ПРОГРАММА на 2014/2015 уч. год по курсу «Методы оптимизации»

ПРОГРАММА
на 2014/2015 уч. год по курсу «Методы оптимизации»
для студентов 3 потока 3 курса ММФ НГУ (6 семестр)
Лектор: д.ф.-м.н. доцент А.В.Пяткин
Программа лекций
1. Введение. Постановка и общие методы решения задач оптимизации (1
лекция): Предмет изучения, основные термины и обозначения, связь с другими
дисциплинами. Метод Лагранжа.
2. Элементы выпуклого анализа (2 лекции): Выпуклые множества. Проекция и ее
свойства. Теоремы отделимости. Конус. Теорема Фаркаша. Выпуклые и
сильновыпуклые функции, их экстремальные свойства.
Критерий сильной
выпуклости. Теорема о существовании и единственности оптимального решения.
3. Выпуклая оптимизация (2 лекции): Условия Слейтера. Седловая точка функции
Лагранжа.
Достаточный
критерий
оптимальности
задачи
выпуклого
программирования. Теорема Куна-Такера и ее применение. Критерий
оптимальности для задачи выпуклого программирования с линейными
ограничениями.
4. Линейное программирование, симплекс-метод (3 лекции): Задачи линейного
программирования. Общая, каноническая и стандартная форма. Базисные и
базисные допустимые решения. Существование оптимального базисного решения.
Критерий разрешимости задачи линейного программирования. Элементарные
преобразования
базиса.
Симплекс-метод.
Свойства
симплекс-метода.
Вырожденность и конечность симплекс-метода. Лексикографический вариант
симплекс-метода. Модифицированный симплекс-метод. Метод искусственного
базиса.
5. Двойственность в линейном программировании (2 лекции): Построение и
свойства двойственных задач. Теоремы двойственности и их применение.
Двойственный симплекс-метод, его применение
6. Вычислительная сложность и метод эллипсоидов (1 лекция): Понятие
алгоритмической сложности. Метод эллипсоидов для задач линейного
программирования, его трудоемкость и геометрическая интерпретация.
7. Численные методы решения задач оптимизации (4 лекции): Понятие о
скорости сходимости. Методы нулевого, первого и второго порядков. Градиентные
методы. Теоремы о сходимости градиентных методов. Метод Ньютона. Теорема о
квадратичной скорости сходимости. Метод покоординатного спуска. Теорема о
сходимости. Метод возможных направлений. Теорема о сходимости метода. Метод
штрафных функций. Теорема о сходимости метода. Метод сопряженных
направлений. Теоремы о сходимости.
Литература
1. Глебов Н.И., Кочетов Ю.А., Плясунов А.В. Методы оптимизации. Учебное
пособие. Изд. НГУ, Новосибирск, 2000.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -- М.: Наука,
1980.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. -- М.: Наука, 1986.
4. Моисеев Н.И., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -- М.: Наука,
1978.
Программа практических занятий
1. Безусловная оптимизация. Необходимые и достаточные условия локального
экстремума. Задачи о наибольшем и наименьшем значении.
2. Задачи с ограничениями равенствами. Функция Лагранжа. Метод множителей
Лагранжа. Решение задач с ограничениями неравенствами.
3. Выпуклые функции и множества. Доказательство выпуклости специальных
множеств и функций. Квазивыпуклые функции и их свойства.
4. Применение критерия оптимальности и понятия седловой точки для решения задач
выпуклого программирования.
5. Задача линейного программирования. Эквивалентность различных форм задачи.
Геометрическая интерпретация задачи. Базисные решения. Симплекс-таблица и
критерий оптимальности.
6. Элементарные преобразования базиса. Алгоритм симплекс - метода. Метод
искусственного базиса.
7. Двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности.
Литература
1. Ларин Р.М., Плясунов А.В., Пяткин А.В. Методы оптимизации. Примеры и задачи.
Учебное пособие. Изд. НГУ, Новосибирск, 2003.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Изд.
АСТ, 2007.
3. Заславский Ю.Л. Сборник задач по линейному программированию. -- М.:
Наука,1969.
Программу составил
д.ф.-м.н., доцент
А.В.Пяткин