Лекция 1 Кинематика материальной точки

Лекция 1
Кинематика материальной точки
Предмет и задачи физики. Пространство – время. Система отсчета. Абстракции. Кинематика материальной точки. Способы описания движения. Скорость, тангенциальное и нормальное ускорение. Движение по окружности. Угловая скорость, угловое ускорение, их связь с соответствующими линейными величинами.
Введение
Физика - фундаментальная естественная наука, изучающая наиболее общие свойства материи, наиболее простые и общие закономерности движения.
Физика – экспериментальная наука. Хотя современные физические теории имеют достаточно сложную и абстрактную математическую структуру, тем не менее, их основные законы являются результатом обобщения экспериментальных фактов.
Эксперименты, лежащие в основе того или иного закона физики характеризуются точностью
измерений и ограничениями на область изменения рассматриваемых величин. Так что любой физический закон имеет определенные границы применимости. Несмотря на это, в физике удалось
получить такие законы (закономерности), которые имеют всеобъемлющий характер, т.е. действуют во всех известных нам физических явлениях и верны при любой точности измерений. К этому
числу относятся, к примеру, законы сохранения …
Физические законы, имеющие наиболее широкое поле применения, часто называют фундаментальными. Кроме законов сохранения к числу фундаментальных законов можно отнести,
например, законы Кулона и всемирного тяготения. С другой стороны, ряд физических законов
имеют строго ограниченные границы применения. Например, законы сухого и мокрого трения, закон Гука верны лишь в жестко определенных пределах относительных скоростей, температуры,
деформаций и т.п.
Объекты исследования современной физики характеризуются весьма широкими диапазонами
13
28
пространственных размеров – от 10 см (классический радиус электрона) до 10 см (размеры
Метагалактики – части Вселенной, доступной в настоящее время наблюдательной астрономии),
масс – от
1027 г
(масса покоя электрона) до
1056 г (масса Метагалактики), времен – от 1024 с
18
до 5  10 с, т.е. 15 млрд. лет (возраст Метагалак-
(время жизни некоторых резонансных частиц)
тики)…
Из разделов физики наиболее рано начала развиваться механика.
Механика – наука о движении и равновесии тел.
Движение материи в широком смысле – это ее изменение вообще. Механика изучает простейший вид движения материи – механическое движение. Основы механики, сформулированные
Ньютоном (1643-1727) около трех веков тому назад, с успехом описывали и объясняли все экспериментальные факты и наблюдения вплоть до XX века, когда выяснилось, что ньютоновская
механика относится только к медленно двигающимся макроскопическим телам.
Поясним смысл последнего утверждения.
Говоря «медленное» движение мы подразумеваем движения, скорости которых намного мень-
ше скорости света в вакууме с: v
c  3  10 м / с .
Движения со скоростями близкими к скорости света называются релятивистскими и описываются законами релятивистской механики.
В задачах, представляющих практический интерес, мы имеем дело, в основном, с медленными
движениями. В частности, движение тел в Солнечной системе описывается законами механики
Ньютона. С релятивистскими движениями мы сталкиваемся в исследованиях, связанных с движением частиц в ускорителях или в некоторых космических явлениях.
В начале XX века экспериментально было установлено, что физические объекты обладают
волновыми свойствами. Причем приписываемая объекту длина волны определяется формулой
(Луи де Бройль, 1924г.)
8

h
mv
,
где
m
– масса,
v
– скорость объекта,
h  6,62  1034 Дж  с
- постоянная Планка.
Волновые свойства объекта становятся существенными, когда характерный размер задачи

оказывается порядка дебройлевской длины волны
данного объекта. Подобные физические
объекты называются микроскопическими (микрочастица, микрообъект), поведение которых
описывается законами квантовой механики.
Примерами микрообъектов являются атомы, молекулы, ядра, их составные части и т.п. Явления, связанные с микрочастицами, называются микроскопическими явлениями.
Если характерные размеры задачи (физического объекта)
намного больше дебройлевской

длины волны объекта, т.е.
, то объект называется макроскопическим и его волновыми
свойствами можно пренебречь. Явления, связанные с макроскопическими телами, называются
макроскопическими явлениями. Они подчиняются законам классической механики. И так,
условия
v
c; mv
h
(1.1)
определяют границы применимости ньютоновской механики. При нарушении первого из этих
условий нужно пользоваться законами релятивистской механики, при нарушении второго – законами квантовой механики. Если не соблюдаются оба эти условия, то в силу вступают законы релятивистской квантовой механики (см. рис.1.1)
рис.1.1
Ньютоновская и релятивистская механики, которые описывают макроскопические явления,
обычно называют классической (неквантовой) механикой.
Релятивистская и квантовая механики - более общие теории, которые в частных случаях, когда c   и h  0 , дают результаты ньютоновской механики. Данный факт, конечно же, не
означает, что ньютоновская механика потеряла свое значение. В области применимости (1.1), которая включают в себя объяснение явлений чрезвычайно широкого круга, ньютоновская механика обеспечивает точные результаты. А такие задачи, как например, исследование поведения
электрона в атоме, движение заряда в ускорителях и т.п., необходимо решать в рамках квантовой
и релятивистской механики.
Укажем следующее важное обстоятельство.
Никакая теория не может определять границы своего применения. Это можно сделать с
помощью новых, более общих теорий, которые в пределе должны давать результаты старой теории. В частности, условия применимости (1.1) ньютоновской механики, были указаны соответственно релятивистская и квантовая механики.
Пространство и время. Система отсчета.
Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве с течением
времени. Положение тела относительно и может быть указано только лишь по отношению к другим телам. Тело, относительно которого определяются положения других тел, называется телом
отсчета. В этой роли может выступать любое тело, имеющее массу покоя. Для определения положения тел в пространстве с телом отсчета связывают какую-либо систему координат, к примеру, прямоугольную систему координат (рис.1.2). В ней направления возрастания координат x,
y, z даются соответственно единичными векторами i, j, k (орты). Координаты x, y, z, которыми определяется положение тела в пространстве, равнозначны вектору, соединяющему начало
координат О системы отсчета с рассматриваемой точкой М. Он называется радиус-вектором точки, который связан с координатами точки соотношением (рис. 1.2.)
r  ix  jy  kz.
(1.2)
Положение точки в пространстве однозначно определяется его радиус-вектором или,
что одно и то же, координатами точки.
Рис. 1.2
Определение положения приводит к необходимости измерения длин. Измерение длины производится следующим образом: выбирается какой-либо эталонный стержень, длина которого принимается за единицу длины. Измерить какую-либо длину означает определить, сколько раз
помещается выбранный эталон в данном промежутке. Полученное число и есть измеряемая
длина, выраженная в выбранных единицах измерения. Это есть способ непосредственного (или
прямого) измерения длины, который возможен не всегда.
В таких случаях пользуются косвенными методами измерения. Например, для определения
расстояния удаленного объекта С используется метод триангуляции, при котором непосредственно измеряется длина, так называемой, базы АВ (расстояние до ближайшего предмета В) и
углы  ,  (рис.1.3). Затем, по формулам геометрии определяется расстояние АВ. На основе этого
метода определяются расстояния до ближайших звезд. При этом в качестве базы используется
диаметр орбиты обращения Земли вокруг Солнца, а стороны треугольника считаются прямыми линиями, т.е. пространство считается эвклидовым. Сверхточные астрономические измерения
показывают, что пространство является эвклидовым не только в пределах Солнечной системы, но
также в пределах нашей Галактики, и вне нее – в Метагалактике. Точно так же нет оснований
ожидать нарушений геометрии Евклида и в микромире – в субатомных областях размерами порядка
1013 см.
Рис. 1.3
Для описания движения кроме тела отсчета и системы координат необходимо иметь метод измерения времени. С количественной точки зрения время – это показания часов. А часы –
это система, в которой происходят какие-то периодические процессы. Как и в случае измерения длин, здесь необходимо выбрать эталонные часы. Эталоны должны быть легко воспроизводимы, независимо от времени и места изготовления они должны работать одинаково. Этому
условию очень хорошо удовлетворяют кварцевые, молекулярные и атомные часы, в которых роль
маятника выполняют колебания кристаллической решетки кварца, колебания атомов в молекулах,
электромагнитные колебания монохроматического света, излучаемого атомами химических элементов в строго определенных внешних условиях. Особенно стабильны атомные часы, согласно
которым и устанавливается единица времени – секунда.
Секунда есть величина периода излучения перехода между двумя определенными
уровнями в атоме цезия-133, умноженная на 9192631770. Подобным образом устанавливается и метр - это длина волны, излучаемая атомом криптона-86 при переходе
2 p10  5d 5 , умноженная на 1650763,73.
Для изучения движения необходимо наличие многих часов, распределенных неподвижно в
пространстве и синхронизированных между собой. Синхронизация часов - один из тонких вопросов физики. Она требует особого рассмотрения, которое будет проведено в разделе теории относительности. Пока что предположим, что часы синхронизированы.
Тело отсчета, связанная с ним система координат с синхронизированными часами
получило название системы отсчета (СО).
В физике ряд принципов связан со свойствами различных систем отсчета.
Механика ставит перед собой две основные задачи:
- изучая различного рода движения тел, причины их возникновения, выявить законы
и уравнения движения, с помощью которых стало бы возможным получить исчерпывающее описание движения в каждом конкретном случае;
- установление свойств общих для всех систем, которые не зависят от вида движения
или взаимодействия тел, входящих в систему.
Решение первой из этих задач привело Ньютона и Эйнштейна к выявлению законов соответственно ньютоновской и релятивистской динамики, а решение второй задачи – к получению
законов сохранения. Законы динамики вместе с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса составляют скелет механики.
В механике используются два основных абстрактных понятия – понятие материальной точки
(или частицы) и понятие абсолютно твердого тела.
Материальная точка это простейшая механическая система. Так называется любое макроскопическое тело, пространственными размерами которого можно пренебречь, считая, что вся материя в нем сосредоточена в геометрической точке.
Можно ли движение тела заменять движением материальной точки или нет, зависит не столько
от свойств самого тела, сколько от природы движения, поставленной задачи и требуемой точности
решения.
Поясним условия применимости понятия материальной точки на простейшем примере. Определим время
которого двигающийся со скоростью v автомобиль длиной
b
пройдет по мосту длиной
t , в течение
(ответ получить с точностью
 ).
Принимая автомобиль за материальную точку, для требуемого промежутка времени получим
ров автомобиля дает
t0  1/ v . Учет разме-
t    b  / v = 1 + b/   1/ v = 1 + b/  t0
Из полученных результатов, очевидно, что движение автомобиля можно заменить движением материальной точки (т.е.
t
заменить
t 0 ), если b
1 , т.е. если размеры автомобиля намного меньше длины моста. В физике часто используют
выражения «намного меньше» или «намного больше». Возникает вопрос - сколько раз должна быть меньше длина автомо-
 , с которой требуется определить время. В рассматриваемом примере длину автомобиля можно считать намного меньше длины моста, если t  t0   ,
откуда b /   / t0 . Поэтому в зависимости от условий задачи (требуемой точности) в одном случае, когда, скажем
b /  0,1 , можно принять автомобиль за материальную точку (хотя b всего лишь в 10 раз меньше ), а в другом случае, когда b /
103 , будет невозможно этого сделать.
биля
b
длины моста
, чтобы считать, что
b
? Ответ на этот вопрос дает точность
Абсолютно твердое тело – это совокупность материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными во время движения, т.е. система не подвергается деформации. Все
реальные тела, конечно же, подвергаются деформации под воздействием внешних сил. Однако,
если величина деформаций намного меньше размеров самого тела, то подобное тело можно считать абсолютно твердым и пренебречь его деформациями при рассмотрении движения.
Кинематика материальной точки. Способы описания движения.
В разделе механики под названием кинематика разрабатываются способы описания движения тел, не затрагивая самих причин их возникновения.
В кинематике вводятся величины, характеризующие пространственно-временные связи – кинематические величины, с помощью которых было бы возможно исчерпывающее описание
движения тел, т.е. математическое описание положения тел в пространстве в любой момент времени. Подобные математические выражения называются законами движения.
Изучение движения можно проводить в любой системе отсчета. И хотя движение данного тела
в разных системах отсчета может выглядеть совершенно по-разному, с точки зрения кинематического рассмотрения движения нет никакой принципиальной разницы, какая система отсчета выбрана.
Все системы отсчета кинематически равноправны.
Между системами отсчета возникают принципиальные различия, когда требуется объяснить
наблюдаемое разнообразие видов движений.
Обычно в кинематике обсуждаются три метода описания движения материальной точки – векторный, координатный и естественный.
Векторный способ.
В этом методе не конкретизируется координатная система, связанная с телом отсчета. И вообще, зависимости, записанные в векторной форме, имеют ту важную особенность, что независимы
от выбора системы координат. В векторном методе положение частицы в пространстве задается
радиус-вектором, который «связывает» начало координат O с частицей (рис 1.4). Во время движения радиус-вектор непрерывно меняется
r  r(t )
(1.3)
Рис. 1.4
Эта зависимость дает положение тела в пространстве в любой момент времени и называется
законом движения. Во время движения конец радиус-вектора описывает в пространстве определенную кривую, которая называется траекторией движения. По виду траектории движения
делятся на прямолинейные и криволинейные. Прямолинейность или криволинейность движения
относительна. Движение частицы, прямолинейное в одной системе отсчета, может быть криволинейным в другой. Длина траектории, описанной частицей за определенный промежуток
времени, называется пройденным путем. Если в момент времени t частица находилась в точке траектории А, а в момент времени
t  t
в точке В, то пройденный ею путь за время
t
это
t
по-
длина  дуги АВ (рис. 1.4). Пройденный путь – скалярная величина, исчисляемая в единицах
длины.
Зная положение частицы в пространстве в момент t и путь  , пройденный за время t , невозможно однозначно определить его конечное положение, если неизвестна траектория движения. В этом смысле очень удобной величиной оказывается вектор перемещения – направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела. Если в момент
ложение частицы определялось радиус-вектором
r2  r  t  t 
(рис. 1.4), то за время
t
r1  r  t  ,
а в момент
t  t
- радиус-вектором
изменение положения частицы будет определяться при-
ращением радиус-вектора
r  r  t  t   r  t  ,
которое есть перемещение частицы за время
перемещению
r
за время
t
t .
По начальному положению частицы
(1.4)
r t 
и
из (1.4) можно определить конечное положение частицы
r  t  t   r  t   r .
Средний темп изменения положения частицы в пространстве определяется вектором средней
скорости:
v 
r
t
(1.5)
которая имеет направление, совпадающее с r и численно равна среднему перемещению за
единицу времени. Однако средняя скорость применима лишь для того участка траектории, для которого она рассчитана. Вне пределов этого участка или для внутренних, более маленьких отрезков того же участка средняя скорость, вообще говоря, будет другой. По этой причине вводится
понятие мгновенной скорости или просто скорости, которая является пределом средней скорости, когда t стремится к нулю:
v  t   lim
t 0
r  t  t   r  t  dr
r
 lim
 r
t
t
dt
(1.6)
Скорость – первая производная радиус-вектора по времени.
Скорость в любой точке траектории направлена по ее касательной. Это следует из определения (1.6), если учесть, что секущая, проведенная через две точки данной кривой, переходит в касательную при стремлении к нулю длины ее хорды (рис. 1.5).
рис. 1.5
В общем случае
dr  dr , так что v  dr / dt (!) . Модуль скорости вычисляется по формуле
v  vv 
dr dr

dt dt
.
(1.7)
Скорость – непрерывная функция времени. Быстрота ее изменения во времени характеризуется ускорением. Ускорение – тоже вектор. Оно имеет направление вектора изменения скорости и
смысл приращения скорости за единицу времени.
Ускорение – первая производная скорости по времени:
a  lim
t 0
v  t  t   v  t  dv

 v.
t
dt
(1.8')
Учитывая определение скорости (1.6) получим, что ускорение является второй производной
радиус-вектора по времени
dv d 2 r ..
a

r
dt dt 2
(1.8)
Оказывается (это следует из второго закона Ньютона), что первой и второй производных радиус-вектора по времени достаточно для полного описания движения. По этой причине производные более высокого порядка не рассматриваются (относительно движения они не несут дополнительной информации).
рис. 1.6
В отличие от вектора скорости, который направлен по касательной в любой точке траектории,
ускорение может иметь совершенно другое направление (рис. 1.6). Угол между ними определяется по формуле скалярного произведения векторов
cos  v  a / v  a ,
(1.9)
где модуль ускорения вычисляется по формуле аналогичной (1.7).
Координатный способ.
Решение конкретных задач механического движения не всегда осуществимо в рамках векторного метода, без конкретизации системы координат. В этом случае наиболее целесообразен координатный метод. В его основе лежит следующий факт: любое движение частицы можно
представить как наложение движений той же частицы вдоль трех координатных осей.
Выбор системы координат диктуется характером движения частицы, исходя, в первую очередь,
из соображений простоты и удобности. В принципе, любое движение частицы можно описать,
например, в прямоугольной системе координат. Однако, в случае удачного выбора системы координат можно избежать ненужных математических выкладок и получить результат в более наглядной форме. Например, для движения частицы по поверхности цилиндра движение удобнее описывать с помощью цилиндрической системы координат. В координатных системах другого вида указанное движение может выражаться сложными, трудно интерпретируемыми формулами.
Поясним сущность координатного метода на примерах прямоугольной и полярной систем координат.
Прямоугольная система координат.
Здесь зависимость между радиус-вектором и координатами дается в виде (1.2). При этом закон движения (1.3) будет равнозначен выражениям
x  x t  , y  y t  , z  z t 
(1.10)
которые одновременно представляют уравнение траектории движения в параметрической
форме. Исключив из (1.10) параметр
t
, получим уравнение траектории
z  f  x, y 
в явном ви-
де. Например, если движение тела описывается уравнениями
x  A cos t , y  B sin t , z  0 ,
то траекторией движения будет эллипс с полуосями А и В:
x2 / A2  y 2 / B2  1.
В координатном методе перемещение (1.4) выражается изменением координат, характеризующих изменение положения частицы на выбранных осях:
r  ix  jy  k z ,
где
x  x  t  t   x  t  ,
y  y  t  t   y  t  ,
z  z  t  t   z  t  .
Для получения составляющих скорости воспользуемся (1.6) и (1.2)
v  r  ix  jy  kz,
Откуда получаем формулы для компонент скорости:
vx  x, vy  y, vz  z.
(1.11)
Эти величины характеризуют быстроту изменения положения частицы вдоль соответствующих
координатных осей.
Аналогичным образом определяют составляющие ускорения:
ax  vx  x, a  vy  y, az  vz  z
Зная составляющие векторов
v
и
a
(1.12)
можно рассчитать их модули
v  vx2  vy2  vz2 ;
a  ax2  ay2  az2
и путь, пройденный частицей за промежуток времени между
t
t
1
2
t1
и
(1.13)
t2 .
 t 2 vdt  t 1 vx2  vy2  vz2 dt
(1.14)
Рис. 1.7.
Полярная система координат*
Этой системой координат целесообразно пользоваться в том случае, если движение частицы
совершается в плоскости. Положение частицы в полярной системе координат определяется ради-
альной ( r ) и угловой (  ) координатами, которые связаны с координатами прямоугольной системы соотношениями
Закон движения
траектории
x  r cos ; y  r sin  .
дается в виде r  r  t  ,    t  ,
r  r   .
откуда, исключив
t,
получим уравнение
В полярной системе координат с частицей связывают взаимоперпендику-
лярные подвижные векторы
рассматриваемой точке. За
er , e (орты), которые показывают направления
элементарный промежуток времени орты er , e
возрастания
r
и

в
повернутся на один и
тот же угол, и будут иметь следующие приращения
der  e d , de  er d ,
разделив которые на
dt , получим
er  e , e  er ,
Рассчитаем скорость и ускорение частицы. Заметим, что радиус-вектор можно представить как
r  rer
(1.15)
Воспользовавшись определением скорости (1.10), получим
.
.
.
.
.
v  r  r er  r e r  er r  e r  ,
Откуда
.
.
vr  r , v  r 
(1.16)
Это радиальная и угловая составляющие скорости, первая из которых характеризирует интенсивность изменения расстояния от частицы до начала координат O , а вторая – вращение вокруг
той же точки.
Подобным же образом получим уравнения для составляющих ускорения
a  v   r  r   er   2 r   r   e ,
.
..

..
. .


..

Откуда
..
. 2
ar  r  r  ,
. .
..
1d 2 .
a  2 r   r  
r  .
r dt 

(1.17)
(1.18)
Естественный способ.
Этим методом можно пользоваться, если заранее известна траектория движения частицы.
В подобных случаях за координатную ось удобно принять кривую самой траектории.
Пусть движение совершается вдоль кривой L (рис.1.7). Выберем точку отсчета О и положительное направление оси. Положение частицы на кривой однозначно определится длиной
части кривой, соединяющей частицу с точкой отсчета О, которая называется дуговой координатой
частицы. И так, закон движения в естественном методе задается в виде
t  .

(1.19)
Рис. 1.8.
t определяется приращением
   t  t    t 
Изменение положения частицы за время
которая есть путь, пройденный частицей:
дуговой координаты,
В естественном методе скорость - это первая производная дуговой координаты по времени:

d

t 0 t
dt
v  lim
Введем связанный с частицей единичный вектор
в любой точке траектории. Очевидно, что
точки на кривой, т.е.
 =    t  .
=
.


(1.20)
, который будет направлен по касательной
меняет свое направление и зависит от положения
Учитывая (1.19), видим, что

сложная функция от времени
Вектор скорости выразим с помощью введенного касательного вектора следующим образом
v  v 
.
(1.21)
Воспользовавшись определением ускорения (1.8) и (1.21) получим
.
.
.
a  v   v  v
Учитывая, что
уравнения

(1.22)
- сложная функция от времени, преобразуем последний член полученного
.
v  vd / dt  v 2 d / d
(1.22')
рис. 1.9а.
Выразим величину d / d
через геометрические характеристики кривой. Предположим, в
момент времени t частица находится в точке А кривой, которой соответствует единичный вектор
  t  . Пройдя путь d
за промежуток времени
dt
частица в момент времени
  t  t 
займет
положение В (рис. 1.9а).
Предположим, что рассматриваемая кривая плоская, т.е. все ее точки лежат в одной плоскости. Проведем нормали от точек А и В (перпендикуляры к касательным в плоскости кривой), точку
пересечения которых обозначим через
O1 . В дифференциальной геометрии показывается,
рис.1.9б.
что элементарный отрезок любой непрерывной кривой можно представить как дугу окружности определенного радиуса. Так что, рассматриваемая часть кривой АВ есть дуга окружности с
центром в точке
O1
и радиусом
O1 A  O1 B  R
(рис. 1.9а). Точка
O1
называется центром кри-
визны этой части кривой, а R – радиусом кривизны. Фактически, любую кривую можно представить как совокупность дуг с разными центрами и радиусами кривизны.
Построив векторный треугольник AMN, показывающий приращение вектора d за время dt
(рис. 1.9б), легко заметить, что он подобен треугольнику О 1АВ. Исходя из этого, для
лучим:

d

,
d
O1 A
d
1
 .
d
R
d / d
по-
За время dt приращение d
перпендикулярно касательному вектору  в точке А (рис.
1.8б), т.е. направлено по нормали в этой точке к центру кривизны. Введя единичный вектор n ,
направленный по нормали, получим
d
n
 .
d
R
(1.23)
С учетом полученного результата и (1.22), выражение ускорения (1.22') примет следующий
вид
dv
v2
a 
n
dt
R
(1.24)
И так, ускорение в произвольной точке кривой представилось в виде суммы двух взаимноперпендикулярных векторов (рис.1.9). Подобное представление вектора ускорения имеет большие преимущества. Ускорение – это величина, показывающая быстроту изменения скорости во
времени. Скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Первый член в правой
части формулы ускорения (1.24) называется тангенциальным ускорением.
Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, характеризирует быстроту изменения величины скорости и равно первой производной модуля скорости по времени:
рис. 1.10.
a 
dv
.
dt
(1.25)
Второе слагаемое называется нормальным ускорением:
v2
an 
R
.
(1.26)
Нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости частицы и обратно пропорционально радиусу кривизны кривой в данной точке. Оно перпендикулярно вектору
скорости, направлено к центру кривизны и характеризирует быстроту изменения
направления скорости
Полное же ускорение вычисляется по формуле
a  a2  an2 
 dv / dt 
2
 v4 / R2
.
(1.27)
Тот факт, что составляющая ускорения, сонаправленная с вектором скорости, может изменять только величину скорости, а перпендикулярная составляющая – только направление вектора скорости следует непосредственно из определения
ускорения (
1.8 ), откуда
v  t  t   v  t   adt .
(1.28)
Случаи, изображенные на рис. 1.10, поясняют изменения начальной скорости
конечная скорость
v  t  t 
v t 
за промежуток времени
dt , где
получена согласно (1.28), в случае движения с тангенциальным (рис.1.10а, б) и нормаль-
ным (рис.1.10в) ускорением. Заметим, что тангенциальное ускорение может только увеличивать или уменьшать длину вектора скорости, а нормальное ускорение может вызвать только его вращение.
рис.1.11.
Движение с постоянной по модулю скоростью называется равномерным движением. Понятно,
 const , a  v  0 ). Прямой линии соотR   . Так как скорость величина ограничен-
что тангенциальное ускорение при этом равно нулю ( v
ветствует бесконечно большой радиус кривизны -
ная, то прямолинейному движению соответствует нулевое нормальное ускорение.
По величинам тангенциального и нормального ускорения движение материальной точки можно
систематизировать следующим образом:
а)
an  0, a  0
- прямолинейное равномерное движение. Это наиболее простой вид механи-
ческого движения и происходит без ускорения.
an  0, a  0 - прямолинейное неравномерное движение. В частном случае, когда
a  const , получаем равномерно-ускоренное движение.
an  0, a  0
в)
равномерное движение по криволинейной траектории. Если
an  const , то движение происходит по окружности. Действительно, условие a  0 дает
v  const , а an  const означает, что R  const . А кривая с постоянным радиусом кривизны и
есть окружность. Так что, случай an  const , a  0 соответствует случаю равномерного движения по окружности. В данном случае an называется центростремительным ускорением.
г) an  0, a  0 . Это случай наиболее общего вида движения. Если R  const , то имеем
б)
неравномерное движение по окружности.
Движение материальной точки по окружности.
Введенные кинематические величины характеризуют все виды движения частицы. Несмотря
на это, при рассмотрении вращательного движения целесообразно перейти к, так называемым,
угловым кинематическим величинам. Их использование удобно тем, что вращательное движение
характеризуется постоянной величиной радиуса кривизны.
Рис. 1.12.
Пусть частица совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси ОО1 (рис. 1.12).
Положение частицы на окружности выразим с помощью радиус-вектора r , который представим в
виде суммы двух составляющих - параллельной и перпендикулярной оси вращения:
r  rII  r .
Во время движения частицы параллельная составляющая
щается. Причем,
перемещение
r  r sin   R
(1.29)
rII
остается неизменным, а
- величина радиуса окружности. За время
dr , благодаря чему вектор r
повернется на угол
dt
между модулями векторов
Действительно, если
d
r , dr
и
d
d
- вра-
частица совершит
d
dr  r d  r sin  d .
Элементарному углу вращения
r
(1.30)
можно приписать направление так, чтобы связь
можно было бы представить в векторной форме.
- это вектор, направленный по оси вращения так, что если при
взгляде со стороны конца этого вектора вращение частицы происходит в направлении обратном
вращению часовой стрелки, то можно написать
dr  [d , r ]
Здесь было использовано (1.29) с учетом того, что
Определенный таким образом вектор
d
или
dr  dr [d , r ]
(1.31)
r  const , ( dr  0 ).
называется угловым перемещением и, в отличие
от обычных векторов, которые называются полярными векторами, это аксиальный (осевой)
вектор. Аксиальные векторы подчиняются тем же законам сложения и умножения, что и полярные. Между ними есть некоторые различия, но мы не будем сталкиваться с этим в рамках изучения механики.
Необходимо помнить, что в векторной форме можно представлять только бесконечно
малые углы вращения. Конечные углы вращения нельзя представлять в векторной форме. Это
следует хотя бы из того, что при конечном угле вращения  вместо (1.30) получается
r  2r sin  sin   / 2  ,
(1.32)
на основе которого уже невозможно записать связь (1.31). Только когда
  0 , (1.32) перехо-
дит в (1.30) и, следовательно, верно (1.31)
Быстрота изменения угла вращения во времени характеризуется вектором угловой скорости

d .
 ,
dt
(1.33)
который является аксиальным вектором, направленным по оси вращения.
Производная угловой скорости по времени называется угловым ускорением, которая характеризует интенсивность изменения угловой скорости во времени:
.
..
    .
В случае вращения вокруг неподвижной оси, вектор
e
(1.34)
направлен вдоль оси вращения. При-
чем, если вращение ускоряющееся, то  совпадает с направлением  , если замедляющееся – в
обратную сторону. По этой причине во время изучения вращения вокруг неподвижной оси целесообразно пользоваться проекциями векторов d , , и  на ось вращения:
.
.
..
  ,     ,
где
и 
(1.35)
- скалярные величины.
Очевидно, что закон вращательного движения дается зависимостью
   t  .
Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами.
Разделив обе стороны (1.31) на
лучим
dt , учитывая определения линейной и угловой скоростей, поv  [r ]  [r ].
(1.36)
Полученная формула (1.36) - векторная связь между линейной и угловой скоростями.
Связь их модулей дается формулой, известной еще из школьного курса физики,
v  r sin   r .
(1.37)
Дифференцируя (1.36) по времени, получим ускорение частицы, совершающей вращательное
движение, выраженное угловыми величинами
рис.1.13
.
.
a  [ r ] [ r ]  [ r ]  [[r ]] ,
где мы учли определение угловой скорости и формулу (1.31).
Воспользовавшись формулой разложения двойного векторного произведения (легко запоминающееся правило «бац-цаб»)
[ A[ BC ]]  B ( AC )  C ( AB),
(1.38)
Получим
[[r ]]   (r )  2 r ,
и далее, учитывая, что
 r   0 , получим следующую формулу для ускорения частицы,

совершающей движение по окружности:
a  [ r ]  2 r
(1.39)
Первое слагаемое правой части последней формулы всегда направлено по касательной. Это
тангенциальное ускорение частицы:
a  [ r ], a   R
(1.40)
Второе слагаемое направлено по радиусу к оси вращения. Это нормальное ускорение частицы (в данном случае называется центростремительным):
an   2 r ,
Здесь
R  r
an  2 R
(1.41)
- радиус окружности.
Выражения для тангенциального (1.40) и нормального (1.41) ускорений получаются также из
основных формул (1.25), (1.26) естественного способа описания движений, если учитывать связь
между скоростями (1.37) и условие
r  const .
Контрольные вопросы:
● В каких условиях можно пользоваться понятием материальной точки? ● Дайте определения
скорости в векторном способе описания движений? ● Что такое закон движения и как выражается
он в разных способах описания движения? ● Как определяется скорость в разных способах описания движений? ● Что характеризует ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения? ● Какое
движение называется равномерным? ● Какие вы знаете угловые кинематические величины? Как
они связаны с соответствующими линейными величинами?
Примеры решения задач кинематики
п1.1. Частица движется по закону
r  At 1  Bt 2 
, где А – постоянный вектор, В –
положительная постоянная. Найти: а) скорость и ускорение частицы в произвольный
момент t ; б) через какое время  она вернется в исходную точку, и какой путь s пройдет при этом.
Решение. Из закона движения видно, что частица в исходной точке r = 0 находится дважды:
1
в начальный момент t  0 и в момент   B 2 .
С помощью формулы (1.6) для скорости частицы получаем
v  dr / dt  A1  3Bt 2  ,
откуда видно, что А есть ее начальная скорость. Далее движение замедляется, и скорость обращается в ноль в момент времени
t1   3B 
1
2
, на расстоянии от исходной точки
r1  r  t1   At1 1  Bt 2   2 A / 3 3B 
1
2
.
Дальнейшее движение происходит в обратном направлении с нарастающим со временем ускорением
a  dv / dt  6 ABt .
Очевидно, за время

пройденный путь частицы будет
s  2r1  4 A / 3  3B 
п1.2. Частица движется в плоскости ХУ со скоростью
1
2
.
v  iA  jBx , где A и B - посто-
янные. В начальный момент частица находилась в начале координат. Найти: а) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус кривизны траектории в зависимости от координаты x.
Решение. Проекции скорости частицы на координатные оси таковы:
vx  dx / dt  A; vy  dy / dt  Bx,
откуда видно, что
зависит лишь от х. Следовательно, y(t) можно представить как сложную
vy
функцию от t: y(x(t)), поэтому можно писать:
dy / dt   dy / dx  dx / dt   vx  dy / dx   Ady / dx  Bx.
Интегрируя последнее уравнение, с учетом начального условия y(x=0) = 0, получим уравнение
траектории в виде параболы:
dy / dx  Bx / A, y  Bx2 / 2 A
Для ускорения частицы получаем
ax  dvx / dt  0; a y  dvy / dt  Bdx / dt  BA,
т.е. ускорение постоянно и направлено по оси У: a  a y  AB.
Кривизну траектории в произвольной точке определим по формуле
R  v 2 / an  v 2 / a  sin   v3 / avx   A2  B 2 x 2  2 / A2 B.
где пользовались тем, что sin   vx / v (  – угол между v и a ).
3
п1.3. Частица движется, замедляясь, по окружности радиусом R так, что в каждый
момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. Учитывая, что в начальный момент времени t=0 скорость частицы равна
v0 , найти: а)
скорость частицы как функции от времени и от пройденного пути s; б) полное ускорение
как функции от времени и от пройденного пути s.
dv / dt  v 2 / R,
Решение. Согласно условиям задачи:
где знак минус указывает на замедле-
ние движения. Разделяя переменные и интегрируя с учетом начального условия, для скорости,
как функции времени, получим:
v
v0
.
1  v0t / R
Интегрируя полученное выражение по времени в пределах от 0 до t, получим пройденный
путь:
s  0 vdt  R ln (1  v0t / R) .
t
Исключением из последних двух формул t, получим зависимость скорости от s:
v  v0 e s / R .
Так как
a  an ,
то для полного ускорения находим:
a  2an  2v 2 / R  2(v02 / R)e 2 s / R .
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр. (на армянском яз.).
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.
Задачи
з1.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 4м/с. Когда оно достигло
верхней точки траектории из того же пункта с той же скоростью бросили второе тело. На какой
высоте встретятся тела?
з1.2. Точка движется с ускорением 5 м/с2 по прямой. Определить на сколько ее путь,
пройденный за n-ую секунду, больше чем путь за (n-1)-ую секунду.
з2.3. Две машины движутся по дорогам, угол между которыми равен 60. Скорости их v1
= 54 км/ч и v2 =72 км/ч. Найти их относительную скорость.
з2.4. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью Vо=10м/с и
ускорением а=-5м/с2. Определить во сколько раз пройденный ею путь будет превышать модуль
ее перемещения спустя t=4с после начала отсчета времени.
з2.5. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со
скоростью v1==18 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью v2=22
км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью V3=5 км/ч. Определить
среднюю скорость <V> велосипедиста.
з2.6. Тело брошено со скоростью V0=30м/с под углом =30° к горизонту. Каковы
нормальное и тангенциальное ускорения тела в момент t =1с после начала движения?
з2.7. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью
=/6 рад/с. Во сколько раз путь, пройденный точкой за время t=4 с, будет больше модуля ее
перемещения? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий
положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол
0=/3 рад.
з2.8. Материальная точка движется в плоскости xy согласно уравнениям x=A1+B1t+C1t2 и
у=A2+B2t+C2t2, где B1=7м/с, C1=-2 м/с2 ,B2=-1м/с, С2 =0,2 м/с2. Найти модули скорости и
ускорения точки в момент времени t=5с.
з2.9. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью =l рад/с платформы идет
человек и обходит платформу за время t = 9.9с. Каково наибольшее ускорение движения
человека относительно Земли? Принять радиус платформы R=2м.
з2.10. Точка движется по окружности радиусом R=30см с постоянным угловым
ускорением . Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что за время t=4с
она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а n=2.7 м/с2.