РУС (2,5 Mб) - ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

AIRES 
New Medical Technologies Foundation. BIP International Association Research Center.
www.aires.spb.ru
Г.С. Мельников*, И.Н. Серов**
Аналитическое программирование информационнообменных процессов активных биологических форм
Задачи построения геометрического волнового поля
пространственных частот
*ВНЦ Государственный Оптический Институт им. акад. С.И. Вавилова
**Фонд Развития Новых Медицинских Технологий «AIRES»
В статье рассматриваются задачи обоснования новой векторной
модели описания различных растровых лучевых явлений, обнаруженных
в последние десятилетия в оптических элементах, названных элементами
фрактальной оптики [1, 4], а также описания комплексными функциями
действительных и комплексных аргументов ряда дифракционных
явлений, связываемых с геометрической фазой [2] при описании
геометрических изображений, создаваемых с помощью компьютерносинтезированных голограмм (computer-generated hologram) [3].
Введение
К настоящему времени в оптике признан квантово-волновой дуализм.
Однако, ряд оптических явлений, таких, например, как
 существование мнимых изображений, создаваемых элементами
оптики;
 формирование растровых лучевых структур при прохождении
немонохроматического и когерентного света через рассеивающие
среды [5];
 формирование упорядоченных дискретных растров в локальных
областях краевых точек сегментированных цилиндрических
элементов [4];
 последние
результаты
экспериментальных
исследований
графически-синтезированных голограмм [5, 20]
не могут быть достаточно корректно описаны традиционной
геометрической лучевой или классической волновой теориями.
В добавление к этому можно отметить, что и ряд классических
дифракционных явлений, наблюдаемых на пространственных решетках
с периодом > 0,1 мм (т.е. с пространственным периодом в сотни и
десятки тысяч раз превышающих длину волны пропущенного света),
1
неоднократно вызывал желание оптиков описывать порождаемые
пространственные световые структуры не с позиций волновой оптики,
которая, безусловно, описывает световые реплики в электронном
микроскопе при исследовании упорядоченных кристаллических
структур [6], а находить геометрическую интерпретацию в виде
промежуточного математического аппарата пространственных частот.
Более того, ряд сугубо волновых явлений, порождаемых
дифракционными элементами, некоторыми трактовался как поле
направлений [7].
Приведенный список накопившихся противоречий послужил основой
для создания новой модели геометрического волнового поля [8, 9, 10].
Однако статьи [8, 9, 10] из-за громоздкости первоначальных выражений
в [8, 9], недостаточно обоснованной постановки задач в [10] и отсутствия
пояснений, для каких практических целей необходимо решать эти
задачи, редакцией Оптического журнала не были приняты к публикации.
Учитывая вышеназванные пожелания рецензентов, а также их
рекомендации обосновать целесообразность использования фрактальной
геометрии для решения задач многократных отражений, подготовлена
настоящая статья и серия статей [5, 10, 20] для публикации в
Оптическом
журнале
и
трудах
симпозиума
«Перестройка
Естествознания — 2001».
1. Экспериментальное обоснование постановки задач.
1.1. Формирование мнимых изображений.
В работах [11, 12, 13] при описании геометрического метода
построения лучей, преломленных поверхностью сферы, обладающей
коэффициентом преломления n1, отличным от коэффициента
преломления среды n0, вводятся вспомогательные сферы: внешняя
мнимая сфера радиуса
сфера радиуса
Rm  R 
Rinv  R 
n1
и внутренняя (виртуальная) мнимая
n0
n0
(см. рис. 1). В этих работах утверждается,
n1
что на введенных сферах располагаются апланатические точки. В [8]
радиусы этих же сфер выражены через отношения косинусов углов
дополняющих углы падения и преломления до
2

:
2
Rm  R 
Cos 
Cos 
km
и
kr
Rinv  R 
Cos 
Cos 
kr
km
Рис. 1. Схема геометрического метода построения преломленного луча
АВ сферой радиуса R с материалом заполнения, имеющим коэффициент
преломления n1 [Борн Вольф.]
Точки C и С1 — апланатические точки, изображающие реальную
точку В.
На основании рис. 1 следует ожидать, что оптический шар должен
формировать апланатические изображения окружающего пространства
предметов на виртуальной сфере радиуса Rinv и внешней мнимой сфере
радиуса Rm , что полностью подтверждается результатами исследований
(см. рис. 2а).
3
б)
а)
На рис. 2а с помощью ½-дюймовой ПЗС камеры зафиксировано
изображение  тест объекта (торговой марки) на внутренней
виртуальной сфере и фотоизображение отраженного, кажущегося
изображения наблюдателя в пространстве мнимой внешней сферы (см.
рис. 2б).
Рис.2.
Из приведенных рисунков следует, что кажущиеся изображения
формируются вполне реальными лучевыми (или некими волновыми)
энергетическими потоками и, следовательно, должны иметь
математическое обоснование.
1.2. Формирование растровых лучевых структур при
прохождении света через рассеивающие среды.
В повседневной жизни методами визуального, фотографического или
TV-наблюдения, часто обнаруживаются растровые явления с
характерным распределением лучевых структур в виде трех
пересекающихся под углами
2
коллинеарных вторичных потоков
3
лучей, порождаемых точечным источником. Вид явления приведен на
рис. 3.
4
б)
а)
Рис. 3.
Это явление чаще всего наблюдается при прохождении узкого
светового потока через рассеивающие среды (вода, взвешенные частицы
воды в атмосфере, матовые рассеивающие стекла с определенной
структурой гранул рассеяния и т. д.).
Явление, так же как и явление 1.1, должно иметь вполне
обоснованное математическое описание.
1.3. Формирование упорядоченных дискретных растров в
локальных
областях
краевых
точек
сегментированных
цилиндрических элементов.
Это явление впервые было обнаружено (по предварительным
геометрическим предсказаниям) в 80-х годах прошлого столетия и
опубликовано в [4]. Явление наиболее полно исследовано как с
геометрической, так и с физической точек зрения. Оно послужило
основой для построения ряда оптических схем формирования растрового
подсвета, создания полископических систем наблюдения и построения
способов формирования дискретной сетки временных задержек и схем
особо компактных монохроматоров [14…17]. Более того, указанное
явление послужило основой для проведения теоретических
исследований принципов фрактализации числового континуума, в
результате которых были предложены новые модели построения
многомерных (в том числе и дробно-мерных) топологических структур,
что и явилось основанием для введения понятия фрактальной оптики [1].
Однако только в статьях [8, 9, 10] найдены принципы полного
решения традиционной оптической задачи расчета хода лучей при
многократном отражении от зеркальной поверхности точными
формулами, описывающими текущие значения пространственных
координат квантовых частиц в динамике их распространения.
5
Выведенные выражения комплексных функций действительного и
комплексного аргументов, являющиеся фазовыми и частотными
решениями макроволновых уравнений геометрического поля, позволяют
интерпретировать также спиральные и лучевые отображения процессов
многократного отражения частиц (лучей) во всеобъемлющее
пространство:
виртуальное
(центростремительное)
и внешнее
(центробежное) отображения.
1.4. Теоретические
и
экспериментальные
обоснования
целесообразности
применения
фрактальных
методов
геометрического макроволнового поля.
Несмотря на то, что рецензенты статей [8, 9, 10] выражали сомнения
в целесообразности приложения методов фрактальной геометрии к
решению традиционной оптической задачи, все же следует особо
подчеркнуть, что все примененные в доказательствах фрактальные
методы являются оригинальными и с принятыми понятиями фракталов
имеют только общие базовые характеристики.
Б. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на
теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в
1919 году. Он определил фрактал как множество, размерность
Хаусдорфа которого строго больше топологической размерности [18].
Поясним на примере одного из основных классических фракталов
«Снежинки Коха» общие подходы и их различия в точках зрения
фрактальной геометрии Б. Мандельброта и авторов настоящей статьи и
статей [8, 9, 10].
С точки зрения фрактальной геометрии, фрактал – аттрактор системы
итерированных функций и представляет собой либо фрактальную пыль,
либо проекцию на пространство с более низкой размерностью. Поэтому
Б. Мандельброт рассматривает границу «Снежинки Коха» как кривую,
составленную из трех одинаковых фракталов размерности d≈1,2618.
Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон
равностороннего треугольника. При этом производится итеративная
операция дробления начального отрезка к0 , т. е. убирается средняя треть
стороны исходного треугольника и добавляются два новых отрезка
такой же длины. Это множество обозначается к1 и на основании
отношения самоподобия, предложенного Ричардсоном, Б. Мандельброт
определяет размерность получаемой новой кривой d=ln4/ln3≈1,2618.
Указанным приемом Б. Мандельброт делает попытку устранения
кажущегося парадокса, заключающегося в том, что граница «Снежинки
Коха», при многократных итеративных операциях, стремится к
бесконечной длине, охватывая при этом конечную площадь.
6
Да, «Снежинка Коха» — фрактал и, к тому же, фрактал дробной
размерности, но его надо рассматривать не с точки зрения итерирования
первоначально одномерной линии, а с точки зрения итеративных
поворотов со сжатием и разнесением на периферию исходной двумерной
фигуры — равнобедренного треугольника.
3
4
2
1
0
7
5
6
а)
б)
Рис. 4.
Как видно из рис. 4, на первом уровне итеративных операций мы
имеем один центр фрактализации, на пересечении биссектрис
равнобедренного треугольника и осуществляем поворот исходного
треугольника на угол, равный  . На втором уровне получаем 7
3
центров фрактализации и семь синхронных операций поворота
треугольников со сторонами 1/3 L исходного треугольника. На третьем
уровне фрактализации имеем 49 центов фрактализации (21 из которых
не влияют на изменение границы «Снежинки Коха», а добавляют
наслаиваемые участки площади итерируемой фигуры). В результате
такого подхода мы уходим от математического парадокса и приходим к
абсолютно реальному пониманию, что фигура «Снежинка Коха» не
является плоской кривой двумерной плоскости, а ее топологическая
размерность определяется из выражения D = ln 7/ ln 2 .
Аналогичным образом трактуются базовые понятия геометрического
волнового поля — модовых, субмодовых и стохастических
(трансцендентных) траекторий многократного отражения бильярдных
шаров в круге или траекторий движения частиц света (лучей) в
оптических элементах многократного отражения в [8, 9, 10]. Так модовые
траектории лучей соответствуют распространению частиц по правильным,
вписанным в окружность многоугольникам (они как бы циклически
строят из плоскости распространения 3х мерную плоскость наслоения
«заметаемых»
площадей).
Эти
траектории
характеризуются
целочисленными коэффициентами фрактальности и их фазово-угловой
7
множитель m определяется выражением  m 
2
. При k дробном
k
(k=n/m), получаемые траектории формируются звездчатыми nугольниками, «заметающими» дробные плоскости за m оборотов вокруг
центров кривизны. При этом траектории характеризуются фазово-угловым
множителем  cm 
2 m
.
n
Стохастические (трансцендентные) немодовые траектории, т.е. такие
траектории лучей, для которых коэффициент фрактальности
определяется трансцендентным числом, вообще не имеют цикличности,
и «заметаемые» ими «площади» имеют сугубо различный характер
наслоений.
Фрактальный подход к описанию графических строго-иерархических
рисунков транспарантов, фотошаблонов и матриц был использован при
построении названных оптических элементов Фондом развития новых
медицинских технологий «AIRES» [19]. В результате технологических
отработок Фондом «AIRES» в 2000 году изготовлены матрицы
транспарантов на кварцевой подложке по субмикронным технологиям и
фотошаблоны на хромовом стекле, которые при всесторонних
микроскопических,
интерференционных
и
дифракционных
исследованиях показали, что названные оптические детали проявляют
свойства графически синтезированных голограмм. Но основные
голографические свойства проявляются не на уровне традиционного
волнового поля, а могут быть хорошо описаны уравнениями
геометрического макроволнового поля пространственных частот, при
построении которого [8, 9, 10] в качестве длины волны используется не
длина волны света, а длина свободного пробега лучей в световых
элементах многократного отражения (или длина стороны вписанного
n-угольника в базовом фрактальном рисунке графических
транспарантов). Результаты экспериментальных исследований,
обосновывающие
целесообразность
построения
модели
геометрического макроволнового поля пространственных частот
приводятся в статье [5] предлагаемого цикла статей. А их
теоретическое обоснование и анализ с позиций геометрического
макроволнового поля представлены в статье [20].
Заключение
Как показано в статье, к настоящему времени в математике
бильярдов в круге, фрактальной геометрии, в оптике многократных
отражений, а так же в оптике графически синтезированных голограмм
8
накопился критический объем знаний, недостаточно полно описываемый
существующими математическими моделями геометрической оптики
или классической волновой оптики.
Предлагаемый цикл статей [5, 10, 20], возможно, устранит
существующие разночтения и позволит найти новые решения насущных
задач как оптики многократных отражений лучей (фрактальной оптики)
так и оптики графически синтезированных голограмм (в частности
оптики транспарантов с бинарным или фазовым фрактальным рисунком
высокой плотности). В целом, предлагаемый математический аппарат и
физическая модель, изложенные в [8,10] позволяют подойти к
возможности описания комплексной структуры пространства, тем
самым решить вопрос о целесообразности или нецелесообразности
возрождения понятий эфиродинамики.
9
Литература
1. Melnikov G.S. Gnoseology of fractality – fractal optics // Proc SPIE
1997 Vol. 3010, р. 58–68.
2. Tiwari S.C.: “Geometric phase in optics: Quantal or classical?” Journal of
Modern Optics 39, S.1097 (1992).
3. Lohman A.W. “How to make computers holograms”, Pro RS: “Developments in Holography” S.43 (1971).
4. Мельников Г.С., Космачев А.Ф., Шишкин Ф.Ю. Методика лучевого
описания растровых явлений в цилиндрической линзе, работающей в
области полного внутреннего отражения., Л., ГОИ, 1986. Тезисы
докл. IV Всесоюзной конференции «Теоретическая и прикладная
оптика».
5. Воронин Ю.М., Котов В.В., Мельников Г.С., Алексейцев А.В.,
Праушкин А.В., Серов И.Н. «Экспериментальные исследования
матричных транспарантов с фрактальным рисунком высокой
плотности» Оптический журнал. Рег. № 13651 от 20.05.01.
6. Бистон Б.Е.П., Роберт В. Хорн, Рой Максвел «Методы электронной и
оптической дифракции» в сб. Практические методы в электронной
микроскопии» под ред. Одри М. Глоэра, Ленинград,
«Машиностроение», Ленинградское отделение, 1980, 275 с.
7. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. Реальное применение мнимых
чисел. Из-во «Радянска Школа», Киев, 1988 г.
8. Мельников Г.С. К основам фрактальной оптики А: Комплексное
геометрическое поле, описывающее траектории действительных и
мнимых лучей в оптической сфере. «Оптический журнал». Рег. №
13131 от 10.03.99.
9. Мельников Г.С. К основам фрактальной оптики Б: Комплексное
геометрическое поле двухслойной сферы. «Оптический журнал».
Рег. № 13189 от 11.05.99.
10. Мельников Г.С. Теоретическое исследование фокусировки
излучения оптическим шаром методами аналитических комплексных
функций. «Оптический журнал». Рег. № 13561 от 17.01.01.
11. Botgehold H., Herzberger M. Compositio Math. 1, 448 (1935).
12. Smith T. Proc Phys. Soc. 60, 293 (1948).
13. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Изд. «Наука» ГрФ-МЛ.
14. Мельников Г.С. Поверхности текущих фокусов и семейств каустик
лучей многократного отражения от рефлекторов цилиндрического и
сферического типов. // Оптический журнал. 1999, т. 66, N1 с.73–79.
15. Mikhail A. Gan, S.A. Larionov, Gennady S. Melnikov.” Elements of fractal optics for synchrogenerators and digital illumination devices”, SPIE
10
Proceedings Vol. 3076, pp.207–219; Internet:
http://www.spie.org/web/abstracts/ 3000/3076.html , page 15 (1998).
16. Ган М.А., Мельников Г.С., Попов А.С.. Способ создания
двухзеркальных анаберрационных и апланатических систем с
главным зеркалом в виде сегмента сферы и реализуемых устройств:
концентратор гомоцентричных потоков частиц, телескоп, объектив,
микроскоп, осветитель. ФИПС РФ, Положительное решение о
выдаче патента по Заявке № 98114691/28, приоритет от 21.07.98.
Официальный бюллетень Российского агентства по патентам и
товарным знакам № 11, 1999 г.
17. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А.// Изв.
АН, Серия физическая, М., 1995 г., т. 59, №12, с. 143–150, Gennady S.
Melnikov, Sergey A. Larionov, Pyotr A. Mikheev, Eugeny A. Tsvetkov
“Discrete scanning systems for digital optical processing and transfer of
images by systolic methods”, journal B.R.A.S PHYSICS, Vol. 59 No.12,
1995, pp. 2097–2103, Allerton Press, Inc./ New York.
18. Ричард М. Кроновер «Фракталы и хаос в динамических системах.
Основы теории» Постмаркет, М., 2000 г.
19. Серов И.Н. «Аналитическое программирование информационнообменных процессов активных биологических форм. Проблемы
Объективности». Санкт-Петербург, «AIRES», 1998, 28 с.
20. Мельников Г.С., Серов И.Н. «Теоретические исследования и
обоснование голографических структур матричных транспарантов с
фрактальным рисунком высокой плотности».
11
Г.С. Мельников, ВНЦ «ГОИ им. С.И. Вавилова»
Теоретическое и экспериментальное исследование
фокусировки излучения оптическим шаром
методами аналитических комплексных функций
В статье рассматриваются результаты экспериментальных и
теоретических исследований по описанию геометрического поля (поля
направлений) оптического шара в лучевом приближении, с позиций
анализа световых лучей как векторов комплекснозначных функций
действительных и комплексных переменных. Статья подготовлена для
публикации в трудах SPIE по материалам одноименного устного доклада
на международном конгрессе «Оптика в XXI веке» (16–20 Октября 2000
г, г. Санкт-Петербург), Семинар «Оптософт 2000», заседание 3, 18
Октября, 17.00.
Введение
Логически очевидно, что геометрическое пространство среды —
трехмерно, а топологическое пространство параметров конечных
трехмерных объектов этого пространства всегда имеет 3 и более
измерений. Более того, исходя из анализа структуры числового
континуума в [1] сделано предположение, что для сегментированных
элементов конечных объектов это пространство может быть дробномерным, т.е. фрактальным.
Академик А.Д. Александров и Н.Ю. Нецветаев в своей
фундаментальной работе [2, с. 392] так трактуют возможность анализа
многомерных пространств: «Если пространство более чем трехмерное
(не выполняется аксиома пересечения плоскостей), то в нем наряду с
обычными двумерными плоскостями есть другие фигуры, также
называемые плоскостями». Здесь же они доказали теорему: «Всякая
недвумерная плоскость представляет собою евклидово пространство,
т.е. в ней выполняются аксиомы, определяющие евклидово
пространство, с теми же двумерными плоскостями, какие имеются в
объемлющем пространстве. Через всякие три точки любой данной
плоскости проходит содержащаяся в ней двумерная плоскость».
В работах [1, 3, 5] построение недвумерных (многослойных)
плоскостей, в отличие от формального метода [2] осуществляется с
12
использованием разработанного в [1] аппарата фрактальных методов
оптики многократных отражений. В нашем случае, число измерений
таких плоскостей определяется не числом взаимно перпендикулярных
прямых (при этом одна из прямых в [2] считается плоскостью), а числом
(целым или дробным) пересечения двух декартовых координат
концентрическими окружностями, привлекаемыми в аппарате как
добавленные пространственные координаты. При такой трактовке
сохраняется необходимое требование ортогональности координатных
осей друг другу и каждые семейства прямых, определяемых параметром,
связанным с каждой из добавленных координат, не пересекаются с
другими семействами прямых, определяемых другими добавленными
координатами. Они как в процессах слайдовой мультипликации лежат,
как бы в разных слоях недвумерной плоскости, но позволяют
анализировать синхронные и синфазные процессы, описываемые как
действительными, так и комплекснозначными функционалами
действительных и комплексных переменных.
Фрактальный подход к описанию процессов многократных отражений
лучей от поверхностей оптических элементов не только логически
обоснован, но и позволяет найти новые явления в хорошо известных в
оптике элементах (например, в оптическом шаре) и в законах
формирования реальных и кажущихся (мнимых) изображений.
Математический термин фрактальность и принципы её физической
интерпретации ввёл в 1975 г. Бенуа Мандельброт [14,15].
Фрактальность (от латинского fractus — ломать, дробить и английского
fractional — дробный) охватывает обширнейший класс естественных и
искусственных пространственных и топологических форм дробной
размерности, которые ранее не имели надёжного математического
обоснования.
Введения понятий фрактальности потребовали такие математические
и физические патологии («монстры»), как, например:
— «снежинка» Коха (1904 г.);
— пародокс Ричардсона (измерение береговой черты, при её
отображении в разных масштабах);
— функции без производных и геометрические объекты без
касательных.
Для математического описания явления самоподобия, обнаруженного
во фрактальных структурах, Мандельброт, следуя Ричардсорну,
предложил общую формулу, определяющую свойства самоподобных
фрактальных структур.
1
(1)
N D
R
13
где: N — количество одинаковых частей в масштабе R,
D — соответсвующая размерность (количество координат).
Было установлено, что, в общем случае, показатель размерности D
может быть не целочисленной величиной.
Наиболее точное определение фрактальности дали авторы работы [16].
Фрактальной топологией могут обладать объекты, находящиеся
как в обычном геометрическом пространстве, так и в функциональном.
Главной
особенностью
фракталов
является
самоподобная
иерархическая организованная структура.
Указанные определения и результаты большого объёма теоретических и
экспериментальных исследований автора позволили ввести новый класс
оптических элементов и световодных пространств под общим названием
фрактальная оптика [1].
Фрактальная оптика, это оптика, включающая в себя обыкновенные
оптические элементы, работающие во внепараксиальной области, в
которой световые лучи претерпевают частичное или полное
многократное отражение, а процессы распространения света в
световодных полостях, ограниченных поверхностями отражения,
описываются новыми геометрическими методами.
Или ещё короче:
Фрактальная оптика, это геометрическая оптика многократных
отражений, в которой процессы распространения световых лучей
описываются вновь разработанными фрактальными методами.
Действительно, как было показано в [1], процессы распространения
фотонов при многократном отражении не могут быть описаны в системе
трёх пространственных координат без привлечения дополнительных
параметров. Дело в том, что по результатам теоретических и
экспериментальных исследований [1, 3, 5, 8, 12, 13, 17] установлено, что
пространство параметров, описывающих геометрические траектории
парциальных лучей (цугов фотонов) при их движении в области
многократных отражений от цилиндрических поверхностей всегда имеет
больше чем 31 число измерений по независимым пространственновременным координатам. Другими словами, для их теоретического
описания помимо трёх геометрических координат — длина, высота и
ширина, — а также одной временной координаты необходимо вводить
ещё ряд параметров, связанных с ортогональными к ним, поверхностями
раздела световодных элементов. Эти привлечённые параметры,
связанные с поверхностями раздела и характеризуют особые свойства
пространства распространения многократно отражаемых парциальных
лучей света, сгруппированных в исходном пучке. Учитывая, что для
различных оптических элементов не все поверхности раздела и не ко
14
всем пространственным координатам ортогональны, в силу чего
наблюдаются различия как в теоретическом описании, так и
экспериментально установленных особых сингулярных свойствах
различных элементов, отнесённых к классам фрактальных. При этом,
для фрактальных элементов центрированной оптики показатель
параметрической размерности D — величина целочисленная, а для
сегментированных элементов оптики показатель размерности может
быть дробным.
Наиболее полно автором исследованы и описаны уникальные
явления фрактальной оптики сферической и цилиндрической группы.
Почему вышеотмеченные оптические элементы названы фрактальными?
1. Анализ геометрических полей фрактальных оптических
элементов.
1.1.Экспериментальное обоснование постановки задачи.
Началом исследований дискретных цифровых методов оптических
преобразований, открывающихся с возможностями фрактальной оптики,
можно считать первые описания теоретически предсказанных и
экспериментально обнаруженных в ГОИ им С.И. Вавилова в 1980-х г.г.
растровых
явлений
внепараксиальной
оптики
в
элементах
цилиндрической группы. [1, 17]. Постановка первых прикладных задач,
которые могут быть решены методами фрактальной оптики, изложены в
обзорной статье [4]. Отдельные решения прикладных задач найдены и
описаны в поданных заявках и полученных патентах РФ [5, 12, 18]. (Рис
1, 2).
15
Рис. 1
Рис. 2
Как отмечалось в [1, 12, 17], фрактальными многоугольниками могут
быть названы такие многоугольники, которые образуют n вершин (точек
отражения) за m «оборотов» (наслоений) вокруг центра кривизны
отражающей поверхности (или кривой в двумерном рассмотрении), т.е.
правильные многоугольники (рис. 1), имеющие коэффициент
фрактальности k=n/m.
Если коэффициент фрактальности представлен, в общем случае,
как k=n/m, то при k дробно-рациональном получаем замкнутый на nом отражении многоугольник. При этом, сторона многоугольника (в
световодном элементе — длина свободного пробега от одного
отражения до другого отражения) «заметает» конечную площадь за
m оборотов. При трансцендентном k, перемещение вершин такого
многоугольника и «заметание» конечной площади будет
совершаться при n и m стремящихся к бесконечности, и при этом
текущие вершины никогда не попадают в точку первого отражения.
Другими словами, трансцендентный фрактальный многоугольник —
фигура не замкнутая. (Рис.1, нижняя траектория справа).
Приведенные рассуждения и рисунки позволили объяснить
упорядоченную растровую структуру, формируемую на краю
полуцилиндрического сегмента, с позиций фрактальной оптики и
позволили обосновать и экспериментально обнаружить зонные
16
структуры распространения лучей многократного отражения в
сегментированных элементах фрактальной оптики [19].
В другой серии экспериментальных исследований с оптическим
шаром установлено, что лучи, преломленные поверхностью шара, при
многократных отражениях формируют оптическое «геометрическое»
поле. Действительные составляющие геометрического поля —
траектории многократных отражений лучей внутри сферы —
представляются в виде «геометрической волны». С ней связана
циклическая угловая характеристика — угловая мера длины свободного
пробега луча от одного отражения до другого. Мнимые составляющие
формируются падающим и отраженным лучом при первом преломлении,
а также лучом, выходящим из шара при втором преломлении.
Обнаружены и введены в настоящей статье также внутренние
(виртуальные)
мнимые
лучи,
ортогонально
сопряженные
с
действительными лучами. Они и образуют векторную часть
циклических составляющих, кватернионных функций действительных
переменных, которыми описывается оптическое поле шара.
Приведенные рассуждения основываются на экспериментальной
проверке фокусирующих свойств оптического шара, из которых следует,
что оптический шар создает три поверхности резких отображений
пространства предметов. Одна действительная, создающая резкое
отображение на одной поверхности пространства изображений. И две
мнимые, создающие резкое отображение всего пространства предметов
на внутренней (виртуальной) и внешней (мнимой) сферах. Реальное
отображение имеет малую глубину резкости. Мнимые изображения
создают апланатическое формирование отображения пространства
предметов на мнимых сферах, радиусы которых совпадают с радиусами,
определенными в [9, 11] и подтверждают предположение об
образовании на этих сферах апланатических точек. Мнимые
отображения имеют неярко выраженное фокусирующее свойство, то
есть это отображение имеет большую глубину резкости. Другими
словами, мнимые отображения приближаются по своим свойствам к
идеальному отображению всего пространства предметов при отражении
от плоского зеркала.
Экспериментальная проверка показала совпадение положений
фокусирующих (действительной и мнимых) поверхностей с их
значениями, определяемыми из выражений, полученных из теории
описания геометрического поля оптической сферы в [5], формулы (2).
1.2.
Вывод
уравнений
комплекснозначных
функций
комплексных переменных, описывающих геометрическое поле
оптического шара.
17
Мнимые апланатические изображения всего пространства предметов
фокусируются оптическим шаром на внутренней (виртуальной) и
внешней мнимых сферах. Эти сферы имеют радиусы:
cos
(2)
Rinv  R 
cos

kr

 R
n1
n2
cos
и
Rm  R 
cos
km

km

 R
n2
n1
kr
где
km и kr мнимый внешний и реальный коэффициенты
фрактальности,
n1 и n2 — коэффициенты преломления среды и материала шара,
соответственно
R — радиус реальной сферы.
Формулы (2) выведены в неопубликованных статьях [5], исходя из
соображений интуитивной логики. Здесь было сделано предположение о
том, что действительные лучи многократных отражений в шаре должны
сопровождаться внешними мнимыми лучами, отражаемыми от мнимых


сфер (2), при этом хордовые или угловые множители  r и  m
должны быть одинаковыми как для реальных, так и для мнимых лучей
(3)
 
 r =  m=2/r где r= /arc cos((Xa/R)( n1/ n2))
где
n1, n2 — показатели преломления первой и второй среды на
границах разделов сечений криволинейных поверхностей,
Xa — координата пересечения оси X реальным, падающим на
ось по нормали, лучом,
R — радиус оптического шара
Исходя из этих предпосылок, получены общий вид комплексного
геометрического поля реальной сферы. В трехмерном пространстве
геометрическое поле является кватернионным полем:
(4)
Zs =Zr + iZmp+ jZmo +kZmt
где Zr, Zmp, Zmo, Zmt — действительные числа, а i,j,k — мнимые числа,
равные  –1.
И все пары комплексных составляющих этого поля
меридиональных сечениях, представляются в параметрическом виде
18
в


Z x  R  mr ( p )  cos( r  p   0 )  i  Rm  mm ( p )  cos( r  p   0 )
(5)


Z y  R  mr ( p )  sin(  r  p   0 )  i  Rm  mm ( p )  sin(  r  p   0 )
Из этих предположений и выведены формулы (2). Как оказалось,
полученные выражения для мнимых сфер для внепараксиальных лучей
совпали с введенными ранее выражениями для мнимых сфер H. Boegehold и
M. Herzberger [9,10], которые нашли, что если пространства предмета и
изображения однородны, то вращательно-симметричная оптическая
система в общем случае может обеспечить резкое отображение не более
чем двух поверхностей [11]. М. Борн и Э. Вольф делают сноску: «в общем
случае» вставлено для того, чтобы исключить некоторые вырожденные
случаи, когда идеально отображается все пространство предмета
(например, при отражении от плоского зеркала).
Однако, приведенные выражения (5) при раскрытии всех его членов
для каждой группы траекторий были представлены в [5] в достаточно
громоздком виде, в силу чего статьи небыли опубликованы.
В настоящем исследовании зададимся целью показать простой и
строгий путь описания геометрического поля оптического шара.
1.2.1.
Вывод
уравнений
комплекснозначных
функций
действительных переменных, описывающих геометрическое поле
оптического шара.
В докладе на международной конференции по Сингулярной оптике
(оптическим вихрям) [20]
был приведен вывод уравнений,
описывающих
траектории
реальных
и
комплексных
лучей
многократного отражения от сферы и распространения волновых
фронтов методами комплекснозначных функций действительных
переменных, и проведен сравнительный анализ по описанию этих же
процессов методами обобщенных уравнений теории чисел [4],
предложенных С.А. Ларионовым.
Ниже приведем основные узловые положения вывода
комплекснозначных уравнений действительных переменных: Основная
задача этого раздела статьи показать прием построения недвумерной
комплексной плоскости, позволяющей отображать векторы реального
пространства через комплексные координаты D-порядка.
Поставим перед собой задачу упрощения параметрических
уравнений (5) путем их представления через комплекснозначные
функции.
19
Из теории функций комплексного переменного известно, что если мы
имеем две действительные функции одного действительного
переменного, то можно построить комплекснозначную функцию
(6)
w = ψ(t) =ψ1(t) + i ψ2(t)
Прежде всего, покажем, как реально в объемлющем пространстве
формируются не двумерные координатные плоскости пространства
объекта. Для чего рассмотрим в реальной двумерной координатной
плоскости решение математических бильярдов в круге. Мы будем
рассматривать классическую математическую задачу считая, что на
плоскости в круге образуется «отражение» направленных отрезков —
лучей от кривой линии, т.е. круга. При этом как в круге, так и во
внешнем плоском пространстве не учитываются показатели
преломления. На первом этапе доказательства мы считаем, что внешнее
и внутренние пространства круга однородны, только плоская кривая
(добавленная координата D=0), обладает свойством отражать лучи,
введенные во внутреннее пространство в режиме многократных
отражений.
Теперь мысленно совместим в координатной плоскости реальную
плоскость xOy и комплексную плоскость Z → X,O,iY и отобразим в
полученной таким образом «недвумерной» плоскости лучи как
направленные отрезки прямых линий (т.е. векторы, не проходящие через
центр O, координатной системы, за исключением векторов с
коэффициентами фрактальности равными 2) и их комплексные
координаты, исходя из принципов геометрического толкования
комплексных чисел [7].
Как известно, комплексные числа могут трактоваться как векторы,
как точка (комплексная координата этого вектора), или как комплексный
множитель — оператор поворота вектора в комплексной плоскости.
Зная [1,3…5], что длина направленного отрезка пути от одного
отражения до другого отражения в круге равна
(7)
L  2 R  sin

k
где k — коэффициенты фрактальности, определяющие хордовые
множители (3), можно каждому отрезку реальной траектории
распространения лучей при многократном отражении в круге поставить
в соответствие свою комплексную координату на «недвумерной»
плоскости, которые расположатся на окружности (добавленной
координате с размерностью D=1) радиуса Rkom.= L  2 R  sin
20

k
. Далее,
соединяя найденные комплексные координаты прямыми линиями,
получим комплексные траектории, синфазно сопровождающие реальные
траектории, так как хордовые множители (3) по определению у них
будут равны. Действительно, если реальные лучи определяются
рациональными числами фрактальности, то как реальная окружность
радиуса R, так и комплексная окружность радиуса Rkom будут разбиты на
равное число точек отражения n, где n — числитель рационального
числа k=n/m, так как число точек отражения в круге равно числу
хордовых отрезков, соединяющих эти точки. С дугой стороны, каждая
точка отражения в реальном круге радиуса R может трактоваться на
«недвумерной» плоскости как комплексная координата направленного
отрезка
траектории
«лучей»,
отражаемых
от
«внутренней»
(виртуальной) комплексной окружности (добавленной координаты с
размерностью D= –1) радиуса Rkom inv
(8)
R kom.inv 
R
2 sin

k
Как и в случае с комплексной траекторией, можно доказать, что
инверсная комплексная траектория в круге радиуса Rkom inv так же будет
синфазно сопровождать реальную траекторию распространения луча в
круге радиуса R. Процесс отображения направленных отрезков на
недвумерной плоскости можно распространять как в сторону
отображения на комплексных окружностях D-порядка, имеющих
радиусы
(9)
 D
R kom( D)   R  (2  sin ( ) )
k
так и в сторону отображения на инвертированных комплексных
окружностях D-порядка, определяемых также выражением (9) до
бесконечности в обе стороны.
Для подтверждения этого выведем комплекснозначные уравнения
распределения точек отражения для каждой из окружностей
(комплексной виртуальной Rkom inv (–D), реальной R и внешней
комплексной окружностей Rkom(D)), при фиксированных коэффициентах
фрактальности kr, полностью характеризующих модовые структуры
вписываемых траекторий направленных отрезков (лучей).
Наиболее простой и наглядный способ геометрического построения
этих траекторий представлен на рис. 3.
Здесь,
начальная траектория реальных лучей, имеющих
коэффициент фрактальности kr=3, на реальной окружности радиуса R
направлена параллельно оси –y,O,y, что позволяет легко найти
21
комплексную координату вектора A0,A1.
Для этого произведем
параллельный перенос начала вектора, (точки A0) в начало координат О.
Тогда, конец перенесенного вектора, (точка A1) укажет положение
комплексной координаты этого вектора A1 kom. Аналогичным образом
(обратным способом) строится вектор A1 inv,A2 inv , вписываемый в
инвертированную окружность радиуса Rkom inv , комплексной
координатой, которого на «недвумерной» плоскости является точка A2
(вершина реальной траектории A0,A1, A2 A0,). Этот вектор строится путем
переноса параллельно оси –x,O,x центрированного вектора O A2, до его
вписывания в окружность радиуса Rkom inv.
Рис. 3.
При таком расположении начального участка траектории
распространения реальных лучей многократного отражения в круге все
ее вершины (точки отражения p, как с положительными, так и с
отрицательными значениями) могут быть описаны циклическими
параметрическими уравнениями
(10)
X
Y
r
r
 R  cos(
 R  sin(
2
k
2
k
 ( p  1) 
r
 ( p  1) 
r

k

k
)
r
)
r
где p є [-∞,…-1,0,1,… +∞].
Далее, на основании вышеописанного метода представления двух
функций действительных переменных одной комплекснозначной
22
функцией действительных переменных (см. 4), выражения (10) примут
простой и компактный вид в показательной форме (11)
(11)
Z r  X  i Y
r
 i  R  sin(
ZrX
2
k
r
 R  cos(

 ( p  1) 
k
r
i(
r
 i Y r  R  e
2
k
 ( p  1) 
r
i(
)  R e

k
)
r
2

( p 1)  ))
kr
kr
r
2

( p 1)  ))
kr
kr
На основании (11), с учетом очевидного замечания, которое можно
сделать из анализа рис. 3, заключающегося в том, что последовательное
отображение траекторий лучей многократного отражения в
соответствующие им комплексные координаты осуществляется путем
оператора поворота с растяжением, т.е. путем домножения Zr на
комплексный множитель Zφ(D,kr).
(12)
Z  ( D, k r )  2  sin (
D
D

kr
)
 
i D(  )
2 kr
e
На основании вышеизложенного можно записать уравнения
комплекснозначных
функций
действительных
переменных,
описывающих распределение точек отражения реальных и комплексных
лучей от соответствующих окружностей (комплексной виртуальной Rkom
inv , реальной R и внешней комплексной окружностей Rkom)
i(
Z kominv  Rinv  e
i(
(13)
Zr  R  e
2

 p )
kr
2
2

( p 1) )
kr
kr
i(
Z kom  Rkom  e
2

( p 1) )
kr
2
Или в общем виде для любого отображения векторов через
комплексные координаты D-порядка
2
D

(14)
 D i[ k ( p 1)  2  (1 D) k ]
Z (D, )  Z r  Z  (D)  R [2sin( )] e
r
r
k
r
Здесь D может принимать любые целочисленные значения, т.е. D є [–
∞,…–1,0,1,… ∞] .
Так при D=0 с помощью уравнения (14) описывается распределение
точек отражения от реальной окружности, для траектории
23
распространения лучей с заданным коэффициентом фрактальности kr
(т.е. приходим к описанию Zr, уравнение (13b)).
При D=±1 с помощью уравнения (14) описывается распределение
точек отражения от внешней комплексной и инвертированной
окружностей, для траекторий распространения лучей с тем же
коэффициентом фрактальности kr (т.е. приходим к описанию Zkom и Zkom
inv, уравнения (13 c и 13 a, соответственно)) и так далее для любого ±D
порядка.
Далее, вводя в уравнение (14) параметрический амплитудно-угловой
множитель m (p,кr), приходим к комплекснозначному функционалу,
описывающему не только распределение точек «отражения» от
реальных и мнимых окружностей, но и имеем полное описание текущих
значений траекторий лучей (векторов) для любого D-слоя недвумерной
плоскости
(15)
Z (D, p, k r )  Z r  Z  (D, p, kr )  R m( p, kr )[2sin(

k
)] D e
r
i [
2
D

( p 1) 
 (1 D) ]
k
2
k
r
r
Здесь p принимает все текущие значения числового континуума.
При p целочисленных траектории достигают точек отражения от
соответствующих окружностей в D-слоях. При этом направление луча на
каждом отражении изменяется на угол –2/kr.
Параметрический амплитудно-угловой множитель m(p) определяется
выражением (16), полученным в [5]
cos(
(16)
m( p , k r ) 
cos(

kr

kr
)
 (1  2 p  2  ceil ( p)))
Здесь ceil (p) — наибольшее целое от p,
kr — коэффициент фрактальности заданной траектории лучей, и,
по сути дела (16) является уравнением дискретно изменяющих
положение направленных отрезков прямых в полярных системах
координат.
Анализируя полученный комплекснозначный функционал (15) двух
действительных дискретных параметров D и kr и одного действительного
непрерывного параметра p приходим к следующим выводам:
траектория реального луча, многократно отражаемого в круге, является
среднегеометрической величиной от траекторий, замыкающих
24
соответствующие точки прямых и соответствующие точки инверсных
комплексных координат для любого ± D порядка.
Действительно:
2

Z r ( p, k r )  Z ( D, P) Z (D, P)  R  m( p)e i [ k ( p 1)  k ]
r
r
Уравнение (17) показывает, что комплекснозначные
функции
(17)
Z(+D,P)
и
Z(–D,P)
являются
взаимноинверсными
комлесносопряженными функциями. В них можно выявить ряд
неизвестных ранее закономерностей:
 комплексные отображения траекторий лучей с коэффициентами
фрактальности 2<kr< 6 соответствуют расположению инверсных
окружностей в круге радиуса R, при R=6 все отображения ±D
порядка совпадают с реальной траекторией лучей и при 6<kr< +∞
инверсные отображения траекторий располагаются на
окружностях с радиусом > R (в этом легко убедиться прямой
подстановкой соответствующих kr в выражение (15));
 последовательное отображение реальных траекторий лучей
многократного отражения в соответствующие им комплексные
координаты осуществляется путем оператора поворота с
растяжением, т.е. путем домножения Zr на комплексный множитель
Zφ(D,p), то есть путем дискретных поворотов на угол π/2–π/kR
против часовой стрелки, при направлении исходного луча
перпендикулярно положительной ветви координаты Ox и по часовой
стрелке при направлении исходного луча перпендикулярно
отрицательной ветви координаты –xO,
 взаимный поворот, соответствующих индексов вершин траекторий
прямого и инверсного отображений реальных лучей с равными |D|,
осуществляется на угол D∙(π–2π/kR). Если в выражении (15)
зафиксировать рациональный коэффициент фрактальности кr, а
параметры p и D изменять непрерывно, то текущие значения
комплексного функционала (15) опишут 2n спиральных траектории
(n-левосторонних траекторий, образуемых лучами, запущенными в
области положительной оси X и n-правосторонних, образуемых
лучами, запущенными в области отрицательного участка оси X; где
n — число звеньев траектории реальных лучей), как это показано на
рис. 4 а и б (верхняя строка таблицы) для двух начальных звеньев
траекторий левосторонних и правосторонних лучей.
Рис. 4 а соответствует отображению в виртуальное пространство
кругового сечения начальных траекторий рациональных лучей с
коэффициентами фрактальности = ±7 и бесконечно близких к ним
25
трансцендентных траекторий с коэффициентами фрактальности ≈7 при
изменениях с малой дискретностью параметров p и d в диапазонах
приведенных на рисунке.
Рис. 4 б соответствует отображению во внешнее пространство
кругового сечения начальных траекторий рациональных лучей с
коэффициентами фрактальности = ±4 и бесконечно близких к ним
трансцендентных траекторий с коэффициентами фрактальности ≈4 при
изменениях с малой дискретностью параметров p и d в диапазонах
приведенных на рисунке.
Нижняя строка таблицы, рис. 4 в и г, соответствует отображениям во
внутреннее и внешнее пространства кругового сечения, соответственно,
результирующих отображений начальных траекторий лучей. При этом
варьируются коэффициентами фрактальности от 6,8 до 996 и от 2,7 до 6,
соответственно, при фиксированных p=1 и изменениях с малой
дискретностью параметров d, в диапазонах, приведенных на рисунках.
Как первые, так и результирующие отображения в виде спиралей могут
быть объяснены формированием каустик дискретных отображений
векторов, приведенных на рис. 3 с лучевыми отображениями бесконечно
близких трансцендентных траекторий.
Рис. 4
26
Следует особо отметить, что при переходе от задачи описания
математических бильярдов в круге к описанию траекторий световых
лучей в меридиональном сечении оптической сферы с показателем
преломления n2, в аргументе функционалов (15…17) хордовый или
угловой
множитель

2 
r 
kr
необходимо
выразить
через
соответствующую циклическую частоту
(18)
r  c
m 
n  n2  R  sin
m 
n
где
c
— скорость света,
n и m — числитель и знаменатель коэффициента фрактальности kr=n/m,
В этом случае текущий параметр p необходимо заменить на текущее
время t.
Все остальные выводы остаются справедливыми на всем масштабе
размеров оптических элементов вплоть до размеров нескольких длин
волн исследуемого лучевого распространения света.
1.2.2.
Вывод
уравнений
комплекснозначных
функций
комплексных
переменных,
дающих
полное
описание
геометрического поля оптического шара.
Если при описании задачи математических бильярдов в круге
подойти с позиций механических аналогий, то представляется
достаточно продуктивным подход, который был использован Галилеем
при выводе уравнений механического маятника. В своих рассуждениях
Галилей исходил из условия изохронности маятников [21]. Галилей
заменял движение грузика маятника по дуге свободным движением по
хорде, исходя из пропорциональности времени скатывания по хорде и
движения маятника по дуге. При этом он и вывел пропорциональность
этого времени квадратному корню из длины маятника. Это утверждение
следует из рассмотрения рис. 5, из которого видно, что длина отрезка
(19)
A0,A’0=√ A0,A12 + A’0, A12 =2R
27
Рис. 5.
Аналогия
очевидна.
Действительно,
если
рассматривать
произвольный луч, формирующий в круге, какую-либо (замкнутую или
разомкнутую) траекторию, для звена которой всегда можно приписать
хордовый или угловой множитель

2 
, то целесообразно
r 
kr
каждому лучу в круге сопоставить ортогонально дополняющий луч,
который будет представлять собой второй катет прямоугольного
треугольника, гипотенузой которого является отрезок прямой,
проходящей через точку A0, направленного отрезка A0, A1 и центр
круга O до замыкания прямоугольного треугольника A 0,A1,A’0 , т.е.
диаметр, соединяющий точки A0 и A’0 (см. рис. 4). Получившийся
таким способом отрезок A’0 ,A1 будет определяться хордовым или
угловым множителем
(20)

2 
2 
r     
kr
kr
Угол π–2π/kR является ортогональным дополнением реальному

хордовому или угловому множителю  R . Этот угол определяет
мнимую часть аргумента комплексной функции комплексных
переменных в круге.
Действительно, используя приведенные рассуждения, можно
констатировать, что при рассмотрении задачи математических
28
бильярдов в круге или физической задачи распространения лучей в
меридиональных сечениях сферы или цилиндра, для получения полного
их решения, в выведенных комплекснозначных уравнениях (12…15) в
качестве аргумента целесообразно использовать комплексную функцию

(21)

 (k r , p)   r  p  i   r  p
Математические основания этого утверждения приведены выше.
Какие физические предпосылки обосновывают это предложение?
Дело в том, что при рассмотрении произвольного луча в
меридиональном сечении сферы или цилиндра не трудно убедиться в
следующем:
— точка ввода луча A0 во внутреннюю полость рассеивающего
оптического элемента имеет внутреннее зеркальное отражение в точке
A’0,
— текущие положения фотонов, (формирующих в рассеивающей
среде лучевую траекторию A0 ,A1) круговой зеркальной поверхностью
будут зеркально отображаться в текущих положениях луча A’0 ,A1 и
— точки встречи реального луча A0 ,A1 и внутреннего мнимого луча A’0 ,
A1 совпадут в точке A1.
Далее, после зеркального отражения в точке A1, реальный луч A0 ,A1
изменит свое направление на A1,A2 (на угол π – 2π/kR ), а внутреннее
зеркальное отражение точки A1 переместится на диаметрально
противоположную вершину A’1 прямоугольного треугольника, A1, A’1,A2
и процесс синхронного перемещения по заданной траектории реального
и внутреннего зеркального лучей повторится либо до замыкания
реальной и мнимой траекторий, либо до обхода по всем нечетным
сторонам комплексно-сопряженного фрактального многоугольника.
Последнее утверждение очевидно, из рассмотрения равенства
(22)
2 2
  
kr kr
Откуда можно получить
коэффициента фрактальности
(23)
выражение
внутреннего
мнимого

2  kr
kr 
kr  2
через реальный коэффициет фрактальности kr .
В таблице 1 приведены некоторые значения для реального и
внутреннего мнимого коэффициентов фрактальности.
Табл. 1
29
Kr

k
r
2
3
4
5
6
7
8
∞
6
4
10/3
3
14/5
8/5
На основании анализа рис.4 и уравнения (22) очевидно, что
справедливы соотношения
(24)
(25)
sin


 cos  и
kr
kr
cos


 sin 
kr
kr
В результате приходим по аналогии с функциями действительной
переменной к
комплекснозначному уравнению функции мнимой
переменной для описания комплексных отображений D-порядка для
внутренних мнимых лучей A’0 ,A1; A’1 ,A2 и т.д.
(26)
2
D 

i[  (1 p)   floor( p) 
 (1 D)   ]
2


k
k

r
Z (D, p, k )  i  Z  Z (D, p, k )  i  R  m ( p) [2sin  ]D e r
i
r
r 
r
i
k
i
r
где: floor(p) — наибольшее целое от p
Выражая и его аргумент через соответствующие функции
коэффициента фрактальности реального луча (согласно (22…25))
приходим к уравнению (27) для описания текущих значений
комплексных отображений D-порядка для внутренних мнимых лучей:
(27)
2
(D 1)

( p 1) 
 (1 D) ]
k
2
k

r
r
Z (D, p, kr )  i  Z  Z (D, p, kr )  i  R m ( p, kr )[2cos ]D e
i
r 
i
k
i
r
i [
Анализируя полученное выражение (27) в сравнении с выражением
(15), приходим к выводу, что комплекснозначная функция комплексного
аргумента для полного описания математических бильярдов в круге это
текущая сумма двух выражений (15) и (27). Учитывая, что эти
выражения имеют противоположные операторы поворота (а их
операторы растяжения суммируются), приходим геометрически (рис. 5)
и аналитически к общему выражению:
30
(28)
2

i [
( p 1)  ]
k
k


2
r
r
Z (D, p, k r)  Z  Z  i  Z  Z (D, p, kr ) 
R  m( p)  [sin 2 D ( )  cos 2 D ( )]e
i
r 
r 
k
k
2
i
r
r
D
Как
видно
из
выражения
(28),
последнее
является
комплекснозначным функционалом трех
переменных, двух
действительных D и p и одной комплексной kŕ, апосредованно после
математических преобразований «спрятанной» под синус-косинусным
радикалом. Введенное нами комплексное D-отображение является
векторным аналогом интегро-дифференциальных преобразований.
Поэтому, при фиксированном значении kr и непрерывных изменениях D
и p можно получить как последовательные отображения реальной
траектории лучей многократного отражения в круге на все пространство
(кольцо, границы которого определяются интервалом [-D,…+D]), так и
лучевые отображения текущих координат траекторий (в оптических
элементах с рассеивающей средой — мгновенных положений фотонов) в
виде центробежных и центростремительных направленных отрезков
(лучей), распространяющихся от фотона, взаимодействующего со
средой, до границ этого кольца. При устремлении ±D в бесконечность
эти отображения распространяются на все объемлющее пространство.
Иначе, можно утверждать, что полученные выражения (15) и (28)
являются векторным представлением спирального и сферического
распространения волновых фронтов от единичных фотонов
(движущихся по замкнутым траекториям и взаимодействующим с
точками среды, выступающими в этом случае в качестве точек
источника излучения). Объяснение спирального и сферического
распространения фронтов, достаточно простое при рассмотрении
распространения оптических гомоцентрических пучков, запущенных в
сферу либо по одной области непараксиальных траекторий (слева или
справа от параксиального луча — уравнения (15)), либо при запуске
широкого пучка на всю апертуру сферы — уравнения (28). В последнем
случае каждый реальный луч с коэффициентом фрактальности kr найдет
свое ортогональное (левостороннее или правостороннее) дополнение до
kŕ и в результате будут формироваться центробежные и
центростремительные результирующие векторы, характеризующие
сферическое распространение волновых фронтов.
Пример последовательных отображений реальной траектории лучей,
с учетом его суммирования с мнимым сопряженным лучом,
промоделированных в соответствии с уравнением (28) приведен на рис
6.
31
На рисунке представлены промоделированные в программе MathCad
пять отображений реального луча в недвумерных плоскостях от D=–2 до
D=2 (D є [–2, –1…2]). Как видно из рисунка, комплексная функция
одной комплексной переменной, при фиксированном значении (kr=5/2) и
дискретно изменяемом показателе отображения D показывает принцип
последовательных отображений комплексных координат реального луча
при его непрерывном перемещении по заданной траектории. Если
показатель отображения D изменять непрерывно, то каждая текущая
точка реальной траектории будет отображаться в виде семейств точек —
направленных отрезков прямых (центростремительных и центробежных
лучей). Динамику изменений непрерывных отображений можно
проследить в первом столбце таблиц приложений 1 и 2. Другими
словами мы получили уравнения, раскладывающие сферически
распространяемые световые волны, на составляющие, образуемые
движениями световых частиц в замкнутом шаре в режиме многократных
отражений.
Рис 6.
Выводы
Анализируя полученные выражения для отображения реальных
траекторий многократного отражения лучей в меридиональном сечении
шара
или
кругового
цилиндра
с
помощью
циклических
комплекснозначных функций реального (14…23) и комплексного
(24…28) аргументов можно сделать следующие выводы:
32
Уравнения (14…23) описывают геометрию волнового фронта или
траектории световых лучей (в зависимости от значений входящих
параметров) в сечении цилиндрического или сферического
отражателя в любой момент времени для трех видов начальных
условий: фиксируется время и показатель D, а варьируется
коэффициент фрактальности — геометрические волновые фронты;
фиксируются коэффициент фрактальности и показатель D, а
варьируется время — траектории распространения лучей и их
комплексных отображений. При этом, если фиксируется
коэффициент фрактальности, а непрерывно варьируются параметр p
(или время t) и показатель D, — формируются спиральные плоские
кривые, совпадающие с каустиками лучей, формирующих
левосторонние и правосторонние спиральные составляющие
сферического светового поля оптического шара или цилиндра в их
меридиональных сечениях, с учетом преломления в точках их
формирования — точках отражения реальных лучей в режиме
многократных отражений.
2. Для различных дискретных значений показателя размерности D
можно получить послойное отображение всех этих процессов в виде
текущих комплексных координат, как функции реального
аргумента.
3. Геометрическое поле реального аргумента описывает отображения
реальных траекторий в виде дискретных спиральных отображений
траекторий в комплексных плоскостях D-порядка.
4. В целом как выражения (15…17) с учетом (18), так и выражения
(14…18) по сути, являются уравнениями системы связанных
световых «маятников».
5. Выражение (28) является полным описанием геометрического поля
(поля направлений) лучевых траекторий оптического шара в
меридиональном сечении. При этом комплексные отображения Dпорядка представляют собой отображения дискретных аналогов на
макроволновом уровне лучевых приближений сферических
центробежных и центростремительных волн. Так, если в выражении
(28) фиксируются коэффициенты фрактальности и параметр p, а
варьируется (непрерывно) показатель D, получаем
центростремительные и центробежные лучи с началом в точках
траекторий реальных лучей и распространяющихся до границ колец
от –D до +D.
Рассмотрение уравнений как функции двух непрерывных и одной
дискретной переменной для оптических диспергирующих сред с
1.
33
оптической нелинейностью позволяет подойти к солитонным решениям
уравнений по аналогии с формированием уединенной волны в системе
связанных механических маятников.
Все выведенные выражения, дифференцируемые и интегрируемые (с
учетом правил дифференцирования обобщенных функций) позволяют
выполнить глубокий анализ процессов взаимодействия света с
рассеивающей средой и поверхностными формами счетоводных
элементов в режиме многократных отражений на лучевом приближении.
Заключение
В результате математического моделирования уравнений типа (15 и
28) для сферы и сферической оболочки в программах ПВМ удалось
получить аппарат, описывающий все реальные и кажущиеся траектории
в сечениях сфер и цилиндров.
Результаты исследований могут быть применены для описания и
расчетов траекторий распространения лучей в световодных и
резонаторных элементах оптики, использующих систему лучей
многократного отражения.
Подводя итоги настоящего исследования можно констатировать, что:
 выведенное выражение (15 и 28) описывает фрактальные свойства
траекторий реальных и комплексных отображений в круге;
 траектории многократных отражений действительных лучей в
реальной двумерной плоскости (D=0), меридионального сечения
оптического шара или цилиндра определяются коэффициентом
фрактальности kR, являющимся мерой делимости круга в целых
(моды) или дробных (субмоды) отношениях. При этом в выражениях
(15 и 28) каждой реальной траектории лучей ставится в соответствие
бесконечное число их комплексных отображений D-порядка;
 в каждой комплексной C-плоскости D-порядка траектории
комплексных лучей обладают свойством самоподобия, относительно
траекторий реальных лучей. Свойство самоподобия в разных
масштабах является основным свойством фрактальных структур
(фракталов);
 выведенные выражения (15 и 28) позволили построить
предварительную
геометрическую
модель
формирования
сферического волнового поля оптической сферы и выявить его
спиральные и концентрические составляющие методом лучевых
приближений.
Литература
1. Melnikov G.S. Gnosiology of fractality — fractal optics // Proc. SPIE,
1997, Vol. 3010, р.58–68.
34
2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., 1990, 672 с.
3. Мельников Г.С. Поверхности текущих фокусов и семейств каустик
лучей многократного отражения от рефлекторов цилиндрического и
сферического типов. // Оптический журнал, 1999, т. 66, N1, с.73–79.
4. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А. // Изв.
АН, Серия физическая, М., 1995, т.59, N12, с.143...150. Gennady S.,
Melnikov, Sergey A., Larionov, Pyotr A., Mikheev, Eugeny A. Tsvetkov
«Discrete scanning systems for digital optical processing and transfer of
images by systolic methods», journal B.R.A.S PHYSICS, Vol.59, No 12,
1995, pp. 2097–2103. Allerton Press, Inc./New York.
5. Мельников Г.С., К основам фрактальной оптики. А: Комплексное
геометрическое поле, описывающее траектории действительных и
мнимых лучей в оптической сфере. «Оптический журнал», Рег. №
13131 от 10.03.99. Мельников Г.С. К основам фрактальной оптики.
Б: Комплексное геометрическое поле двухслойной сферы.
«Оптический журнал», рег. № 13189 от 11.05.99.
6. Канторович И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. Изво «НАУКА», ГРФМЛ, М., 1973.
7. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. Реальное применение мнимых
чисел. Из-во «РАДЯНСЬКА ШКОЛА», Киев, 1988.
8. Мельников Г.С. и др. Цифровая обработка сигналов на
систолических процессорах. // Под ред. Дуброва Я.А., Львов, 1991,
с.71. Препринт НТЦ по высокопроизводительным вычислительным
системам «Интеграл, № 9–91».
9. Botgehold H., Herzberger M., Compositio Math. 1, 448 (1935)
10. Smith T., Proc. Phys. Soc. 60, 293 (1948)
11. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Из-во «Наука», ГРФ-МЛ, М.
(1973)
12. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А. «Способ
создания временных задержек светового потока». Патент РФ №
2109257 G01 J 9/00, G02 B 27/14 по Заявке № 95114222/25 от
07.08.95. Официальный Бюллетень Российского Агентства по
Патентам и Товарным Знакам «Изобретения» N 11 (II ч), 2108694–
2109417, с. 298–299, 20.04.98. Патент № 2109257 зарегистрирован в
Государственном реестре изобретений 20 апреля 1998 года.
13. Мельников Г.С., Попов А.С. «Каустические поверхности при
отражении и преломлении сферой гомоцентрических пучков лучей»,
«Оптический журнал», т.65, № 4, с. 82...85 СПб, ГОИ, 1998.
14. Mandelbrot B. Fractals: forms, chance and dimension. San Francisco:
W.H. Freeman and Co., 1977.
35
15. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of Nature. San Francisco: W.H.
Freeman and Co., 1982.
16. Урицкий В.Ф., Музалевская Н.И. Фрактальные структуры и процессы
в биологии (обзор) ч.1 и ч.2 в сб. под. ред. Полонникова Р.И. и
Короткова К.Г. «Биомедицинская информатика и эниология».
СПИИА РАН, из-во «Ольга», С.-Петербург, 1995, с. 84...129.
17. Мельников Г.С., Космачев А.Ф., Шишкин М.Ю. Методика лучевого
описания растровых явлений в цилиндрической линзе, работающей в
области полного внутреннего отражения, Л., ГОИ, 1986, Тезисы докл.
IV Всесоюзной конференции «Теоретическая и прикладная оптика».
18. Ган М.А., Мельников Г.С., Попов А.С. Способ создания
двухзеркальных анаберрационных и апланатических систем с
главным зеркалом в виде сегмента сферы и реализуемых устройств:
концентратор гомоцентричных потоков частиц, телескоп, объектив,
микроскоп, осветитель. ФИПС РФ, Положительное решение о выдаче
патента по заявке № 98114691/28, приоритет от 21.07.98.
Официальный бюллетень Российского агентства по патентам и
товарным знакам № 11, 1999.
19. Mikhail A. Gan, S.A. Larionov, Gennady S. Melnikov. «Elements of fractal optics for synchrogenerators and digital illumination devices», SPIE
Proceedings Vol.3076, pp.207-219; Internet:
http://www.spie.org/web/abstracts/ 3000/3076.html, p. 15. 1998.
20. Мельников Г.С., Ган М.А., Ларионов С.А., Попов С.Ю., Фриберг А.
Исследование и сравнительный анализ уравнений лучевого
распространения света методами комплекснозначных функций
фрактальной оптики и уравнений теории чисел. Доклад на
Международной конференции по Сингулярной оптике (оптическим
вихрям), 2-7 Октября 2000 г., Алушта
21. Филипов А.Т. Многоликий солитон. М. «Наука», ГРФМЛ, 1990.
36
AIRES 
New Medical Technologies Foundation. BIP International Association Research Center.
www.aires.spb.ru
Г.С. Мельников, ВНЦ «ГОИ им. С.И. Вавилова
Аналитическое программирование информационнообменных процессов активных биологических форм
К основаниям фрактальной оптики.
А: комплексное геометрическое поле оптической сферы
В статье с общих позиций некруговых тригонометрических функций
(циклических функций) рассматриваются полевые свойства световодов
сферической и цилиндрической форм. Обсуждаются свойства названных
функций в их сравнении с круговыми тригонометрическими функциями.
Приводятся результаты теоретических исследований, исследований по
моделированию полученных уравнений геометрического поля в
программах ПВМ и экспериментальному моделированию на реальных
оптических элементах.
Введение
Статья является первой статьей из подготовленного цикла по
теоретическому введению в основания фрактальной оптики.
Подготовленный цикл инициирован вопросами и замечаниями
рецензента на обзор автора по фрактальной оптике, поданный в ОЖ в
1998 году (Г.С. Мельников. Фрактальная оптика. Перспективы
прикладного применения. Приор. № 12911 от 11.08.98). Основные
замечания рецензента сводятся к форме представления материала —
большой объем текста и рисунков, а также пожелания необходимости
привести
убедительные
доказательства
неудовлетворительности
традиционных методов расчета хода лучей известным аппаратом
геометрической оптики и более четкого определения термина
фрактальная оптика. Поэтому подготовленный ряд статей должен
снять все поставленные вопросы, а в завершении будет представлен
существенно сокращенный обзор.
Определение фрактальной оптики, данное ранее в работах [1...3],
как оптики многократных отражений, к настоящему времени может
быть уточнено следующей формулировкой: фрактальная оптика — это
многомерная, в том числе и дробно-мерная, геометрическая оптика.
Вопросам обоснования многомерности, в том числе и
дробномерности, процессов распространения световых частиц в
37
световодных элементах оптики (круговых и сегментированных)
посвящены работы [1 и 4]. Основные положения сводятся к тому, что
для описания траекторий распространения лучей при многократном
отражении от криволинейных поверхностей раздела элементов
необходимо вводить дополнительные пространственные координаты,
совпадающие с их поверхностями. В результате, при описании
траекторий всех лучей как преломляемых, так и отражаемых
поверхностями (например, в меридиональном сечении сферы), этот
процесс будет описываться не двумерной топологией, а топологией с
пространственной размерностью, большей или равной трем.
Для замкнутых сферических элементов размерность топологического
пространства является целочисленной.
Здесь в качестве добавленных пространственных координат будут
выступать окружности как действительные, так и мнимые.
В силу того, что окружности с центрами в начале декартовых
координат плоскости ортогональны к этим координатам и, по условию,
их центры совмещены, все требования построения многомерной
координатной системы соблюдаются [5]. Новая координатная система
является прообразом реальной Z плоскости, используемой в теории
аналитических функций. Метрикой новых добавленных координат будут
выступать
коэффициенты
фрактальности
[6].
Коэффициент
фрактальности k может быть выражен рациональным или
трансцендентным числом. В зависимости от этого можно выявить
модовый характер распространения лучей. [2, 6]. Так, например, при kрациональных
(0)
k
n
m
лучи при их распространении будут образовывать замкнутые
циклические
траектории
в
виде
фрактальных,
звездчатых
многоугольников, для которых n — число вершин звездчатого
многоугольника, m — число обращений луча вокруг центра кривизны до
момента замыкания многоугольника. Другими словами, фрактальные,
звездчатые многоугольники образуют недвумерные плоскости [5].
При m=1, траектории являются модовыми геометрическими [2, 6, 7],
так как они будут представлять собой правильные вписанные
многоугольники.
При m — целых, но  1, образуются субмодовые траектории.
При k, выражаемых трансцендентными числами, траектории
распространения не замкнутые и всюду плотно заполняют
меридиональное сечение сферы до их полного затухания. Более
38
подробно о модовой и зонной структуре в элементах фрактальной
оптики мы изложили в статьях [7 и 11].
Для сегментированных элементов фрактальной оптики общая
параметрическая размерность может быть дробно-мерной, что создает в
структурах светораспространения световые фракталы, визуально
проявляющиеся в виде упорядоченных ката- и диакаустик по зонам
одно- и многократного отражения гомоцентрических потоков лучей,
которые формируются в заданных локальных точках пространства
предметов. Обозначенный выше подход позволил по-новому трактовать
световые пространства распространения лучей от сферических
отражателей [7...11]. С использованием точных параметрических
уравнений кривых сечения каустик с помощью кинематической
аналогии, предложенной А.С. Поповым, получены обобщенные
параметрические уравнения для построения анаберрационных
корректоров для любых отражательных оптических систем из
следующих классов: концентратор световой энергии, объектив,
телескоп, микроскоп, осветитель. Эти системы построены всего на двух
отражающих элементах и используют как лучи с однократным, так и с
многократным отражением от главного сферического зеркала.
Цель настоящей статьи:
*
теоретически обосновать модовую структуру траекторий
распространения лучей,
*
ввести и обосновать понятия комплексного геометрического
поля сферических и цилиндрических световодов,
*
обсудить и показать общие закономерности и различия в
полевом описании волновой оптики, связанной с волновой природой
света, и геометрической полевой структурой, связанной с
распространением частиц света и взаимодействием с поверхностями
оптических световодов, то есть с их внешней, а также и внутренней
геометрической структурой.
1. Комплексное геометрическое поле реальных сфер.
Излагаемый в разделе теоретический аппарат может быть применен
для произвольных реальных элементов, поверхность которых имеет
сферическую или цилиндрическую форму, а показатели преломления
среды и материала выбраны произвольно, если процессы
распространения воздействия от источника излучения могут быть
описаны лучевым приближением.
1.1 Меридиональное сечение оптической сферы в
гомоцентрическом потоке с источником в бесконечности.
39
Для вывода общих макроволновых уравнений, связанных с формой
световодов, имеющих в меридиональном сечении след поверхности
раздела в виде окружности, обратимся к рис.1.
Рис.1.
Как видно из рис.1, парциальный луч e из источника,
расположенного в бесконечно удаленной точке, падает на окружность
под углом 1 к нормали в точке A0  B0. В этой точке луч частично
отражается под углом –1, а его большая часть преломляется под углом
2 и встречает внутри круга противоположную точку B1, также под
углом 2 . При втором преломлении, часть светового потока выйдет из
окружности под углом 1, а часть отразится под углом 2. Другими
словами,
окружность,
выступающая
в
роли
добавленной
пространственной
координаты,
обладает
двумя
свойствами
конформности второго рода, а именно:
*
равенством между собой углов падения, углов первичного
отражения, углов вторичного и последующих преломлений, а также
равенством между собой углов первого преломления и углов
последующих многократных отражений,
*
не сохранением направления падающего луча.
40
В геометрической оптике основным фундаментальным законом
является закон Снелля
(1)
n1 sin1 = n2 sin2 .
Для фрактальной оптики этот закон принимает вид:
(2)
n1  cos  1  n1  cos( 1 )  n2  cos  2
где:
n1, n2
— показатели преломления среды и материала
сферического элемента,
1 = /2–1 — угол падения (внешнего отражения),
2 = /2–2 — угол преломления (внутреннего отражения),
Через коэффициенты фрактальности эти углы могут быть выражены:
(3)
1 = /m
(4)
2 = /r
m и r — мнимый (кажущийся) и реальный коэффициенты
фрактальности, соответственно.
Для выбранной ориентации падающих лучей относительно
полупрозрачной реальной сферы (вдоль оси Y из четвертого квадранта)
координаты точек падения A0(Xa,Ya) через коэффициенты фрактальности
можно выразить уравнениями:
(5)
Xa=Rcos(–/m)=Rcos /m Ya= Rsin(–/m)=–Rsin /m
И, соответственно, коэффициенты фрактальности для различных
лучей гомоцентрического потока, падающего на сферу из точки в
бесконечности, можно выразить через координаты точек падения лучей:
(6)
m= /arc cos(Xa/R) r= /arc cos((Xa/R)( n1/ n2))
В статье [2] приведены дискретные параметрические уравнения,
которые позволяют определять координаты всех точек отражения
реальных лучей, введенных в сферу (цилиндр) с заданным
коэффициентом фрактальности.
Зададимся целью построить строгую систему параметрических
уравнений для вычисления текущих координат реальных и
сопутствующих им кажущихся (мнимых) траекторий лучей. Другими
словами, поставим перед собой задачу вывода уравнений комплексного
геометрического поля реальных полупрозрачных сфер. При этом будем
учитывать, что при многократном отражении реальных лучей в
рассеивающей сфере, каждый отраженный луч (кроме лучей введенных
41
в режиме полного внутреннего отражения [2]) можно наблюдать за счет
обратного рассеяния по кажущимся направлениям. То, что лучи в сфере
будут образовывать макроволновую структуру, ясно из рассуждений об
их модовой и субмодовой структуре. По этой причине, по аналогии с
определением электромагнитного поля как одной из форм
существования материи, дадим определение геометрическому полю
оптических элементов.
Геометрическое поле оптических элементов — это наблюдаемый
факт существования материи, обусловленный взаимодействием
световых частиц с поверхностной и внутренней формами их оболочек.
Для того, чтобы получить параметрические уравнения составляющих
геометрического поля проведем предварительный анализ полученных
ранее результатов. Ясно, что периодический характер распространения
реальных лучей вытекает из дискретных уравнений текущих координат
вершин ломаных траекторий [2, 6]. Для построения дискретного ряда
вершин «отражения» мнимых лучей, в имеющиеся формулы нельзя
подставлять хордовый период 2/m, т.к. в этом случае траектории
мнимых лучей будут отставать или опережать траектории реальных
лучей, в зависимости от показателя преломления материала оптических
сфер. Следовательно, их необходимо синхронизировать. Для чего
воспользуемся приемом, изображенным на рис. 2.
42
Рис. 2.
Развернем реальный луч до положения коллинеарности относительно
мнимого луча и продолжим мнимый луч в обе стороны. Далее, через
точки пересечения прямых, проектирующих из центра сферы концы
развернутого реального луча, и прямых, продолжающих мнимый луч,
проведем окружность с центром в точке О основной сферы. В
результате, получим проекцию поверхности сферы мнимых отражений в
меридиональном сечении с центром в точке О. Ее радиус легко может
быть определен по рис. 2.
cos(
(7)
Rm  R 
cos(

Km

Kr
)
)
Полученное выражение (7) аналогично выражению (8) для мнимой
сферы, которую M. Herzberger использовал в 1935 и 1946 годах для
наглядного пояснения геометрического построения реального луча
43
первого преломления оптической сферой и отыскания апланатических
точек [12]:
(8)
Rm  R 
n2
n1
Rinv  R 
n1
n2
здесь Rm — радиус мнимой сферы, Rinv — радиус инверсной или
виртуальной сферы, т.е. зеркального отражения мнимой сферы
относительно реальной (он же радиус мнимой сферы, если n1  n2).
Однако, как это нетрудно заметить, выражения для Rm в (7) и (8)
отличаются тем, что для луча, совпадающего с оптической осью, т.е., по
выражению (7), при /m=/2, мнимая сфера становится равной R, что и
обусловливает отсутствие явления преломления главного луча, в то
время как выражения (8) этот факт не учитывают. В результате этих
рассуждений мы построили в недвумерной плоскости систему
совмещения двух Z плоскостей, реальную трехкоординатную
«плоскость» (X,Y,R) и мнимую трехкоординатную «плоскость» (X,Y,iRm).
Далее зададимся целью исследовать, какие мнимые лучи
«отражаются» (т.е. пересекаются на мнимой сфере под углами /2–
2/r). Вполне очевидно, что в процесс «отражения» от мнимой оси
вступают группы траекторий продолжения падающего на сферу луча,
обратного продолжения отраженного луча от точки падения и обратного
продолжения преломленного в точке B1 реального луча. То есть, при
одном преломленном реальном луче, имеем три синхронно и синфазно
сопутствующих ему мнимых луча. Другими словами, комплексное
геометрическое поле реальной сферы в трехмерном пространстве
является кватернионным полем вида [13]:
(9)
z = a + ib + jc +kd
Где a,b,c,d — действительные числа, а i,j,k — мнимые числа, равные
–1. При этом мнимые числа i,j,k связаны между собой известной
таблицей умножения [13].
Для построения такого поля необходимо выбрать на мнимой
трехмерной сфере, соответствующим образом ориентированные,
ортогональные друг другу координатные окружности, связанные с i,j и k.
Учитывая недостаточность объема одной публикации, ограничимся в
этой статье представлением комплексного геометрического поля в
меридиональном сечении сферы, то есть в недвумерной плоскости
отображения двух Z «плоскостей». Очевидно, что на недвумерной
плоскости кватернионы [13] распадутся на тройку комплексных
параметрических формул. Эти формулы описывают текущие значения
44
координат реальных частиц света, распространяющихся относительно
окружности радиуса R и их мнимые отображения относительно
окружности iRm.
В
результате
предварительного
анализа
дискретных
тригонометрических уравнений параметрического вида [2] и
приведенных выше рассуждений, приходим к выводу, что названная
тройка комплексных параметрических уравнений геометрического поля
будет иметь вид уравнений амплитудно-угловой модуляции типа
(10)


Z x  R  mr ( p)  cos( r  p   0 )  i  Rm  mm ( p)  cos( r  p   0 )


Z y  R  mr ( p)  sin( r  p   0 )  i  Rm  mm ( p)  sin( r  p   0 )
где:

 r =2/r — хордовая или угловая характеристика реального
преломленного луча (угол раствора луча в свободном «пробеге» от
одного отражения от сферы до другого отражения),
mr(p) и mm(p) — параметрические коэффициенты амплитудноугловой модуляции (уравнения отрезков прямых в полярной системе
координат),
0 и 0 — начальные фазы реальных и мнимых лучей,
p — текущий параметр, принимающий все значения числовой оси.
1.2. Вывод уравнений комплексного геометрического поля
реальной полупрозрачной сферы для произвольных
гомоцентрических потоков лучей.
Прежде всего, выведем уравнения для параметрических
коэффициентов амплитудно-угловой модуляции. Рассмотрим рис.2. Для
треугольника A0,O,A1 по теореме синусов можно определить текущие
значения изменяющегося радиус вектора:
cos(
(11)
r  R 
cos(

kr

kr
)
 (1  2 p))
45
 R  mr
Выражение (11) описывает в Z «плоскостях» изменения текущих
значений координат парциального луча, то есть отрезка прямой (хорды,

с фазовым углом  = 2/k). Изменение r при каждом достижении
параметром p целочисленного значения будет повторяться, а
направление луча на каждом отражении изменяется на угол /2–2/k. На
основании чего можно записать уравнение параметрического
коэффициента амплитудно-угловой модуляции m(p) в общем виде:

m( p) 
(12)
cos( )
k

cos(  (1  2 p  2  ceil ( p)))
k
Здесь ceil(p) — наибольшее целое от p,
k — коэффициент фрактальности парциальных лучей
На основании рис. 3, на котором представлены лучи: исходящий луч
(u) из точки на оси прозрачной сферы, отраженный луч (o) в точке
падения на сферу, реальный луч (r) после первого преломления, луч
после второго преломления (t) и пунктирными линиями их мнимые
продолжения в сфере (i), записываем систему параметрических
уравнений комплексного геометрического поля (13...17). Эти уравнения
получены из дискретных параметрических уравнений, опубликованных
ранее в [2] и общих выражений (10...12), полученных выше:
*
уравнения падающих лучей
(13)


 
Z x (u )  r  mu ( p )  cos(u  p  )  sig (    0 )
2
2 2


 
Z y (u )  r  mu ( p )  sin( u  p  )  sig (    0 )
2
2 2
где:
  arctg(

2 
2 
ku 
u 
  2 
ku
Xa
X
r  R  arccos( a )
R
(см. рис. 3.) или через k=n/m
)
46
n2 R
n  2m
;
  sin(
)
n1 r
2n

cos( )
ku
mu ( p) 

cos(  (1  2 p  2  ceil ( p)))
ku
  arcsin(
sig(
интервала


2

2
  0 )  1 при  

2


2
  0 и 0, вне этого
*
уравнения действительного преломленного и мнимого падающего луча
(14)


Z x (i )  R  m r ( p )  cos( r  p   0 )  i  Rm  m r ( p )  cos( r  p   0 )


Z y (i )  R  m r ( p )  sin(  r  p   0 )  i  Rm  m r ( p )  sin(  r  p   0 )

2 
;
r 
kr
где:
cos(
mr ( p) 

kr 

kr


r n
 arcsin(  1  sin( ))
2
R n2
)
;
0  

2
 sign( X a )  
;
 (1  2 p  2  ceil ( p)))
kr
sign( X a )  1 , при Xa — отрицательных и +1, при Xa —
cos(
положительных


2


km
  ; km 


2
47
 arcsin(
r
 sin( ))
R
cos(
Rm  R 
cos(

km

kr
)
)
*
уравнения действительного преломленного и мнимого отраженного луча
(15)


Z x (o)  R  mr ( p )  cos( r  p   0 )  i  Rm  mr ( p )  cos( r  (1  p )   )


Z y (o)  R  mr ( p )  sin(  r  p   0 )  i  Rm  mr ( p )  sin(  r  (1  p )   )
*
уравнения действительного
преломленного луча
(16)
преломленного
и
мнимого
дважды


Z x (t )  R  m r ( p )  cos( r  p   0 )  i  Rm  m r ( p )  cos( r  (1  p )   )


Z y (t )  R  m r ( p )  sin(  r  p   0 )  i  Rm  m r ( p )  sin(  r  (1  p )   )
Как видно из выражений (15) и (16), траектории мнимых отраженных
и дважды преломленных лучей при kr рациональных совпадают но
имеют разные направления перемещения текущего радиуса-вектора m.
Однако, при kr выраженных трансцендентными числами, эти траектории
будут расходиться с ростом числа отражений (целых значений
параметра p).
В уравнениях (13...16), за счет параметра p, отражения как реальных,
так и мнимых лучей осуществляются синхронно и синфазно, но длины
соответствующих лучей разные. Для того чтобы условие синфазности
сохранялось, предполагаем, что у лучей равны оптические длины путей.
Это предположение приводит к выводу, что мнимые лучи
распространяются в среде с показателем преломления n1, а реальные — в
среде с показателем преломления n2. В результате подстановки этих
значений в уравнения длин замкнутых рациональных траекторий лучей
и деления их на скорость света в вакууме, получаем выражение
параметра p через текущее время t:
48
(17)
t
Ll

c
2  Rl  p  nl  sin

kl
c
где:
c — скорость света в вакууме,
Ll,Rl,nl,kl — соответствующие конкретным (падающему, реальному
преломленному, дважды преломленному или мнимым) лучам
параметры, названные выше.
Так как общая длина оптического пути по траектории луча равна
длине луча в свободном «пробеге» взятой p раз, то длина замкнутой
траектории рационального луча определяется как
LT  n  Ll ,
где n — числитель в выражении (0), то есть число отражений луча до
замыкания рациональной траектории. Через эту длину можно выразить
период замкнутой траектории как:
(18)
T
LT

c
2  Rl  n  nl  sin
m c
m
n
В результате проведенных рассуждений в выражениях (13...16)
фазовый множитель

2 
r 
kr
циклические частоты:
(19)
(20)
(21)
r 
m 
заменяется на соответствующие
m  c
n  n2  R  sin
m  c
m
n
n  n1  Rm  sin
u 
 c
n1  r  sin
49
m
n

ku
(22)
f 
 c
n1  R f  sin

kf
Тем самым переходим к описанию текущих координат любого
выбранного фотона в гомоцентрическом потоке от момента его
испускания из произвольной точки u до момента пересечения луча,
после двойного лучепреломления сферой, оптической оси в фокусе f,
расположенном на расстоянии
cos
Rf  R 
sin(2  (

kr

km


km
)  )

С помощью выражений (13...16), при замене фазы  r  p на  t,
одновременно могут быть описаны все мгновенные координаты фотонов
вступивших в многократное отражение, а также все их мнимые
отображения, как функции текущего времени t.
Пример построения реальных траекторий лучей в сфере (k=3) и
траекторий, сопутствующих мнимых лучей приведены на рис. 3.
Приведенные траектории являются результатом математического
моделирования уравнений (13…15) в программе MathCad.
50
Рис. 3. Представление модовой траектории луча (k=3) в меридиональном сечении
полупрозрачной сфере в параллельном потоке
Внутренняя траектория — траектория действительных лучей,
отражаемых
реальной
сферой,
определяется
коэффициентом
фрактальности kr=3. Внешние траектории — траектории кажущихся,
мнимых лучей, отражаемых внешней мнимой сферой. Три траектории —
две из них сливаются. Это траектории мнимых лучей, связанных с
лучами при первом отражении от реальной сферы и мнимая траектория,
связанная с выходящим лучом после второго преломления. Третья
траектория мнимых лучей связана с падающим лучом. В нашем случае,
исходный луч падает на реальную сферу из точки в бесконечности,
параллельно оси Y, снизу. Внутренняя и внешняя мнимые сферы
являются поверхностями, на которых фокусируются мнимые
апланатические изображения пространства предметов.
Выводы
 В статье введены понятия, описывающие взаимодействие частиц
света с поверхностной оболочкой полупрозрачной сферы с точки
зрения теории фрактальной оптики.
51
 Введены и обоснованы циклические тригонометрические функции,
описывающие комплексное геометрическое поле реальных сфер.
 Действительная часть комплексных параметрических уравнений
описывает мгновенные положения фотонов дважды преломляемых
сферой или положения фотонов вступивших в многократное
отражение от внутренней поверхности.
 Мнимые
составляющие
уравнений
описывают
кажущееся
взаимодействие фотонов с поверхностью.
Заключение
В первой статье подготовленного цикла не рассмотрены
энергетические характеристики, связанные с взаимодействием света с
веществом, а для показателя преломления материала сферы в
выведенных уравнениях подставляется только его вещественная часть,
то есть дается только трактовка геометрического хода действительных и
мнимых лучей в сфере, выступающей в роли световода.
В заключении выражаю свою признательность Э.И. Мельниковой за
стилистическую коррекцию статьи и А.С. Попову за полезные
обсуждения промежуточных результатов.
52
Литература
1. Melnikov G.S. Gnosiology of fractality — fractal optics // Proc. SPIE —
1997. Vol.3010, р.58–68.
2. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А. // Изв.
АН. Сер. Физ. М., 1995. — т. 59, N 12. с.143–150.
3. Мельников Г.С. Поверхности текущих фокусов и семейств каустик
лучей многократного отражения от рефлекторов цилиндрического и
сферического типов // Оптический журнал. 1999, т. 66, N1 с.73–79.
4. Gan M.A., Larionov S.A., Melnikov G.S. Elements of fractal optics for
synchrogenerators and digital illumination devices // Proc. SPIE — 1997.
Vol. 3076. — p. 207–219.
5. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. — М., 1990, 672 с.
6. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А. Способ
создания временных задержек светового потока // Патент РФ N
2109257. 1995, Б.И., 1998, N 11, с. 298–299.
7. Мельников Г.С., Попов А.С. Каустические поверхности при
отражении гомоцентрических потоков лучей сферой // Оптический
журнал. 1998, т. 65, N 4, с. 84–87.
8. Мельников Г.С., Попов А.С. Методы построения анаберрационных
и апланатических приемо-передающих систем
// Оптический
журнал. 1999, т. 66, N 8.
9. Melnikov G. S., Popov A.S. Methods of exact calculations of the form
caustic of rays multiple reflections and anaberration correctors for bicomponent reflection of systems with a spherical main mirror., conference program «1998 OSA Anual Meeting/ILS-XIV», — 1998, October
4–9, Baltimore, Maryland,(Thj 5), p.124.
10. Ган М. А., Мельников Г.С., Попов А.С.. Способ создания
двухзеркальных анаберрационных и апланатических систем с
главным зеркалом в виде сегмента сферы и реализуемых устройств:
концентратор гомоцентричных потоков частиц, телескоп, объектив,
микроскоп, осветитель, заявка ГП ГНЦ ГОИ на Патент РФ, исх. N
БОИП/41 от 08.07.98.
11. Ган М.А., Мельников Г.С., Попов А.С. Методы построения
зеркальных систем с главным зеркалом в виде сегмента сферы и
апланатическими
корректорами,
задаваемыми
точными
параметрическими
обобщенными
уравнениями.
Тезисы
Международной конференции Прикладная Оптика 98, СПб, ГОИ,
1998.
12. Борн M, Вольф А. Основы оптики. — М., 1973, 719 с.
53
13. Кантор И.А., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.,
1973, 143 с.
54
Г.С. Мельников, ВНЦ «ГОИ им. С.И. Вавилова»
Аналитическое программирование информационнообменных процессов активных биологических форм
К основам фрактальной оптики.
Б: комплексное геометрическое поле двухслойной сферы
Статья является продолжением цикла введения в теоретические
основания фрактальной оптики. В первой статье [1] выведены
параметрические уравнения комплексного геометрического поля
оптической сферы. Предлагаемая работа расширяет математический
аппарат геометрического поля, который во второй статье цикла
применяется к бифрактальным оптическим элементам (сферической
оболочке, трубчатому цилиндру в меридиональном сечении, тору в
экваториальном сечении, световолокну с защитной оболочкой, сфере с
защитной оболочкой и т.д). Параметрические уравнения для
бифрактальных оптических элементов описывают текущие траектории
реальных и мнимых (кажущихся) лучей в двухслойных световодах.
Выведенные
уравнения
представляют
собой
комбинацию
кватернионных функций трех траекторий вещественных лучей и девяти
траекторий мнимых лучей, которые порождаются выбранным лучом из
гомоцентрического потока падающих на оптический элемент лучей.
Выведены
также
уравнения
суммарного
поля.
Уравнения
геометрического поля двухслойной сферы промоделированы в
программах ПВМ и прошли экспериментальную проверку при
моделировании хода лучей в реальных оптических элементах.
Введение
Для простоты изложения при построении уравнений геометрического
поля двухслойных оптических элементов будем рассматривать
траектории распространения преломленных и многократно отраженных
лучей от внешней и внутренних сфер оптических оболочек в их
меридиональных и экваториальных сечениях.
Теоретический аппарат фрактальной оптики позволяет рассматривать
меридиональные сечения бифрактальных оптических элементов как
недвумерные Z плоскости [3], каждая из которых содержит в себе две
декартовы координаты и добавленные к ним две вещественные и четыре
мнимые криволинейные координаты, связанные с внешней и внутренней
поверхностями раздела оболочек этих элементов.
55
Ранее в статье [2] описаны параметрические уравнения, позволяющие
определять декартовы координаты точек отражения лучей от названных
поверхностей раздела в зависимости от введенных коэффициентов
фрактальности, являющихся метрикой добавленных вещественных
криволинейных координат Z плоскости. Рассмотрим вывод уравнений
текущих координат реальных лучей, а также синфазных и синхронных с
ними кажущихся лучей, основываясь на принципах, изложенных в [1].
При этом, как и в случае сферических элементов — окружностей с
центрами в начале декартовых координат рассматриваемых Z плоскостей,
новые добавленные координаты также ортогональны к декартовым
координатам и, по условию, их центры совмещены. Таким образом, все
требования построения многомерной координатной системы в новых Z
плоскостях соблюдаются [3]. В качестве метрики новых добавленных
координат выступают два коэффициента фрактальности k и q [2], которые
могут быть выражены либо рациональными, либо трансцендентными
числами.
При рациональных коэффициентах фрактальности k и q, имеющих вид
k
(0)
n
m ,
q 


где n и  — число вершин звездчатых многоугольников, m и  — число
обращений мнимых лучей вокруг центра кривизны до момента замыкания
многоугольников, можно выявить модовые и субмодовые траектории
распространения лучей в центральной сфере и оболочке [1,2].
Утверждение обусловлено тем, что лучи при их распространении
будут образовывать замкнутые циклические траектории в виде
фрактальных (звездчатых) многоугольников в центральной сфере и
радиально-поперечные зубчато-звездчатые многоугольные траектории в
оболочке. Другими словами, слоистую недвумерную структуру в Z
плоскостях образуют фрактальные (звездчатые) многоугольники [3].
При m=1 и =1, траектории являются центральными модовыми
геометрическими траекториями [1,2], так как действительные (для
центральной сферы) или мнимые (для оболочек) траектории
представляют
собой
правильные
вписанные
в
окружности
многоугольники. Однако для внешнего наблюдателя картина
распространения
лучей
будет
обусловлена
перемещением
результирующего луча, представляющего собой сумму трех лучей:
одного луча, прошедшего центральную сферу, и двух других лучей
примыкающих к нему в оболочках.
При m и  целых, больших 1, образуются субмодовые траектории.
56
Для k и q, выражаемых трансцендентными числами, траектории
распространения лучей, вступивших в многократное отражение, не
замкнутые и всюду плотно заполняют кольцевые зоны меридионального
сечения сферы до их полного затухания.
Цель настоящей статьи:
 теоретически
обосновать
модовую
тройственную
кватернионную структуру траекторий распространения лучей в
сечениях бифрактальных оптических элементов;
 на примерах результатов математического моделирования
геометрического поля двухслойных оптических элементов
показать преимущества теоретического аппарата фрактальной
оптики по сравнению с известным аппаратом традиционной
геометрической оптики для описания полной картины
взаимодействия лучей с разделительными поверхностями
оболочек.
1. Вывод обобщенных уравнений геометрического поля двухслойных
элементов сферического типа.
Двухслойные
диоптрические
элементы
характеризуются
коэффициентами преломления: n1 — среды, n2 — оболочки и n3 —
центральной сферы (сердцевины). Исходя из комбинаторных
представлений, все бифрактальные элементы можно классифицировать
по соотношениям коэффициентов преломления согласно таблице 1.
№
п.п
Монолитные
элементы с
оболочкой
1
n3 n2 n1
2
n3 n1 n2
Инверсные
элементы
с оболочкой
Примечание
Таблица 1
Сферы и цилиндры
с оболочкой
3
n3 n2 n1
4
n3 n1 n2
5
n1 n3 n2
6
Вырожденные
элементы
Сферы и цилиндры
в монолите
Пустотелая
оболочка
Сферы и цилиндры
с защитной
оболочкой
Оболочки,
экваториальные сечения
торов
n 1 n 3 n 2
7
n2 n3= n1
8
n2 n3= n1
9
n2= n3 n1
10
n2= n1 n3
57
Сферы
11
n2= n3 n1
12
n2= n1 n3
Инвертированные
сферы
Из таблицы видно, что как суммарные, так и составные элементы
геометрического поля каждого класса будут различными. Для
классификационных элементов 9...11, уравнения геометрического поля
выведены в работе [1]. Для классификационных элементов 1...8 вывод
уравнений
приводится ниже. Общее обсуждение уравнений
геометрических полей будет представлено в отдельной статье.
1.1. Комплексное геометрическое поле двухслойных оптических
элементов в параллельном гомоцентрическом потоке лучей.
Если параллельный гомоцентрический поток лучей заполняет всю
апертуру двухслойной сферы или все сечение трубчатого цилиндра,
которое ортогонально к оси Z, или экваториальное сечение тора, то в
образуемых в этих случаях Z плоскостях можно выделить различные
группы лучей. Для классификации этих групп дадим определение
светового луча.
Световой луч представляет собой цуг фотонов, прямолинейно
распространяющихся в однородной среде до границы раздела сред, где
происходит его разделение на отраженный и преломленный, приобретая
два новых направления распространения. При этом отраженный луч
распространяется в исходной среде, находящейся за границей раздела.
Можно показать, что лучи с координатами точек первого падения Х
[0... n3/n1] на
внешнюю окружность оболочки, имеющей
коэффициент преломления n2 и радиус R, претерпевают частичное
отражение и преломление, достигают границу оболочки радиуса , на
которой процесс дробления луча повторяется, и часть луча входит в
центральную область, имеющую коэффициент преломления n3 и
ограниченную этим радиусом. Далее луч достигает внутренней границы
радиуса , и процесс повторяется в обратном порядке до выхода части
луча в среду с коэффициентом преломления n1.
Группы лучей с координатами в интервалах Х [ n3/n1... R]
претерпевают после первого преломления полное внутреннее отражение
на внешней границе радиуса , достигают внутренней поверхности
границы оболочки с радиусом R, где претерпевают отражение, близкое к
полному внутреннему, но, тем не менее, часть лучей выходит в среду с
коэффициентом преломления n1. Большая же их часть вступает в
поочередное многократное отражение от границ  и R, образуя
радиально-поперечные звездчатые траектории (замкнутые или
разомкнутые, в зависимости от углов отражения, обусловленных
58
коэффициентами фрактальности и соотношениями радиусов  и R). При
определенных соотношениях этих радиусов, в зонах с Х [ R], лучи после
первого преломления не касаются границы раздела радиуса , а вступают в
процесс отражения от внутренней границы оболочки радиуса R, близкий к
полному
внутреннему
отражению,
образуя
субмодовые
или
трансцендентные звездчатые траектории. Лучи, падающие на поверхность
элемента с координатами Х=R, претерпевают преломление под углом 2 
пво, а часть лучей в этой зоне за счет шероховатости поверхности реальной
оболочки проникает в оболочку под углами 2  пво.
Рис.1.
В соответствии с рис.1 для лучей центральной области с
координатами точек падения Х [0... n3/n1] в двухслойной сфере
можно записать систему равенств углов:
4 = 5;
3 = 6;
2 = 7;
1 = 8;
при этом проявляются следующие вариации признаков конформных
отображений:
При 4 = 5 = 0, происходит совпадение луча с оптической осью.
Здесь, также как и в статье [1], лучи падают на сферу из IV и III-го
квадрантов. Из чего следует, что все остальные углы 3 ,6 ,2 , 7 ,1 ,8
тоже равны 0.
59
2. При 4 = 5 = /2 (в случае, если n3 n2 ) лучи вступают в режим
ПВО в одной точке внешней поверхности сферы  и наблюдается
равенство углов падения и отражения в этой точке 3 = 6 и
соответственно равенство углов 2 = 7 и 1 = 8 .
3.Если углы 4 = 5 вообще не образуются, т.е. луч после первого
преломления, минуя сферу , попадает в точку B1, выполняются только
равенства 2 = 7 и 1= 8. В этой области с координатами Х [
n3/n1... R] двухслойная сфера только дважды преломляет и отражает
лучи.
4. Лучи, попадающие в область с координатами X  R, Y=0, как
при 2  пво, так и при 2 = пво, в двухслойных сферах с внутренним
радиусом оболочки   m = R n1/n2, претерпевают преломление по
варианту 3 и в случае m выступают условия варианта 2.
Из приведенного анализа следует, что двухслойная сфера, также как
и простая, обладает свойством конформности второго рода.
Для дальнейших выводов уравнений геометрических полей
двухслойной сферы докажем следующую теорему:
Теорема 1. Для лучей с координатами точки падения Х [0...
n3/n1], направленный отрезок прямой, соединяющий точку первого
преломления с точкой выхода из двухслойной сферы при четвертом
преломлении, параллелен лучу, преломленному внутренней границей
оболочки радиуса ,
и является результирующим вектором
преломленного луча двухслойной сферы.
Доказательство. Из рис. 1 следует, что четырехугольник B0,B1,B2,B3
является равнобочной трапецией, в силу равенства углов 4 = 5, 2 = 7
и 2` = 7 ` , то есть ее боковые стороны равны друг другу B0,B1=B2,B3 (из
равенства треугольников O,B0,B1 и O,B2,B3) и равны углы при ее
основании 2 ` – 2 =7 ` – 7. В силу чего, ее основания параллельны, а
при представлении сторон трапеции направленными векторами, вектор
B0,B3 равен сумме векторов B0,B1+ B1,B2+ B2,B3, что и требовалось
доказать.
Как видно из рис.1, названные выше углы можно выразить через
параметры r,R, ,  и коэффициенты преломления n1, n2, n3.
Табл.2
Углы
Уравнения
1 = 8
1 = 8
1  arcsin(
2 = 7
2 = 7
 2  arcsin(
r
 sin  ) ;
R
1  arccos(
r
 sin  )
R
n1 r
n r
  sin  ) ;  2  arccos( 1   sin  )
n2 R
n2 R
60
3 = 6
3 = 6
 3  arcsin(
n1 r
n r
  sin  ) ;  3  arccos( 1   sin  )
n2 
n2 
4 = 5
4 = 5
 4  arcsin(
n1 r
n r
  sin  ) ;  4  arccos( 1   sin  )
n3 
n3 
Уравнения таблицы 2 выведены в соответствие с законом Снеллиуса
(1)
n1 sin1 = n2 sin2
Для фрактальной оптики этот закон принимает вид:
(2)
n1  cos  1  n1  cos( 1 )  n2  cos  2
где:
n1, n2
— коэффициенты преломления среды и
материала сферической оболочки,
1 = /2 – 1
— угол падения ( внешнего отражения от
внешней сферы),
2 = /2 – 2
— угол преломления (внутреннего отражения
от внешней сферы),
Через коэффициенты фрактальности эти углы могут быть
выражены:
(3)
1 = /m
(4)
2 = /R
m и  R — мнимый (кажущийся) и реальный коэффициенты
фрактальности, соответственно внешней и внутренней поверхностей
внешней оболочки.
Аналогично для внутренней оболочки:
(5)
(6)
n2 sin3= n3 sin4
и
n2  cos  3  n2  cos( 3 )  n3  cos  4
где: n2, n3
— коэффициенты преломления оболочки и материала
центральной сферы, соответственно
3= /2–3
— угол падения ( внешнего отражения от
внутренней границы раздела двухслойной сферы)
4 = /2–4 — угол преломления (внутреннего отражения от
внутренней границы раздела двухслойной сферы)
Через коэффициенты фрактальности эти углы могут быть выражены:
(7)
3 = /qm ,
61
(8)
4 = /q
qm и q — мнимый (кажущийся) и реальный коэффициенты
фрактальности, соответственно внешней и внутренней поверхностей
внутренней границы раздела оболочки двухслойной сферы.
В результате вышеприведенных рассуждений можно сделать вывод,
что геометрическое поле двухслойной сферы порождается тремя
реальными геометрическими полями:
*
полем, обусловленным перемещением луча B1,B2 в режиме его
многократного отражения от границы центральной сферы радиуса , и
имеющим фазовый множитель
(9)

2 
 
   2  4  2   4
q
*
полем, обусловленным радиально-поперечным перемещением луча B0,B1
в режиме его многократного отражения в оболочке между радиусами R и
 и имеющим фазовый множитель
(10)

2 


 R , 


 3 2  2  3
 R , k R q m
*
полем, обусловленным радиально-поперечным перемещением луча B2,B3
в режиме его многократного отражения в оболочке между радиусами 
и R и имеющим фазовый множитель
(11)

2 


 ,R 


 3 2  2  3
  ,R k R qm
В качестве результирующего поля будет выступать геометрическое
поле, обусловленное многократным отражением вектора B0,B3 при его
многократном отражении от внутренней границы внешней поверхности
двухслойной сферы радиуса R и имеющего фазовый множитель
(12)

2  2  2  2 
 



   2  (3  2  4 )  2  (  2   4  3 )

R
q
qm

62
Исходя из этих предпосылок, выведем уравнения этих полей для
гомоцентрических потоков лучей с произвольным расположением
источника на оси Y.
1.2. Комплексное геометрическое поле двухслойных оптических
элементов в гомоцентрическом потоке лучей c
произвольно
расположенным источником на оси Y.
По аналогии с приемом использованным в статье [1] получим
проекции поверхностей мнимых отражений и их инвертированные
отображения от внешней и внутренней границ раздела двухслойной
сферы в меридиональном сечении с центром в точке О. Их радиусы
будут определяться выражениями
cos(
Rm  R 
(13)
cos(
cos(
m  R 
(14)
cos(

Km

cos(
Rinv  R 
;
Kr

qm

)
)
cos(
)
cos(
 inv  R 
;
q
)
cos(
cos(
Rm
(15)

 R
cos(

kR
cos(
Rinv
(16)
здесь
Rm

 R

kR


km

q

cos(

q

km

)
kR

km

q

qm
)
)
)
)



qm

qm
)
)
)
— радиус мнимой сферы внешней границы оболочки,
63
Rinv — радиус инверсной или виртуальной сферы внешней границы
оболочки, т.е. зеркального отражения мнимой сферы относительно
реальной внешней границы оболочки R;
m — радиус мнимой сферы внутренней границы оболочки,
inv — радиус инверсной или виртуальной сферы внутренней
границы оболочки, т.е. зеркального отражения мнимой сферы
относительно реальной внутренней границы оболочки .
Rm — радиус суммарной мнимой двухслойной сферы
Rinv — радиус суммарной инверсной или виртуальной двухслойной
сферы, т.е. зеркального отражения суммарной мнимой двухслойной
сферы относительно реальной внешней границы оболочки R;
Полученные выражения (13...16) для мнимых и инвертированных
сфер внешней и внутренней оболочек двухслойной сферы позволяют
определить границы кажущихся отражений лучей для всех возможных
соотношений коэффициентов преломлений среды, оболочки и
центральной сферы, соответственно (смотри классификации в табл.1).
Далее, приходим к выводу, что названная тройственная система
уравнений геометрического поля (состоящая из трех троек комплексных
параметрических уравнений для описания текущих траекторий
распространения реальных многократно отражаемых в оболочке,
центральной сфере и результирующей сфере, а также уравнений для
текущих значений траекторий мнимых отражений от мнимых и
инверсных сфер) будет и в этом случае иметь вид уравнений балансной
амплитудно-угловой модуляции типа (17):
(17)


Z x  R  mr ( p)  cos( r  p   0 )  i  Rm  mm ( p)  cos( r  p   0 )


Z y  R  mr ( p)  sin( r  p   0 )  i  Rm  mm ( p)  sin( r  p   0 )

где:  r (находятся из выражений (9...12)) — фазовые множители,
хордовая или угловая характеристика реальных преломленных лучей
(угол раствора луча в свободном «пробеге» от одного отражения от
границ раздела двухслойной сферы до другого отражения),
m(p) — параметрические коэффициенты амплитудно-угловой
модуляции (уравнения отрезков прямых в полярной системе координат в
центральной сфере и в оболочке),
64
0 и 0 — начальные фазы реальных и мнимых лучей различные для
различных реальных и мнимых траекторий лучей,
p — текущий параметр, принимающий все значения числовой оси.
Для полного описания суммарного и составляющих полей в
выражение (17) подставляем значения фазовых множителей и начальных
фаз для реальных траекторий из сводной таблицы 3.
65
Табл. 3
Точка
преломле
нияотраж
ения
B0

 , XBi, Ybi, R  R f
Уравнения, 0 , 0,
B  
0

2
 [1   ];
 B  

2
 R  cos  B0 ;YB0  R  sin  B0
0
X B0

 R ,    3   2 ;...   R

 R ,  m  1   2   3   ;...
R  Rm,R ,  Rm 
B1
B  
1

2
sin  1
sin( 1   2   3 )
 [ 1     3   2 ]

 B o B
1
1
 
3 
 ;
2
2

 
 B1 p   B1   3    

2
2
X B1    cos B1 ;K YB1    sin  B 1


     2   4 ;...   

  m    2   4 ;...  m   m   
66
cos(b3 )
cos(b4 )
B2
B  
2
X B2

 [     1   2   3  2   4 ]
2
   cos B2 ;K YB2    sin  B 2

  , R   3   2 ;...   R

 ,Rm   1   2   3   ;
sin  1
R  R ,R m  Rm 
sin( 1   2   3 )
X B3  R  cos  B3 ;
B3
B  
3

2
YB3  R  sin  B3
 [   1    2  ( 3   2   4 )];

 f  2 
R  RF  R 

kf
 B   B   1   ;
;
3
3

 b1 )
2 
2
; kF 
;
sin( F )
  2  F
sin(

 F   R  2   1  

 B    [ 1   ]
B0
2
X B0  R  cos  B0 ;K YB0  R  sin  B0
0

 R    2  ( 3   2   4 );... R  R


  R   m R ; Rm

 Rm

,... Rm

 R
sin( 1 )
sin( 2   4   3 )
Здесь выражения R  R f обозначают, что радиально-поперечное
перемещение лучей в оболочке происходит с попеременным отражением
от поверхностей с радиусами R и Rf , соответственно. Обозначения
остальных параметров приведены в тексте статьи.
67
На основании выведенных в [1 и 2] выражений для параметрических
коэффициентов амплитудно-угловой модуляции приходим к их
описаниям для составляющих гиперкомплексных геометрических полей
двухслойной сферы, которые сведены в табл. 4.
Табл. 4
Точка
преломле
нияотраж
ения
B0
Уравнения m(p)
mR ,  ( p ) 
cos(  2 )
arccos(cos(  p))
cos(  2  ( R , ) 
)


mR,  m ( p) 
cos( 1 )

arccos(cos (  p ))
cos(  1  2   3  ( R ,  ) 
)

m , R m ( p) 
cos(  4 )

cos(  2   4   3  ( R , ) 

)

B1

cos(
)
2
m  ( p) 
B2
arccos(cos(  p))


cos(( 2  p  1  2  ceil ( p)) 
)
2
cos(  3 )
m , R ( p) 

arccos(cos(  p))
cos(  3  (  , R ) 
)
mR ,  m ( p) 
cos(  1 )

cos(  1  2   3  (  , R ) 
68

arccos(cos(  p))

)
m , R m ( p) 
cos(  4 )

cos(  2   4   3  (  , R ) 
B3
cos(
m f ( p) 

kf
arccos(cos(  p))

)
)

cos((2  p  1  2  ceil ( p)) 
B0
 R
2
)

m

R
cos(
( p) 
 R
2
)
cos((2  p  1  2  ceil ( p)) 

 R
2
)
В результате приходим к следующим системам уравнений,
описывающим все реальные и мнимые лучевые траектории в
двухслойных сферических, цилиндрических и тороидальных оптических
элементах в их меридиональных (сфера, цилиндр) и экваториальных
(тор) сечениях:
*
уравнения падающих лучей


 
Z x (u)  r  mu ( p)  cos(u  p  )  sig (    0 )
2
2 2
(18)


 
Z y (u)  r  mu ( p)  sin(u  p  )  sig (    0 )
2
2 2

2 
2 
ku 
где:  u 
  2 
ku
  arctg(
Xa
X
r  R  arccos( a )
R
) или через k=n/m
69
  arcsin(
mu ( p) 
cos(
sig(

ku

2
n2 R
n  2m
  sin(
) ;
n1 r
2n

cos( )
ku
 (1  2 p  2  ceil ( p)))


2
  0 )  1 при  

2


2
  0 и 0, вне этого
интервала;
*
уравнения действительного преломленного, многократно отраженных
радиально поперечных лучей в оболочке после контактов с первой
поверхностью в точке B1 и второй поверхностью в точке B2, а также
сопутствующих им мнимых лучей:
падающего и первого отраженного
(19)


Z x R , (i, o)  R  mR , ( p )  cos( R ,  p   B0 )  i  R  mR ,m ( p )  cos( R ,  p   B0 )


Z y R , (i, o)  R  mR , ( p )  sin(  R ,  p   B0 )  i  R  mR ,m ( p )  sin(  R ,  p   B0 )
второго преломленного
(20)



Z x  ,Rm ( p )  R  mR , ( p )  cos( R ,  p   B0 )  i  R  m ,Rm ( p )  cos( R ,  p   B0   R , )



Z y  ,R ( p )  R  mR , ( p )  sin(  R ,  p   B0 )  i  R  m ,Rm ( p )  sin(  R ,  p   B0   R , )
m
*
уравнения действительного преломленного
центральной сфере (падающего из оболочки)
(21)
и
мнимых
лучей
в


Z x  (i )    m ( p )  cos(   p   B1 )  i   m  m ( p )  cos(   p  B1 )


Z y  (i )    m ( p )  sin(    p   B1 )  i   m  m ( p )  sin(    p  B1 )
70
*
уравнения действительного преломленного и мнимого отраженного в
оболочку
(21)


Z x  (o)    m ( p )  cos(   p   B1 )  i   m  m ( p )  cos(   (  p )  B1 o )


Z y  (0)    m ( p )  sin(    p   B1 )  i   m  m ( p )  sin(    (  p )  B1 o )
*
уравнения действительного преломленного
преломленного (в оболочку, за точкой B2)
и
мнимого
трижды
(22)


Z x  ( p )    m ( p )  cos(   p   B1 )  i   m  m ( p )  cos(   (  p )   B1 p )


Z y  ( p )    m ( p )  sin(    p   B1 )  i   m  m ( p )  sin(    (  p )   B1 p )
уравнения действительных и мнимых лучей
отражения в оболочке, за точкой B2 :
падающего из центральной сферы и отраженного
многократного
(23)


Z x  ,Rm (i, o)    m ,R ( p )  cos( R  p   B2 )  i   m2  m ,Rm ( p )  cos( R  p   B2 )


Z y  ,R (i, o)    m ,R ( p )  sin(  R  p   B2 )  i   m2  m ,Rm ( p )  sin(  R  p   B20 )
m
четырежды преломленного
(24)


Z x R , ( p )  R  mR , ( p )  cos( R ,  p   B3 )  i  R  mR ,m ( p )  cos( R ,  p   B3 )


Z y R , ( p )  R  mR , ( p )  sin(  R ,  p   B3 )  i  R  mR ,m ( p )  sin(  R ,  p   B3 )
 уравнения действительных и мнимых
геометрического поля двухслойной сферы:
падающего из источника
71
лучей
суммарного
(25)


Z x R (i )  R  m R ( p )  cos(  R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  cos(  R  p   B )



0



Z y R (i )  R  m R ( p )  sin(   R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  sin(   R  p   B )



 0

отраженного от первой поверхности
(26)


Z x R (o)  R  m R ( p )  cos(  R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  cos(  R  p   B )



0



Z y R (o)  R  m R ( p )  sin(   R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  sin(   R  p   B )



 0

четырежды преломленного
(27)


Z x R (o)  R  m R ( p )  cos(  R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  cos(  R  p   B )



3



Z y R (o)  R  m R ( p )  sin(   R  p   B0 )  i  R m  m R ( p )  sin(   R  p   B )



 3

По аналогии с приемом, использованным в [1] в выражениях (18...27)
фазовый множитель

2 
r 
kr
заменяется на соответствующие
циклические частоты:
(28)
(29)
r 
f 
m
m  c
n  n f  R  sin

kf
m  c
n  n f 1  Rm  sin

kf
Таким образом, в результате замены параметров можно перейти к
описанию текущих координат любого выбранного фотона в
гомоцентрическом потоке от момента его испускания из произвольной
72
точки u до момента его попадания в фокальную точку на оптической
оси, расположенную на расстоянии RF от центра сферы.
RF  R 

 1)
2
sin( F )
sin(
Пример
математического
моделирования
траектории
распространения реальных лучей в бисфере (сферической оболочке)
выполненного в программе MathCad приведен на рис. 2.
Рис 2. Результаты математического моделирования реальных лучей комплексного
геометрического поля двухслойной сферы (прозрачной оболочки). Источник находится на
конечном расстоянии. Выбранный луч падает на внешнюю окружность сферической
оболочки. При первом преломлении луч достигает внутреннего радиуса оболочки и
преломляется второй раз. Часть луча вступает в режим многократного отражения от
внешней и внутренней окружностей. Голубым цветом показана траектория
результирующего луча.
Выводы
В статье приводятся точные гиперкомплексные параметрические
уравнения, описывающие текущие положения во времени всех фотонов
73
из произвольного гомоцентрического потока, падающего на
однослойную и двухслойную полупрозрачные сферы. Уравнения
описывают как траектории действительных лучей претерпевающих
преломление на первой поверхности оболочки (радиально-поперечные
траектории
многократного отражения в оболочке, траектории
многократного отражения в центральной сфере, результирующие
траектории после четырех преломлений), так и все сопутствующие им
кажущиеся (мнимые) траектории.
Каждое из полей представляет собой упорядоченную синфазную
кватернионную структуру.
Заключение
Статья является второй статьей из цикла введения в математический
аппарат фрактальной оптики. В статьях подготовленного цикла не
рассмотрены
энергетические
характеристики,
связанные
с
взаимодействием света с веществом, а для показателей преломления
материала сферы в выведенные уравнения подставляются только их
вещественные части, то есть дается только трактовка геометрического
хода действительных и мнимых лучей в сфере и сферической оболочке,
выступающих в роли световодов.
В заключение выражаю свою признательность Э.И. Мельниковой за
неоднократную стилистическую коррекцию статьи и А.С. Попову за
полезные обсуждения промежуточных результатов.
Литература
1. Мельников Г.С. К основам фрактальной оптики. А: Комплексное
геометрическое поле оптической сферы. // Оптический журнал. Рег.
№ 13131 от 10.03.99; Мельников Г.С. К основам фрактальной
оптики. Б: Комплексное геометрическое поле двухслойной сферы.
«Оптический журнал». Рег. № 13189 от 11.05.99.
2. Мельников Г.С., Ларионов С.А., Михеев П.А., Цветков Е.А. // Изв.
АН Серия физическая. М., 1995, т. 59, № 12. с.143–150.
74
Приложение
Результаты математического моделирования
в программе MathCad
(15)
2
D

i [ ( p 1) 
 (1 D) ]
D
k
2
k
Z (D, p, k r )  Z r  Z  (D, p, kr )  R m( p, kr )[2sin( )] e r
r
k
r

Здесь p принимает все текущие значения числового континуума.
При p целочисленных траектории достигают точек отражения от
соответствующих окружностей в D-слоях. при этом направление луча на
каждом отражении изменяется на угол –2/kr. ;
Параметрический
амплитудно-угловой
множитель
m(p,kr)
определяется выражением (16), полученным в [5]
cos(
(16)
m( p , k r ) 
cos(

kr

kr
)
,
 (1  2 p  2  ceil ( p)))
здесь ceil (p) — наибольшее целое от p,
(28)
2

i [
( p 1)  ]
D
k
k


2
2

D
2

D
r
r
Z ( D, p, k r)  Z  Z  i  Z  Z ( D, p, kr ) 
R  m( p)  [sin
( )  cos
( )]e
i
r 
r 
k
k
2
i
r
r
Пределы изменения параметров
2-й столбец
3-й столбец
4-й столбец
D є [-2,-1.99…+2]
D є [-2,-1…+2]
D є [-1,0,1]
p є [0,0.015…17]
p є [0,0.015…17]
P є [0,0.015…17]
kr — значения в столбце 1
kr — значения в столбце 1
kr — значения в столбце 1
75
kr =
n/m
Żi (D, p,kr)
Z (D, t,kr)
Z (D, t,-kr)
5/2
3/1
7/2
4/1
9/2
5/1
Рис. п.1. Примеры математического моделирования комплексных отображений для
траекторий распространения лучей в круге в режиме многократного отражения с
заданными коэффициентами фрактальности kr = n/m.
76
kr =
n/m
Żi (D, p,kr)
Z (D, p,kr)
Żi (D, p, kr)
11/2
6/1
13/2
7/1
15/2
8/1
Рис. п.2. Примеры математического моделирования комплексных отображений для
траекторий распространения лучей в круге в режиме многократного отражения с
заданными коэффициентами фрактальности kr = n/m.
77