
предварительных алгебраических преобразований. Умножим числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю
46
lim
x 4
 lim
x 4
1  2x  3
x 2
( 1  2 x  3) ( 1  2 x  3) ( x  2)
0 
    lim

x

4
0
( x  2) ( x  2) ( 1  2 x  3)
 
(1  2 x  9) ( x  2)
( x  4) ( 1  2 x  3)
Пример 3. Найти
 lim
x 4
2( x  4) ( x  2)
( x  4) ( 1  2 x  3)

24 4
 .▼
6
3
2 x 3  3x 2  5
.
3x 3  x  1
▲ В данном примере теорема о пределе частного (дроби) неприменима, так
как пределы числителя и знаменателя дроби не существуют. При значении
x   и числитель, и знаменатель дроби функции бесконечно большие. Значит, мы имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций.
Чтобы найти предел, преобразуем данную дробь, разделив ее числитель и
знаменатель на величину x 3 , т.е. на старшую степень x. Пользуясь свойствами
пределов, получим
lim
x 
2x3  x 2  5
1 5
2  3
3
2x3  x 2  5   
x x 2,
x
lim
    lim
 lim
3
1
1
x  3x 3  x  1
x


x



3
x

x

1
 
3 2  3 3
3
x
x
x
так как
1
x
при x    величина бесконечно малая. Поэтому
1
x2
,
1
x3
и
5
x3

величины бесконечно малые и пределы этих величин равны нулю, когда x 
. После деления числителя и знаменателя на x 3 оказалось возможным применить теорему о пределе частного, так как теперь и числитель и знаменатель
дроби имеют пределы, равные соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не
равен нулю. ▼
Раскрытие неопределенностей вида


Если предел отношения двух алгебраических функций при значении x   дает неопределенность вида  , то нужно числитель и
знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой
функции.
47
Раскрытие неопределенностей вида    и 0
Для того чтобы раскрыть неопределенность вида    , необходимо с помощью алгебраических действий (приведение к общему знаменателю, освобождение от иррациональности) свести
ее к неопределенности вида 00 или  .
0    0  10  00 , 0    1     
sin 5 x
.
x  0 sin 7 x
▲ На основании первой из формул (3.2) получаем
Пример 4. Найти lim
sin 5 x
sin 5 x
 5x
sin 5 x  0 
5x
lim
    lim 5 x
 lim 5 x  lim

sin
7
x
sin
7
x
x  0 sin 7 x
x

0
x

0
x

0
7x
0
 7x
7x
7x
sin 5x
sin 7 x  5

  lim
 1, lim
 1  . ▼
x

0
x

0
5
x
7x

 7
Пределы тригонометрических функций
Пределы тригонометрических функций находятся с помощью первого
sin 
 1 , алгебраических и тригонометричезамечательного предела lim
0 
ских преобразований.
Пример 5. Найти
1  cos3 x
.
x  0 x sin 2 x
lim
1  cos3 x
(1  cos x) (1  cos x  cos2 x)
 lim

x 0 x sin 2 x
x 0
x sin 2 x
▲ lim

 1  cos x  2 sin 2

48
2 sin
x
  lim
2  x 0
2 x
2
(1  cos x  cos2 x)
x sin 2 x

2 sin 2x x sin 2x x (1  cos x  cos2 x) 2 x
1
  x  



x
x 0
2
2
x
sin
2
x
2
x
2
2
 lim


sin x
2x


  lim x 2  1, lim
 1, lim (1  cos x  cos2 x)  3 
x  0 sin 2 x
x 0


x 0 2

x x 3 1
3
 lim 2    
 .▼
x 0
2 2 x 2x 4
Пример 6. Найти lim
x 0

a r c s3xi n 0
lim

0
2x
▲
x 0
arcsin 3 x
.
2x
. Обозначим arcsin 3x  y , тогда 3x  sin y и y  0 при

3y
3
x  0  lim
 .▼
y  0 2 sin y
2

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через
эту новую переменную, а из равенства, выражающего зависимость
между старой переменной и новой, должен быть определен предел
новой переменной.
lim 1  x  tg 2 x .
Пример 7. Найти
▲
x 1
lim 1  x  tg 2 x  0   ; обозначим 1  x  y , тогда y  0 при x 1 
x1
2
  2


 lim y tg    y  tg    y  ctg  y  lim y ctg  y  lim y
y 0
2
 lim y
y 0
2

2
sin
2
y cos 2 y

2
y

2
2
y 0
y


2
y 0
cos  y
2
sin  y

2
.▲
49
Пределы, связанные с числом e
Второй замечательный предел принято писать в одном из ниже указанных ви1

дов: lim (1   )   e, lim 1  1x
0
x 
x  e .
Если во втором замечательном пределе непосредственно подставить
предел аргумента, то получится неопределенность вида 1 ; поэтому, если
при x   или x   функция f (x) дает неопределенность вида 1 , то
предел этой функции связан с числом e.
Пример 8. Найти
 x 1 
▲ lim 

x   x  2 
x 1
x2
2 x 1
 x 1 
lim 

x   x  2 
2 x 1
.
x 1
x 1
3

 1 ;
 1
1  1 
. Таким путем из дроби
x

2
x

2
x

2

выделяется бесконечно малая функция  
x2 3
2 x 1

 3 x2
3

 lim 1 

x  
x2
3
x2  x2


3  3 
 lim  1 


x  
x2




3

при x   
x2

2 x 1
lim
 e x 
6 x 3
x2
 e6 . ▼
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида
lim
Pn ( x)
x a Qm ( x)
0
0
для
, где Pn ( x), Qm ( x) − многочлены.
2. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида
нужно найти
f ( x)
lim
x a g ( x )
0
0
, если
, f ( x), g ( x) − любые алгебраические функции.

,

 ?
4. Что устанавливает первый замечательный предел?
5. Какими пределами можно заменить число e?
6. Как и когда применяется замена переменных при отыскании пределов
от тригонометрических функций и пределов, связанных с числом e?
ax b ?
7. Усвоили ли вы, как быстро, в уме найти lim cx
d
3. Как раскрыть неопределенности
z 
50
1
Пример 9. Найти пределы функции y  2 x3 слева и справа в точках x1  3 ,
x 2  5 . Узнать, является ли функция непрерывной в этих точках.
▲ Исследуем точку x  3 .

f 3  0  lim 2 x 3   вместо переменной x подставляем его предельное
x  30

1
1
1
значение в символах; 2 3 0  3  2  0  2   
12   0 ,
1
1
1




f 3  0  lim 2 x 3  2 3 03  2  0  2     .
x  3 0




В точке x  3 предел справа не существует, и функция терпит бесконечный разрыв.
Исследуем точку x  5 .
f 5  0  lim
x  5 0
1
x
2 3
1
1

 5 0 3 

 2
  22 ,




1
1 
1



f 5  0  lim 2 x 3  2 5 03   2 2 ,
x  5 0




1
1
f 5  2 53  2 2 .
Итак, f (5  0)  f (5  0)  f (5)  предел слева равен пределу справа и равен
значению функции в точке. Следовательно, f (x) непрерывна при x  5 . ▼
Пример 10. Исследовать функцию f (x) на непрерывность; найти точки раз-
x  0,
 x  2, если
 2
рыва функции и определить их тип f ( x)   x  1, если 0  x  2,
2 x  1, если
x  2.

▲ Так как функция f (x) определена и непрерывна на интервалах (; 0) ,
(0; 2) и (2; ) (рис. 5), где она задана непрерывными элементарными функ51
циями, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки x  0 и x  2 .
у
5
–2
1
O
2
х
–2
Рис. 5
Исследуем точку x  0 .
f (0  0)  lim f ( x)  { символ x  0  0 позволяет выбрать нужное аналитиx 00
ческое выражение f (x) из уравнений, ее определяющих }  lim ( x  2)  2 .
x 00
f (0  0)  lim f ( x)  lim ( x 2  1)  1 .
x  0 0
x  0 0
Односторонние пределы функции в точке x  0 существуют, но не равны между собой (нарушено условие 2). Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок f (0  0)  f (0  0)  3 .
Исследуем точку x  2 .
f (2  0)  lim f ( x)  lim ( x 2  1)  4  1  5 ,
x  2 0
x  2 0
f (2  0)  lim f ( x)  lim (2 x  1)  5, f (2)  (2 x  1) x  2  5 .
x 2 0
52
x 2 0
Односторонние пределы функции при x  2 равны между собой и равны
частному значению функции f (2  0)  f (2  0)  f (2) . Следовательно, исследуемая точка x  2 является точкой непрерывности. ▼


Пример 11. Найти производную функции y  sin 3 tg ln 3 x .


▲ y  cos 3 tg ln 3 x  3
1
1
 3 ln 2 x  . ▼
x
cos2 ln 3 x
Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке. Вычисление значения функции начинается
справа налево, а дифференцирование наоборот – слева направо.
Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы
последней – это самое главное!
Вопросы для самопроверки
1. Что называется приращением функции y  f (x) в точке x0 ?
2. От какого аргумента зависит разностное отношение
ласть определения функции
y
x
y
x
? Какова об-
?
3. Дайте определение производной функции y  f (x) в точке x0 .
4. Каков физический смысл производной функции y  f (x) в точке x0 ?
5. Каков геометрический смысл производной функции y  f (x) в точке
x0 ? Дайте определение касательной к графику функции y  f (x) в точке
x0 ; f ( x0 ) и напишите уравнение касательной.
6. Когда говорят, что функция имеет в точке x0 бесконечную производную? Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке
вертикальную касательную.
7. Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь
между односторонними производными и производной функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют односторонние производные в
некоторой точке, но не существует производная в этой точке.
8. Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения
и частного двух функций.
9. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Какова
физическая интерпретация формулы для производной \обратной функции?
53
10. Что называется сложной функцией?
11. Как сложную функцию записать в виде цепочки простых функций?
12. Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Какова
физическая интерпретация формулы для производной сложной функции?
13. Запишите правило дифференцирования сложной функции.
14. Каков порядок дифференцирования сложной функции?
15. В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?
16. Что такое параметрическое задание функций?
17. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.
18. Сформулируйте теорему о связи между дифференцируемостью
функции в точке и существованием в этой точке производной.
19. Что такое дифференциал функции в данной точке? От какого аргумента он зависит?
20. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?
21. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?
22. Каков геометрический смысл дифференциала?
23. Каков физический смысл дифференциала?
24. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала
функции?
25. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?
После изучения темы “Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной” выполните контрольные
работы 5, 6.
54