Решение задач механики трещин для анизотропных и

УДК 539.4:539.375
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН
ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ ТЕЛ
Э. С. Сибгатуллин, Н. А. Батнидзе
Камская государственная инженерно-экономическая академия,
Набережные Челны, Россия
Рассмотрено квазиоднородное анизотропное тело с макротрещиной, которое в
каждой своей точке обладает плоскостью упругой симметрии, нормальной к оси z.
Критерий прочности для сплошного анизотропного тела, находящегося в совместных
условиях плоской и антиплоской задач теории упругости принят в виде
A xx2  2 B xx yy  C yy2  2 D xx  2 E yy  L xy2  2 P xx xy 
2 R yy xy  2Q xy  K xz2  2M  xz yz  N yz2  1.
(1)
Здесь  ij i, j  x, y, z  – компоненты тензора напряжений. Коэффициенты A, .., N
определяются по результатам испытаний материала на прочность.
В малой окрестности вершины трещины напряжения определяются следующими
формулами:
 xx  (c1K I  c2 K II )
r ,  yy  (c3 K I  c4 K II )
r,
(2)
r ,  yz  c7 K III r ,  zx  c8 K III r .
Здесь KI, KII, KIII – коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), начала систем
координат Oxyz и Orθz совпадают с вершиной О трещины, направление оси x совпадает
с начальной ориентацией макротрещины, ось z ортогональна плоскости рисунка.
Коэффициенты с1,…,с8 определяются формулами
 xy  (c5 K I  c6 K II )
 ss 

s2
s1
1
Re  1 2 

 ,
2π
cos θ  s1 sin θ  
 s1  s2  cos θ  s2 sin θ
 1 

s22
s12
1
c2 
Re 


 ,
2π
cos θ  s1 sin θ  
 s1  s2  cos θ  s2 sin θ
c1 


s3
1
Re 
.
2π
 cos θ  s3 sin θ 
Значения s1 , s2 , s3 зависят от упругих характеристик материала. Подставив (2) в (1),
c8  
получаем критерий разрушения S ec
1
2
A11 K I2  2 A12 K I K II  A22 K II2  A33 K III2  
 B1K I  B2 K II   1 .

r*
r*
Здесь
A11  Ac12  2 Bc1c3  Cc32  Lc52  2 Pc1c5  2 Rc3c5 ,
...............................................................................
B1  Dc1  Ec3  Qc5 , B2  Dc2  Ec4  Qc6 .
(3)
Пусть внешние силы растут пропорционально параметру нагружения p , тогда
(4)
K i  bi p , i  I , II , III .
Здесь bi – коэффициенты, зависящие от геометрий тела и трещины, от конфигурации
внешней нагрузки. Подставив (4) в (3), получаем:
p2
2p
2
B1bI  B2bII   1.
(A11bI2  2 A12bI bII  A22bII2  A33bIII
)
r*
r*
(5)
Уравнение (5) определяет поверхность r*  r*  p, , z  в пространстве переменных
r, θ, z, соответствующую фиксированному значению параметра нагрузки p – это
поверхность процесса разрушения. Используя только (5), невозможно определить две
неизвестные величины – pc и r*c . Для решения этой проблемы необходимо принять
дополнительные гипотезы. В работе использованы алгоритмы и соответствующие
программы для раздельного решения задач определения предельной нагрузки для тела
с трещиной и определения направления роста макротрещины. Ниже приведены
некоторые результаты, полученные с их использованием.
Рассмотрим бесконечную пластину с макротрещиной при плоском напряженном
состоянии. Материал пластины – однонаправлено армированный стеклопластик.
Первоначальное направление макротрещины параллельно направлениям армирующих
волокон. На рис. 1 показан элемент этой пластины, нагруженный равномерно
распределенными по его торцам нормальными (σ) и касательными (τ) силами.
Начальная длина трещины равна 2l.
На рис. 2а приведена линия процесса разрушения (график функции r* ( ) ) для
случая с   σ c  2.354 МПа ,   0 (экспериментальные значения внешних
разрушающих нагрузок). По нашей методике было получено значение σ с  2.625 МПа .
Эта оценка предельной нагрузки на 11.5% больше, чем соответствующее значение
экспериментальной предельной нагрузки  c .
Y,мм
σ
0.6
Y,мм
0.2
0.4
X,мм
0.2
y
r
θ
τ
О
-0.4
τ
x
-0.2
0.2
0.6
0.8
-0.2
-0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
X,мм
-0.4
2l
ℓ
0.4
b
-0.2
-0.6
-0.4
σ
-0.6
Рис.1.
Рис.2.
На рис. 2b приведена линия процесса разрушения для случая с   0 ,
*
τ   c  9.061 МПа . Для этого случая было найдено значение  с  10.388 МПа , что на
a
14.6% больше, чем соответствующее экспериментальное значение τ*c .
Для линии процесса разрушения в случае с KI≠0, KII=0 (  с  2.625 МПа,  с  0 )
на рис. 3а приведены графики функций главных напряжений σ1 и σ2. Анализ функций,
графики которых приведены на рис. 2а, 3а, позволяет сделать вывод, что макротрещина
в случае нормального отрыва ее берегов может развиваться в направлении с  c  0 . Для
этого направления α0 = 0 (соответствует направлению главного напряжения σ1 в
системе xОy).
На рис. 3b приведено сечение предельной поверхности для рассматриваемого
материала плоскостью главных напряжений  1 ,  2  . Точка 1 с координатами
σ1  34.91 МПа , σ 2  20.16 МПа , лежащая на этой кривой, соответствует
рассматриваемому варианту задачи. Максимально возможные значения растягивающих
главных напряжений в соответствии с кривой на рис. 3b следующие:
Следовательно,
max σ1  1700 МПа ,
max σ 2  20.4 МПа .
σ1 max σ1  0.021,
σ 2 max σ 2  1 , напряжения σ 2 являются доминантными, микротрещины образуются
перпендикулярно σ 2 , то есть параллельно армирующим волокнам.
Соответствующие расчеты показали, что для случая с KI=0, KII≠0 (  с  0 ,
 с  10.388 МПа ) макротрещина может развиваться в направлении с  с = - 51.60. Для
этого направления α0 =14.80, микротрещины образуются перпендикулярно σ1, имеют
направления с   75.2  и не коллинеарны направлению роста макротрещины.
Аналогичные исследования проведены для случая с KI≠0, KII≠0 (  с  1.672 МПа ,
 с  6.436 МПа ). Было выяснено, что макротрещина в случае комбинации нормального
отрыва и поперечного сдвига берегов трещины может развиваться в направлении с
 с  31.9 . Для этого направления α0=19.30, микротрещины образуются
перпендикулярно σ1, имеют направления с   70.7  и не коллинеарны направлению
роста макротрещины.
Было выяснено, что направление роста макротрещины коррелирует с
направлением, где имеет место локальный минимум радиуса r* (рис. 2а, рис. 2b).