L1-2

Кинематика материальной точки. Способы описания движения.
В разделе механики под названием кинематика разрабатываются способы описания
движения тел, не затрагивая самих причин их возникновения.
В кинематике вводятся величины, характеризующие пространственно-временные связи –
кинематические величины, с помощью которых было бы возможно исчерпывающее описание
движения тел, т.е. математическое описание положения тел в пространстве в любой момент
времени. Подобные математические выражения называются законами движения.
Изучение движения можно проводить в любой системе отсчета. И хотя движение данного
тела в разных системах отсчета может выглядеть совершенно по-разному, с точки зрения
кинематического рассмотрения движения нет никакой принципиальной разницы, какая система
отсчета выбрана.
Все системы отсчета кинематически равноправны.
Между системами отсчета возникают принципиальные различия, когда требуется объяснить
наблюдаемое разнообразие видов движений.
Обычно в кинематике обсуждаются три метода описания движения материальной точки –
векторный, координатный и естественный.
Векторный способ.
В этом методе не конкретизируется координатная система, связанная с телом отсчета. И
вообще, зависимости, записанные в векторной форме, имеют ту важную особенность, что
независимы от выбора системы координат. В векторном методе положение частицы в
пространстве задается радиус-вектором, который «связывает» начало координат O с частицей
(рис 1.4). Во время движения радиус-вектор непрерывно меняется
r  r(t )
(1.3)
Рис. 1.4
Эта зависимость дает положение тела в пространстве в любой момент времени и называется
законом движения. Во время движения конец радиус-вектора описывает в пространстве
определенную кривую, которая называется траекторией движения. По виду траектории
движения делятся на прямолинейные и криволинейные. Прямолинейность или криволинейность
движения относительна. Движение частицы, прямолинейное в одной системе отсчета, может
быть криволинейным в другой. Длина траектории, описанной частицей за определенный
промежуток времени, называется пройденным путем. Если в момент времени t частица
находилась в точке траектории А, а в момент времени
t  t
в точке В, то
пройденный ею
путь за время t это длина  дуги АВ (рис. 1.4). Пройденный путь – скалярная величина,
исчисляемая в единицах длины.
Зная положение частицы в пространстве в момент t и путь  , пройденный за время t ,
невозможно однозначно определить его конечное положение, если неизвестна траектория
движения. В этом смысле очень удобной величиной оказывается вектор перемещения –
направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела. Если в
момент
t
положение частицы определялось радиус-вектором
радиус-вектором
r2  r  t  t 
(рис. 1.4), то за время
t
r1  r  t  ,
а в момент
t  t
-
изменение положения частицы будет
определяться приращением радиус-вектора
r  r  t  t   r  t  ,
которое есть перемещение частицы за время
перемещению
r
за время
t
t .
По начальному положению частицы
(1.4)
r t 
и
из (1.4) можно определить конечное положение частицы
r  t  t   r  t   r .
Средний темп изменения положения частицы в пространстве определяется вектором
средней скорости:
v 
r
t
(1.5)
которая имеет направление, совпадающее с r и численно равна среднему перемещению за
единицу времени. Однако средняя скорость применима лишь для того участка траектории, для
которого она рассчитана. Вне пределов этого участка или для внутренних, более маленьких
отрезков того же участка средняя скорость, вообще говоря, будет другой. По этой причине
вводится понятие мгновенной скорости или просто скорости, которая является пределом
средней скорости, когда t стремится к нулю:
v  t   lim
t 0
r  t  t   r  t  dr
r
 lim
 r
t
t
dt
(1.6)
Скорость – первая производная радиус-вектора по времени.
Скорость в любой точке траектории направлена по ее касательной. Это следует из
определения (1.6), если учесть, что секущая, проведенная через две точки данной кривой,
переходит в касательную при стремлении к нулю длины ее хорды (рис. 1.5).
рис. 1.5
В общем случае
dr  dr , так что v  dr / dt (!) . Модуль скорости вычисляется по формуле
v  vv 
dr dr

dt dt
.
(1.7)
Скорость – непрерывная функция времени. Быстрота ее изменения во времени
характеризуется ускорением. Ускорение – тоже вектор. Оно имеет направление вектора
изменения скорости и смысл приращения скорости за единицу времени.
Ускорение – первая производная скорости по времени:
a  lim
t 0
v  t  t   v  t  dv

 v.
t
dt
(1.8')
Учитывая определение скорости (1.6) получим, что ускорение является второй производной
радиус-вектора по времени
a
dv d 2 r ..

r
dt dt 2
(1.8)
Оказывается (это следует из второго закона Ньютона), что первой и второй производных
радиус-вектора по времени достаточно для полного описания движения. По этой причине
производные более высокого порядка не рассматриваются (относительно движения они не
несут дополнительной информации).
рис. 1.6
В отличие от вектора скорости, который направлен по касательной
в любой точке
траектории, ускорение может иметь совершенно другое направление (рис. 1.6). Угол между
ними определяется по формуле скалярного произведения векторов
cos  v  a / v  a ,
где модуль ускорения вычисляется по формуле аналогичной (1.7).
(1.9)