оригинальный файл 144.5 Кб

Предмет: Алгебра
Класс: 11
Тема: Криволинейная трапеция и ее площадь
Зам.Дир.по УВР____________Утверждаю
№____
Дата________
Цели урока: Дать определения криволинейной трапеции и ее площади, научиться вычислять площадь
криволинейной трапеции.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих
целей урока и плана его проведения.
2. Этап проверки домашнего задания.
Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить пробелы в
знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины возникновения затруднений, устранить
обнаруженные пробелы.
3.Этап актуализации.
Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей
урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся.
Вспомним основные понятия и формулы.
Определение. Функция y=F(x), x(a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x(a,b), если для каждого
x(a,b) выполняется равенство
F(x)=f(x).
Замечание. Если F(x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C также является
первообразной для f(x).
Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех
первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается
 f ( x)dx  F ( x)  C .
Имеют место свойства:
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;
2. Если С=Const, то  Cf ( x ) dx  C  f ( x ) dx ;
1.
3.
1
 f (kx  b)dx  k F (kx  b)  C .
Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого
говорят «множество всех первообразных».
Приведем таблицу неопределенных интегралов.
1.
1 dx  x  C ;
2.
n
 x dx 
3.
 x dx  ln x  C ;
4.
5.
x n 1
 C,
n 1
n  1 ;
1
ax
 C ; в частности,
ln a
 cos xdx  sin x  C ;
x
 a dx 
6.
 sin xdx   cos x  C ;
7.
 cos
8.
 sin
dx
2
x
dx
2
x
e
x
dx  e x  C ;
 tgx  C ;
 ctgx  C .
Пример 1. Найти первообразную для функции
y  3x 2  2 , проходящую через точку М(2;4).
Решение. Множество всех первообразных функции
y  3x 2  2 есть неопределенный интеграл
Вычислим его, используя свойства интеграла 1 и 2. Имеем:
 3x
2

 2 dx .
 3x
2

 2 dx   3x 2 dx   2  dx  3 x 2 dx  21 dx  3 
x3
 2x  C  x3  2x  C .
3
Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть y=x3–2x+C, где С –
произвольная постоянная.
Зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.
4=23–22+С  С=4–8+4; С=0.
3
Ответ: F(x)=x -2x – искомая первообразная.
4. Формирование новых понятий и способов действия.
Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение
учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению
усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного
материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися
своего субъективного опыта с признаками научного знания .
Нахождение площадей плоских фигур
Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных
(интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)>0)
прямыми x=a; x=b; y=0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:
S=F(b)–F(a)
Дадим определение определенного интеграла.
Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) – некоторая ее
первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается
y
y=f(
x)
S
О
a
x
b
b
 f ( x)dx .
a
b
Равенство
 f ( x)dx  F (b)  F (a) называется формулой Ньютона–Лейбница.
a
Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с
интегралом.
В общем случае, если фигура ограничена графиками функций y=f(x); y=g(x)
(f(x)>g(x)) и прямыми x=a; x=b, то ее площадь равна:
y
y=–
x2+6
S
x–5
4
3
2
1
0
–
–1
–2
3
1
b
S   [ f ( x)  g ( x)]dx .
S
x
1 2 3 42 5
y=
y=–
3x–
x2+4
15
x–3
a
Пример2. В какой точке графика функции y=x2+1 надо провести касательную, чтобы
она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y=0, x=0,
x=1 трапецию наибольшей площади?
Решение. Пусть M0(x0,y0) – точка графика функции y=x2+1, в которой проведена
искомая касательная.
1) Найдем уравнение касательной y=y0+f(x0)(x–x0).
 f ( x0 )  2 x0 ,
Имеем: 
2
 y 0  x 0  1.
Поэтому
y
2
2) Найдем площадь трапеции ОАВС.
B
1
S
M(x0,y0)
OA  BC
OC .
2
Далее, А – точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому
A
C
0
y  x02  1  2 x0 ( x  x0 )  y  2 x0 x  x02  1 .
1
x
 x A  0,
 x A  0,

 OA  1  x02 .


2
2
 y A  2 x0 x A  x0  1;
 y B   x0  1;
B – точка пересечения касательной с прямой x=1 
 x B  1,
 x B  1,
 
 OB   x02  2 x0  1 .

2
2
 y B  2 x0 x B  x0  1;
 y B   x0  2 x0  1;
2
2
1  x 0  ( x 0  2 x 0  1)
S
 1  ( x 02  x 0  1) .
2
Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции
S(x)=–x2+x+1 на отрезке [0;1]. Найдем S(x)=–2x+1. Найдем критическую точку из условия S(x)=0  x=
1 1
5
1
    1 ;
4 2
4
2
Найдем S 
S (0)  1;
1
.
2
S (1)  1.
2
Видим, что функция достигает наибольшего значения при x=
1
5
1 1
. Найдем y       1  .
2
4
2 2
1 5
; .
2 4
Ответ: касательную надо провести в точке 
Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла. Покажем на
примере, как решается такая задача.
Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить
1
2
а)

2 x  x 2 dx ;
б)
 arcsin xdx .
y
1
0
Решение.
1
2
а)

2 x  x 2 dx – равен площади криволинейной трапеции,
0
ограниченной линиями
Преобразуем
y  2x  x 2

y  2x  x ;
2
x  0;
x  2;
y 0.
S1
0
 y  0,
 y  0,
  2
  2

2
2
y

2
x

x
;
x

2
x

y

0
;


D y
 y  0,
– верхняя половина окружности с центром

2
2
 x  1  y  1
Р(1;0) и радиусом R=1.
1
1 2 1
Поэтому S  S кр .  R   .
2
2
2
2
Ответ:

x
2
2 x  x 2 dx 
0

2
C
2
0
–
1
.
б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками y  arcsin x;
A–

x2 1;
1
x
B
x  1.
1
1
S ABCD   2     .
2
2
    
BC          .
 2  2 
Имеем: S  S ABC 
AB  2;
1
Ответ:
 arcsin xdx   .
1
5. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать
условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.
Контрольное задание
Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи,
оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной
физико-математической школы.
Найти первообразную функции y=f(x), проходящую через точку M0(x0,y0).
f(x)=1+cosx+cos2x,
M0(0;1)
f(x)=3cosx–2sinx,
f(x)= e
x
2
,
 
; 1
2 
M0 
M0(0;3)
Найти площадь фигуры. Ограниченной линиями
y=–3x2–2, x=1, x=2, y=–1
y=4x–x2, y=0
y=x2–2x+3, x+y=5
y=x2, y=x
 1
 , B(4;2)
 2
y=0,5x2–2x+2, касательными к ней в точках A 1;
y=–9x–59, параболой y=3x2+ax+1, если известно, что касательная к параболе в точке x=–2 составляет с осью Ox угол
величиной arctg6.
Найти а, если известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=3x3+2x, x=a, y=0, равна
единице.
Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной параболой y=x2+2x–3 и прямой y=kx+1.
6.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.№18,
19,20,21 нечетные
7.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.