Постановка задачи нелинейного

Лекция 7. Постановка задачи
нелинейного программирования.
Теорема Куна-Таккера
Содержание лекции:
1.
2.
3.
4.
Формулировка общей задачи математического
программирования
Классификация задач нелинейного программирования
Понятие о функции Лагранжа
Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей
Лагранжа
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
Литература

Шелобаев С.И. Экономико-математические
методы и модели: Учеб. пособие для вузов. — 2-е
изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Разделы 4.1 (до
начала подраздела «Аналитические методы решения задач
4.2.
Исследование операций в экономике: Учебн.
пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.:
Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — Разделы 10.2,
11.2.
условной оптимизации»),

Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
2/11
Формулировка общей задачи
математического программирования
ен
ие
2
чение 3
Ограни
О
гр
ан
ич
7.1
Огр
ани
чен
ие
1
max z ( x1 , x2 , , xn )

„
q
(
x
,
x
,
,
x
)
 b1
n …
 1 1 2

q2 ( x1 , x2 , , xn ) „…
 b2


q ( x , x , , x ) „ b
n … m
 m 1 2
 x1 …0; x2 …0; ; xn …0
 max z ( x)
q ( x ) † b
 x ‡ 0
(часто формулируют без
условий неотрицательности)
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007

3/11
7.1
Найти значения переменных
xn ,
x1, x2 ,
доставляющие максимум минимум 
заданной целевой функции
z( x1, x2 ,
xn )
при условиях:
„
q1 ( x1 , x2 ,
, xn )  b1 ,
q2 ( x1 , x2 ,
, xn )  b2 ,
…
задача
линейного
программирования
задача
нелинейного
программирования
z(x) и все
qi (x),
i =1…m –
линейные
функции
среди z(x) и
qi (x),
i =1…m есть
хотя бы
одна
нелинейная
функция
„
…
,
qm ( x1 , x2 ,
Вышеприведённым
формулировкам
отвечают:
„
, xn )  bm ,
x1 …0; x2 …0;
…
; xn …0
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
4/11
ЗМП является задачей выпуклого программирования , если:
– все её ограничения представлены выпуклыми функциями;
7.2
– её целевая функция представлена вогнутой функцией.
П о в т о р е н и е
% Функция f (x) является выпуклой , если для любых x1 , x 2 и
положительных  ,  , в сумме равных 1, имеет место
f ( x1   x 2 ) … f (x1 )   f (x 2 ).
% Функция f (x) является строго выпуклой , если для любых
x1 , x 2 и положительных  ,  , в сумме равных 1, при x1  x 2
имеет место f ( x1   x 2 )   f (x1 )   f (x 2 ).
% Функция f (x) является вогнутой , если для любых x1 , x 2 и
положительных  ,  , в сумме равных 1, имеет место
f ( x1   x 2 ) „  f (x1 )   f (x 2 ).
% Функция f (x) является строго вогнутой , если для любых
x1 , x 2 и положительных  ,  , в сумме равных 1, при x1  x 2
имеет место f ( x1   x 2 )   f (x1 )   f (x 2 ).
%% Линейные функции одновременно являются и
выпуклыми, и вогнутыми, но не являются ни строго
выпуклыми, ни строго вогнутыми.
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
5/11
7.2
Классификация задач нелинейного
программирования
Задачи
нелинейного
программирования
Экстремальные
задачи без
ограничений
Задачи дробнолинейного
программирования
Задачи выпуклого
программирования
Задачи
квадратичного
программирования
Задачи
невыпуклого
программирования
Прочие
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
6/11
7.3
Понятие о функции Лагранжа
Решение любой задачи математического программирования (в
том числе нелинейного) можно свести к решению задачи
нелинейного программирования без ограничений.
Для этого необходимо на основе исходной ЗМП построить
функцию Лагранжа:
max z ( x1 , x2 , , xn )
max z ( x1 , x2 , , xn )
q1 ( x1 , x2 , , xn ) „ b1
q1 ( x1 , x2 , , xn )  b1 „ 0
q ( x , x , , x ) „ b
q ( x , x , , x )  b „ 0
2
1
2
n
2
n
2



 2 1 2


q
(
x
,
x
,
,
x
)
„
b
m
1
2
n
m

qm ( x1 , x2 , , xn )  bm „ 0
 x1 …0; x2 …0; ; xn …0
 x1 …0; x2 …0; ; xn …0
 ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, m  n )  z ( x1 , x2 ,
z ( x1 , x2 , , xn ) 
1 (q1 ( x1 , x2 , , xn )  b1 ) 
2 (q2 ( x1 , x2 , , xn )  b2 ) 
 
m (qm ( x1 , x2 , , xn )  bm ) 
m 1 x1  m  2 x2   m  n xn
m
, xn )   i qi ( x1 , x2 ,
i 1
В отсутствие условий неотрицательности:
n
, xn )   m  j x j
j 1
 (x, λ )  z ( x)  λq( x)
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
7/11
7.4
Если
исходная
задача
строго
выпукла и
все
ограничения
– равенства
7.4
• её единственный оптимум
x1*,x2*,…,xn* (если имеется)
соответствует единственной
седловой точке функции
Лагранжа
max
min
x1 , x2 , , xn 1 ,2 , ,mn
Если
исходная
задача
выпукла и
все
ограничения
– равенства
В остальных
случаях
( x1 , x2 ,
• любой из существующих
оптимумов соответствует
седловой точке функции
Лагранжа
• любой из существующих
оптимумов соответствует
точке Куна-Таккера
функции Лагранжа
• любая седловая точка обязательно
является точкой К.Т.; обратное не
всегда верно
• точка К.Т. не обязательно
соответствуют оптимумам
исходной задачи
Теорема
КунаТаккера
, xn , 1, 2 ,
, mn )
см. следующий слайд
Это утверждение
называется теоремой
Куна-Таккера
Если задача строго выпукла, точек
Куна-Таккера не более одной.
Если т. К.-Т. имеется, то в ней
находится оптимум.
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
8/11
Переменные λi называются множителями Лагранжа.
7.4
Экономическая интерпретация множителей Лагранжа,
соответствующих оптимальному решению, аналогична
интерпретации двойственных оценок ограничений ЗЛП

Они показывают величину изменения целевой функции в
расчёте на единицу изменения свободного члена
ограничения, которому соответствует множитель
Лагранжа, в очень малой окрестности оптимума


Если ограничение можно рассматривать в качестве баланса
ресурса и максимизируется прибыль, то множитель Лагранжа
в точке оптимума равен оптимальной цене
•
Если найдётся рынок, где ресурс дешевле, то его покупка увеличит
прибыль
•
Если найдётся рынок, где ресурс дороже, то для увеличения прибыли
его следует продать
В отличие от случая ЗЛП, множители Лагранжа (кроме
частных случаев) не обладают свойством устойчивости

Они меняют свои значения даже при сколь угодно малом
изменении свободных членов ограничений
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
10/11
7.4
Теорема Куна-Таккера используется для
аналитического отыскания оптимума задачи
нелинейного программирования
Впрочем, этот приём приводит к успешным
результатам отнюдь не для любой задачи
Главное, чем полезна теорема КунаТаккера:


выяснение роли множителей Лагранжа в
формулировании условий оптимальности
экономическая интерпретация множителей
Лагранжа
Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера
(с) Н.М. Светлов, 2007
11/11