Задача 1. Учитель спросил у 25-ти учеников, нравится ли им

Срок представления решений 31 января 2011 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1.
Учитель спросил у 25-ти учеников, нравится ли им Кола, Фанта и Спрайт. Выяснилось, что из
них 20-ти ученикам нравится Кола, 18-ти Фанта и 16-ти Спрайт. Ещё выяснилось, что 10-ти
ученикам не нравится ровно один из этих напитков и 10-ти нравятся все эти напитки.
a) Скольким ученикам нравится ровно один из этих напитков?
b) Скольким ученикам не нравится ни один из этих напитков?
Задача 2.
Если я умножу порядковый номер месяца моего дня рождения на число 10, прибавлю к
результату 1, умножу полученный ответ ещё раз на 10 и, наконец, прибавлю к результату
число моего дня рождения, то в ответе получу число 1219. Замечание: порядковым номером
месяца могут быть числа от 1 до 12, а числом дня рождения могут быть числа от 1 до 31.
a) Напиши дату своего дня рождения. Используя порядковый номер месяца и число своего
дня рождения, произведи описанные выше действия. Какой ответ получился? Как
полученный результат связан с твоим днём рождения?
b) Определи дату моего дня рождения.
Задача 3.
В тире используется показанная на рисунке мишень. Известно, что каждый из
трёх стрелков поразил мишень ровно 5 раз. Ещё известно, что первый
стрелок из своих пяти выстрелов поражал чаще всего ту область, за которую
даётся 2 балла, второй стрелок ту область, за которую даётся 3 балла, и
третий стрелок поражал чаще всего ту область, за которую даётся 5 баллов.
a) Сколько раз поразил первый, второй и третий стрелок центральную
область (за которую даётся 11 баллов), если каждый стрелок получил всего 27 баллов?
b) Если все стрелки получили одинаковое число баллов, то какова могла быть наименьшая
возможная сумма баллов, полученная одним стрелком?
Задача 4.
Одной и той же букве соответствует одна и та же цифра, а разным
буквам соответствуют разные цифры.
a) Восстанови полностью действие умножения, если 9 (см левый рисунок).
b) Найди наибольшее возможное значение четырёхзначного числа „five“, если 5
(см правый рисунок).
Задача 5.
Даны пять цифр 0, 0, 1, 2 и 2.
a) Сколько различных пятизначных чисел можно образовать, использовав каждую из данных
цифр ровно один раз?
b) Сколько различных целых чисел, которые делятся на 3, можно образовать, использовав
каждую из данных цифр не более одного раза?
Задача 6.
a) Найди такое наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на число 4, и
сумма цифр следующего натурального числа также делится на 4.
b) Найди такое наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на число 5, и
сумма цифр следующего натурального числа также делится на 5.
Задача 7.
На рисунке показан окрашенный тёмным цветом восьмиугольник,
составленный из пяти единичных квадратов.
a) Сколько существует различных возможностей для окрашивания тёмным
цветом одного неокрашенного единичного квадрата, чтобы на рисунке по
прежнему был один окрашенный тёмным цветом восьмиугольник?
b) Составь из единичных квадратов одну такую фигуру, которая сама была бы
восьмиугольником, и чтобы из двух таких же одинаковых фигур можно было составить
фигуру , которая также являлась бы восьмиугольником.
Задача 8.
Дана клетчатая сетка, размеры которой 2 единичных квадрата (см рисунок).
Юра начинает рисовать дробную линию по показанной на рисунке закономерности:
a) В какой точке (A, B или C) Юра закончит рисование, если 2011?
b) Найди значение , если длина нарисованной Юрой дробной линии равна длине 2011-ти
сторон единичного квадрата. В какой точке (A, B или C) закончится эта дробная линия?
Задача 9.
Даны 6 фигур:
a) Выбери из них ровно 5 фигур и составь из них квадрат
так, чтобы в нём не было дырок и наложений. Фигуры
можно поворачивать на плоскости, но нельзя отражать.
b) Используй одну из данных фигур дважды и составь
из выбранных семи фигур квадрат по тем же правилам.
Задача 10.
На рисунке 6 кругов. В них нужно записать положительные целые
числа так, чтобы сумма чисел, записанных в связанных отрезком
двух
кругах,
равнялась
числу,
записанному
около
соответствующего отрезка.
a) Если бы в кругах были записаны правильные целые числа, то
чему равнялась бы их сумма?
b) Найди все различные возможности для заполнения кругов
положительными целыми числами.
Задача 11.
Заполни пробелы положительными целыми числами так, чтобы следующие предложения
были бы верными.
a) В этом предложении … цифр 0, ... цифр 1, ... цифр 2, ... цифр 3, ... цифр 4 и ... цифр 5.
b) В этом предложении … цифр 0, ... цифр 1, ... цифр 2, ... цифр 3, ... цифр 4, ... цифр 5, ... цифр 6,
... цифр 7, ... цифр 8 и ... цифр 9.
Задача 12.
На столе лежат два стандартных кубика (на гранях которого числа от 1 до 6, а сумма чисел на
противоположных гранях которого равна 7), которые расположены так, как показано на
рисунке. Найди наибольшую возможную сумму чисел на видимых гранях, если наблюдатель
может ходить вокруг стола.
a)
b)