МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по теме “Равномерное и равнопеременное движение. Движение по окружности” для абитуриентов физического факультета 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ (ЧАСТИЦЫ) 1.1. Основные понятия Перемещением материальной точки (частицы) за некоторый промежуток времени называется вектор, проведенный из начальной в конечную точку траектории, пройденной частицей за этот промежуток времени. Из рис. 1 видно, что вектор перемещения y _ Δr равен изменению радиус-вектора Пройденный путь - S – скалярная 1 величина, равная расстоянию, ∆r пройденному частицей по ее траекто_ _ 2 рии. При прямолинейном движении r1 r2 в одном направлении пройденный путь и модуль перемещения совпадают: S = _ = | Δr |. Во всех остальных случаях _ x | Δr |<S Рис. 1 Скорость – вектор, характеризующий быстроту изменения перемещения частицы во времени относительно тела отсчета. Ускорение – вектор, характеризующий быстроту изменения скорости частицы во времени. 1.2. Равномерное прямолинейное движение Равномерным прямолинейным движением называется такое движение, при котором частица движется по прямой линии и за любые равные промежутки времени проходит равные пути. При этом скорость равна перемещению, деленному на время: _ ___________ v = Δr / t (1) Из формулы видно, что при равномерном движении вектор скорости постоянен: _ v=const. Направим ось координат Х вдоль траектории в ту же сторону, куда движется частица. Проекции радиус-вектора, перемещения и скорости на эту ось равны соответственно r , Δr и v , т.е. модулям этих векторов. Поэтому v = Δr / t = S / t (2) S = vt (3) Для координаты частицы в момент времени t имеем: x = x0 + S = x0 + vt (4) где x0 - координата в начальный момент времени. v S v3 v2 v1 v1 v2 v3 S 0 x0 X v t t x Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 На рис.2 показаны траектория, координаты частицы в начальный момент времени и в момент t, а также скорость и пройденный путь; на рис.3 – графики зависимости скорости от времени для трех различных равномерных движений со скоростями v1, v2 и v3, а на рис. 4 – графики зависимости пути от времени для этих трех движений. В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Применяются и внесистемные единицы: км/ч, км/с и др. 1.3. Неравномерное движение. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение При неравномерном движении скорость изменяется во времени. Отношение _ перемещения Δr к промежутку времени Δt, за который это перемещение произошло, определяет среднюю за этот промежуток времени скорость: _ _ vср = Δr / Δt (5) Иногда под средней скоростью понимают скалярную величину, равную отношению пути S, пройденного телом за промежуток времени t, к этому промежутку: vср = S / t (6) Именно эта величина имеется в виду, когда говорят о средней скорости автомобиля или поезда. Движение частицы в данный момент времени характеризуется мгновенной скоростью. Это предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt: _ _ v = lim Δr / Δt Δt → 0 (7) v0 vA A B vB C vc Рис. 5 Мгновенная скорость частицы в данной точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке, что иллюстрирует рис. 5. Как видно из последней формулы, проекции скорости на оси координат равны: vx = lim Δ x / Δt = dx / dt = x ' , Δt → 0 vy = lim Δ y / Δt = dy / dt = y ', Δt → 0 vz = lim Δ z / Δt = dz / dt = z ' , Δt → 0 _ v = lim|Δr| / Δt = lim ΔS / Δt = dS / dt = S'. Δt → 0 Δt → 0 Таким образом, проекции скорости являются производными координат по времени, а модуль мгновенной скорости – производной пути по времени. Изменение скорости за промежуток времени Δt, поделенное на величину этого промежутка, дает среднее за это время ускорение частицы: _ _ aср = Δv / Δt (8) Ускорение в данный момент времени получим, взяв предел среднего ускорения при Δt → 0: _ _ a = lim Δv / Δt (9) Δt → 0 Единица измерения ускорения в СИ - м/с2. Из последней формулы видно, что проекции ускорения на оси координат равны производным соответствующих проекций скорости по времени или вторым производным координат по времени: ax = dvx/dt = vx = x, ay = dvy/dt = vy = y, az = dvz/dt = vz = z, Если частица участвует одновременно в нескольких движениях, то ее результирующие перемещение, скорость и ускорение находятся как векторные суммы соответственно перемещений, скоростей и ускорений ее отдельных движений: _ _ _ Δr = Δr1 + Δr2 +… _ _ _ (10) v = v1 + v2 +… _ _ (11) _ a = a1 + a2 +… (12) 1.4. Равнопеременное движение Равнопеременным движением называется движение с постоянным ускорением. При этом _ _ _ a = (v - v0 )/ t, (13) _ где v0 - скорость частицы в начальный момент времени (начальная скорость), v - скорость в момент времени t. _ Если равнопеременное движение прямолинейно, т.е. скорость v меняется только по _ _ модулю, то ускорение a, как и v, направлена вдоль траектории и удобна с последней _ совместить координатную ось Х, направив ее одинаково с вектором v0. Тогда можно записать: a = (v - v0 )/ t, _ _ _ (14) где v0, v и a - проекции векторов, соответственно v0, v и a на ось Х. Эти проекции равны модулям векторов с положительным или отрицательным знаком. При ускоренном движении a > 0, при замедленном a < 0. В последнем случае ускорение направлено _ противоположно v0. Из последней формулы следует: v = v0 + at (15) На рис. 6 представлены графики зависимости скорости от времени при равноускоренном и равнозамедленном движениях при одной и той же начальной скорости. Зависимость v от t представляет собой линейную функцию; величина ускорения служит угловым коэффициентом и равна тангенсу угла наклона α графика к оси t. v a>0 Для равнозамедленного движения, когда a<0, α>0 угол α<0. Видно также, скорость v v0 становится отрицательной, т.е. частица α<0 начинает двигаться в α<0 обратном a<0 направлении. Теперь скорость и ускорение совпадают по направлению, и движение 0 t1 t является ускоренным. Рис. 6 Чтобы найти зависимость пути от времени, рассмотрим, для определенности, равноускоренное движение и воспользуемся графиком скорости (рис.7): S = vсрt (16) Поскольку скорость растет со временем линейно, ее среднее значение равно сред- нему арифметическому начального и конечного значений: v v vср v0 t t 0 vср = (v0 + v) / 2 Рис. 7 Учитывая, что v = v0 + at , получаем: vср = v0 + at/2, или: S = v0t + at 2 /2 x = x + v0t + at 2 /2 (17) (18) Из формулы (16) видно, что пройденный путь графически изображается площадью прямоугольника, заштрихованного на рис. 7. Из рисунка видно, что эта площадь равна площади трапеции, ограниченной графиком, осями координат и ординатой соответствующей конечному моменту времени. Формулу (17) легко получить, исходя из того, что модуль скорости есть производная пути по времени. В самом деле, v = S ' = dS/dt, t t t t S = ∫vdt = ∫ (v0 + at) dt = ∫ v0dt + ∫ at dt = v0t + at 0 0 0 2 /2. 0 Проекция скорости на ось Х есть производная координаты по времени, которая при равноускоренном движении отличается от пути лишь начальным значением x0. Поэтому x = x + v0t + at 2 /2 . Исключая из формул (15) и (17) t, получаем зависимость между v и S: ______________ v = √ v0 2 + 2aS (19) при v0 = 0 _______ v = √ 2aS (20) Обратимся теперь к графику скорости, соответствующему a<0 (рис. 8). На участке движения до моментаt0 vср = =v0/2, так что пройденный путь S1 изображается заштрихованной площадью П1 между графиком и осью t, как и при ускоренном движении. Этой же площади численно равен модуль перемещения. S1 и _ |Δr1| определяются по формуле (17) с учетом отрицательного знака a. На втором же участке движения, при t>t0 частица движется в обратную сторону, так что модуль перемещения уменьшается. v v0 П1 0 t0 t П2 Рис. 8 Конечное значение модуля перемещения численно равно разности площадей П1 и /72 и _ может быть вычислено также по формуле (17) (| ∆r | вместо S ) с учетом отрицательного знака а. Что касается пройденного пути, то он продолжает расти после момента времени t0, и полный путь численно равен сумма П1 и /72. S1 и S2 вычисляются по формуле (17), причем для S1 принимается a<0 (соответственно тому, что a↑↓ v ),a для S2 a > 0 (a↑↑v ). Кроме того, при вычислении S2 начальная скорость принимается равной нулю, а время отсчитывается от момента t 0 , то есть равно t — t 0. Итак, S=|a|(t – t0) 2 / 2. (21) На рис. 9, 10 и 11 представлены графики зависимости от времени ускорения, скорости, пути и координаты (при x0 = 0) прямолинейного равнопеременного движения. a a1 a2 v v1 S, x v2 t x1, S1 v0 x2, S2 S3 x3 a3 Рис. 9 0 Рис. 10 v3 t1 t 0 Рис. 11 t1 t На рис. 11 показано, что график пути при ускорении a3 < 0 имеет перегиб при t = = t1; в этот момент времени частица останавливается (v = 0), прежде чем начать движение обратно, и рост S на мгновение останавливается. Координата же после t1 убывает. Примером равнопеременного движения является свободное падение тел, экспериментально изученное Галилео Галилеем в 90-х г.г. ХУ1 в. Свободным падением называется движение тела из состояния покоя под действием только силы тяжести на небольших расстояниях от поверхности Земли. Свободным является падение тела в вакууме либо когда сила сопротивления среды (воздуха) пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Галилей в 1604 г. установил, что при этих условиях все тела движутся вниз с постоянным и одинаковым ускорением g = 9,81 м/с2. В дальнейшем было установлено, что ускорение зависит от широты местности и изменяется в пределах 0,5% своей величины при изменении широты. Итак, свободное падение является прямолинейным равноускоренным движением с начальной скоростью и ускорением g, направленным вертикально вниз. Направим ось вдоль траектории вниз, совместив начало отсчета с начальным положением тела (рис. 12). Согласно формулам (15), (17) и (18), через время t после начала движения 0 v = gt, x h0 g h - x = S = gt2 / 2; высота же тела над землей равна: h = h0 - gt2 / 2. При падении на Землю h = 0: h0 - gt2 / 2 = 0; x ________ Рис. 12 t1 =√ 2h0 / g время падения тела с высоты h0. Скорость в этот конечный момент падения: _________ (22) ________ v1 = gt1 = g √ 2h0 / g = √ 2h0 g . (2) 2. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ ПО МОДУЛЮ СКОРОСТЬЮ Если скорость при движении частицы по окружности не изменяется по величине, то такое движение называют равномерным вращением, хотя в строгом смысле слова это _ движение не является равномерным, так как v≠const (вектор скорости изменяется по A направлению). v2 На рис. 13 показаны два положения частицы А и В, разделенные промежутком _ _ времени ∆t и вектора скоростей v1 и v2 в этих положениях. Модули этих векторов одинаковы: v С r1 B a α_ O r2 _ _ v1 _ α v2 v1 = v2 = v Рис. 13 Перенеся начало вектора v1 в точку В, можно выполнить вычитание векторов и найти изменение скорости за время ∆t: _ _ _ _ ∆v = v2 - v1. При малости ∆t угол поворота α радиус-вектора, равный углу поворота вектора _ _ _ скорости, мал, и углы между ∆v и любым из векторов v1, v2 мало отличается от прямого. При этом _ | ∆v|≈ αv; α = ∆S / r, где ∆S – длина дуги АВ, то есть путь, пройденный за время ∆t: ∆S = v∆t: Из последних трех выражений получаем: _ | ∆v|≈ (v∆t / r)v = (v2/ r) ∆t; _ | ∆v|/∆t ≈ v2/ r В пределе при Δt → 0 последнее равенство становится точным: _ a = lim|Δv| / Δt = v2/ r Δt → 0 а вектор ускорения _ _ a = lim|Δv| / Δt Δt → 0 _ точно перпендикулярен к v. Он направлен вдоль радиуса к ее центру, поэтому ускорение при равномерном движении по окружности называется центростремительным. На рис. 13 показано взаимное расположение векторов скорости и ускорения для положения частицы в некоторой точке С траектории. 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 3.1. Самолет летит из пункта А со скоростью v1 = 500км/ч относительно воздуха в пункт В, расположенный к северу от А на расстоянии L = 1000 км. На всем пути дует северо-западный ветер со скоростью v2 = 100 км/ч. Через сколько времени после вылета самолет прилетит в пункт В, если будет лететь по прямой? Под каким румбом (угол α к направлению из А в В) летчик должен направлять самолет? Решение. Движение самолета можно считать сочетанием двух равномерных прямолинейных движений: относительно воздуха со скоростью v1 , направленной к северо-западу под искомым углом α к северному направлению, и, вместе с воздухом, со _ скоростью v2, направленной на юго-восток С v1 v под углом ¾ π к северному направлению α (рис. 14). Результирующая скорость, согласно формуле З В (11), равна α v = v1 + v2 ¾π _ v2 Ю Рис. 14 а согласно условию задачи, направлена по прямой от А к В, то есть на север. Из рис. 14 видно, что, по теореме синусов, v1/sin ¾ π = v2/sin α; sin α = (v2 /v1) sin ¾ π ; sin α = (100/500) √2/2 =0,14. α ≈ sin α = 0,14 рад ≈ 8˚ По теореме косинусов: v12 = v2 + v22 - 2 v1 v2 cos¾ π = v2 + v22 + √2 v v2. Получается квадратное уравнение относительно v __ v2 + √2 v v2 – (v12 - v22) = 0, v2 +100 √2 v – 24 ∙ 1002 = 0, откуда, v = 300√2 ≈ 424 км/ч. Искомое время полета равно: t = L/v = 1000/424 ≈ 2,36 ч. Пример 3.2. Частица начала равнопеременное движение с запада на восток с начальной скоростью v0 =20 м/с и ускорением a = 0,5 м/с2, направленным на запад. Найти пройденный путь и перемещение через время t 1 = 0,5 мин и t 2 = 2 мин после начала движения. Решение. Направим ось Х вдоль _ траектории одинаково с вектором v0, на З В восток, поместив начало отсчета в начальной точке движения (рис. 15). Проекции на ось Х: v0x>0, a x<0; a 0 v0 x a x = - a = - 0,5 м/с2. Рис. 15 При отрицательном ускорении движение является равнозамедленным в течение времени t 0, за которое скорость обращается в нуль (см. рис. 6), а затем – равноускоренным в обратном направлении. Согласно сказанному в п. 1.4, перемещение за любой промежуток времени определяется по формуле (17) с учетом того, что ускорение отрицательно, а путь S = S1 + S2 , где S1 - путь, пройденный на участке замедленногодвижения (t ≤ t 0), а S2 - путь на участке ускоренного движения (t > t 0). Из условия v = v0 - at0 = 0 находим t0: t0= v0 /a; t0=20 /0,5 = 40 c. Отсюда видно, что t 1 = 0,5 мин = 30 с <t перемещение и путь за время t 1 одинаковы: , а t 0 2 = 2 мин = 120 с >t0. Поэтому Δr(t 1)= S(t 1) = v0t 1 - at 12/2; Δr(t 1)= S(t 1)=20 •30 - (0,5•30•30)/ 2 = 375 м. За время t 2: Δr(t 2)= v0t 2 - at 22/2; Δr(t 2)= 20•120 – (0,5•120•120) /2 = - 1200 м. _ Прx Δr(t 2)<0, значит к моменту времени t точки движения. S(t 2)= S1+ S2; 2 частица оказалась западнее начальной S1= v0t 0 - at 02/2; S2 = a(t2 – t0)2/2; S1=20•40 – (0,5•40•40)/2=400 м. S2 =0,5(120 – 40)2 / 2 = 1600 м. S(t 2) = 400 + 1600 = 2000 м. Как и следовало ожидать, оба пути – S(t 1) и S(t 2) положительны. Пример 3.3. Дан график зависимости скорости частицы от времени (рис. 16). Построить графики зависимости от времени ускорения, перемещения и пройденного пути. v Решение. В промежутке времени от 0 до t1 движение равноускоренное без _ t начальной скорости, a=const, |Δr|= =S=at2/2 (отрезок параболы). В промежутке от t1 до t2 движение a равноускоренное с большим ускорением. _ t В этом промежутке также|Δr|= S и графики перемещения и пути |∆r|, S представляют собой отрезок параболы. S Характерно, что в точке t = t1 оба отрезка параболы имею общую касательную. Это связано с тем, что |∆r| наклон касательной определяется производной по времени в данной точке t t = t1: Рис. 16 На первом участке: S=a1t2/2; S '(t1) = a1t1 На втором участке: S = v1(t –t1) + a2(t – t1)2/2; S ' = v1 + a2(t – t1); S '(t1) = v1 = a1t1, как и на первом участке. В момент времени t4 скорость обращается в нуль и затем меняет направление на _ обратное; с этого момента перемещение уменьшается, и кривая |Δr(t)|в этой точке меняет максимум. Пройденный путь продолжает увеличиваться и на кривой S(t) в точке t4 есть лишь перегиб, т.к. скорость возрастания S (равная скорости движения v) на мгновение обращается в нуль. Второй экстремум на кривой перемещения и, соответственно, перегиб на кривой пути имеют место при t = t6, когда скорость снова меняет знак, проходя через нулевое значение. Пример 3.4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с. с той же высоты падает второе тело. Через какое время после начала падения первого тела удвоится расстояние, разделявшее тела в момент начала падения второго тела? Решение. Оба тела движутся по одной и той же вертикальной прямой с одинаковым и постоянным ускорением g = 9,8 м/с2. К моменту начала падения второго тела первое двигалось в течение t1 = 2 с. и удалилось от второго на расстояние S1 = gt12/2 За искомое время t2 первое тело прошло путь S2 = gt22/2 Второе тело к этому моменту прошло путь S3 = g(t2 – t1)2/2 В момент t2 расстояние между телами равно: S4 = S2 - S3 = gt22/2 - g(t2 – t1)2/2 = g/2(t12 – 2t2t1). Это расстояние, по условию, вдвое больше, чем S1: g/2(t12 – 2t2t1)= gt12 Отсюда t2 = 3/2t1; t2=3 с. Пример 3.5. Луна обращается вокруг Земли почти по круговой орбите. Радиус орбиты приблизительно равен r = 385000 км, а период обращения Т = 27,3 суток. Найти величину центростремительного ускорения Луны при движении вокруг Земли. Решение. r = 385000 км = 3,85 •108 м Т = 27,3 суток = 27,3 • 24 • 3600с a=? a = v2/r; v = 2πr/T; a = 4π2r/T2; a = (4•3,14•3,14•3,85•108) /(27,3•24•3600)2 = 2,73•10 -3 м/с2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Теплоход проходит расстояние 300 км между двумя пунктами по реке вниз по течению за 10 ч., а обратно за 12 ч. Найти скорость течения реки и скорость теплохода в стоячей воде, считая скорости постоянными. (Ответ: 2,5 км/ч; 27,5 км/ч) 2. За какое время скорость поезда при равноускоренном движении увеличилась с 12 до 60 км/ч, если поезд прошел при этом расстояние 800 метров? С каким ускорением двигался поезд? (Ответ: 1 мин; 2,2 м/с2) 3. Тело, двигаясь с постоянным ускорением a потеряла 2/3 своей начальной скорости v0. Найти время, за которое это произошло, и путь, пройденный за это время. (Ответ: 2v0/3a, 4v02/9a) 4. Дан график ускорения частицы как функции времени. Построить графики скорости, перемещения и пройденного пути как функции времени, считая, что движение начинается из состояния A покоя. 0 t t1 t2 t3 t4 5. Мяч уронили с высокой башни. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, какой путь он пройдет в течение 4-й секунды с начала движения? (Ответ: 44,1 м) 6. Чему равно ускорение пылинки на краю грампластинки диаметром 30 см, вращающейся с частотой 33 1/3 об/мин? (Ответ: 18,5 см/с2) СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика: Учебник для 1Х класса средней школы. – М.: Просвещение, 1991. 2. Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга, - Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1985. – Гл. 1. 3. Бутиков Е.И., Быков А.А.. Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. – М.: Просвещение, 1983. – с. 7 – 14. 4. Гурский И.П. Элементарная физика с примерами решения задач, - М.: Просвещение, 1984. - с. 23-40; 95-97.