Интерферометр Фабри-Перо.

4. Интерферометр Фабри-Перо
123
n=1
n>1
1’2’3’
Интерференция лучей отразившихся от
поверхностей плоскопараллельной пластины
называется двухлучевой. И для такого названия
имеется основание.
Коэффициент
отражения
границы
стекло - воздух =I1/I0 невелик, несколько
процентов.
Обозначив
интенсивность
падающего луча как I0, для интенсивностей
других лучей мы получим такие значения:
I1 =I0 ;
I2 =I0(1-)2; I3 =I0(1-)24;
I1’=I0(1-)2; I2’=I0(1-)22; I3’=I0(1-)24.
Получаются эти выражения таким образом. Если коэффициент отражения , то
коэффициент прохождения, как это следует из закона сохранения энергии, равен (1-).
При определении интенсивности каждого луча интенсивность I0 следует умножить на
коэффициент отражения и на коэффициент прохождения в степени, равной числу
отражений и пересечения границы раздела соответственно. При малом коэффициенте
отражения получается поэтому для отраженных и прошедших через пластинку лучей:
I1 I2; I3 << I2;
I3’<< I2’<< I1’.
Поэтому при сложении отраженных лучей мы учитываем только два луча - 1 и 2,
интенсивности которых различаются несильно. Поэтому интенсивность в минимумах
близка к нулю.
В проходящем свете также будет наблюдаться интерференционная картина, но
из-за быстрого уменьшения интенсивности участвующих в интерференции лучей
отношение интенсивности в максимуме и в минимуме различаются незначительно.
Устройство интерферометра Фабриd
Перо показано на рисунке. Роль пластинки
играет воздушный промежуток между двумя


прозрачными пластинами, на внутренних
поверхности которых напылен тонкий слой
1
металла. Благодаря этому достигается большое
2
значение коэффициента отражения  - теперь он
3
4
отличается от единицы лишь на несколько
процентов, а коэффициент прохождения (1-)
оказывается малым. Это существенно изменяет соотношения между интенсивностями
лучей:
I1 >> I2  I3;
I1’  I2’  I3’.
При таких соотношениях при обсчете углового распределения интенсивности
проходящего света необходимо учитывать много (все) проходящие через
интерферометр лучи. В этом случае интерференция называется многолучевой.
Поскольку при прохождении прозрачных пластин энергия сохраняется,
минимуму в отраженном свете должен соответствовать максимум в свете проходящем.
Наконец, поскольку в промежутке между пластинами показатель преломления
(воздуха) можно считать равным единице, мы получаем такое условие для максимума в
проходящем свете:
2d 1  sin 2    2d cos   k ;
cos  
k
.
2d
При практическом использовании интерферометра Фабри-Перо угол  мал, а
расстояние между пластинами d велико (порядка нескольких сантиметров). Так что
длина когерентности световой волны 2 должна быть достаточно большой.
Угловое распределение амплитуды проходящей волны в интерферометре Фабри-Перо.
На своем пути каждый последующий из
пронумерованных лучей испытывает два
дополнительных отражения от внутренних
поверхностей пластин. Стало быть, их
интенсивности
различаются
в
2 раз.
Интенсивность пропорциональна квадрату
амплитуды и поэтому
d


1
2
3
4
Im
 2 ;
I m 1
Em
 .
E m 1
Далее, разность оптических путей соседних лучей равняется 2d cos  и разность
фаз их колебаний в удаленной точке наблюдения
2
 
2d cos  .

Таким образом, для амплитуды суммарных колебаний мы имеем выражение:

E 
E 
1
m 1


cos t   m 1 .
m 1
Начальную фазу колебаний первого луча мы положили равной нулю.
Для сложения этих колебаний перейдем к комплексным переменным - добавим
мнимую часть, памятуя, что физический смысл имеет лишь реальная часть суммы,
которую мы получим:

E$ 
 E  cost  m 1   isint  m 1 
1
m 1

m 1



m 1

E1  m  1 exp i t   m 1

 E1 e it


m 1
m 1


exp i m 1 .
Итак, нам надо найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии,
знаменатель которой q   e  i   . Таким образом,
E$ 
E1 e it
1  e  i  
.
Амплитуда суммарных колебаний равна модулю комплексного значения E$ :
$$* 
EE
E   E$ 
E1


1  e i   1  e i  

.
Воспользовавшись формулой Эйлера, произведем перемножение скобок под
квадратным корнем в знаменателе:
1
  cos    i sin  1   cos    i sin   
 1   cos  

 1  2
:
2

  2 sin 2    
2  cos   .
Вспомним, что
E
 
0,05
2

2d cos  .
Таким образом,
0,25
E 
0,75
0

E1
1   
2
4d
 2  cos
cos 
 

.
Как и ожидалось, с увеличением коэффициента отражения глубина минимумов
увеличивается. Одновременно уменьшается ширина интерференционных полос.
Предвидеть этот результат было не так просто.