Функциональный анализ и вычислительная математика

ПРИЛОЖЕНИЕ №1
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»
(МГТУ им.Н.Э.Баумана)
АННОТАЦИЯ
Функциональный анализ и вычислительная математика
Автор(ы): Гавриков М. Б.
Кафедра ФН-2, «Прикладная математика»
Курс «Функциональный анализ и вычислительная математика» читает кафедра ФН-2 для
студентов 5-го курса факультета ФН специальности «Прикладная математика». Этот курс
занимает важное место среди математических дисциплин, определяющих теоретический
уровень профессиональной подготовки магистров и дипломированных специалистов в области
прикладной математики. Целью курса является рассмотрение функционально-геометрических
характеристик алгоритмов численного решения задач математической физики, сравнения на их
основе различных существующих алгоритмов и построения эффективных вычислительных
алгоритмов с оптимальными характеристиками. Синтез идей и методов функционального
анализа и теории приближений позволяют создать фундаментальную теоретическую базу для
исследования вычислительных алгоритмов, интерпретируемых как способы аппроксимации
бесконечномерных функциональных классов конечномерными объектами, и является важным
средством формирования современных взглядов на задачи и цели численного анализа у
студентов, обучающихся по специальности « Прикладная математика».
Алгебраическая интерполяция. Фундаментальные многочлены. Форма Лагранжа.
Формула Лагранжа погрешности алгебраической интерполяции. Константы Лебега
алгебраической интерполяции. Неравенство Лебега. Основная теорема сходимости.
Поведение констант Лебега: теорема Фабера-Бернштейна. Константы Лебега для
чебышевских и равноотстоящих узлов. Неравенство Бернштейна. Слабая эквивалентность.
Пример Бернштейна. Неуниверсальность алгебраической интерполяции: теоремы БанахаШтейнгауза и Марцинкевича.
Наилучшее приближение. Основные задачи теории приближений. Строго
нормированное пространство. Единственность элемента наилучшего приближения. Теорема
Э.Бореля о существовании элемента наилучшего приближения. Линейные методы
приближений (ЛМП). Погрешность ЛМП. Сходимость ЛМП на векторе и на классе
векторов. Абстрактное неравенство Лебега. Базовые примеры: (1) алгебраическая
интерполяция, (2) аппроксимация конечными суммами Фурье, (3) лагранжевые сплайны, (4)
аппроксимация ортогональными многочленами. Классы гладких функций с ограниченной
старшей производной. Неравенство Джексона. Сходимость алгебраической интерполяции
относительно чебышевских узлов. Насыщаемый и ненасыщаемый ЛМП. Класс, порядок и
порог насыщения. Ненасыщаемость алгебраической интерполяции относительно
1
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
чебышевских узлов. Насыщаемость интерполяции лагранжевыми сплайнами относительно
равноотстоящих узлов. Вычисление класса, порядка и порога насыщения.
Квадратурные формулы. Узлы, коэффициенты, погрешность квадратурной формулы.
Матрицы узлов и коэффициентов. Вычисление нормы функционала погрешности. Теорема
Стеклова. Точность и правильность квадратурной формулы. Оценка функционала
погрешности. Теорема о максимальном порядке точности. Теорема о сходимости
квадратурных формул интерполяционного типа. Алгебраический порядок точности.
Гауссовские квадратурные формулы. Существование и единственность. Вычисление
коэффициентов. Оценка функционала погрешности. Квадратурные формулы Мелера и
Гаусса. Ненасыщаемость гауссовских квадратурных формул. Численное интегрирование
периодических функций: формула трапеций, ненасыщаемость,
неравенство ДжексонаФавара. Точная оценка функционала погрешности. Теорема Никольского. Вычисление
алгебраического порядка точности. Составные квадратурные формулы. Теорема сходимости.
Оценка функционала погрешности. Вычисление алгебраического порядка точности.
Насыщаемость, вычисление класса, порядка и порога насыщения. Составные квадратурные
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоремы Пеано и КошиЛипшица. Метод сжимающих отображений. Точность способа численного интегрирования.
Восстановление решения посредством лагранжева сплайна. Явный метод Адамса-Бэшфорта.
Неравенства Лебега и Джексона, теорема сходимости. Расчетные формулы, учет ошибок
округления. Неявный метод Адамса. Принцип сжимающих отображений и теорема об
однозначной разрешимости метода. Стратегии практического счета. Метод предикторкорректор: неравенства Лебега и Джексона и теорема сходимости. Метод Адамса-Мултона.
Методы предиктор-корректор, основанные на квадратурных формулах.
Задача табулирования, таблица, алгоритм восстановления. Табулирование ln x. Теорема
сходимости, оценка точности табулирования, схема Горнера быстрого алгоритма
восстановления. Составление таблиц для функций arctg x, exp x, sin x, сos x. Теоремы
сходимости, точность табулирования, экономные алгоритмы восстановления. Сравнение со
степенными рядами. Задача табулирования функциональных компактов. Минимальный
объем таблицы, ε-энтропия и ε-емкость компакта. Теорема Витушкина. Построение
оптимальных по объему таблиц. Задача о среднеквадратической аппроксимации
непрерывной функции многочленами. Два метода решения. Матрица Гильберта. Число
обусловленности. Переполненные системы функций. Теорема Бернштейна-Мюнтца.
Переполненность системы {1, х, х2,,…}. Непереполненность системы ортогональных
многочленов. Идеологические выводы для численного анализа.
Разностный метод решения краевой задачи на отрезке. Теорема сходимости.
Насыщаемость. Вычисление класса, порядка и порога насыщения. Вычисление
минимального числа параметров дискретизации для разностного метода и для оптимального
метода. Асимптотические формулы для n-поперечника по Колмогорову. Неравенство
Колмогорова. Модифицированный метод Бабенко численного решения краевой задачи на
отрезке. Теоремы сходимости и ненасыщаемости метода. Эффективность метода по
количеству параметров дискретизации. Методы коллокаций и моментов (обзор).
2