Первообразная и неопределенный интеграл

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №33 им.З.Калоева
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
2 часа.
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА :
- активизировать мыслительную деятельность;
- способствовать усвоению способов исследовния;
- обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
- ввести понятие первообразной;
- доказать теорему о множестве первообразных для
заданной функции (применяя определение
первообразной);
- ввести определение неопределенного интеграла;
- доказать свойства неопределенного интеграла;
- отработать навыки использования свойств
неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА :
- повторить правила и формулы
дифференцирования
- понятие дифференциала.
ХОД УРОКА
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифференцирования ).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
-
V(t) = S 1 (t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t 2 - 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
-
I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент времени, найти закон его движения.
4. Зная , что сила тока проходящего через проводник в любой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель : Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства ?
( Создание проблемной ситуации ).
Предположения учащихся :
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
- Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x ) ее производную.
F 1 (x) = f (x).
Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?
Вывод учащихся :
- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
f (x) = F 1 (x) .
Учитель :
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства
операции интегрирования функций и ее приложения к решению
задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического
анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет
основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения
большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из
них - физическая задача определения пройденного за данное
время пути по известной, но быть может переменной скорости
движения, и значительно более древняя задача – вычисления
площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции
предстоит выяснить.
Введем определение. ( кратко символически записывается на
доске ).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции заданной на том же промежутке, если для всех x  X
выполняется равенство
F 1 (x) = f (x)
или d F(x) = f (x) dx .
Например. ( x 2 ) 1 = 2x, из этого равенства следует, что функция
x 2 является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной , выполните упражнение
№ 2 ( 1,3,6 ) . Проверьте, что функция F является первообразной для функции f, если
1) F (x) =
x7

7
2 cos 2x ,
2) F (x) = tg 3 х - cos 5x ,
3) F (x) = x 4 sin x +
5
cos x
f (x) = x 6 - 4 sin 2x .
f (x) =
6tg 2 2 x
cos 2 2 x
+ 5 sin 5x.
, f (x) = 4x 3 sinx + x 4 cosx +
Решения примеров записывают на доске учащиеся,
комментируя свои действия.
Учитель :
Является ли функция х 2 единственной первообразной
для функции 2х ?
5 sin x
.
cos 2 x
Учащиеся приводят примеры
х 2 + 3 ; х 2 - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся :
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х 2 + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х 2 .
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообразную
F, то для любого числа С функция F + C также является
первообразной для f . Иных первообразных функция f на Х не
имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F 1 (x) = f (x) для всех х  Х.
Тогда для х  Х для любого С имеем :
( F (x) + C ) 1 = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х .
б) Докажем , что иных первообразных на Х функция f не
имеет.
Предположим , что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф 1 (x) = f (x) и потому для всех х  Х имеем :
Ф 1 (x) - F 1 (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель : в чем заключается задача отыскания всех
первообразных для данной функции ?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первообразная найдена, то любая другая получается из нее
прибавлением постоянной.
Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции.
Обозначение.
 f ( x)dx ;
 - читается интеграл.
 f ( x)dx = F (x) + C, где F – одна из первообразных
для f , С пробегает множество
действительных чисел.
f
- подинтегральная функция;
f (x)dx - подинтегральное выражение;
х
- переменная интегрирования;
С
- постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по
учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
1. d (  f ( x)dx ) = f (x) dx.
2.  F 1 ( x)dx = F (x) + C.
3. Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
 ( ( x)  f ( x))dx =   ( x)dx +  f ( x)dx .
4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
 Af ( x)dx = A  f ( x)dx .
5. T.k. ( x  1 ) 1 = (   1 ) x  , то при   - 1,

 x dx
=
1
 1

 (  1) x dx
=
x 1
 1
+ С.
Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения
примеров.
Используя свойства неопределенного интеграла, решите
примеры № 1 (2,3 ).
Вычислите интегралы.
1.  x3 4 x dx ,
2. Какие свойства неопределенного интеграла следует
применить, решая следующий пример ?
x3  3x 2  3 x  1
dx

x x
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски
комментирует выполняемые действия.
Учитель :
Теперь вы можете решить физическую задачу
определения пройденного пути по известной скорости ?
по известному ускорению ?
Решите задачи № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.
Учитель выборочно проверяет запись решения.
Решите задачу. Тело свободно падает в пустоте. Пусть s (t) –
координата тела в момент t .
Т.о. g = s 11 (t) и g - постоянная.
Требуется найти функцию s (t) – закон движения.