Физические основы механики

Югорский государственный университет
Инженерный факультет
Кафедра физики и общетехнических дисциплин
В.И. Зеленский
Физические основы механики
Конспект лекций
для студентов очной и заочной формы обучения специальностей
020101, 020802, 020804, 032101, 080502, 130100, 190603, 270102, 280102
Ханты-Мансийск
2007
Оглавление
Введение
Ст
р
Элементарные сведения о векторах
Декартова система координат
Функция, производная, интеграл
Приращение и убыль величины
Единицы физических величин
Вычисления и запись результата
Механика
Глава 1. Кинематика материальной точки и твердого тела
1.1. Основная задача кинематики для материальной точки
1.2. Путь, перемещение материальной точки
1.3. Элементарный путь, элементарное перемещение
1.4. Скорость
1.5. Мгновенная скорость в декартовой системе координат
1.6. Ускорение
1.7. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение
1.8. Особенности тангенциального и нормального ускорений
1.9. Уравнение кинематики для материальной точки
1.10. Уравнения кинематики для равнопеременного движения
1.11. Уравнения кинематики для равномерного движения
1.12. Прямолинейное равнопеременное движение
1.13. Вычисление пути
1.14. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
1.15. Проекция угловой скорости и углового ускорения на ось вращения
1.16. Уравнение кинематики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
1.17. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения
Глава 2. Динамика материальной точки
2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)
2.2. Второй закон Ньютона
2.3. Третий закон Ньютона
2.4. Сложение сил
2.5. Законы сил
2.6. Принцип относительности Галилея
Глава 3. Закон сохранения импульса
3.1. Импульс материальной точки и системы материальных точек
3.2. Закон сохранения импульса
3.3. Сохранение импульса в незамкнутой системе
3.4. Центр масс системы
3.5. Система центра масс (Ц-система)
3.6. Движение тела с переменной массой
Глава 4. Закон сохранения энергии
4.1. Работа и мощность
4.2. Вычисление работы
4.3. Поле сил (силовое поле)
4.4. Поле центральных сил
4.5. Поле консервативных сил
4.6. Потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил
4.7. Вычисление потенциальной энергии
4.8. Потенциальная энергия и консервативная сила
2
4.9. Кинетическая энергия частицы
4.10. Полная механическая энергия частицы
4.11. Закон сохранения полной механической энергии частицы
4.12. Закон сохранения полной механической энергии системы частиц
4.13. Соударение двух тел
Глава 5. Закон сохранения момента импульса
5.1. Момент силы
5.3. Момент импульса
5.4. Уравнение моментов
5.5. Закон сохранения момента импульса
Глава 6. Динамика твердого тела
6.1. Основное уравнение динамики твердого тела при вращении вокруг
неподвижной оси
6.2. Вычисление моментов инерции
6.3. Теорема Штейнера
6.4. Кинетическая энергия вращательного движения
6.5. Работа внешних сил при вращении твердого тела
6.6. Условия равновесия твердого тела
Глава 7. Движение в неинерциальных системах отсчета
7.1. Силы инерции
7.2. Силы инерции в произвольно движущейся неинерциальной системе отсчета
Глава 8. Гидромеханика
8.1. Несжимаемая жидкость
8.2. Давление в жидкости
8.3. Закон Архимеда
8.4. Движение жидкости
8.5. Уравнение неразрывности струи
8.6. Уравнение Бернулли
8.7. Формула Торричелли
8.8. Ламинарное течение
8.9. Внутреннее трение
8.10. Течение жидкости в трубе круглого сечения
8.11. Объем жидкости, протекающей через сечение трубы
8.12. Движение тела в жидкости
Глава 9. Релятивистская механика
9.1. Постулаты Эйнштейна
9.2. Относительность времени
9.3. Преобразование координат и времени
9.4. Следствия из преобразований Лоренца
9.5. Преобразование скорости
9.6. Релятивистский импульс
9.7. Основное уравнение релятивистской динамики
9.8. Кинетическая энергия
9.9. Полная энергия и энергия покоя
9.10. Связь между энергией и импульсом
9.11. Инвариантные величины (инварианты)
3
Введение
Физика изучает наиболее универсальные и фундаментальные закономерности
взаимодействий частиц и полей, лежащих в основе других природных явлений.
Установленные в физике закономерности обладают наибольшей общностью. Физические
принципы, методы и понятия составляют фундамент современной естественнонаучной
картины мира.
Методы физического исследования
В основе физических знаний лежат опыты. В опытах путем измерения получают
количественные характеристики явления, которые называются опытными данными. Для
объяснения опытных данных предлагается гипотеза. Гипотеза – это научное предположение
для объяснения некоторых явлений. Для проверки гипотезы проводится эксперимент –
исследование явления в точно контролируемых условиях. В эксперименте проверяются
некоторые предположения о закономерностях протекания определенных физических
явлений, которые можно сделать на основании гипотезы. Гипотезы, прошедшие
экспериментальную проверку, становятся законом или теорией. Закон – это краткое и
достаточно общее утверждение относительно характера некоторых явлений природы. Теория
представляет систему основных идей, обобщающих опытные данные и объясняющих
некоторую совокупность явлений с единой точки зрения.
Элементарные сведения о векторах
1. Векторы
В физике очень часто используются векторная запись законов и их следствий.
Векторами называются
величины,
характеризующиеся численным значением,
направлением в пространстве и складывающиеся по определенному правилу. Обозначение

вектора: a .
Рис. 1 – Обозначение вектора

Численное значение вектора называется модулем вектора. Обозначение модуля: a  a.
Векторы рисуют так, чтобы длина вектора в определенном масштабе была пропорциональна
модулю вектора. Векторные величины складываются определенным способом.
4
Рис. 2 - Сложение векторов
Сложение по правилу параллелограмма:
Рис. 3 - Сложение векторов по правилу параллелограмма
Сложение по правилу треугольника:
Рис. 4 - Сложение векторов по правилу треугольника
2. Умножение вектора на скаляр

При умножении вектора a на скаляр (число)

 получаетсяновый вектор b такой, что:


b  a , b    a. Пусть   0 , в этом случае направление b совпадает с направлением



вектора a . Если   0 , то направление b противоположно направлению a . Пусть   1 ,


при этом b   a .
5
3. Единичный вектор (орт)


 a
a
a 1
Запишем: a  a  a . Рассмотрим вектор
 a . Этот вектор имеет направление,
a
a
a a



1
|a| |a| а
 0 . Найдем его модуль:
совпадающее с направлением вектора a , т.к.

  1.
а
|a| |a| а
Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

а  

 ea , ea  1. Направление вектора e a совпадает с
Единичный вектор обозначается так:
а


направлением вектора a . Единичный вектор можно использовать для задания вектора a .
Например,


a  ae a .
Рис. 5 - Единичный вектор
4. Проекция вектора на ось
Выберем в пространстве прямую, зададим ее направление и назовем осью l . Пусть

вектор a и ось l образуют угол  .
Рис. 6 - Проекция вектора на ось

Проекцией вектора а на ось l называется алгебраическая величина, равная
произведению модуля вектора на угол между направлениями вектора и оси:
al  a cos  .
5. Разложение вектора на составляющие
Всякий вектор можно представить в виде суммы двух или более других векторов.
  
Например, a  a1  a2 .
6
Рис. 7 - Разложение вектора на составляющие



Векторы a1 и a 2 называются составляющими вектора a или компонентами
вектора. Такое представление называется разложением вектора на составляющие.
6. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению
 
модулей
этих
векторов на косинус
угла между векторами: a  b  ab cos  ,
a, b   ab cos  .

Рис. 8 - Скалярное произведение
 

2
Умножим вектор a сам на себя скалярно: a  a  a  a  cos0  a . Квадрат вектора
равен квадрату модуля этого вектора.
7. Векторное произведение векторов



Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , удовлетворяющий
следующим условиям:
  
 
1. вектор равен: c  a  b  [a , b ] ,



2. модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла
между ними: c  ab sin  ,

 
3. вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b ,

4. из конца вектора c поворот от первого сомножителя ко второму сомножителю
по кратчайшему пути должен быть виден происходящим против часовой стрелки.
7
Рис. 9 - Векторное произведение
Декартова система координат
Декартова прямоугольная система координат образована тремя взаимноперпендикулярными, пересекающимися в одной точке O жесткими стержнями. Каждый
стержень, с нанесенными на него масштабными метками, образует координатную ось:
Ox, Oy, Oz . Стрелки указывают положительное направление оси. Точка пересечения осей O
называется началом системы координат.

Возьмем некоторую точку М и проведем в нее из начала координат вектор r .
Рис. 10 - Декартова система координат
Вектор, проведенный из начала координат в некоторую точку, называется радиус


вектором этой точки: rM  r . Конец радиус-вектора r совпадает с данной точкой.
Обозначим координаты точки М: x, y, z . Модуль радиус-вектора оказывается равен:
8
r  x 2  y 2  z 2 . Величины x, y, z есть координаты конца радиус-вектора или проекции
радиус-вектора на оси координат. Обозначим единичные векторы (орты) декартовых осей:

 
  
e x  i , e y  j , e z  k . Радиус-вектор точки с координатами x, y, z можно представить так:

 
  

r  xi  yj  zk . Векторы i , j , k взаимно перпендикулярны. Это означает,
 
 
 
 
 
 
i  j  0, j  k  0, i  k  0. В то же время, очевидно что, i  i  1, j  j  1, k  k  1.
что:
Функция, производная, интеграл
Если каждому значению величины x можно сопоставить значение величины y , то y и
x связаны функциональной зависимостью или y есть функция аргумента x : y  f  x  .
Возьмем два значения аргумента x и  x  x  . Величина x называется приращением
аргумента x . Вычислим приращение функции: f  f  x  x   f  x  . Составим
f
f(x  x)  f(x) . Значение отношения f в общем случае зависит от

x
x
x
значения x . Будем неограниченно уменьшать приращение x . При этом, значение
отношения сначала будет изменяться достаточно сильно, затем изменение значения может
уменьшаться, приближаясь (стремясь) к нулю. Само отношение при этом стремится к
отношение:
f(x  x)  f(x) df
 .
lim

x
dx
x  0
Производной функции f по аргументу x называется предел, к которому стремится
отношение приращения функции df к приращению аргумента dx при неограниченном
производной функции по аргументу:
уменьшении приращения аргумента.
Величины dx , df называются элементарными или бесконечно малыми приращениями
аргумента x и функции f . Разобьем некоторый интервал
xa , xb  на очень большое число
n очень маленьких интервалов dx . Пронумеруем все интервалы dx и составим сумму:
n
f(x1 )dx1  f(x2 )dx 2  ...  f(xi )dxi  ...  f(xn )dx n   f(xi )dxi , где f ( xi ) - значение
i 1
функции для аргумента xi , взятого в любой точке внутри интервала dxi . Вычислим сумму
при неограниченном уменьшении dx  0 и, соответственно, при n   :
n
lim 
dx0 i 1
xb
f ( xi )dxi   f ( x)dx.
xa
Предел, к которому стремится указанная сумма, называется определенным интегралом от
функции f  x  .
Приращение и убыль величины
Пусть имеется функциональная зависимость f t  , где t – время. Выберем два момента
времени: t Н - начальный момент времени, t K - конечный момент времени. Соответственно,
f H  f t H  – начальное значение функции, f K  f t K  – конечное значение функции.
Приращением некоторой величины f , называется разность конечного и начального
значения этой величины: f  f K  f H . Убылью некоторой величины f называется разность
начального и конечного значения этой величины:  f  f H  f K .
9
Единицы физических величин
Будем применять международную систему единиц или систему СИ. В этой системе
имеются основные единицы.
Длина – метр – м.
Масса – килограмм – кг.
Время – секунда – с.
Температура – Кельвин – К.
Сила тока – Ампер – А.
Количество вещества – моль.
Из основных единиц можно получить производные единицы системы СИ. Например,
килограмм
кг
метр
м

, Н.
скорость 
 , сила 
2
метр  секунда
м  с2
секунда с
Часто применяют десятичные множители и связанные с ними приставки.
Таблица 1.
Десятичные множители и приставки в системе единиц СИ
множитель
1012
10 9
10 6
10 3
10 3
10 6
10 9
10 12
обозначение
Т
Г
М
к
м
мк
н
п
наименование
Тера
Гига
Мега
кило
милли
микро
нано
пико
Например, 100 нКл = 100∙10-9 Кл = 10-7 Кл = 0,1∙10-6 Кл = 0,1 мкКл. Кроме основных и
производных единиц системы СИ используют внесистемные единицы физических величин.
Например, 1 минута = 60 с,1 тонна = 1000 кг,1 электронвольт = 1,6 ∙ 10-19 Дж.
Вычисления и запись результата
При вычислении в формулу необходимо подставлять величины, выраженные через
основные единицы системы СИ. Ответ нужно записывать в следующем виде, например:
P  3,75  10 5 Па , где
P - обозначение величины,
3,75 - три десятичные цифры,
10 - десятичный множитель,
5 - порядок десятичного множителя,
– - знак порядка,
Па - наименование единицы величины.
10
Механика
Механика - это раздел физики, изучающий перемещение тел друг относительно
друга. Движение тел в механике считают быстрым или медленным, сравнивая скорость
движения
со
скоростью
света
в
вакууме,
которая
равна c  3  10 8
м
. Движение
с
считается быстрым, если скорость движения сравнима со скоростью света. Движение
считается медленным, если скорость движения много меньше, чем скорость света
V  c . Механика, изучающая медленные движения, называется классической или
ньютоновской. Механика, изучающая быстрые движения называется релятивистской.
Объектом механики может быть любое физическое тело. Однако всякое тело
обладает многими и разнообразными свойствами и связями с другими телами. Учесть
все свойства и связи сложно или невозможно. Поэтому обычно ограничиваются
рассмотрением лишь некоторых, важных в рассматриваемом явлении, свойств и связей.
Изучение лишь некоторых свойств реального объекта означает замену этого объекта
некоторой идеализацией, называемой моделью. Простейшая модель реального тела,
которая используется в механике – это материальная точка (частица).
Материальной точкой (частицей) называют тело, размерами которого можно
пренебречь в условиях данной задачи.
Глава 1. Кинематика материальной точки и твердого тела
Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без учета причин
возникновения и изменения движения.
1.1. Основная задача кинематики для материальной точки
Тело, относительно которого определяется положение остальных тел, называется телом
отсчета. Для определения положения частицы относительно тела, с ним связывают систему
координат, например декартову. Для описания движения необходимо не только определять
положение частицы, но и фиксировать соответствующие моменты времени. Для этой цели
используют специальное устройство - часы.
Тело отсчета, связанные с ним система координат и часы образуют систему отсчета.
x, y, z . Вследствие движения
Пусть положение частицы определяется координатами
координаты изменяются с течением времени. Это можно записать следующим образом:
x  x(t ), y  y(t ), z  z (t ). В процессе движения частицы ее координаты x, y, z являются
функциями времени t . Положение частицы можно задать радиус-вектором:
 

r  r x(t ), y(t ), z(t )  r (t ).
Данные уравнения в общем виде описывают движение
материальной точки. Основная задача кинематики заключается в нахождении явного
выражения этих уравнений.
1.2. Путь, перемещение материальной точки
Пусть в некоторый момент времени t частица находилась в точке 1, положение которой

определяется радиус-вектором r1 (t ) . Спустя промежуток времени t  0 , в момент времени
t  t  частица оказалась в точке 2, с радиус-вектором r2 (t  t ) .
Линия, которую материальная точка описывает при своем движении, называется
траекторией движения. Расстояние, отсчитанное вдоль траектории, называется длиной
пути или путем, которой частица проходит за время движения. В системе СИ единица
измерения пути – метр. Обозначение пути: s, s .
11
Рис.1.1 - Путь, перемещение материальной точки
Точку 1 назовем начальным положением частицы, а точку 2 конечным положением
частицы. Вектор, проведенный из начального положения частицы в ее конечное положение


называется вектором перемещения или перемещением:  r , м. Очевидно, что s  r .



Из рисунка видно, что r  r (t  t )  r (t ). Выражение в правой части имеет смысл
разности конечного значения и начального значения радиуса-вектора. Такая разность
называется приращением радиус-вектора. Вектор перемещения частицы за некоторый
промежуток времени равен приращению радиус-вектора частицы за этот промежуток
времени.
1.3. Элементарный путь, элементарное перемещение
Будем неограниченно уменьшать интервал времени движения t . При t  t интервал
времени называется бесконечно малым или элементарным и обозначается так: dt . За
бесконечно малый интервал времени dt частица проходит бесконечно малый путь ds и

 

совершает бесконечно малое перемещение dr , которое равно: dr  r (t  dt )  r (t ).
12
Рис.1.2 - Элементарный путь, элементарное перемещение материальной точки

Отметим следующие важные свойства. В пределе, при dt  0 , вектор dr сливается с

участком траектории ds , причем вектор dr направлен по касательной к траектории и


модуль вектора dr равен длине элементарного пути ds : dr  ds.
1.4. Скорость
Средней путевой скоростью за промежуток времени называется скалярная величина, равная
отношению длины пути, пройденной частицей за некоторый промежуток времени к длительности
s м
, .
t с
Средней скоростью за промежуток времени называется вектор, равный отношению

вектора перемещения r за некоторый промежуток времени к длительности этого


r
.
промежутка t :  V 
t
промежутка:  V 
Рис.1.3 - Средняя скорость
 

r r (t  t )  r (t )

. Будем неограниченно уменьшать ∆t, устремляя к нулю.
t
t



r
r (t  t )  r (t )
Это записывают так: lim
Полученное выражение есть
 lim
.
t
t 0 t
t 0



r (t  t )  r (t ) dr
определение производной радиус-вектора по времени: lim
 . В правой
t
dt
t 0
части получаем производную радиус-вектора по времени. В то же время с определенной
точностью правую часть можно рассматривать как отношение элементарного перемещения

dr к элементарному интервалу времени dt , за который произошло перемещение.
Мгновенной скоростью частицы в данный момент времени называется вектор, равный
 dr
.
первой производной радиус-вектора частицы по времени: V 
dt
Запишем:
Рис.1.4 - Мгновенная скорость
13

Поскольку dr направлен по касательной к траектории, то и вектор мгновенной скорости
всегда направлен по касательной к траектории. Найдем модуль мгновенной скорости:


dr
ds м
V V 
 , . Модуль мгновенной скорости равен отношению элементарного пути,
dt
dt с
пройденного частицей за элементарный промежуток времени к длительности этого
ds м
промежутка или первой производной пути по времени: V  , .
dt с
1.5. Мгновенная скорость в декартовой системе координат
 dx  dy  dz 
 
 dr d  





xi  yj  zk 
i
j  k  Vx i  V y j  Vz k  Vx  V y  Vz .
Запишем: V 
dt dt
dt
dt
dt
  

Здесь: V x ,V y z ,V z - проекции вектора V на оси координат, Vx ,V y ,Vz - составляющие вектора

V вдоль осей координат. Найдем модуль V:

V  V2


2
2
2
 V 2  Vx  V y  Vz , V 
 dx 
2
2
 dy 
2
 dz 
      .
 dt   dt   dt 
1.6. Ускорение
Ускорением называется вектор, равный первой производной мгновенной скорости по


 dV
м
, a  a, 2 .
времени: a 
с
dt 
Величину dV можно рассматривать и
dt
как отношение элементарного приращения

мгновенной скорости dV за время dt к величине элементарного промежутка времени dt .
В декартовых координатах:

 dV  dVy  dVz 





 dV d
a

Vx i  V y j  Vz k  x i 
j
k  ax i  a y j  az k 
dt dt
dt
dt
dt



 ax  a y  az .
  

Здесь: a x , a y , a z - проекции вектора a на оси координат, a x , a y , a z - составляющие

вектора a вдоль осей координат.


1.7. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение
Пусть за элементарный промежуток времени dt мгновенная скорость получает приращение:
 



dV  V2  V1 . Направление dV указано на рисунке. Направление вектора a совпадает с

направлением dV . Вектор ускорения направлен всегда во «внутреннюю область»,
охватываемую участком траектории. Проведем единичный вектор, совпадающий по



направлению с вектором V . Этот вектор обозначим  . Перпендикулярно 
внутрь


траектории построим единичный вектор n . Вектор  называется ортом касательной к


траектории, а вектор n - ортом нормали. Разложим вектор ускорения a на составляющие
вдоль касательной и нормали.
14
Рис.1.5 - Приращение скорости




Очевидно, что a  a  a n . Вектор a называется тангенциальным ускорением, вектор


a n называется нормальным ускорением, вектор a называется полным ускорением.






 
  dV d V  dV 
d 


 V
, a  a   an n.
Запишем: V  V , V  V , a 
dt
dt
dt
dt
Рис.1.6 - Разложение ускорения на составляющие
Очевидно, что: a 
dV
. Здесь a – проекция
dt
тангенциального ускорения

на
направления вектора мгновенной скорости. Производная d в общем случае не равна
dt

нулю. Это означает, что вектор  , оставаясь неизменным по модулю, может менять свое
направление в пространстве.
15
а)
Пусть частица перешла из 1 в 2 в течение бесконечно малого промежутка времени
dt , пройдя при этом элементарный путь ds . Участок траектории ds настолько мал, что
совпадает с малым участком окружности радиусом R и с центром О.
б)
Проведем
хорду
1-2,
обозначим
её
длину
Очевидно,
что:
dl .
d
d
  
ds  dl  2 R sin
 2R
 Rd  . Построим треугольник векторов  1 , 2 , d , где
2
2


  
 
d   2   1 . Угол между векторами  1 , 2 равен d , кроме того  1   2  1.
16
в)
Рис.1.7(а, б, в) - Расчет нормального и тангенциального ускорений


d

1
dl | d | ds
 d ,
Построенные треугольники подобны, следовательно:
 .
  ,
R
ds R
R
1




d
d ds
d 
1

V
V
e V  V 2 e . Здесь e - единичный вектор
Запишем: V
d . Из
dt
ds dt
ds
R
треугольника 1-2-0 видно, что при ds  0 , d  0 . В этом случае, из треугольника

  
 
векторов,  1 , 2 , d видно, что угол  между d и  1 стремится к : d       , d  0 ,
2

 .
2


Вектор e будет перпендикулярен вектору  1 , т.е. совпадет с вектором нормали к



 dV  V 2 
d V 2

n.

. Следовательно, a 
вектору мгновенной скорости. Тогда, e  n, V
dt
R
dt
R
2

V2 
n, a n  V . Величина R называется радиусом кривизны
Очевидно, что теперь: a n 
R
R
2
dV
V
 dV  V 2 

n , a 
траектории в данной точке. Итак, можем записать: a 
, an 
.
dt
R
dt
R




Вектор a направлен вдоль скорости V или противоположно V . Вектор a n всегда

перпендикулярен вектору V и направлен во «внутреннюю область» область. В результате,

вектор полного ускорения a также направлен в ту же «внутреннюю область».
1.8. Особенности тангенциального и нормального ускорений

 
 dV
, dV  adt ,
Пусть частица имеет только тангенциальное ускорение. Запишем: a 
dt

 



dV  a dt . Вектор dV направлен также как и вектор V , если направления a и V



совпадают. Вектор dV направлен против вектора V , если вектор a имеет направление,



противоположное направлению вектора V . В результате действия a вектор V за время dt
17


получает приращение dV в направлении вектора V . В результате модуль мгновенной
скорости изменяется, но направление мгновенной скорости остается прежним.
Тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля мгновенной скорости.
Направление скорости при этом не изменяется.
Рис.1.8 - Тангенциальное ускорение
Пусть теперь имеется только нормальное ускорение. Запишем:
 
dV  an dt .
Рис.1.9 - Нормальное ускорение


Вектор dV направлен перпендикулярно вектору V . В результате за время dt
направление вектора мгновенной скорости изменяется. Найдем модуль вектора скорости
после приращения вектора скорости:
2

 2
2
a 
V   V  d V  V 2  (dV ) 2  V 2  (an dt) 2  V 1   n dt  .
V 
Величину dt можно взять настолько малой, что слагаемым под корнем можно будет
пренебречь по сравнению с единицей. Следовательно, V   V . Нормальное ускорение
приводит к изменению направления вектора мгновенной скорости. Модуль скорости при
этом не изменяется.
Наконец, если одновременно существуют и тангенциальное и нормальное ускорения, то
скорость изменяется как по величине, так и по направлению.
Если частица движется по криволинейной траектории, то мгновенная скорость в разных
точках траектории имеет различное направление, т.е. направление скорости в процессе
движения изменяется. Следовательно, в этом случае имеется нормальное ускорение.
18
Движение по криволинейной траектории происходит с нормальным ускорением, отличным
от нуля.
Рис.1.10 - Центростремительное ускорение
При движении по окружности нормальной ускорение, направленное к центру
окружности, называют также центростремительным ускорением.
1.9. Уравнение кинематики для материальной точки
Пусть в нулевой (начальный) момент времени частица находится в точке 1 с радиус
 
вектором r0 : t  0 , r0  r (0) . За время t после начала движения частица перемещается вдоль

некоторой траектории в точку 2 с радиусом-вектором r (t ) . Разобьем интервал времени от 0
до t на очень большое число элементарных интервалов: dt1 , dt 2 ,...,dt i ,...,dt n . За каждый




такой интервал частица совершает элементарные перемещения: dr1 , dr2 ,..., dri ,..., drn .
Результирующее перемещение частицы за все время t
 n 
равно: r   dri . Для каждого
i 1

 dr
элементарного интервала времени dt справедливо: Vi  i , где Vi - мгновенная скорость,
dt
 n 
 
постоянная в течение dt i . Отсюда: dri  Vi dti , r   Vi dt i . При n  0, dt i  0 сумму
i 1
t 

 t 
можно заменить определенным интегралом: lim Vi dti   Vdt, r   Vdt.
n
dti  0 i 1

 
Из рисунка видно, что r0  r  r (t ) . Следовательно,
0
0



r (t )  r0   Vdt .
t
0
Теперь

необходимо найти зависимость V (t ) . Пусть в начальный момент времени мгновенная


 

 dVi
скорость равна V0 . Для каждого интервала dt i запишем: ai 
, dVi  ai dti , где dVi dt i

приращение мгновенной скорости за время dt i , a i - ускорение в течение этого интервала
времени.
19
Рис.1.11 - Вычисление вектора перемещения
  
Очевидно, что по истечении dt1 имеем: V1  V0  a1dt1 . По истечении промежутка

 
 

времени dt 2 : V2  V1  a2 dt 2  V0  a1dt1  a2 dt 2 . Наконец, в момент времени t , скорость
n


 t 

равна: V (t )  V0   ai dt i  V0   adt .
i 1
0
1.10. Уравнения кинематики для равнопеременного движения
Движение материальной точки называется равнопеременным, если ускорение остается


постоянным по величине и направлению с течением времени: a  const . Вычислим V (t ) и

 t
 t
 

r (t ) . Для этого запишем: V (t )  V0   adt  V0  a  dt  V0  at ,
0
0

 
at 2 .


 t
t
 
r (t )  r0   V0  at dt  r0  V0  dt  a  tdt  r0  V0t 
2
0
0
0
 2

  

at

Итак, V (t )  V0  at , r (t )  r0  V0 t 
. Спроецируем равенства на оси декартовой
2
системы координат. Получим,
Vx  V0 x  axt , Vy  V0 y  a y t , Vz  V0 z  az t , a x  const , a y  const , a z  const ,
t


a yt 2
axt 2
a t2
, z (t )  z0  V0 z t  z .
, y (t )  yo  V0 y t 
2
2
2
Здесь, V0 x ,V0 y ,V0 z - проекции скорости частицы в нулевой момент времени, a x , a y , a z -
x(t )  x0  V0 x t 
проекции ускорения частицы, x0 , y0 , z 0 - координаты частицы в нулевой момент времени,
x(t ), y(t ), z (t ) - координаты частицы в момент времени t .
1.11. Уравнения кинематики для равномерного движения
Движение материальной точки называется равномерным, если вектор мгновенной

скорости остается постоянным по величине и направлению с течением времени: V  const .
20


d
V

Запишем: a 
 0 . При равномерном движении ускорение равно нулю: a  0 . Из
dt
предыдущего параграфа можно получить:

 
V (t )  V0  V  const ,

 
r (t )  r0  Vt , x(t )  x0 V xt , y (t )  y 0  V y t , z (t )  z 0  V z t ,
V x  const , V y  const , V z  const.
1.12. Прямолинейное равнопеременное движение
Пусть частица движется, например, вдоль оси x , так что изменяется только координата
x. В этом случае достаточно записать уравнения для проекций на ось x :
a t2
Vx  V0 x  a x t , x(t )  x0  V0 x t  x . Часто индексы «x» не пишут, и при этом выражения
2
a t2
принимают следующий вид: V  V0  a t , x(t )  x0  V0t 
.
2
Рис.1.12 - Движение вдоль оси х
1.13. Вычисление пути
Рассмотрим движение частицы вдоль траектории. За элементарный промежуток времени
dt1 , частица пройдет элементарный путь ds1 , за промежуток dt 2 пройдет путь ds 2 и т.д.
n
Длина пути, пройденного частицей за время t , равна: s   dsi . Запишем для i-го участка:
i 1
Vi 
dsi
, где Vi - модуль мгновенной скорости на i-м участке пути. Далее, dsi  Vi dti ,
dti
n
s   Vi dti . В пределе при
i 1
t
dt  0 получаем: s   Vdt , где V есть модуль мгновенной
0
скорости. Пусть движение происходит с постоянной по величине мгновенной скоростью
t
t
o
0
V  const , тогда: s   Vdt  V  dt  Vt, s  Vt.
Рассмотрим движение частицы вдоль оси x , при котором направление скорости частицы
не изменяется. Пусть движение происходит с постоянным ускорением.
Запишем:
at 2
.
x(t )  x0  V0 x t 
2
В этом случае путь равен расстоянию
координатами xt  и x 0 : s(t )  x(t )  x0  V0 t 
at 2
at 2
, s(t )  V0 t 
.
2
2
21
между
точками с
Рис.1.13 - Вычисление пути при прямолинейном движении
1.14. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Абсолютно твердым телом (твердым телом) называется система материальных точек,
расстояния между которыми остаются неизменными.
Движение твердого тела, при котором все его точки описывают
окружности, центры
которых лежат на некоторой прямой, называется вращением вокруг неподвижной оси.
Рис.1.14 - Движение материальной точки по окружности
Пусть при вращении твердого тела точка М движется по окружности радиуса R с центром
O, лежащим на оси вращения O1O2. Пусть за элементарный интервал времени dt радиус R,
соединяющий точку М с центром окружности повернулся на элементарный угол dφ, который

называется элементарным углом поворота тела. Введем вектор d , модуль которого равен

элементарному углу поворота, выраженному в радианах: d  d , рад . Направим вектор

d вдоль оси вращения так, чтобы его направление и направление вращения тела были

связаны т.н. правилом правого буравчика: направление вектора d совпадает с
направлением поступательного движения конца правого буравчика, если ось буравчика
расположить вдоль оси вращения, а рукоятку поворачивать в направлении вращения тела.

Вектор d называется вектором элементарного поворота.
22
Угловой скоростью называется вектор, равный отношению вектора элементарного
поворота к длительности элементарного промежутка времени, в течение которого произошел



поворот:   d .
Направление вектора  совпадает с направлением вектора d .
dt

Следовательно, вектор  связан с направлением вращения тела правилом правого

буравчика. Запишем для модуля угловой скорости   |d | ,     d , рад . Возьмем точку
dt с
dt
Р, лежащую на одном радиусе с точкой М, но ближе к оси вращения. За время dt , точки М и
Р проходят разный путь, но при этом вместе с радиусом оси поворачиваются на один и тот
же угол d . Следовательно, обе точки имеют одну и ту же угловую скорость.
Все точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют одну и ту же

угловую скорость:   const ,   const .
Угловым ускорением называется вектор, равный отношению элементарного приращения
вектора угловой скорости к элементарному промежутку времени, за который произошло это

 d рад
приращение:  
.
,
dt с 2
1.15. Проекция угловой скорости и углового ускорения на ось вращения
Обозначим ось вращения O1O2 как ось z , причем положительное направление оси z
совпадает с направлением вектора угловой скорости
Рис.1.15 - Ось вращения z

d
d

Найдем проекцию вектора  на ось вращения z :  z   cos 0   
.
dt
dt


Пусть вектор углового ускорения  направлен вдоль оси вращения z . Направление 

может совпадать с направлением вектора угловой скорости
 или может быть
d

противоположным вектору  :  z 
.
dt
Запишем:









 (t  dt )   (t )z  (t  dt )z   (t )z  z (t  dt )   z (t ) d z
 d 
z  



 
,
dt
dt
dt
dt
 dt  z
d z
z 
.
dt
23
Проекция углового ускорения на ось вращения равна производной по времени проекции

угловой скорости на эту же ось. Если  z  0 , то модуль вектора  возрастает, при  z  0 ,

модуль  убывает.
1.16. Уравнение кинематики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Основная задача кинематики при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
заключается в нахождении зависимости от времени угла поворота и модуля угловой
скорости:
   t ,
   t  .
Равнопеременное вращение
Вращение твердого тела называется равнопеременным, если угловое ускорение остается

постоянным по направлению и величине с течением времени:   const . Из этого условия
d z
d
следует, что   const ,  z  const . Запишем два уравнения:  z 
, z 
. Перепишем
dt
dt
их: d z   z dt , d   z dt. Величина d z есть приращение проекции угловой скорости на
ось вращения за элементарный промежуток времени dt . Величина d есть приращение угла
поворота тела за тот же элементарный промежуток времени dt . Рассмотрим вращение тела
за промежуток от нулевого момента времени до момента t . Пусть в нулевой момент
выполняются условия:  z (0)   z 0 , (0)  0 . Разобьем интервал времени от 0 до t на очень
большое число элементарных интервалов времени dt . В течение i-го интервала проекция
угловой скорости и угол поворота получают приращения: d zi   zi dti ,
Значения
z и

n
найдем следующим образом:  я (t )   0 z    zi dti ,
в момент t
i 1
n
 (t )    zi dti . Перейдем к пределу при
n  ,
i 1
первого интеграла при  z  const получаем:
второй интеграл:
t
d i   zi dti .
t
 (t )   0 z   z t dt  0 z  dt   z  tdt  0 z t 
0
 z (t )   oz   z t ,  (t )  0 z 
0
 zt 2
2
.
 zt 2
2
t
0
0
 z (t )   0 z    z dt ,  (t )    z dt . Из
 z (t )  oz   zt .
t
t
Подставим это значение во
. Запишем результаты:
Часто при этом индекс «z» не пишут. Кроме того,
очевидно, что  z может иметь следующие значения:

 z      ,
углового ускорения. Запишем:  (t )  0  t ,  (t )   0t 
где  - модуль
t 2
. Здесь,  0 - величина угловой
2
скорости в нулевой момент времени;  - величина угловой скорости в момент времени t ;
«+» - равноускоренное вращение, при котором угловая скорость возрастает; «-» –
равнозамедленное вращение, при котором угловая скорость убывает;  – угол поворота в
момент времени t .
Равномерное вращение
Вращение называется равномерным, если угловая скорость остается неизменной по

величине и направлению:   const ,   const .
24
Запишем:  (t )  0  t . Очевидно, что для того, чтобы   const , необходимо:   0 .
Тогда,
 (t )  0   ,  (t )   0t 
t 2
2
 t .Возьмем приращение от обеих частей второго
уравнения: Δ  ωΔt. Обозначим: t  T ,   2 , где Т – интервал времени, за который
2
. Величина T имеет
T
смысл промежутка времени, за которое тело совершает один оборот вокруг оси вращения.
Величина T называется периодом вращения. Величина, обратная периоду вращения,
называется частотой вращения: n  1 , об  1 . Частота вращения численно равна числу
приращение угла  составляет 2π радиан. Запишем: 2    T ,  
T
с
с
2

 2n ,   t  2nt ,
 nt  N , где N –
оборотов в единицу времени. Запишем:  
T
2
количество оборотов, которое тело совершает за время t .
1.17. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения
   
 
Движение частицы твердого тела можно характеризовать величинами: V , a , an , a и  ,  .
   
 
Величины V , a , an , a называются линейными, а  ,  - угловыми характеристиками
движения. Найдем связь между ними.
Рис.1.16 - Линейные и угловые характеристики движения материальной точки
Проведем из произвольной точки на оси вращения радиус-вектор в точку М. За время dt

точка, двигаясь по окружности радиуса R, совершает элементарное перемещение dr .




Модуль dr равен: dr  Rd   R sin d . Вектор dr перпендикулярен как d , так и r ,

 
следовательно, dr  d  r  , dr  d  r  sin  . Разделим на dt обе части и получим:
 
 



 
dr
d  r   d  
 
V 

 r     r , V    r  , V    r sin   R . Все точки твердого
dt
dt
 dt

тела имеют одну и ту же угловую скорость. Линейная скорость точек зависит от их
расстояния от оси вращения.
25
Рис.1.17 - Расчет полного ускорения материальной точки
Продифференцируем по времени:



 
 dV d    d     dr   
 
  
Определим
a
   r   
 r         r     V    r       r .
dt dt
dt 
 dt
 
 
модуль и направление каждого векторного слагаемого. Вектор   r  перпендикулярен


векторам  и r , и по правилу векторного произведения направлен вдоль вектора скорости



V . Следовательно, первое слагаемое есть тангенциальное ускорение точки М:
 

a    r , a  r sin  , a  R. Для модуля второго слагаемого запишем:
    r      r sin 
     r sin

  2 R . Вектор направлен вдоль радиуса к центру
2
2

окружности, т.е. перпендикулярно к вектору скорости V . Следовательно, этот вектор есть

  

V2
нормальное ускорение точки: an      r , an   2 r sin   2 R, an 
. Полное
2
R
ускорение равно по величине: a 
R 2   2 R 2
.
Глава 2. Динамика материальной точки
Динамика – раздел механики, изучающий движение тел с учетом причин возникновения
и изменения движения. В основе классической динамики материальной точки лежат три
закона Ньютона.
2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)
Для описания движения необходимо выбрать определенную систему отсчета. Кроме того,
известно, что в различных системах отсчета движение в общем случае выглядит по-разному.
Возникает задача выбора такой системы отсчета, в которой законы механики будут более
простыми. Оказывается, что такие системы отсчета существуют и обладают следующим
26
важным свойством: тело, на которое не действуют другие тела, движется в указанной
системе прямолинейно и равномерно или по инерции. Соответственно, систему отсчета
называют инерциальной. Утверждение, что инерциальные системы существуют, составляет
суть первого закона Ньютона или закона инерции.
Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых всякое тело
находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор,
пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Оба указанных состояния (покоя и равномерного прямолинейного движения)
характеризуются тем, что ускорение тела равно нулю. Существование инерциальных систем
неочевидно, однако подтверждается опытом. С очень высокой степенью точности
инерциальной является т.н. гелиоцентрическая система отсчета, связанная с Солнцем. Во
многих случаях с достаточной степенью точности можно считать инерциальной систему
отсчета, связанную с Землей. Системы отсчета, не являющиеся инерциальными, называются
неинерциальными.
2.2. Второй закон Ньютона
Из опыта известно, что если на тело не оказывается никакого воздействия, то оно
сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения сколь угодно
долго. Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения называется инертностью.
Из опыта известно, что некоторые тела оказывают действие на другие тела.
Количественная характеристика действия одного тела на другое называется силой.
Результат действия зависит как от его интенсивности, так и от направления воздействия и
точки приложения. Это указывает на то, что сила является векторной величиной. Будем

обозначать силу F . Из опыта известно, что если на некоторое тело действует сила, то


скорость тела при этом изменяется в соответствии с законом: Fdt  mdV , где dt - время

действия силы, dV - приращение скорости тела в результате действия силы. Постоянная для
данного тела величина m называется инертной массой (массой) и является количественной
мерой инертности тела: m, кг. Из опыта известно, что масса тела оказывается одной и той же



независимо от того покоится тело или движется: m  const . Запишем: Fdt  mdV  d (mV ) .


кг  м
. Связь силы и
Импульсом тела называется вектор, равный: p  mV , p  mV ,
с
изменения импульса определяется вторым законом Ньютона.
В инерциальной системе отсчета производная от импульса материальной точки по

dp 
 F . Запишем: m = const,
времени равна силе, действующей на материальную точку:
dt


 dp d (mV )



dV
кг  м
F

m
 ma ,
F  ma , F  ma, 2  Н, Ньютон. Произведение массы
dt
dt
dt
с
материальной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материальную точку.
2.3. Третий закон Ньютона
Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела, например 1 и 2, и тело 1
сообщает ускорение телу 2, обнаруживается, что и тело 2 сообщает ускорение телу 1. Это
означает, что действие тел друг на друга имеет характер взаимодействия. Третий закон
Ньютона определяет общее свойство всех сил взаимодействия.
Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по
модулю

и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки:
F12   F21 , F12  F21 .
27
Рис.2.1 - Взаимодействие материальных точек
В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны в любой момент и
независимо от движения тел.
2.4. Сложение сил
 Пусть

 на  материальную точку одновременно действуют  несколько сил:
F1 , F2 ,..., Fi ,..., Fn в результате чего частице сообщается ускорение a . Пусть на эту же


 n 
F   Fi . Из опыта известно, что сила F
i 1

сообщает частице такое же ускорение a , как и n сил. Действие нескольких сил,
частицу действует одна сила F , равная
приложенных одновременно к одной и той же материальной точке, эквивалентно действию

n

одной силы, равной геометрической сумме всех приложенных сил, F   Fi .
i 1
Этот экспериментально установленный факт называется принципом суперпозиции сил. С
учетом принципа суперпозиции
второй
закон
Ньютона записывается так:

n 
n 

dp
  Fi , ma   Fi . Произведение массы материальной точки на её ускорение равно
dt i 1
i 1
геометрической сумме всех сил, действующих на эту точку.
2.5. Законы сил
Для применения второго закона Ньютона необходимо знать явное выражение для силы
или закон силы.
Сила тяжести
Между двумя материальными точками действует сила гравитационного притяжения,
определяемая законом всемирного тяготения:
2
m1m2
11 Нм
F12  F21  F   2 ,   6,67  10 , 2 .
кг
r
Рис.2.2 - Гравитационное взаимодействие материальных точек
28
Коэффициент  называется гравитационной постоянной. Пусть материальная точка
находится на расстоянии h над поверхностью Земли. В этом случае сила, действующая на
mM з
частицу со стороны Земли, равна: F  
, M з  5,98  10 24 , кг, R з  6,37  10 6 , м.
2
R  h 
Рис.2.3 - Сила тяжести
Пусть выполняется условие:
h  Rз . В этом случае: F  
mM з
 M 
 m 2 з  .
2
R з
R з 
M з
м
.
R з
с2
Величина g называется ускорением свободного падения. Следовательно, можем записать:
F  mg. В системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m, находящейся



вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести: P  mg , P  mg. Вектор g и,
Выражение в скобках есть константа, имеющая смысл ускорения: g 
2
 9,81

следовательно, вектор P направлены по радиусу Земли к ее центру, т.е. вертикально вниз.
Вес тела
опоре. На тело действуют: сила тяжести
 Пусть тело массой m лежит на горизонтальной

P со стороны Земли, сила реакции R опоры, обусловленная упругими свойствами опоры.
Рис.2.4 - Вес тела
29



Обе силы P и R приложены к телу. Точкой приложения силы P является центр масс
тела, сила R приложена к точке на границе соприкосновения тела и опоры. По третьему

закону Ньютона на опору со стороны тела действует сила, которую обозначим G , очевидно:


G  R .
Сила, с которой тело действует на опору, называется весом тела. Найдем

связь между силой тяжести и весом. Пусть опора вместе с телом движется с ускорением a .




 



Запишем второй закон Ньютона для тела: mg  R  ma , mg   G  ma , G  mg  ma.



Очевидно, что если ускорение равно нулю, то: a  0, G  mg. Вес и сила тяжести приложены
к различным телам.
 
Сила упругости
Всякое тело под действием сил изменяет свою форму и размеры или деформируется. В
деформированном теле возникают упругие силы, действие которых приводит к уменьшению
деформации.
Цилиндрическая пружина
Рассмотрим цилиндрическую пружину, расположенную вдоль оси x , один конец
которой закреплен. Проекция свободного конца пружины совпадает с началом оси x точкой
O.
Рис.2.5 - Цилиндрическая пружина

Приложим к свободному концу пружины силу F , направленную вдоль оси x . Под
действием этой силы пружина растягивается или сжимается, т.е. деформируется. Пусть x –
координата свободного конца пружины.
30
Рис.2.6 - Сила упругости при деформации цилиндрической пружины
Величина x называется деформацией пружины, причем, если x  0 , то происходит
растяжение пружины, а при x  0 происходит сжатие пружины. Если деформированную
пружину отпустить, то она возвращается в недеформированное состояние в результате
действия силы упругости.
Сила упругости при достаточно малых деформациях подчиняется закону Гука: Fу   kx ,
где F у - проекция на ось x силы упругости, возникающей при деформации пружины; k –
Н
; x – деформация пружины. Знак минус указывает на то, что
м
вектор силы упругости направлен так, что под действием силы упругости пружина
стремится вернуться в недеформированное состояние.
жесткость пружины,
Однородный стержень (сжатие, растяжение)
Пусть однородный стержень в свободном состоянии имеет длину l 0 . Приложим к его
концам направленные вдоль его оси силы: F1  F2  F . Обозначим:  l - изменение длины
стержня, «плюс» - при растяжении, и «минус» - при сжатии. Относительной деформацией
l
называется безразмерная величина, равная:    , где l 0 - длина стержня в
l0
недеформированном состоянии.
а)
б)
Рис.2.7 - Растяжение (а) и сжатие (б) стержня
31
Обозначим: S n - площадь сечения стержня, перпендикулярного направлению силы.
Нормальным напряжением, возникающим в деформированном стержне, называется
F Н
 Па . Из опыта известно, что относительная
,
скалярная величина, равная:  
Sn м2
деформация пропорциональна силе, приходящейся на единицу площади поперечного
сечения стержня:
Н
1
   , где Е – характеристика упругих свойств материала - модуль Юнга, 2  Па .
м
E
S E
S E
F l
Запишем:   E,

E, F  n l , k  n , F  kl. Можно еще записать
Sn
l
l
l
F
 E , F  ES n .
выражения
Sn
Деформация сдвига
Возьмем однородное тело в форме прямоугольного параллелепипеда, к противолежащим
граням которого приложены две силы, направленные параллельно этим граням в


противоположные стороны: F1   F2 , F1  F2  F . В любом сечении, параллельном этим
F Н
 Па , где S - площадь грани.
,
граням, возникает тангенциальное напряжение:  
S м 2
В качестве характеристики деформации сдвига используется величина:   tg  a .
b
Смысл a и b ясен из рисунка. При упругих деформациях угол  обычно очень мал, так что:
называется относительным сдвигом. Из опыта
tg   , рад ,    . Величина 
известно, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:   1  ,
G
Н
где G – модуль сдвига, 2  Па .
м
Рис.2.8 - Деформация сдвига
Сила трения
Сила трения возникает при перемещении соприкасающихся тел или их частей
относительно друг друга. Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии
32
смазки между ними называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или
газообразной средой называется вязким.
Сухое трение
Пусть некоторое тело скользит по поверхности. При этом в точках соприкосновения тела
и поверхности возникает сила сухого трения или трения скольжения. Сила трения при
этом направлена вдоль соприкасающихся поверхностей так, чтобы препятствовать
смещению этих поверхностей.
Рис.2.9 - Сила трения скольжения
Из опыта известно, что величина силы сухого трения пропорциональна силе реакции
опоры: Fтр  R , 0    1. Здесь  - коэффициент трения скольжения, безразмерная
величина, значение которой определяется экспериментально. Рассмотрим тело, скользящее
вниз по наклонной плоскости с углом наклона, равным  .
Рис.2.10 - Движение тела на наклонной плоскости
Записав уравнение второго закона Ньютона, можно получить для силы реакции опоры и
силы трения: R  mg cos , Fтр  mg cos .
Вязкое трение и сопротивление среды
При движении тела в газе или жидкости на поверхность тела действует сила вязкого
трения. Суммарное действие сил трения на все участки поверхности тела, соприкасающиеся

с газом или жидкостью, приводит к появлению силы сопротивления среды Fc .
33
Рис.2.11 - Движение тела в среде


небольших скоростях движения тела: Fc   1V , Fc  1V .
При больших


скоростях: Fc    2V 2 eV , Fc   2V 2 . Здесь:  1 ,  2 - коэффициенты сопротивления среды,
При
которые зависят от
экспериментально.
свойства
среды,
формы
и
размеров
тела
и
определяются
2.6. Принцип относительности Галилея
Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся относительно друг друга с постоянной

скоростью u : инерциальная система отсчета K  движется равномерно и прямолинейно
относительно инерциальной системы K . Пусть оси x и x систем координат совпадают, а
оси y, y , z, z  все время остаются параллельными.
Рис.2.12 - Вывод преобразований Галилея
Возьмем за t  0 момент времени, в который начала систем координат O и O
  

совпадали. Для некоторой точки М запишем: r   r  ut , где u t есть перемещение точки O
за время t . Спроецируем уравнение на оси систем отсчета K и K  : x  x   ut , y  y , z  z .
Полученные выражения называются преобразованиями Галилея. Возьмем элементарное




dr dr  


 u. В классической
приращение обеих частей и разделим на dt : dr  dr  udt ,
dt
dt
механике выполняется следующее условие: во всех системах отсчета время течет одинаково



dr dr     




 u , V  V   u ,Vx  Vx  u,V y  V y ,Vz  Vz . Здесь: V t  t . Запишем: dt  dt ,
dt dt 

скорость частицы в K -системе, V  -скорость частицы в K  -системе. Полученные уравнения
34
называются законом классического сложения скоростей. Продифференцируем по времени



dV dV  dV   
и получим:


, a  a . Пусть K - система - инерциальная. Рассмотрим частицу,
dt
dt
dt 

на которую в K -системе не действуют силы: a  0. Запишем для частицы в системе K  :


a   0,V   const. В системе K 
частица, на которую не действуют силы, движется
прямолинейно и равномерно. Следовательно, в K  -системе выполняется первый закон
Ньютона и K  -система является инерциальной.
Любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно
инерциальной системы отсчета, также является инерциальной.
Умножим равенство для ускорений на массу частицы, одинаковую в обеих системах


  
 

отсчета, и получим: ma  ma , F  F . Запишем: F  ma , F   ma . Уравнение второго закона
Ньютона имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует
принцип относительности Галилея: все механические явления протекают одинаковым
образом в различных инерциальных системах отсчета (при одинаковых начальных условиях)
и описываются одинаковыми уравнениями.
Глава 3. Закон сохранения импульса
3.1. Импульс материальной точки и системы материальных точек

dp 
 F . Импульс
Запишем для материальной точки второй закон Ньютона:
dt


 
материальной точки равен: p  mV .
Запишем далее: dp  Fdt. Величина
в
правой
части называется элементарным импульсом силы. Проинтегрируем обе части:

p2
2

p1
t1
 t 

 t 
Интеграл в правой части называется импульсом силы
d
p

F
dt
,
p

p
2
1   Fdt.


2
за
t
промежуток времени. Приращение импульса частицы за некоторый промежуток времени
равно импульсу силы, действующей на частицу, за этот же промежуток времени.
Введем определение. Совокупность материальных точек, рассматриваемых в данной
задаче, называется системой материальных точек или системой.
Рассмотрим систему N материальных точек, каждая из которых имеет импульс:
 


p1 , p2 ,..., pi ,..., p N .
Рис. 3.1 - Система материальных точек
35
Импульсом системы материальных точек называется вектор, равный геометрической
 N 
сумме импульсов материальных точек системы: p   p i . Пусть имеется К материальных
i 1
точек. Выделим из них систему из N материальных точек. На каждую материальную точку
действуют как частицы данной системы, так и частицы не входящие в систему. Силы, с

которыми взаимодействуют частицы системы, называются внутренними силами F в нутр .
Силы, действующие на частицы системы со стороны частиц не входящих в эту

систему, называются внешними силами F в нешн .
Рассмотрим систему из трех взаимодействующих частиц, на которые действуют также и
 


внешние силы. Обозначим для краткости: F в нутр  f , F в нешн  F .
Рис. 3.2 - Силы, действующие на материальные точки системы
Запишем для каждой частицы:



 dp 2 
 dp 3 


dp1 
 f12  f13  F1 ,
 f 21  f 23  F2 ,
 f 31  f 32  F3 .
dt
dt
dt
Сложим уравнения:









 

dp1 dp2 dp3


 f12  f 21  f13  f 31  f 23  f 32  F1  F2  F3 .
dt
dt
dt

 
 

По третьему закону Ньютона каждая скобка равна нулю, следовательно:




d  p1  p2  p3   
 F1  F2  F3 . Обобщая результат на систему N частиц, можно записать:
dt

N 
d N 
dp N  в нешн
в нешн
p

F
  Fi
,
или
.
 i 
i
dt i 1
dt i 1
i 1
Производная импульса системы материальных точек по времени равна векторной сумме
всех внешних сил, действующих на материальные точки системы.
3.2. Закон сохранения импульса
Введем еще одно понятие. Система материальных точек называется замкнутой, если на
частицы системы не действуют внешние силы (или их действие пренебрежимо мало). Из
предыдущего параграфа следует, что импульс системы может изменяться только под
 внешн
действием внешних сил. Пусть система материальных точек замкнута: Fi
 0 . При
этом:
36

 в нешн
 N 
dp
Fi
 0,
 0, p   pi  const .

dt
i 1
i 1
Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным, т.е. не
N

изменяется со временем:  p i  const . Это закон сохранения импульса. При этом
N
i 1
импульсы отдельных частиц системы могут изменяться со временем. Пусть в некоторый
 



момент времени t для замкнутой системы частиц: p  p1  p2  ...  pi  ...  p N . В другой





момент времени t  : p  p1  p2  ...  pi  ...  pN . Из закона сохранения импульса следует,








что: p1  p2  ...  pi  ...  p N = p1  p2  ...  pi  ...  pN . Спроецируем обе части равенства,
например, на ось x : p1x  p2 x  ...  pix  ...  p Nx  p1x  p2 x  ...  pix  ...  pNx .
3.3. Сохранение импульса в незамкнутой системе
Пусть на частицы системы действуют внешние силы, так что в любой момент:
 внешн
Fi
 0.
Рассмотрим два случая.
 в нешн
 0 . При этом
Геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю:  Fi
N
i 1

dp N  внешн
 N 
  Fi
 0, p   pi  const . Импульс системы остается постоянным.
dt i 1
i 1
Сумма
проекций
внешних
сил
на
некоторое
направление
равна
нулю:

 F в нешн   N F в нешн  0 . Запишем для системы частиц: dp  N F в нешн . Спроецируем
 i
  ix
 i
dt i 1
 i 1
 x i 1
N
на оси декартовой системы координат:



 N  внешн 
 N  внешн 
 N  внешн 
 dp 
 dp 
 dp 

F
,

F
,





  Fi
 .
 
 
 i   dt   
i
dt
 dt  x  i 1


i

1
i

1


z
y
z
x
y
N
N
N
N
N
d
d
d N
в нешн
в нешн
в нешн
p

F

0
,
p

F
,
p

Fiz
. Из
Перепишем:






ix
ix
iy
iy
iz
dt i 1
dt i 1
dt i 1
i 1
i 1
i 1
N
d N
p

0
,
pix  const . Проекция импульса системы
первого уравнения запишем:
 ix

dt i 1
i 1
частиц на ось x остается постоянной.
3.4. Центр масс системы
Центром масс (центром инерции) системы называется точка С, радиус-вектор которой

N

равен: Rc 
m r
i 1
N
m
i 1

i i
. Здесь, mi , ri - масса и радиус-вектор i-й материальной точки (частицы).
i

N
Запишем: M   mi , где M - масса системы частиц. Далее: Rc 
1
M
N

m r .
i i
i 1


dRc 1 N
dr
Продифференцируем по времени:
Следовательно,
  mi i .
dt M i 1 dt


 

 1 N 
1 N
p
, где Vc - скорость центра масс; Vi , pi - скорость и импульс
Vc   miVi   pi 
M i 1
M i 1
M
i 1
37



i-той точки системы; p - импульс системы материальных точек. Запишем: p  MVc .
Импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.



dp N  внешн
dVc
dp
Продифференцируем по времени обе части:
. Известно, что
  Fi .
M
dt
i 1
dt
dt

N 
dVc
Следовательно, M
  Fi внешн . Это уравнение движения центра масс системы.
dt
i 1
3.5. Система центра масс (Ц-система)
Система отсчета, жестко связанная с центром масс системы материальных точек,
называется системой центра масс или Ц-системой. Запишем в некоторой системе отсчета:
N




p  MVc ,  pi  MVc . Перейдем в Ц-систему. Очевидно, что в этой системе центр масс
i 1

покоится и, следовательно, Vc  0 .
N
Тогда

p
i 1
i
 0 . В системе центра масс импульс
системы материальных точек всегда равен нулю.
3.6. Движение тела с переменной массой

Пусть некоторое тело массой m , движущееся со скоростью V в течение времени dt
получает приращение массы dm , например, за счет того, что часть этого тела отделяется от

него со скоростью u относительно тела. В этом случае скорость тела получает приращение и


становится равной V  dV , масса тела становится равной m  dm , причем dm  0 .
Рис. 3.3 - Реактивное движение
Скорость отделяемого элемента относительно неподвижной системы отсчета равна
 
u  V . Найдем приращение импульса системы за время dt :
38








 
dp  m  dm V  dV  (dm) u  V  mV 







 mV  mdV  dmV  dmdV  dmu  dmV  mV 





 mdV  dmu  dmdV  mdV  dmu.
Величиной dmdu можно пренебречь по равнению с остальными слагаемыми,



следовательно:
Разделим
на
обе
части:
dp  mdV  dmu .
dt




dp
dV dm 
dV dp dm 
m

u, m


u.
dt
dt
dt
dt
dt dt



dp  в нешн
dV
dm 
F
, m
 F в нешн 
u.
Запишем:
dt
dt
dt
Второе слагаемое в правой части
 реакт
уравнения имеет смысл силы и называется реактивной силой: F

dm 
u . Величина
dt
dm
dm
 0 , если масса присоединяется и
 0 , если масса отделяется. Пусть масса
dt
dt


dm
отделяется, тогда
 0 , и F реакт направлена против вектора u , как показано на рисунке.
dt
Рис. 3.4 - Реактивная сила
Глава 4. Закон сохранения энергии
4.1. Работа и мощность
Частица перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой траектории. В каждой точке на


нее действует сила F . Рассмотрим элементарное перемещение dr , в пределах которого
силу можно считать постоянной.
Элементарной работой силы на элементарном перемещении называется скалярная
 
величина: dA  Fdr  Fdr cos  , Н  м  Дж . Здесь  - угол между векторами силы и
элементарного перемещения.
Если просуммировать работы на всех элементарных
2 

перемещениях, то получим работу силы на конечном перемещении 1-2: A12   Fdr , Дж .
1
39
Рис. 4.1 - Перемещение материальной точки
Пусть на частицу одновременно действует N сил, причем по принципу суперпозиции
N 

F   Fi .
можем
записать:
Запишем
для
работы
силы
выражение:
i 1
  2  N    N  2   N
A12   Fdr     Fi dr     Fi dr     A12 i . Работа, совершаемая на некотором
i 1  1

1
1  i 1
 i 1
перемещении несколькими одновременно действующими силами, равна алгебраической
2
N
сумме работ, совершаемых каждой силой на этом перемещении: A12    A12 i . Мощностью
i 1
dA Дж
,
 Вт . Мощность численно равна
называется скалярная величина, равная: P 
dt с
работе, совершаемой в 1 с, и характеризует интенсивность совершения работы. Запишем:
 
 dr  

dA Fdr
P

F
 FV , где V -скорость, с которой движется точка приложения силы.
dt
dt
dt
2
Далее получим: dA  Pdt , A   Pdt.
1
4.2. Вычисление работы
Работа силы тяжести
Пусть частица массой m перемещается из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории

так, что в каждой точке траектории на частицу действует сила тяжести mg . Вычислим
работу силы тяжести. Запишем:
2
 








F  mgk , dr  dxi  dyj  dzk , A12    mgk dxi  dyj  dzk 


1
z2
   mgdz  mg z 2  z1   mgz1  mgz 2 .
z1
Итак, получим: A12  mgz 1  mgz 2 .
40

Рис. 4.2 - Вычисление работы силы тяжести
Работа упругой силы
Рассмотрим сжатие цилиндрической пружины и вычислим работу упругой силы при
изменении деформации пружины от x1 до x 2 .
Рис. 4.3 - Вычисление работы упругой силы
 
Запишем: A12   Fdr . Далее:
2
1


2










F  kxi , dr  dxi  dyj  dzk , A12    kxi  dxi  dyj  dzk 
1
 kx 2 kx 2  kx 2 kx 2
   kxdx   2  1   1  2 .
2 
2
2
x1
 2
x2
41
2
2
kx
kx
В итоге получим: A12  1  2 .
2
2
Работа силы трения
2


2
 
2
2
1
1
Запишем: A12   Fтр dr   FтрVdt    FтрVdt    Fтр ds .
1
1
Рис. 4.4 - Вычисление работы силы трения
Очевидно, что

Fтр  Fтр  0, ds  0.
2
F
Поэтому:
тр
ds  0 . Следовательно,
1
2
A12    Fтр ds  0 . Работа силы трения отрицательна. Пусть выполняется условие:
1
s
Fтр  const . Тогда: A12   Fтр  ds   Fтр s .
0
4.3. Поле сил (силовое поле)
Область пространства, в каждой точке которого на частицу действует сила, называется
полем сил или силовым полем. Поле сил называется стационарным, если сила,
действующая на частицу в каждой точке поля, не зависит от времени. Пусть частица
перемещается в стационарном силовом поле из начальной точки 1 в конечную точку 2. При
2

этом сила поля совершает над частицей работу: A12   Fr . В общем случае величина
1
работы зависит как от положения начальной и конечной точек 1 и 2, так и от траектории
движения (или формы пути).
4.4. Поле центральных сил
Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и
направленные вдоль прямой, проходящей через эти частицы называются центральными
силами.
Пусть материальная точка движется в поле сил, создаваемом некоторой частицей,
находящейся в точке О пространства. Положение движущейся
частицы задается радиус

вектором r , проведенным из точки О. Пусть сила F , действующая, на данную


материальную точку определяется законом: F  f (r )er . Здесь: f (r ) – функция, зависящая


от расстояния материальной токи до точки О, er -орт радиус-вектора. Сила F удовлетворяет
определению центральной силы и является центральной силой. Точка О называется
силовым центром.
42
Пусть материальная точка(частица) перемещается в поле центральных сил из начальной


точки 1 с радиус-вектором r1 в конечную точку 2 с радиус-вектором r2 . Обозначим: r1 расстояние точки 1 от точки О, r2 -расстояние точки 2 от точки О.
Рис. 4.5 - Материальная точка в поле центральных сил
Вычислим
работу
центральной
силы
  2
 
A12   Fdr   f (r )er dr . Запишем:
при
перемещении
частицы:
2
1
1

  r  

 
 
er dr  dr , r 2  r 2 , d (r 2 )  d (r 2 ), 2r dr  2rdr , r dr  rdr.
r
r
  2
rdr r
  2
  f (r )dr , A12   f (r )dr .
Далее: A12   Fdr   f (r )er dr   f (r )
r
1
1
1
r
r
Величина A12 зависит только от вида функции f (r ) , от значений r1 и r2 и не зависит от
2
2
2
1
1
пути перемещения частицы. Рассмотрим две частицы массами m и М.
Рис. 4.6 - Гравитационная сила
Проведем

радиус-вектор r из частицы
гравитационная сила притяжения: F  
М в частицу m. На частицу m действуют
mM
,
r2

mM 

F   2 er  f (r )er . Гравитационная
r
сила является центральной силой. Очевидно, что сила тяжести также будет центральной.
43
Кроме того, к центральным силам относится также упругая сила, если она описывается
законом Гука.
4.5. Поле консервативных сил
Если силы, действующие на частицу, зависят только от координат частицы и работа этих
сил при перемещении частицы из произвольного начального положения в произвольное
конечное положение определяется только начальным и конечным положениями частицы и
не зависит от пути перемещения частиц, то такие силы называются консервативными.
Рассмотрим перемещение частицы из 1 в 2 по нескольким путям a, b, с. При этом на

частицу действует консервативная сила F .
Рис. 4.7 - Перемещение материальной точки по различным траекториям
Поскольку сила консервативная, то: A1a 2  A1b 2  A1c 2 . Пусть частица перемещается по
замкнутому пути 1-a-2-b-1.
Рис. 4.8 - Перемещение материальной точки по замкнутой траектории
Запишем: A1a 2  A1b 2 . Так как сила зависит только от положения частицы в
пространстве, то легко показать, что: A1b 2   A2b1 . Следовательно,
A1a 2  A1b 2   A2b1 , A1a 2  A2b1  0. Работа консервативных сил на произвольном замкнутом
пути в поле консервативных сил равна нулю. Это условие является необходимым и
достаточным, поэтому можно утверждать, что если работа сил поля на произвольном
замкнутом пути равна нулю, то силы поля являются консервативными. Запишем для
центральных сил: A121 
r1
 f (r )dr  0 .
Центральные силы являются консервативными.
r1
44
4.6. Потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил
Пусть частица находится в поле сил, которые являются консервативными в некоторой
точке с координатами  x, y, z  . Выберем некоторую точку О с координатами ( x0 , y0 , z0 ),
которую назовем нулевым положением. Пусть частица переходит из точки  x, y, z  в
нулевое положение по произвольному пути. При этом силы поля совершают работу
A x, y, z ,  x0 , y0 , z 0  .
Рис. 4.9 - Материальная точка в поле консервативных сил
Работа, совершаемая консервативными силами поля над частицей, при переходе частицы
из некоторой точки в нулевое положение, называется потенциальной энергией частицы в
этой точке в поле консервативных сил: U ( x, y, z)  A( x, y, z), ( x0, , y0 , z0 ) , Дж.
Очевидно, что значение U ( x, y, z ) зависит от выбора нулевого положения – точки О. Пусть
частица из некоторой точки 1 переходит в нулевое положение О двумя путями: по пути 1-О
и по пути 1-2-О, где 2 – некоторая точка. При этом частица находится в поле консервативных
сил. Если силы, действующие на частицу, консервативные, то: A10  A12  A20 . Из
определения потенциальной энергии: A10  U1 , A20  U 2 . Здесь: U1 ,U 2 - потенциальная
энергия частицы в 1-й и 2-й точках. Далее запишем: U 1  A12  U 2 , A12  U 1  U 2 .
Рис. 4.10 - Перемещение материальной точки в поле консервативных сил
Работа консервативной силы, при перемещении частицы из произвольного начального
положения 1 в произвольное конечное положение 2 по произвольному пути равна разности
потенциальной энергии частицы в начальном и конечном положениях или убыли
45
потенциальной энергии частицы: A12  U1  U2 . Если частица совершает элементарное
перемещение, то dA  dU .
4.7. Вычисление потенциальной энергии
Потенциальная энергия частицы в однородном поле силы тяжести
Работа, совершаемая однородной силой тяжести над частицей массой m равна:
A12  mgz1  mgz2 . Видно, что работа не зависит от пути перемещения. Кроме того, если
путь замкнутый, то: z1  z2 , A12  0 . Таким образом, можно сделать вывод о том, что
однородная сила тяжести является консервативной силой. Пусть частица находится в точке
1 с координатой z1  h . Пусть нулевое положение О находится на поверхности Земли, так
что z2  0 . По определению: U1  A10  mgh .
Потенциальная энергия материальной точки массой m, находящейся на высоте h в
однородном поле тяжести Земли равна: U (h)  mgh .
Рассмотрим тело массой m. Разобьем тело на элементарные массы mi – материальные
точки. Обозначим: z i - вертикальная координата i-ой материальной точки, отсчитанная от
некоторой точки О.
Потенциальной энергией системы материальных точек в поле консервативных сил
называется величина, равная алгебраической сумме потенциальных энергий материальных
N
точек системы в данном поле консервативных сил: U  U i . Запишем:
i
 1
U  U i   mi gzi  g  mi zi  gM 
i 1
i 1
i 1
M
N
N
N

1
M
определяется выражениями: RC 
yC 
1
M
N
m y ,
i 1
i
i
zC 
1
M
N

N
 m z  .
i i
i 1

m r ,
i 1
i i
N
Здесь: M   mi . Центр масс системы
xC 
i 1
1
M
N
m x ,
i 1
i
i
N
m z .
i 1
i
i
Следовательно, потенциальная энергия тела равна:
U  Mgz C . Здесь z C - вертикальная координата центра масс системы.
Потенциальная энергия системы частиц в однородном поле силы тяжести равна
произведению массы системы на ускорение свободного падения и на вертикальную
координату центра масс системы.
Потенциальная энергия деформированной пружины
2
2
kx1
kx2

Работа, совершаемая упругой силой равна: A12 
. Работа определяется только
2
2
начальным x1 и конечным x 2 положениями свободного конца пружины и не зависит от
«пути перехода» из 1 в 2., следовательно, упругая сила есть консервативная сила. Пусть
состояние 2 определяется условием: x2  0 . В этом состоянии пружина не имеет
деформации. Будем считать такое состояние нулевым положением.
Обозначим
деформацию пружины x ,
x1  x . Тогда потенциальная энергия
деформированной пружины равна: U  A10 
kx2
.
2
Потенциальная энергия гравитационного поля
Пусть частица m находится в гравитационном поле, создаваемом другой частицей М. При
элементарном перемещении частицы m силы поля совершает работу dA, равную убыли
потенциальной энергии частицы в этом поле: dA  dU .
46


mM r 
mM rdr
mM
dA  F dr   2
dr   2
  2 dr  dU .
r
r r
r
r
dU  
mM
mM
mM
dr, U    2 dr  
 C.
2
r
r
r
Пусть выполняется условие: r  ,U  0 . Такое выражение называется условием
mM
нормировки потенциальной энергии. Запишем: 0  0  C , C  0 . U ( r )  
.
r
4.8. Потенциальная энергия и консервативная сила

Пусть частица, на которую действует консервативная сила F , совершает элементарное

перемещение dr . Элементарная работа силы равна:


 




dA  Fdr  Fx i  Fy j  Fz k dxi  dyj  dzk  Fx dx  Fy dy  Fz dz  dU .
Пусть
частица



перемещается так, что: y  const , z  const , dy  0, dz  0 .
dU
U
. Выражение U называется частной
y  const , Fx  
dx z const
x
x
производной функции U(x, y, z) по переменной x , при этом y  const , z  const .
U
U
Аналогично можно получить для проекций Fy и Fz : Fy  
, Fz  
. Умножим
y
z
Тогда: Fx dx  dU , Fx  
  
Fx , Fy , Fz на орты i , j , k и сложим:



 U  U  U   
 U  U  U  
Fx i  Fy j  Fz k  
i
j
k , F  
i
j
k .
y
z 
y
z 
 x
 x
Величину в скобках называют градиентом скалярной функции U и обозначают так:
gradU . Полученное выражение для градиента справедливо в декартовой системе
координат.
Сила, действующая со стороны консервативного поля на частицу в некоторой точке поля,
равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля.
4.9. Кинетическая энергия частицы

dV 
Запишем для частицы второй закон Ньютона: m
 F . За время dt частица
dt


 

dV 
совершает перемещение: Vdt  dr . Умножим выражения друг на друга: m
Vdt  Fdr ,
dt
   
2
2
md
V  V . Возьмем
  дифференциал от обеих частей:
 Vd
 V  Fdr . Запишем:
 
2VdV  2VdV , VdV  VdV , mVdV  Fdr .
Запишем
для
левой
части
последнего
равенства:
 mV 2 
mVdV  d 
 . Далее:
 2 
 mV 2   
d
  Fdr . В левой части имеем приращение некоторой функции, которая
 2 
называется кинетической энергией частицы: T 
mV 2
, Дж. По определению: T  0 . В
2

правой части уравнения – элементарная работа силы: Fdr  dA . Итак: dT  dA .
47
Элементарная работа силы, действующей на частицу, равна элементарному приращению
кинетической энергии частицы: dT  dA .
Конечное перемещение частицы 1-2 можно представить как сумму бесконечно малых
перемещений, на каждом из которых: dTi  dAi .
Просуммируем выражения по всем N
N
N
 dT   dA .
перемещениям:
i 1
i
i
i 1
При
N   получим:
2
2
1
1
 dT   dA .
Интеграл слева
2
равен:  dT  T2  T1 . Интеграл справа в общем случае зависит от формы пути, поэтому:
1
2
 dA  A
12
. В итоге: T2  T1  A12 .
1
Работа силы, действующей на частицу на некотором перемещении, равна приращению
кинетической энергии частицы на этом перемещении: A12  T2  T1 .
4.10. Полная механическая энергия частицы
Пусть частица находится в некотором поле консервативных сил. Обозначим силу,
конс
действующую на нее со стороны этого поля F . Пусть также на частицу действуют силы,
не принадлежащие указанному силовому полю. Силы, не принадлежащие рассматриваемому
 стор
в данной задаче полю консервативных сил, называются сторонними силами F
.
Сторонние силы могут быть как консервативными, так и не консервативными.
Таким
  конс  стор
образом, в общем случае, сила F , действующая на частицу, равна: F  F
F .
Рассмотрим перемещение частицы из точки 1 в точку 2. Вычислим работу:


  2  конс  стор  2  конс  2  стор 
конс
стор
A12   Fdr   F  F
dr   F dr   F dr  A12  A12 .
2
1
1
1
стороны: A12  T2  T1 , T2  T1  A12
конс
 A12
1
стор
С
другой
. Кроме того:
A12
 U 1  U 2 , T2  T1  U 1  U 2  A12 , T2  U 2   T1  U 1   A12 .
Сумма кинетической энергии частицы и ее потенциальной энергии называется полной
конс
стор
стор
механической энергией частицы: E  T  U , Дж . Следовательно, E2  E1  A12
.
Приращение полной механической энергии частицы на некотором перемещении равно
стор
работе сторонних сил, действующих на частицу на этом перемещении: E2  E1  A12
.
В случае элементарного перемещения: dE  dT .
стор
4.11. Закон сохранения полной механической энергии частицы
Пусть
частицу
действуют
только
консервативные
 конс
 сторна
стор
стор
F  0, F
 0, dA  0, A12  0. Можем записать:
силы:
E2  E1  0, E2  E1  E  const.
Если на частицу действуют только консервативные силы, то полная механическая
энергия частицы остается постоянной или сохраняется: E  T  U  const.
4.12. Закон сохранения полной механической энергии системы частиц
Для системы N частиц можно получить выражение:
48
N
N
i 1
i 1
E  T  U , T   Ti , U   U i . Здесь T,U - кинетическая и потенциальная энергия системы
частиц.
Полная механическая энергия системы частиц, на которые действуют только
консервативные силы остается постоянной, т.е. сохраняется: E  T  U  const.
4.13. Соударение двух тел
Соударением (столкновением) тел называется такое взаимодействие при котором время
взаимодействия мало, а силы взаимодействия велики. При этом систему тел, участвующих в
соударении можно считать замкнутой.
Абсолютно упругий удар
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором кинетическая
энергия системы не изменяется. Рассмотрим удар двух однородных шаров. Удар называется
центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры.
 
Обозначим массы шаров m1 ,m2 , скорости шаров до удара V1 ,V2 , а скорости после удара
 
соответственно u1 ,u 2 .
Рис. 4.11 - Упругий удар двух тел
Запишем законы сохранения импульса и энергии:
2
2
2
 2


m2V2
m1u1
m2 u 2

 m1V1
m1V1  m2V2  m1u1  m2 u 2 ,



.
2
2
2
2
Преобразуем второе уравнение:






2  2
 
 
 

 2 2

m1 (V1  u1 )  m2 (u2  V2 ), m1 V1  u1  V1  u1  m2 u2  V2  u2  V2 . Из первого
 


уравнения получим: m1 V1  u1  m2 u 2  V2 . Из соображения симметрии следует, что
 
скорости шаров u1, u 2 будут направлены вдоль прямой, соединяющей центры шаров,
  

следовательно: V1  u1  u 2  V2 . Окончательно можно получить результат:








2m2V2  m1  m2 V1 
2m1V1  (m2  m1 )V2

u1 
, u2 
.
m1  m2
m1  m2
Для численных расчетов нужно спроецировать выражения на ось x , вдоль которой
движутся шары.
Рассмотрим нормальное соударение шара с неподвижной массивной
стенкой.
Рассматриваем стенку как шар бесконечно большого радиуса и массы.
Запишем:
49
 m

2V2   1  1V1

 m2
  V , V  0, m1  1  0.
u1 
1
2
m2
 m1


 1
 m2

Рис. 4.12 - Упругий удар тела о стенку
Шар отражается о стенки, движется в противоположном направлении с той же по

величине скоростью: u 2 
2
m1  
m 
V1  1  1 V2
m2
 m2 
 m1


 1
 m2

2
m1 
V1  0.
m2
Стенка
остается
неподвижной.
Абсолютно неупругий удар
Абсолютно неупругим ударом называется столкновение тел, при котором оси
соединяются вместе и движутся как одно тело или покоятся.



Запишем закон сохранения импульса: m1V1  m2V2  (m1  m2 )u . Найдем скорость тела


 m1V1  m2V2
. Найдем кинетическую энергию системы до удара
после неупругого удара: u 
(m1  m2 )
и после удара: Tнач
2
2


m1V1
m2V2
m1  m2 u 2


, Tкон 
.
2
2
2
50
Рис. 4.13 - Неупругий удар двух тел
Вычислим разность кинетической энергии системы до удара и после удара:
2
2



 2
m1  m2 u 2 m1V1 2 m2V2 2 m1  m2   m1V1  m2V2 
m1V1
m2V2
Tнач  Tкон 





 m m  
2
2
2
2
2
2
1
2


2
2
2

2
mV
mV
1
2
2
 1 1  2 2 
m1 V1  2m1 m2V1V2  m2 V2 
2
2
2m1  m2 
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
m1 V1  m1 m2V1  m1 m2V2  m2 V2  m1 V1  2m1 m2V1V2  m2 V2


2(m1  m2 )
  2
m1 m2

V1  V2 .
2(m1  m2 )




Обозначим: Q  Tнач  Tкон . Q 


  2
m1m2
V1  V2 , Дж. Очевидно, что Q  0 .
2(m1  m2 )
Кинетическая энергия системы в результате неупругого удара уменьшается. Она
частично переходит в т.н. внутреннюю энергию или тепло. Величина Q называется
количеством теплоты, которое выделяется при неупругом ударе.
Глава 5. Закон сохранения момента импульса
5.1. Момент силы
Пусть положение материальной точки относительно некоторой точки О определяется


радиусом-вектором r и на частицу действует сила F .

Моментом силы F относительно точки О называется векторная величина:


 
M  r  F . Модуль вектора M равен: M  rF sin  , Н  м . Здесь  - угол между радиус
вектором и силой. Опустим из точки О перпендикуляр на продолжение вектора силы F ,
обозначим его длину d . Очевидно: d  r sin  , M  Fd. Величина d называется плечом


силы F . Направление вектора M определяется правилом векторного произведения: вектор



M перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и F .


51
Рис. 5.1 - Момент силы
Проведем через точку О прямую и назовем ее осью z. Обозначим угол между вектором


M и осью –  . Проекция вектора M на ось z равна: M z  M cos  , Н  м. Величина M z
называется моментом силы относительно оси z.
5.2. Пара сил
Две равные по модулю и противоположные по направлению силы образуют пару сил:


F1   F2 . Расстояние между направлениями действия сил называется плечом пары сил.
.
Рис. 5.2 - Пара сил

Обозначим M - векторную сумму моментов сил, действующих на частицы. Вычислим:

 
 
 
 
 





 
 
 

 

M  r1  F1  r2  F2  r1  F1  r2  ( F1 )  r1  r2   F1  r12  F1 ,
 

r12  r1  r2 .
  

Получим: M  r12  F1 . Вектор M направлен перпендикулярно плоскости рисунка, «от


нас». Модуль момента пары сил равен: M  r12 sin   Md .Если взять другую точку О, то
 

векторы r1 , r2 изменятся, но r12 останется прежним.
Суммарный момент пары сил относительно любой точки будет одинаковым, т.е. не
зависит от выбора точки О.
52
Рис. 5.3 - Суммарный момент пары сил
Рассмотрим две взаимодействующие между собой частицы. Их можно рассматривать как
пару сил с нулевым плечом пары сил d=0. При этом, очевидно, момент такой пары сил будет
равен нулю: M  Fd  0 .
5.3. Момент импульса
Моментом импульса относительно точки О называется векторная величина:
  
 кг  м 2


. Здесь: r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку, где
L  r  p   r  mV ,
с


находится частица с импульсом p  mV .


Рис. 5.4 - Момент импульса



Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и p . Модуль момента

импульса равен: L  rp sin  . Проведем через точку О ось z, обозначим  - угол между L и

осью z . Проекция вектора момента импульса L на ось z называется моментом импульса
относительно оси L z .
Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности радиуса R с постоянной скоростью V.

 


Момент импульса частицы относительно центра окружности равен: L  R  p  R  mV .
Вектор момента импульса совпадает по направлению с осью z. Момент импульса
относительно оси z, перпендикулярной плоскости, в которой лежит окружность:
Lz  L cos 0  L  mVR .

53
 

Рис. 5.5 - Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности
5.4. Уравнение моментов
Для
некоторой
частицы
Продифференцируем:
запишем
относительно
точки
О:
 

L  r  mV .




 
dL dr
dV  


     dL 
  mV  r  m
 V  Vm  r  ma  0  r  F  r  F  M ,
 M.
dt dt
dt
dt
 
  
Здесь использованы соотношения: V  V  0, r  F  M . Производная по времени от
момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы,


dL
действующей на частицу, относительно той же точки:
 M . Это уравнение моментов
dt
dLz
относительно точки О. Спроецируем равенство на ось z:
 M z . Это уравнение
dt
моментов относительно оси z.
5.5. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим систему N частиц, взаимодействующих между собой и на которые
действуют внешние силы. Запишем
уравнение
моментов
для
i-й
частицы:

 внутр  внешн
dLi
 Mi
 Mi
. Запишем для N частиц и сложим:
dt

N 
N 
N
N 
N 
dLi
d N 
внутр
внешн
внутр
внешн
L

M

Mi
.

M

M
,






i
i
i
i
dt i 1
i 1
i 1
i 1 dt
i 1
i 1
Моментом импульса системы частиц относительно некоторой точки называется
векторная сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же точки:
 N 
L   Li . Моментом импульса системы частиц относительно оси называется
i 1
алгебраическая сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же оси:
N
L z   Liz . Рассмотрим два слагаемых из первой суммы в правой части.
i 1
54
Рис. 5.6 - Действие внутренних сил
 
Здесь, Fkp , Fpk - это внутренние силы, для которых справедлив третий закон Ньютона:


Рассматривая их пару сил с плечом пары равным нулю, получаем:
Fkp   Fpk .
 внутр  внутр
M kp
 M pk
 0 . Рассматривая аналогичным образом попарно все частицы системы,

N
 в нутр
dL N  внешн
 0 . Следовательно,
приходим к выводу:  M i
.
 Mi
dt i 1
i 1
Производная момента импульса системы частиц по времени равна векторной сумме
моментов внешних сил, действующих на частицы системы.
Все моменты определяются относительно одной и той же точки О. Спроецировав на ось z,
N
dL
в нешн
получим: z   M iz
.
Пусть
рассматриваемая
система
частиц
замкнута:
dt
i 1
 внешн
 внешн
Fi
 0, M i
 0,

 внешн

dL
Mi
 0,
 0, L  const . Момент импульса замкнутой

dt
i 1
N
 N 
системы частиц остается постоянной или сохраняется: L   Li  const . Это закон
i 1
сохранения момента импульса. Если система незамкнута, то у нее может сохраняться
момент импульса относительно некоторой оси. Например, пусть выполняется условие:
N
 M iz
i 1
внешн
 0 . Тогда,
dLz
0,
dt
N
L
i 1
iz
 const.
Глава 6. Динамика твердого тела
6.1. Основное уравнение динамики твердого тела при вращении вокруг
неподвижной оси
Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z. Разобьем тело на
очень большое число частиц массами m1 , m2 ,...., mi ,...., mn .
Рассмотрим движение i-ой
частицы.
Рис. 6.1 - Вращение твердого тела
55
Частица движется по окружности радиусом ri со скоростью Vi . Обозначим центр
 

окружности О и найдем момент импульса i-й частицы относительно О: Li  ri  miVi . Вектор


Li направлен вдоль оси z. Найдем проекцию Li на ось z, т.е.– момент импульса i-й частицы
относительно оси z: Liz  Li cos 0  mi riVi . Пусть угловая скорость вращения тела равна
  z ,
тогда:
Vi   z ri , Liz  mi ri z ri   z mi ri . Момент импульса всего тела
2
n
n
i 1
i 1
n
n
относительно оси z равен: L z   Liz    z mi ri   z  mi ri . Обозначим: I z   mi ri ,
2
2
2
i 1
i 1
кг  м . Суммирование идет по всем частицам тела.
Скалярная величина, равная сумме произведений масс частиц системы на квадрат
расстояний этих частиц до некоторой оси называется моментом инерции системы
2
n
относительно этой оси: I z   mi ri , кг  м 2 . Итак: Lz  I z z . Если ось вращения
2
i 1
неподвижна в пространстве, то: I z  const . Продифференцируем по t.
Известно,
n
M
i 1
в нешн
iz
что:
n
dL z
в нешн
  M iz
.
dt
i 1
Следовательно,
n
M
i 1
в нешн
iz
dLz
d z
 Iz
 I z z .
dt
dt
 I z z .
Обозначим:
 M z . Окончательно имеем: M z  I z  z . Индексы часто опускают, тогда: M  I .
Момент внешних сил относительно некоторой оси равен произведению момента инерции
тела относительно этой оси на проекцию углового ускорения вращения тела на ту же ось:
M  I . Это основное уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной
оси.
6.2. Вычисление моментов инерции
По определению:
I  lim
n 
n
m r
i 1
i i
2
  r 2 dm . Вычислим момент инерции тонкого
m
однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его конец
перпендикулярно стержню.
а)
56
ml 2
m
ml 2
m r 3 l m l 3 ml 2
.
I

I   r dm   r
dr   r dr 

,
0
3
l
l
l
3
l
3
3
0
0
l
2
2
Рассмотрим еще несколько случаев.
Ось проходит рез середину стержня перпендикулярно ему. Длина стержня l,масса m. В
2
этом случае: I  ml .
12
б)
Рис. 6.2 (а, б) - Вычисление момента инерции стержня
Ось z проходит через центр диска радиуса R и массой m перпендикулярно плоскости
диска. Момент инерции диска равен: I 
толщины диска b.
mR 2
. Отметим, что момент инерции не зависит от
2
Рис. 6.3 - Вычисление момента инерции диска
Ось z проходит через центр шара радиуса R и массой m. Момент инерции шара равен:
2
I  mR 2 .
5
57
Рис. 6.4 - Вычисление момента инерции шара
6.3. Теорема Штейнера
Пусть О1 и А1 две параллельные друг другу оси, расстояние между которыми равно a.
Возьмем элементарную массу тела dm и из точек О и А проведем в нее радиус-векторы
 
r,r.
Рис. 6.5 - Вывод теоремы Штейнера



 




Введем вектор a , такой что: a  r   r , r   r  a , r   r  2r a  a . Умножим
на
 r  dm   r
2
dm и проинтегрируем:
 r  dm  I ,  r
2
A
m
m
m
2
2
2
2
2

dm  2 ar dm   a 2 dm . Очевидно, что
m
m
m
dm  I O ,  a dm  a  dm  ma ,
2
m
2
2
m

 
 1 
 
2 ar dm  2a  r dm  2am   r dm  2amRC .
 m  m
m
m

2
Далее запишем: I A  I O  2maRC  ma . Пусть ось О проходит через центр масс, тогда

получим: RC  0, I O  0, I A  I C  ma 2 .
58
Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела
относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела плюс произведение
2
массы тела на квадрат расстояния между осями: I A  I C  ma .
Рис. 6.6 - Применение теоремы Штейнера
6.4. Кинетическая энергия вращательного движения
Кинетическая энергия i-й частицы твердого тела равна:
miVi
mi ri 
mi 2 ri
Ti 


.
Кинетическая
энергия
всего
2
2
2
2
n
n
mi 2 ri  2 n
2
I 2
2
T  Ti  

 mi ri  2 I . Следовательно, T  2 .
2
2 i 1
i 1
i 1
2
2
2
тела
равна
6.5. Работа внешних сил при вращении твердого тела
Запишем известные соотношения:
 I 2  1
d
d
  I 2d  Id  I
dA  dT , dT  d 
d  Id
 Id  Md .
dt
dt
 2  2
Следовательно: dT  Md . Здесь М – момент сил (относительно оси вращения),
действующих на твердое тело, d – элементарный угол поворота тела. Работа внешних сил

при повороте на конечный угол равна: A   Md , Дж. Работа, совершаемая в единицу
0
времени (мощность), равна: P 
dA
d
M
 M , Вт.
dt
dt
6.6. Условия равновесия твердого тела
Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями:


dVC N  внешн dL N  внешн
,
. Тело будет находиться в состоянии покоя, если нет
m
  Fi
 Mi
dt
dt i 1
i 1
причин, приводящих к возникновению поступательного и вращательного движения. Такими
причинами являются внешние силы и моменты внешних сил.
59
Условия равновесия твердого тела имеют вид:
 внешн
N
F
i 1
i
N 
внешн
 0,  M i
 0.
i 1
Глава 7. Движение в неинерциальных системах отсчета
Неинерциальными системами отсчета называются системы отсчета, движущиеся с
ускорением относительно инерциальной системы отсчета.
7.1. Силы инерции
Обозначим: K - инерциальная система отсчета, K  - неинерциальная система отсчета,

движущаяся относительно K с ускорением a 0 поступательно. Пусть в инерциальной



системе К на частицу массой m действует сила F . Запишем второй закон Ньютона F  ma .
Рис. 7.1 - Движение систем отсчета





Из рисунка следует r  r0  r  , где: r - радиус-вектор частицы в системе К, r  - радиус-

вектор частицы в неинерциальной системе отсчета K  , r0 - радиус-вектор начала системы
координат K  в инерциальной системе К. Продифференцируем дважды по времени и
  


 

 


получим: a  a   a0 , ma  ma   ma, F  ma   ma0 , F  ma0  ma .
Из последнего уравнения видно, что при переходе в неинерциальную систему отсчета


уравнение второго закона Ньютона изменяется. Введем обозначение Fи  ma0 .

Вектор Fи называется силой инерции, которая учитывает ускоренное движение системы



отсчета K  относительно К. Можно записать F  Fи  ma  .
В неинерциальной системе отсчета, произведение массы частицы на ее ускорение равно


векторной сумме сил F , обусловленных взаимодействием тел, и силы инерции Fи ,
действующей на тело в неинерциальной системе.
60

Введение силы инерции Fи позволяет сохранить математическую формулировку второго
закона Ньютона для описания движения в неинерциальной системе отсчета. В то же время
силы инерции нельзя рассматривать как результат взаимодействия между телами.
7.2. Силы инерции в произвольно движущейся неинерциальной системе отсчета
Пусть неинерциальная система отсчета K  совершает относительно системы отсчета K
как поступательное, так и вращательное движение. Запишем для некоторой точки M :
  
  
r  r   r0 . Орты системы отсчета K  – i , j , k  вращаются с угловой скоростью  вокруг
мгновенной оси вращения, проходящей через начало координат системы отсчета.
Продифференцируем по времени:





dr  dx   dy   dz     di 
dj 
dk   dr0


i
j 
k    x
 y
 z
.
dt  dt
dt
dt   dt
dt
dt  dt
Теперь вычислим вторую производную по времени




d r  d 2 x   d 2 y   d 2 z     dx  di  dy  dj  dz  dk  


i   2 j   2 k    



dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 2  dt 2
dt
dt
 








 dx  di  dy  dj  dz  dk    d 2 i 
d 2 j
d 2 k   d 2 r0







 x
 y 2  z 2   2 .
dt dt dt dt   dt 2
dt
dt  dt
 dt dt



Рассмотрим поворот орта i  при вращении с угловой скоростью  . Модуль вектора di 


di  di  d


равен di   i  d  d . Разделим на
При


 .
dt обе части:
dt
dt
dt




di   
dt  0, d  0 и вектор di  оказывается перпендикулярным к i  и  . Запишем,
   i .
dt
Это выражение правильно дает как модуль, так и направление вектора. Аналогично


dj    dk   
   j ,
   k . Продифференцируем по времени второй раз:
dt
dt




d 2 i   d     di    d     

 i    
 i       i  ,

dt   dt
dt 2  dt
 



 
 
2
d j   d
   dj    d
   




j





j


 dt

 dt
      j ,
dt
dt 2




 

2
d k   d
   dk    d     

 k    
 k       k  .

dt   dt
dt 2
 dt
 

После подстановки, получим:
2
 

 

 


d 2 r  d 2 x   d 2 y   d 2 z     dx   
dy   
dz    








i

j

k

2


i



j

 k 

dt
dt
dt 2  dt 2
dt 2
dt 2   dt


d 2r
 
  
   r       r   20 .
dt


 d
d 2r 
. Обозначим
 a –ускорение в инерциальной системе отсчета K ,
Здесь  
dt
dt 2
 d 2 x  d 2 y   d 2 z    
 2 i   2 j   2 k    a  –ускорение в неинерциальной системе отсчета K  ,
dt
dt
 dt



61




dx 
dy 
dz 
 V x,
 V y ,
 V z –проекции мгновенной скорости на оси декартовой системы
dt
dt
dt

d 2 r0 

координат неинерциальной системы отсчета K ,
 a0 – ускорение системы отсчета K 
dt 2
 
 
 
  

относительно системы отсчета K . Запишем: a  a   2   V     r       r   a0 .

 
Второе слагаемое в правой части называется кориолисовым ускорением: aкор  2   V  . .
Сумма
последних
трех
слагаемых
называется
переносным
ускорением:
 

  

  

a пер    r       r   a 0 . Тогда имеем: a  a   a кор  a пер . Запишем второй закон


 

 

 


Ньютона в системе K : F  ma, F  ma   2m   V   maпер , F  2m   V   maпер  ma .









Здесь F - сила, действующая на тело в инерциальной системе отсчета K . В
неинерциальной системе K  на тело кроме силы F действуют еще две силы:

 
сила инерции Кориолиса Fкор  2m   V  и

 


 

переносная сила инерции Fпер   ma пер   m  r   m    r   ma 0 .


Первое слагаемое в правой части не имеет названия. Второе слагаемое представляет
вектор, направленный от оси вращения, который называется центробежной силой инерции


  
Fцб  m    r .
Обозначим R - радиус-вектор, проведенный в частицу m из
центра окружности, по которой частица движется.
Рис. 7.2 - Центробежная сила инерции



2
Можно показать, что Fцб  m R. Третье слагаемое в уравнении для a называется


силой инерции поступательного движения Fпост  ma0 . Если вращение системы K 

   0. В итоге можно получить уравнения:
 


 
 
  

F  Fкор  Fцб  Fпост  ma , Fкор  2m   V  , Fцб  m 2 R, Fпост  ma0 ,


 


F  2m   V   m 2 R  ma0  ma . Последнее уравнение
является
равномерное, то




уравнением динамики в неинерциальной системе отсчета.
62
основным
Глава 8. Гидромеханика
8.1. Несжимаемая жидкость
Важной характеристикой жидкостей является их плотность. Пусть жидкость массой m
занимает в пространстве объем V.
Средней
плотностью называется величина
m кг
   , 3 . Выделим элементарный объем жидкости dV, масса которого равна dm,
V м
dm кг
плотностью называется величина  
,
. Вещество в жидкости распределено
dV м 3
однородно, если в каждой точке выполняется условие   const . В этом случае    
m
.
V
Из опыта известно, что во всех точках жидкости можно считать, что   const . В этом
случае жидкость называется несжимаемой.
8.2. Давление в жидкости
Выделим в покоящейся жидкости элемент в виде параллелепипеда с площадью боковой
 
стороны ds. Со стороны жидкости на этот элемент действуют силы dF1 , dF2 . Так как
 
элемент жидкости также находится в равновесии, то силы dF1 , dF2 равны по величине и
противоположны по направлению. Кроме того, эти силы должны быть направлены
перпендикулярно к поверхностям ds , так как в противном случае возникло бы движение
жидкости вдоль граней элемента.
Рис. 8.1 - Равновесие тонкого слоя жидкости
Итак, dF1  dF2  dFn . Давлением называется физическая величина, равная
dFn Н
,
 Па . Очевидно, что рассуждения можно повторить для любой произвольной
ds м 2
ориентации параллелепипеда и сделать вывод о том, что p  const .
Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях, причем
давление одинаково передается по всему объему, занятому жидкостью.
Это утверждение называется законом Паскаля.
Рассмотрим покоящуюся жидкость плотностью ρ. Можно сделать вывод о том, что вдали
от стенок сосуда, в котором находится жидкость, ее поверхность должна быть
горизонтальна. В противном случае возникает поверхностное течение жидкости и ее нельзя
считать покоящейся.
p
63
Выделим вертикальный столб жидкости высотой h и площадью основания ds, так, чтобы
верхняя
поверхность столба находилась на поверхности жидкости. Найдем силу,
действующую на нижнее основание столба. Эта сила складывается из веса жидкости над
основанием ds и силы давления атмосферы dF  ( hds) g  pa ds. Давление на основание ds
dF
 gh  p a .
равно: p 
Первое слагаемое обусловлено свойствами жидкости и
ds
называется
гидростатическим давлением p г  gh. Второе слагаемое учитывает
давление, создаваемое на поверхность покоящейся жидкости газовой атмосферой,
находящейся над ней.
Рис. 8.2 - Вертикальный слой жидкости
8.3. Закон Архимеда
Рассмотрим однородное тело плотностью  0 в виде параллелепипеда расположенное в
жидкости как показано на рисунке. Обозначим размеры параллелепипеда: a – высота, b, c –
боковые стороны.
Рис. 8.3 - Тело, погруженное в жидкость
64
Пусть верхняя грань параллелепипеда находится на глубине h от поверхности жидкости.
Найдем результирующую силу, действующую на тело со стороны жидкости:





  

F  F1  F2  k ( pa  gh)s  k  pa  gh(h  a)s  gask  gabck  gVk . Здесь, k –орт оси
z, V = abc – объем параллелепипеда,  – плотность жидкости.
На тело, погруженное в жидкость, со стороны жидкости действует сила, направленная
вертикально вверх и равная F  Vg . Это закон Архимеда. Сила F называется архимедовой
силой или выталкивающей силой. Закон Архимеда справедлив для тела произвольной
формы.
Рассмотрим условие плавания тела в жидкости в случае полного погружения тела в
жидкость.
Очевидно, для плавания тела массой m необходимо выполнение условия
F  mg, Vg   0 Vg ,    0 .
Рис. 8.4 - Плавание тел
8.4. Движение жидкости
Движение жидкости называется течением. Существует течение двух типов. Если при
течении происходит перемешивание слоев жидкости, то оно называется турбулентным.
Течение, при котором слои жидкости не перемешиваются, называется ламинарным. При
течении жидкости каждая частица жидкости характеризуется скоростью, зависящей от
65
  
положения частицы и времени V  V (r , t ). Если в каждой точке жидкости вектор скорости
остается постоянным (не зависит от времени), то течение жидкости называется
стационарным.
Линии, проведенные в жидкости так, что касательная к ним в каждой
точке совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке, называются линиями
тока. Очевидно, что линии тока совпадают с траекторией движения частицы жидкости.
Линии тока проводят тем гуще, чем больше значение модуля скорости.
При стационарном течении картина линий тока остается неизменной со временем.
Совокупность линий тока образует поверхность, если эта поверхность замкнута, то
она называется трубкой тока.
Рис. 8.5 - Трубка тока в жидкости
Пусть ds – площадь сечения, перпендикулярная трубке тока. Выберем сечение таким

образом, чтобы во всех точках ds частицы жидкости имели бы одну и ту же скорость V .
Рис. 8.6 - Элемент жидкости в трубке тока
Найдем массу жидкости dm, которая протекает через ds за время dt. Построим цилиндр с
основаниями ds и образующей равный Vdt. Все частицы жидкости, находящиеся от левого
элемента ds на расстоянии меньшем, чем Vdt за время dt пройдут это расстояние и
пересекут правый элемент ds. Следовательно, масса жидкости, пересекающей за время dt
66
сечение ds, равна массе жидкости в объеме построенного цилиндра dm  Vdtds. Левая
часть равна
dm  dV,
где
dV - объем жидкости в выбранном цилиндре. Запишем,
dV
м3
 Vds, . Здесь, dV – объем
dt
с
жидкости, протекающей за время dt через сечение площадью ds, Q – объем жидкости,
протекающий за единицу времени через сечение площадью ds, V – скорость жидкости,
одинаковая во всех точках сечения ds.
dV  Vdsdt , dV  Vdsdt. Итак,
dV  Vdsdt , м 3 , Q 
8.5. Уравнение неразрывности струи
Рассмотрим жидкость, текущую внутри трубки тока. Построим два сечения s1 , s 2
перпендикулярные линиям тока. Пусть скорость частиц в сечении s1 равна V1 , а в сечении
s2 равна V2 .
Рис. 8.7 - Неразрывность трубки тока
За время dt через сечения s1 и s2 протекают элементарные массы жидкости:
dm1  V1 s1dt , dm2  V2 s2 dt. Обозначим: m12 – масса жидкости между сечениями s1 и s2 ,
m
V12 – объем жидкости между сечениями s1 и s2 . Запишем,   12 . Если жидкость
V12
несжимаема, следовательно   const , m12  const. Отсюда делаем вывод, что:
dm1  dm2 , V1 s1dt  V2 s2 dt ,V1s1  V2 s2 . Поскольку сечения s1 и s2 взяты произвольно, это
означает, что Vs  const. Это выражение называется уравнением неразрывности струи или
уравнением неразрывности.
8.6. Уравнение Бернулли
Рассмотрим трубку тока в однородном поле силы тяжести. Выделим часть жидкости
сечениями s1,s2 и рассмотрим ее состояние в момент времени t. На сечения s1,s2 действуют
 
p1, p2 , создающие силы давления F1 , F2 : F1  p1s1 , F2  p2 s2 . Если, например,
F1  F2 , то жидкость между сечениями s1,s2 за некоторое время dt сместится по трубке так,
 
что сечения s1,s2 перейдут из положений 1,2 в новые положения 1, 2. Обозначим V1 ,V2 скорости частиц жидкости в сечениях s1,s2 . За время dt через сечения s1,s2 протекают
массы жидкости равные dm1  V1dts1 , dm2  V2 dts2 .
давления
67
а)
Для несжимаемой жидкости:
dm1  dm2 , V1dts1  V2 dts2 ,V1dts1  V2 dts2  dV, м 3 , dm1  dm2  dV.
Здесь,
dV – объем
жидкости, протекающей за dt через каждое сечение s1,s2 . Если рассматривать жидкость
между сечениями как механическую систему массой m, то для нее можно записать
выражение:
dE  dAстор , dAстор  F1dr1 cos 0  F2 dr2 cos   p1 s1V1dt  p2 s2V2 dt  p1dV - p2 dV.
б)
Рис. 8.8 (а, б) - Вывод уравнения Бернулли
68
Обозначим, dm1 – масса жидкости между сечениями 1,1, dm2 – масса жидкости между
сечениями 2,2, dm – масса жидкости между сечениями 1,2. Найдем приращение полной
механической энергии системы:
dE  E (dm2 )  E (dm)  E (dm1 )  E (dm)  E (dm2 )  E (dm1 ),
dm2V2
dV 2
 dm2 gh2 
V2  dVgh2 ,
2
2
2
dm1V1
dV 2
E (dm1 )  T1  U 1 
 dm1 gh1 
V1  dVgh1 ,
2
2
dV 2
dV 2
V2  dVgh2 
V1  dVgh1  p1 dV - p 2 dV.
2
2
2
E (dm2 )  T2  U 2 
V 2
2
V1
2
 gh2 
 gh1  p1  p 2 ,
2
2
2
2
V 2
V1
 p 2  gh2 
 p1  gh1 .
2
2
Поскольку сечения s1,s2 взяты произвольно, то
V
2
2
 p  gh  const. Это уравнение
Бернулли. Для горизонтальной трубки тока, очевидно: h1  h2 ,
V 2
2
 p  const.
Здесь,
V 2
– гидростатическое давление, p – статическое давление, сумма определяет полное
2
давление.
8.7. Формула Торричелли
В вертикальный сосуд налита жидкость так, что ее поверхность сообщается с
атмосферой, площадь поверхности жидкости обозначим s1 . В боковой стенке сосуда имеется
отверстие площадью s2 , причем s 2  s1 . Выделим трубку тока с сечениями s1,s2 . Запишем
s
условие неразрывности струи: s1V1  s 2V2 ,V1  V2 2 ,V1  V2 . Обозначим V1  0,V2  V .
s1
Давление вблизи s1 , s 2 равно атмосферному p a . Запишем уравнение Бернулли:
V2 2
V
 p1  gh1 ,
2
2
2
V  2 g (h1  h2 ), V  2 g (h1  h2 ) .
2
 p 2  gh2 
V1 2
2
 p a  gh2  p a  gh1 ,
Обозначим h  h1  h2 . Тогда, V  2gh. Полученное выражение определяет скорость
истечения жидкости из отверстия и называется формулой Торричелли.
69
Рис. 8.9 - Вывод формулы Торричелли
8.8. Ламинарное течение
Существует два типа течения жидкости. Течение, при котором жидкость можно разбить
на слои, не перемешивающиеся друг с другом, называется ламинарным. Течение, при
котором происходит перемешивание слоев, называется турбулентным.
Характер течения жидкости определяется безразмерной величиной, называемой числом
Рейнольдса Re 
VL
, где  - плотность жидкости, V - скорость течения жидкости, L 
характерный размер,
 - вязкость жидкости,
значение числа Рейнольдса
Re
кр
Нс
 Па  с . Существует критическое
м2
, значение которого определяет характер течения.
Течение остается ламинарным, если Re  Re . Течение становится турбулентным, если
кр
Re  Re . Для воды критическое значение числа Рейнольдса равно: Re  1000 .
кр
кр
8.9. Внутреннее трение
Рассмотрим ламинарное течение жидкости и выделим два слоя с разными скороcтями
V1  V2 , имеющие общую границу.
Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой. В то же время
медленный слой тормозит движение более быстрого слоя. Сила, с которой более медленный
слой действует на более быстрый слой, замедляя его движение, называется силой
внутреннего трения между слоями жидкости Fв н .
70
Рис. 8.10 - Течение слоев жидкости
Опыт дает, что величина силы внутреннего трения равна Fв н  
dV
s, H.
dz
Здесь, s -
dV
- градиент модуля скорости в направлении оси Z,
dz
площадь соприкосновения слоев,
перпендикулярной направлению скорости движения слоев,
 - вязкость жидкости.
8.10. Течение жидкости в трубе круглого сечения
Пусть жидкость течет в трубе круглого сечения радиуса R с постоянной в каждой точке
скоростью, т.е. течение жидкости является стационарным.
Выделим вдоль оси цилиндрический объем радиусом r и длиной l . На него действует
сила давления F  ( p1  p2 )r , и сила внутреннего трения Fвн  
2
dV
2rl . Если
dr


dV
2rl . Пусть начало
течение стационарное, то V (t )  const , a  0, F  Fв н , ( p1  p 2 )r 2  
dr
оси r находится на оси трубы. Из опыта известно, что по мере удаления от оси скорость
течения уменьшается. Это означает, что градиент скорости вдоль оси r отрицательный,
( p  p2 )
dV
dV
dV
dV
 0,

, ( p1  p 2 )r  
2l , dV   1
rdr .
следовательно,
dr
dr
dr
dr
2l
Проинтегрируем:
V 
( p1  p2 ) 1 2
 r  const. Кроме того, известно также, что у стенки трубы скорость
2l
2
равна нулю: r  R, V ( R)  0. Подставим граничное условие в выражение для скорости:
( p  p2 ) 2
( p  p2 ) 2
0 1
R  const , const  1
R .
4l
4l
71
Рис. 8.11 - Течение жидкости в трубе
( p1  p2 ) 2 
r2 
R 1  2 .
В результате получим формулу: V (r ) 
4l
R 

оси трубы: r  0, V (0)  V0 , V0 

( p1  p 2 ) 2
R .
4l
Тогда, V (r )  V0 1 

Обозначим скорость на
r2 
.
R2 
8.11. Объем жидкости, протекающей через сечение трубы
Найдем объем жидкости, протекающей через сечение трубы за некоторое время.
Разобьем сечение трубы на кольца радиусом r и толщиной dr .
Рис. 8.12 - Сечение трубы
Найдем площадь такого кольца: ds   (r  dr)  r  2rdr.
2
2
Объем жидкости,
протекающей через ds за время dt , равен: dV  dsVdt  2rdrV (r )dt. Объем жидкости,
протекающей через все сечения трубы за время dt, равен:
t
( p1  p2 )  r 2 
R 4 ( p1  p2 )t
1  2 dr  dt 
V   2rdrV (r )dt   2r
.
4l  R  0
8l
0
R
72
Обозначим, Q 
времени, тогда: Q 
V
- объем жидкости, протекающий через все сечение трубы в единицу
t
( p1  p2 ) 4 м 3
R , .
8l
с
Это выражение называется формулой Пуазейля.
8.12. Движение тела в жидкости
При движении
тела в жидкости на него действуют силы, равнодействующую которых

обозначим R .
Рис. 8.13 - Движение тела в жидкости
против скорости движения
 Эту силу можно разложить на составляющую, направленную


Fc и вторую силу, перпендикулярную скорости Fп . Сила Fc называется лобовым

сопротивлением, а сила Fп - подъемной силой. Лобовое сопротивление складывается из
сопротивления трения и сопротивления давления. При малых значениях числа Рейнольдса
лобовое сопротивление обусловлено в основном силой трения, которая определяется
формулой Стокса: Fc  6rV . Эта формула точно справедлива для шарика радиусом r .
Глава 9. Релятивистская механика
Релятивистская механика – раздел механики, изучающий движения тел со скоростью
близкой к скорости света в вакууме. В основе релятивистской механики лежат два постулата,
являющиеся обобщением опытных фактов.
9.1. Постулаты Эйнштейна
Вспомним принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчета
эквивалентны друг другу с точки зрения механики. Все законы механики и уравнения их
описывающие имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.
Принцип относительности Галилея был сформулирован в период, когда определенное
развитие получила только механика. В результате анализа существующих разделов физики
А.Эйнштейн
сформулировал
утверждение,
которое
называется
принципом
относительности Эйнштейна: все физические явления протекают одинаковым образом во
всех инерциальных системах отсчета. Все законы природы и уравнения их описывающие,
имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.
В начале 20 в. были осуществлены знаменитые опыты Майкельсона и Морли, результаты
которых, в частности, привели к формулировке постулата о независимости скорости
света от скорости источника.
Скорость света в вакууме не зависит от того, покоится источник света или движется и
одинакова во всех направлениях. Скорость света в вакууме является предельной: никакой
сигнал, никакое тело и воздействие одного тела на другое не могут распространяться со
м
скоростью, превышающей скорость света в вакууме равной c  3  10 8 .
с
73
Физическая теория пространства и времени, созданная А. Эйнштейном, называется
специальной теорией относительности.
9.2. Относительность времени
Рассмотрим следующую задачу. Имеется стержень длиной l , на концах которого
закреплены источник света s и зеркало.
Рис.9.1 - Покоящееся зеркало
В нулевой момент времени источник посылает световой луч, который возвращается в
l l 2l
точку s через время     . Здесь  – время, отсчитанное по часам наблюдателя,
c c c
относительно которого стержень покоится. Рассмотрим этот же процесс с точки зрения
наблюдателя, относительно которого стержень движется со скоростью u как показано на
рисунке.
Обозначим, t – время, необходимое для того, чтобы посланный луч света вернулся в s .
Это время отсчитывается по часам наблюдателя, относительно которых стержень движется.
Рис.9.2 - Движущееся зеркало
Из рисунка можно записать:
74
2l
 ct 
 ut 
2
2
2  t 
2

 l 
 , c  u    l , t 
c
 2 
 2 
 2
2
2


2
1


.
u
u2
1 2
1 2
c
c
Итак, промежуток времени между двумя событиями (вспышка и возвращение луча)
2l
1


.
оказывается различным в двух системах отсчета: t 
c
u2
u2
1 2
1 2
c
c
Время  отсчитано по часам, покоящимся относительно стержня. Оно называется
собственным временем. Собственным временем тела называется время, отсчитанное по
часам, покоящимся относительно этого тела. Время t отсчитывается по часам системы
отсчета, в которой стержень движется. Это время называют также временем в лабораторной
системе отсчета. Запишем:
t


1
,
2
u
u2
 1, 1  2  1,
c
c
1
 1,
t
 1.

u2
u2
1

c2
c2
С точки зрения наблюдателя, относительно которого стержень движется, процесс
происходит в течение большего времени, т.е. дольше или время для наблюдателя
замедляется, t   . Указанное явление называется замедлением времени.
1
9.3. Преобразование координат и времени
Пусть имеется неподвижная система отсчета K и движущаяся система K  , в каждой из
которых находится наблюдатель.
а)
В момент времени t  t   0 , когда системы совпадают, в начале обеих систем отсчета
происходит вспышка света. Пусть источник света – точечный. Световые лучи
распространятся одинаковым образом во всех направлениях и точки пространства, до
которых в данный момент времени дошли световые лучи, представляют сферическую
поверхность.
75
б)
Рис.9.3 (а, б) - Вывод преобразований Лоренца
Обозначим координаты таких точек в системе K  в момент времени t  - x , y , z .
Запишем уравнение сферы в системе отсчета K  : x  y  z  (ct ) .
Наблюдатель в системе K также будет «видеть» сферу. Пусть x, y, z – координаты точек
2
2
2
2
поверхности сферы в момент t.
Тогда, x  y  z  (ct ) .
Предположим, что
«штрихованные» и «нештрихованные» величины связаны линейными функциями:
2
2
2
2
x  x   t , y  y , z  z , t  x   t .
Возьмем дифференциал последнего
выражения при условии: x  const . Получим: t  t . Интервалы времени в системах
отсчета связаны формулой: t 
t 
u2
1 2
c
относительно системы K . Следовательно,
, где u - скорость системы отсчета K 

1
u2
1 2
c
.
Решая совместно уравнения,
u
c 2 . Заменим «штрихованные»
, y  y , z  z , t 
можно получить: x 
u2
u2
1 2
1 2
c
c
величины на «нештрихованные» и наоборот и запишем вместо u величину (  u ):
u
tx 2
x  ut
c .
x 
, y   y, z   z , t  
2
u
u2
1 2
1 2
c
c
t   x
x   ut 
Полученные формулы называются преобразованиями координат и времени или
преобразованиями Лоренца.
76
Рассмотрим случай
u
 1, и получим преобразования Галилея:
c
x  x   ut , y  y , z  z , t  t .
9.4. Следствия из преобразований Лоренца
Одновременность событий.
В системе K  в точках с координатами x1 , x 2 одновременно в момент времени t 0
происходят события – вспышки света. Запишем из преобразований Лоренца для системы
K:
u
u
t 0  x1 2
t 0  x 2 2
c ,t 
c .
t1 
2
2
u
u2
1 2
1 2
c
c
Видно, что если события происходят одновременно в системе K  , но в разных точках
x1  x2 , то эти же события в системе K будут не одновременными: t1  t 2 . События будут
одновременными в обеих системах в том случае, если они происходят в одной и той же точке
пространства x1  x2 , t1  t 2 .
Промежуток времени между событиями
В системе K  в точке с координатой x 0 в моменты времени t1,t 2 происходят два
события. Промежуток времени между событиями в системе
t   t 2  t1.
K  обозначим t  :
Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе K :
u
u
t 2  x0 2 t1  x0 2
c 
c  t 2  t1 , t  t  .
t  t 2  t1 
u2
u2
u2
u2
1 2
1 2
1 2
1 2
c
c
c
c
Обозначим, t    - собственное время, отсчитанное по часам, покоящимся
u2
относительно движущейся системы отсчета K  . Запишем,   t 1  2 . Промежутки
c
времени между двумя событиями оказываются разными в различных системах отсчета.
Сокращение длины
В системе K  вдоль оси X  неподвижно расположен стержень. Обозначим: x1 , x 2 -
координаты концов стержня в системе K  , l0  x2  x1, где l 0 - собственная длина
стержня, измеренная в системе отсчета, в которой стержень покоится. Найдем длину
стержня в системе K . Для этого нужно определить координаты его концов x1 , x 2 в один и
тот же момент времени t 0 в системе K . Тогда, l  x2  x1 . Запишем:
x2  x1 
x 2  ut 0
u2
1 2
c

x1  ut 0
u2
1 2
c

x2  x1
u2
1 2
c
, l0 
l
1
u2
, l  l0 1  2 .
c
u2
c2
77
Рис.9.4 - Сокращение длины
Длина стержня l , измеренная в системе отсчета, в которой стержень движется, меньше,
чем собственная длина l 0 , измеренная в системе отсчета, где стержень покоится.
9.5. Преобразование скорости
Вычислим дифференциал dx и dt и разделим их друг на друга:
u
dt   dx  2
dx   udt
c , dx  dx   udt . Разделим на dt  числитель и знаменатель:
dx 
, dt 
u
dt
u2
u2
dt   dx  2
1 2
1 2
c
c
c
dx 
u
V  u
dx
dx
dx 
dt
Очевидно, что
Вычислив
Vx  x
.

,
 Vx ,
 V x.
dx  u dt
u
dt
dt
1
1  Vx 2
dt c 2
c
дифференциалы dy, dz и поделив их на dt , можно получить формулы:
u2
u2

V
1

z
u
c2
c2
Vy 
,Vz 
. Рассмотрим случай, когда
 1.
u
u
c


1  Vx 2
1  Vx 2
c
c



V x  V x  u,V y  V y ,V z  V z . Это формулы преобразования скорости в
V y 1 
Получим:
классической
частица
движется
параллельно
осям X , X  ,
тогда:
Vu
V y  V y  0,Vz  Vz  0,V 
. Пусть V   c, u  c. Тогда получим выражение для
u

1V 2
c
механике.
скорости: V 
Пусть
cc
 c.
c
1 c 2
c
78
9.6. Релятивистский импульс
Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух тел одинаковой массы m. Пусть в
системе K  , движущейся относительно системы K со скоростью u , скорости тел равны по
величине и направлены навстречу друг другу вдоль оси X  .
Рис.9.5 - Столкновение двух тел
Тогда запишем, V1x  V0,V2x  V0 . Найдем импульс тела после неупругого столкновения
из закона сохранения импульса: mV0  mV0  2mV .
Здесь, V - скорость тела после
неупругого столкновения. Очевидно, что V  0. Рассмотрим этот же процесс в системе
V u
V u
V u
 V0  u
 0
, V2 x  2 x

. Здесь, V1x ,V2 x отсчета K . Запишем, V1x  1x
u
u
u
u
1  V1x 2 1  V0 2
1  V2x 2 1  V0 2
c
c
c
c
скорости тел в системе K до столкновения. Обозначим скорость тела после столкновения
V u
0u

 u. Найдем в системе отсчета K импульс системы тел
V . Запишем, V  x
u
u

1  Vx 2 1  0 2
c
c
до столкновения и после столкновения:
2
V0
1 2
до
c , p после  2mV  2mu.
p x  p1x  p 2 x  mV1x  mV2 x  ...  2mu
x
2
V0 u 2
1 4
c
Итак, если система отсчета K  движется относительно системы отсчета K со скоростью
u  0 , то импульс системы до и после столкновения оказывается различным, т.е. не
сохраняется.
Анализ показывает, что полученный результат может быть обусловлен следующими
причинами:


1. выражение для импульса p  mV , справедливое в классической механике, оказывается
неверным в релятивистской механике;
2. не выполняется закон сохранения импульса.
Расчеты показывают, что можно изменить выражение, определяющее импульс тела таким
образом, чтобы закон сохранения импульса выполнялся всегда и в любой системе отсчета.



mV
. Здесь m, V - масса и скорость
Для этого нужно представить импульс в виде p 
V2
1 2
c
V
 1 ,
тела. Эта формула называется релятивистским импульсом. Очевидно, что если
c


то получим: p  mV .
79
9.7. Основное уравнение релятивистской динамики
Основное уравнение классической динамики – это второй закон Ньютона в виде

dp 
 F.
уравнения движения
В релятивистской динамике следует использовать
dt



 
d  mV  
релятивистское выражение для импульса, тогда:
Запишем:
 F.
2 
dt 
V
 1


2 
c 








dV 
d  m 
m
dV

 a , где a - ускорение. Видно, что в общем
V
 F . Здесь,


2
dt
dt
V 2 dt
 1 V 
1



c2 
c2



случае вектор ускорения a частицы не совпадает по направлению с вектором силы F ,
действующей на частицу.
9.8. Кинетическая энергия






 
 
 

d  mV   
d  mV  
Запишем:
Перемножим
равенства:

F
,
V
dt

d
r
.
V
dt

F
dr .
2 
2 
dt 
dt 
V
V
 1

 1



2 
2 
c
c





 
Fdr  dA, где dA – элементарная работа силы F на элементарном
Очевидно, что




2

 mc 
перемещении dr . Левую выражения часть можно преобразовать к виду: d 
.
2 
V
 1



c 





2
 mc 
Запишем:
dA  dT , d 
 dT . Здесь, dT – приращение кинетической энергии
2 
V
 1



c 

mc 2
частицы. Интегрирование дает: T 
 const . Из смысла кинетической энергии можно
V2
1 2
c
записать условие: V  0, T  0. Следовательно, получим: const   mc 2 . В итоге, имеем




1

2
окончательное выражение для кинетической энергии: T  mc 
 1. Рассмотрим
2
 1 V



2
c


V
случай, когда V  c,  1 .
c
80
Используем
известное
соотношение:
1

2
 V2 
1V2 
mV 2
2
2
2
  mc 
T  mc 1  2   mc  mc 1 
.
2 
2
c 

 2c 
выражению для кинетической энергии.
2
1  a n
 1  na, a  1.
Приходим
к
Получим:
классическому
9.9. Полная энергия и энергия покоя
В классической механике известен закон сохранения полной механической энергии. В
релятивистской динамике для замкнутой системы сохраняется следующая величина:
E  mc 2  T  const , где mc 2  E0 - энергия покоя тела, T - кинетическая энергия тела, E полная энергия тела. Закон сохранения полной энергии имеет вид: E  const.




1
mc 2

2
2
Запишем для полной энергии: E  mc  mc 
 1, E 
.
2
2
V
V
 1

1 2


2
c
c


Запишем для энергии покоя: E 0  mc . Величина mc 2 есть общая внутренняя энергия
тела, которая никак не связана с движением тела как целого. Выражение для энергии покоя
называется законом взаимосвязи массы и энергии. Изменение энергии покоя (т.е.
внутренней
энергии
тела)
должно
приводить
к
изменению
его
массы:
E
E0  mc 2 , m  2 0 . При обычных процессах изменение массы незаметно в силу малости
c
m .
2
9.10. Связь между энергией и импульсом
Запишем очевидные соотношения и преобразуем их:




mV
mc 2
p V  E 
p
,E 
,  2 , p  2 V.
c
V2
V2 E c
1 2
1 2
c
c
 V2
1 2
2 2
2 2
m c
mV
2
2 2
2
2 4
c

c m c
Продолжим, E  p c 
2
2
 V2
V
V
1 2 1 2
1 2
c
c
c

связывающую полную энергию и релятивистский импульс:
E 2  p 2c 2  m2c 4 , E 


  m 2 c 4 . Получим формулу,



p 2c 2  m2c 4 .
9.11. Инвариантные величины (инварианты)
Инвариантными (инвариантами) называются величины, имеющие одно и то же
значение в различных системах отсчета. В кинематике инвариантной величиной является
скорость света в вакууме: c  inv. Существует также еще одна величина, значение которой
одинаково в разных системах отсчета. Обозначим, x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z 2  - координаты и
время соответствующие двум событиям в системе K , x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z 2  - координаты и
время этих же событий в системе K  . Расчет дает, что для координат и моментов времени
всегда выполняется равенство:
c 2 (t 2  t1 ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 
 c 2 (t 2  t1 ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2  s.
81
Величина слева и справа называется интервалом и обозначается s . Интервал является
инвариантной величиной: s  inv. Инвариантом также является масса тела: m  inv.
Полная энергия и импульс не являются инвариантами, но между ними есть соотношение,
которое,
в
свою
очередь,
является
инвариантом:
2
2 2
2 4
2
2 2
E  p c  m c , m  inv, c  inv, следовательно: E  p c  inv.
82