Лекция 15 Первообразные

1
С.А. Лавренченко
www.lawrencenko.ru
Лекция 15
Первообразные
Напомним, что под интервалом мы понимаем или конечный интервал
, или один
из следующих бесконечных интервалов:
,
, или
. Помните, что внутри
интервала нет выколотых точек!
1. Теорема о тождественных производных
Лемма 1.1. Если
при всех
в интервале
, то
в
.
Доказательство: Пусть
и
— две произвольно выбранные точки в . Предположим
для определенности, что
. Поскольку дифференцируема в , то
дифференцируема в интервале
, а также непрерывна на отрезке
, по
теореме о непрерывности дифференцируемой функции. Значит, к функции
на
можно применить теорему Лагранжа, и, следовательно, существует точка
такая, что
. По условию
, поэтому
, откуда
. Итак, поскольку значения
одинаковы в любых
двух точках, есть константа. ■
Эту лемму нельзя применять слепо!
Пример 1.2. Рассмотрим функцию
с областью
. Имеем
в
, но , очевидно, не является
константой! Последнее не противоречит лемме 1.1, т.к.
не является интервалом. На
самом деле, если
представляет собой объединение двух интервалов:
,
то
на , и
обозначать по-разному. ■
на
. Константы на разных интервалах следует
2
Теорема 1.3 (о тождественных производных). Если
при всех в интервале
, то
в , т.е.
, где — некоторая константа. Словами,
функции с тождественными производными отличаются на константу.
Доказательство: Обозначим разность
в
, и, по лемме 1.1,
через
. Тогда
.■
2. Первообразные
Определение 2.1. Функция
называется первообразной функции
для всех из .
в интервале
, если
Таким образом, процесс взятия первообразной является обратным к процессу взятия
производной. Любая конкретная функция, являющаяся первообразной данной функции,
будет называться ее частной первообразной.
Пример 2.2. Рассмотрим функцию
. Функция
первообразной функции , потому что
— другая частная первообразная для
является частной
. Функция
.■
Встает вопрос — как найти общую первообразную данной функции, т.е. множество всех
ее первообразных?
Теорема 2.3 (об общем виде первообразной). Пусть
— какая-нибудь частная
первообразная данной функции на интервале . Тогда общая первообразная функции
на имеет вид
, где — произвольная постоянная.
Доказательство: Пусть
— любая первообразная функции . По определению
первообразной имеем
и
тождественно на , а так как функции
с тождественными производными отличаются на константу (по теореме 1.3), имеем
, где константа. ■
В следующих примерах будем искать общую первообразную данной функции
области определения
.
Пример 2.4. Найти общую первообразную функции
.
Решение: Поскольку
является частной первообразной функции
первообразная имеет вид
.■
Пример 2.5. Найти общую первообразную функции
определения.
, общая
в ее области
в ее
3
Решение: Поскольку
первообразная имеет вид
является частной первообразной функции
.■
Пример 2.6. Найти общую первообразную функции
определения.
(
, общая
) в ее области
Решение: Заметим, что
.
Поэтому общая первообразная имеет вид
всех
, потому что при всех неотрицательных
представляет собой интервал. ■
. Это справедливо при
область определения функции
В трех предыдущих примерах данная функция была определена на интервале, поэтому
для записи общей первообразной в области определения функции достаточно было к
какой-нибудь частной первообразной прибавить
по теореме об общей первообразной.
Однако, необходимо помнить, что эта теорема справедлива только тогда, когда область
определения функции представляет собой интервал..
Пример 2.7. Написать вид общей первообразной функции
определения.
Ответ
в ее области
неверен, потому что такая запись не охватывает всех
первообразных.
Решение: Легко видеть, что функция
.
является частной первообразной данной функции
в ее области определения. Однако,
область определения
не является интервалом. В самом деле,
имеет
выколотую точку, а именно
не определена в точке
. Таким образом,
. Теорема об общем виде первообразной утверждает лишь,
что общая первообразная функции
имеет вид
на любом интервале, не
содержащем точку . Поэтому общую первообразную функции
в области
записывается так:
Заметьте, что на разных интервалах константы обозначены по-разному. ■
4
3. Таблица основных первообразных
Как и в рассмотренных примерах, каждую формулу дифференцирования можно
прочитать справа налево, что дает соответствующую формулу для первообразной. Пусть
и
— первообразные функций
и , соответственно. Основные первообразные
сведены в таблицу.
Таблица основных первообразных
Функция
(
Частная первообразная
)
Пример 3.1. Найти все функции
такие, что
.
5
Решение: Перефразируя условие, требуется найти общую первообразную функции
Используя таблицу основных первообразных и теорему об общей первообразной,
получаем:
.
.■
Пример 3.2. Найти
, если известно, что
и что
Решение: Общая первообразная функции
.
имеет вид
.
Из второго условия находим константу
Окончательно,
.■
:
, откуда
.
Вопросы для самопроверки
1. Для функции
из примера 2.4 нарисовать графики каких-нибудь трех ее
первообразных. [Указание: Все такие графики получаются из параболы
вертикальными сдвигами.]
2. Проверить дифференцированием, что, наряду с функцией
тоже является первообразной функции
, функция
.
3. Используя результат предыдущего упражнения и теорему 1.3, доказать следующее
тригонометрическое тождество:
.
4. Показать, что, наряду с функцией
, функция
первообразной функции
, и вывести тождество
.
является