1 Вариант 4 log 3 x 4 log x 3 . 4 log 2 x 12 log x 2 1. Решить Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем: а) Неравенство одной из систем: Для второго неравенства: б) в каждом из двух случаев сводится к 2 Графики неравенств: 3 2. Дифференцируема ли f ( x) x 2 2 x в точке х=2 и х= 0? Если нет, то почему? В каких точках эта функция дифференцируема? Ответ сопроводить графиком. Решение: (x2-2·x)ʹ = (x2)ʹ + (-2·x)ʹ = 2·x + (-2) = 2·x-2 Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n*xn-1 (x2)ʹ = 2·x2-1(x)ʹ = 2·x (x)ʹ = 1 Дифференциал функции: dy=(2·x-2) dx С учетом знака модуля, дифференциал и график функции f’(x) имеет следующий вид: Подставляя значение х = 0, и х = 2 приходим к выводу, что в данных точках функция дифференциала на определена, так как в знаменателе формируется значение «0». 4 3. Провести касательную к графику функции у = 𝑙𝑛(𝑥 + 1) точки (0;0). Решение Запишем уравнения касательной в общем виде: yk = y0 + y'(x0)(x - x0) По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = 0 Теперь найдем производную: 1 yʹ = (ln(x+1))ʹ = x+1 следовательно: fʹ(0) = 1/(0+1) = 1 В результате имеем: yk = y0 + y'(x0)(x - x0) yk=0+1·(x-0) или yk = x из 5 Запишем уравнения нормали в общем виде: 1 yn = y0 - yʹ(x )(x - x0) 0 В результате имеем: 1 yn = 0 - 1(x - 0) или yn = -x 6 4. Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ (1) n 6 n, 4 2k , n, k Z . 3 6 Ответ в конце учебника выглядел иначе: 5 2 2n, k , n, k Z . 6 6 3 Правильный ли ответ получил Игорь? Привести пример тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике. Решение Равенство одинаковых тригонометрических функций Для данного метода используются следующие уравнения: — при варианте — при принимается принимается — при принимается При решении Игорь получил правильный ответ. Пример решения тригонометрического уравнения: sin 3x 1 cos x Выполним множитель к «0»: 3 0 2 последовательность решения, приравнивая каждый 7 Набор ответов уравнения: 8 5. Исследовать функцию и построить ее график 𝑦 = ех2 𝑙𝑛(𝑥). Решение 1) Область определения функции. Точки разрыва функции. f(x)=ln(x), x>0 Для нашей функции: x>0 x=0 2) Четность или нечетность функции. y(-x)=x2·e-x·ln(-x) Функция общего вида 3) Периодичность функции. 4) Точки пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью 0Y Нет пересечений. Пересечение с осью 0X y=0 ex·x2·ln(x)=0 x1=0, x2=1 5) Исследование на экстремум. y = exp(x)*x^2*log(x) При определении границ интервалов учитывайте область существования функции. Область существования функции 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. f'(x) = x2·ex·ln(x)+2·x·ex·ln(x)+x·ex или f'(x)=x·(x·ln(x)+2·ln(x)+1)·ex Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 9 x·(x·ln(x)+2·ln(x)+1)·ex = 0 Откуда: x1 = 0 (0 ;0) (0; +∞) f'(x) < 0 функция убывает 2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. f''(x) = (x2·ln(x)+4·x·ln(x)+2·x+2·ln(x)+3)·ex Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. (x2·ln(x)+4·x·ln(x)+2·x+2·ln(x)+3)·ex = 0 Для данного уравнения корней нет. 6) Асимптоты кривой. y = ex·x2·ln(x) Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: Находим коэффициент k: Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует. y = ex·x2·ln(x) Найдем наклонную асимптоту при x → -∞: Находим коэффициент k: 10 Находим коэффициент b: Получаем уравнение горизонтальной асимптоты: y=0 11 6. При каких значениях пределов интегрирования интеграл b a существует и почему? Решение. Разложим на множители знаменатель: Разложим дробь на простейшие: Применим линейность: Теперь вычисляем: Подстановка Это табличный интеграл: =ln(u) Обратная замена u=x−6: dx 36 x 2 12 =ln(x−6) Теперь вычисляем: Подстановка : Используем предыдущий результат: =ln(u) Обратная замена u=x+6: =ln(x+6) Подставим уже вычисленные интегралы: Подставим уже вычисленные интегралы: Задача решена. Применение модуля к аргументу логарифма, расширяет его диапазон: 13 Анализируя результат, можно прийти к выводу, что при х=6 и х=-6 получение результата невозможно, так как это не входит в область допустимых значений функции ln(). График функции: 14 7. Какие математические идеи представлены в теме «Первообразная и интеграл?» Ответ пояснить. Тема «Первообразная и интеграл» изучается в 11 классе. В методической литературе можно выделить два основных направления в характере и порядке изложения учебного материала на профильном уровне: - понятие «определенный интеграл» вводится раньше понятия «неопределенного интеграла» (или как разность значений первообразной, или как предел интегральных сумм). - сначала вводится понятие «первообразной», а затем понятие «определенного интеграла». В современном школьном курсе алгебры и начал математического анализа находит реализацию второе направление, рассматривается только определенный интеграл, который и называется «интегралом». Перед введением понятия первообразной целесообразно повторить с учащимися взаимообратные операции: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня n-степени; потенцирование – логарифмирование. Учащимся также известна операция дифференцирования, поэтому уместно задать учащимся вопрос: существует ли операция, обратная дифференцированию? Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие: введение понятий первообразной и интеграла; 15 ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных; раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции: провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования. Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции. Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров. Методическая схема изучения первообразной: 1) рассмотреть примеры взаимно обратных операций; 2) ввести интегрирование дифференцированию, а как первообразную операцию, как результат обратную операции интегрирования; 3) выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция F (x) есть первообразная другой данной функции f (x) ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции f x "; 4) ознакомить учащихся с основным свойством первообразной; 5) составить таблицу первообразных; 6) ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных; 7) решить физические задачи с применением первообразной. 16 Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени t 0 скорость тела равна 0, т.е. (0) 0 , то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь: S (t ) Продифференцировав ее, получаем S (t ) (t ) gt ; gt 2 . 2 S (t ) (t ) a(t ) g - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки a(t ) , требуется найти закон изменения скорости (t ) и координату S (t ) . Для решения таких задач служит операция интегрирования. При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: x 2 9 . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3. Дифференцирование функции F x x3 приводит к новой функции f x 3x 2 , которая является производной функции F x x3 Пусть теперь известно, что производная некоторой функции F (x) равна 3x 2 , т.е.: f ( x) F ( x) 3x 2 ; требуется найти функцию F (x) . Операция нахождения функции F (x) по ее производной f (x) называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: F ( x) x 3 ; F1 ( x) x 3 1 ; F ( x) x 3 2 и т.д. Функция F ( x) x 3 С называется первообразными образом, интегрирование дифференцированию; результат является операции функции f ( x) 3x 2 . Таким операцией, интегрирования обратной называется 17 первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F ( x) f ( x) . Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров. Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку. Можно кратко описать схему последовательности тем в учебнике так, как показано на рисунке 1. Рисунок 1. Последовательность тем главы «Первообразная и интеграл» 18 Чтобы доказать наиболее часто применяемых свойств интеграла, можно воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница или самого определения «интеграл». Чтобы школьниками лучше усваивалось такое понятие, как геометрический смысл, нужно больше обращаться к доказательствам понятий и доказывать их. Можно применять задания на установку справедливости утверждений. Такие задания помогают школьникам устанавливать и понимать связь между такими понятиями и их свойствами, как: «Дифференцирование» и «Интегрирование»; «Первообразная» и «Производная»; «Первообразная» и «Интеграл» и другие. Рисунок 2. Связь между определениями и свойствами Для установки такой связи между понятиями «интеграл» и «производная» следует обратиться к площади криволинейной трапеции. При изучении данного материала, обязательно нужно выделить понятие «геометрический смысл интеграла» и не ограничиваться использованием геометрических иллюстрация при решении задач на нахождения интеграла. Применяя геометрический смысл интеграла, часто можно узнать о 19 возможности более простого способа вычисления. К примеру, по промежутку, симметричного точке О от четной или нечетной функции. Связь между понятиями и свойствами «Первообразная» и «интеграл» можно увидеть на рисунке 2. 20 Список литературы 1. Александров, Г.Н. Программированное обучение и новые информационные технологии обучения / Г.Н. Александров // Информатика и образование. - 2013. - №5. - С. 7-19. 2. Барышникова, Г.Б. Психолого-педагогические теории и технологии начального образования / Г.Б. Барышникова. - Якутск: ЯГПУ, 2009. - 505 с. 3. Беспалько, В.П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего тысячелетия). - М.: Издательство Московского психологосоциального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2002. – 352 с. 4. Болотова, Н.В. Компьютеры в школьной геометрии / Н.В. Болотова, И.А. Корниенко, Г.Б. Шабат // Информатика и образовани. – 1998. - № 7. - С. 63-75. 5. Большая электронная энциклопедия. – Режим доступа: https://www.vedu.ru/bigencdic/29470/. 6. Бубнов, В.А. Информационные технологии на уроках алгебры / В.А. Бубнов, Г.С. Толстова, O.E. Клемешова // Информатика и образование. 2014. - №5. - С. 76-85. 7. Воробьева, В.В. Сборник научных работ студентов / В.В. Воробьева. - 2015. 8. Воронина, Т.П. Образование в эпоху новых информационных технологий / Т.П. Воронина, В.П. Кашицин, О.П. Молчанова. - М.: Информатика, - 1995. - 220 с. 9. Галицкий, М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: метод, рекомендации и дидакт. материалы: пособие для учителя / М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. - 3е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1997. - 138 c.
