Аннотация к отчету по Гранту Президента

Аннотация к отчету по Гранту Президента
для государственной поддержки ведущих научных школ
НШ-2409.2008.1: "Санкт-Петербургская школа
теории функций и теории операторов"
научные руководители - профессор В.П. Хавин
и член-корреспондент РАН, профессор С.В. Кисляков
За отчетный период были получены следующие результаты:
1. Проведено обстоятельное исследование явления усиленной сходимости аппроксимативных единиц (а.е.),
открытого Бургейном в 1993 г. Усиленная сходимость доказана для ряда новых а.е. Получено геометрически
прозрачное описание В-точек характеристической функции множества канторовского типа. Установлена
связь понятия В-точки с теорией всплесков. (П.А. Мозоляко и В.П. Хавин)
2. С.В. Кисляков получил новые весовые оценки, обобщающие неравенство Литлвуда-Пэли для случая
произвольных интервалов, полученное Рубио де Франсиа. Доказано, что мультипликатор Фурье имеет
слабый тип (1,1) на аналитическом классе Харди $H^1$, если символ мультипликатора имеет равномерно
ограниченные p-вариации по интервалам между соседними целыми степенями двойки при некотором $p<2$.
3. Д.С. Челкаком (в соавторстве с Е. Коротяевым) получена точная характеризация класса матричнозначных
функций Вейля-Титчмарша, отвечающих операторам Штурма-Лиувилля с квадратично суммируемым
матричнозначным потенциалом с фиксированным невырожденным средним значением.
4. Доказаны теоремы сходимости при измельчении плоской области для решений дискретных граничных
задач на широком классе планарных графов (без предположений о гладкости границы). Полученные
результаты используются для доказательства универсальности двумерных решеточных моделей, в
частности, двумерной модели Изинга (Д.С. Челкак совместно с С.К. Смирновым).
5. А.Б. Александров (совместно с В.В. Пеллером) доказал, что если функция $f$, заданная на единичной
окружности, удовлетворяет условию Гёльдера порядка, то она будет удовлетворять операторному условию
Гёльдера того же порядка.
6. Н.А. Широков (совместно с Г.В. Розенблюмом) доказал, что конечномерный оператор Бергмана-Теплица
в $C^n$ с ограниченным символом, имеющим компактный носитель, является нулевым.
7. Исследованы пространства роста на строго выпуклых круговых областях с гладкой границей.
Охарактеризованы соответствующие меры Карлесона и весовые операторы композиции, которые действуют
из рассматриваемых пространств в голоморфные решетки. Охарактеризованы компактные операторы типа
Чезаро, действующие из весовых пространств Блоха в пространства Бергмана-Соболева (Е.С. Дубцов).
8. В работах В.И. Васюнина был сделан существенный прорыв в методике нахождения функций Беллмана,
благодаря тому, что достигнуто понимание, как находить решение уравнения Монжа-Ампера в большом
классе задач. Так удалось найти функции Беллмана для слабой формы неравенства Джона-Ниренберга, для
теоремы вложения Карлесона, и для некоторых других задач.
9. А.Д. Барановым совместно с Х. Хеденмальмом (Швеция) получены новые результаты о поведении
интегральных средних производной конформного отображения, дополняющие известную теорему Макарова
и Джонса о росте интегрального спектра ограниченной функции вблизи точки 2. Доказательство основано
на новом интегральном тождестве для конформных отображений, обобщающем классическое неравенство
Грунского.
10. А.А. Куценко (совместно с Е.Л. Коротяевым) получил новое доказательство теоремы типа Борга для
векторного периодического оператора Якоби (теорема была доказана в 2005 году Кларком, Гестези и
Ренгером). Проведён полный спектральный анализ оператора Шрёдингера для нанополосы. Получены все
асимптотики границ спектральных зон при малых потенциалах.
За отчетный период членами коллектива опубликовано 3 монографии и более 30 статей в рецензируемых
научных журналах, подготовлено к печати 15 статей. Защищена одна докторская и две кандидатские
диссертации.