В.М. Корнев

НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ В ЗОНЕ ПРЕДРАЗРУШЕНИЯ
ПРИ МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Предложена модель, описывающая продвижение вершины трещины при
малоцикловой усталости. Эта модель соответствует схеме Лейрда-Смита и описывает
появление бороздок при усталости. Считается, что материал состоит из квазихрупких
волокон с тонкими прослойками, материал которых до деформирования обладает
квазивязким типом разрушения, а после неупругого деформирования прослоек тип
разрушения меняется на квазихрупкий. Исходная макротрещина по I моде расположена
перпендикулярно волокнам. При построении решений используются необходимые и
достаточные критерии нелокального разрушения при обобщенном напряженном
состоянии. Получена подробная информация о деформировании материала в зоне
предразрушения: описаны процессы формирования микроусов, залечивания материала
прослоек, накопления повреждений в волокнах, продвижения вершины трещины
скачками и долома конструкции. Накопление повреждений в зоне предразрушения
связывается с неупругим деформированием материала в этой зоне. Получены простые
соотношения для критических параметров разрушения и времени жизни конструкции.
Введение
“Наиболее характерная особенность микрорельефа изломов алюминиевых и
титановых сплавов, меди, железа, некоторых сталей, а также других металлов и сплавов
– усталостные бороздки, ориентированные перпендикулярно направлению
распространения трещины. Считается, что очередная бороздка образуется вследствие
задержки усталостной трещины после каждого цикла нагружения” [1] стр. 136. Ниже
будет показано, что очередная бороздка может формироваться не только после каждого
цикла нагружения, но и после нескольких циклов нагружения вследствие останова
усталостной трещины после каждого цикла продвижения вершины трещины в модели
Лейрда-Смита [2, 3]. Остановимся более подробно на модели Лейрда-Смита,
описывающей формирование бороздок микрорельефа. В этой модели при переходе от
исходного ненагруженного состояния к нагруженному в первой фазе растяжения
происходит раскрытие макротрещины и первоначальное пластическое течение в
окрестности вершины трещины с формированием коротких усов, затем во второй фазе
растяжения имеет место полное пластическое течение с охрупчиванием материала в
окрестности вершины макротрещины, при нагружении в фазе сжатия имеет место
закрытие макротрещины с ее обострением, после соответствующего накопления
повреждений перед вершиной макротрещины наблюдается скачкообразное
продвижение вершины макротрещины в охрупченном материале, далее процесс
повторяется.
Цель настоящей работы заключается в описании процесса последовательного
продвижения вершины трещины скачками при малоцикловом разрушения, когда
используется модель, соответствующая схеме Лейрда–Смита. При описании
скачкообразного продвижения вершины трещины рассматривается пульсирующее
нагружение макрообразца материала со структурой, имеющего внутреннюю
макротрещину. Его нагружение таково, что может реализоваться первая мода
разрушения. Ранее похожие цели ставились в работе [4]. Представленные ниже
результаты являются развитием модели малоциклового разрушения [5].
1
1.
Описание характеристик квазивязкого металла со структурой при
однократном нагружении
Изучим распространение макротрещин при малоцикловой усталости, когда задана
растягивающая пульсирующая нагрузка. Рассматриваются квазивязкие металлы со
структурой. Прекрасная схема, иллюстрирующая процесс разрушения таких
материалов со структурой с точки зрения шкалы размеров приведена на фиг. 3.1 обзора
[6] . Воспользуемся этой схемой. Обратим внимание на внутризереннный скол и
межзеренный сдвиг в материале со структурой. Рассматривается простейшая структура
материала, которая позволяет реализовать модель Лейрда-Смита, эта структура –
однонаправленные волокна, которые разделены тонкими прослойками. Пусть
макротрещина направлена поперек волокон. Волокна материала моделируют субзерна,
а тонкие прослойки между волокнами моделируют области, соответствующие
границам субзерен. На реализацию модели Лейрда-Смита существенное влияние
оказывают характеристики материала, эти характеристики должны описывать как
микропластичность, так и залечивание материала прослоек в первой фазе обобщенного
сдвига, а также процесс охрупчивания при неупругом деформировании волокон и
прослоек во второй фазе растяжения. Большие пластические деформации субзерен
сосредоточены в окрестности вершин трещин и согласно фиг. 3.1 из обзора [6] имеют
размер 10 2 см., а линейный размер для областей сдвига по границам субзерен
составляет 10 4 см.
Примем во внимание то обстоятельство, что в процессе нагружения исходное
состояние материала может существенно меняться. Пронумеруем материалы и их
состояния следующим образом: присвоим материалу волокон первый номер, материалу
прослоек – второй номер (нижние индексы); состояние материалов на момент поставки
пометим нулевым индексом, состояние материалов после первого, второго и т.д.
неупругого деформирования индексом один, два и т.д. (верхние индексы, нулевой
верхний индекс может быть опущен).
На рис. 1 приведены четыре кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора
для двух разных изотропных материалов. Кривые 1, 3 описывают поведение второго и
первого материалов в исходном состоянии, а кривые 2, 4 описывают поведение второго
и первого материалов после неупругого деформирования. Пропорциональный путь
нагружения указан лучем 5, вдоль которого  /   c0  const , это пропорциональное
нагружение может определяться углом  на воображаемой плоскости   , где  и 
– нормальные и сдвигающие напряжения. Таким образом, эти кривые в полярной
системе координат могут быть записаны в виде fi  fi ( ) ; для изотропного материала
имеем fi ( )  fi ( ) из-за выполнения условий симметрии. Теоретические (идеальные)
прочности материалов на растяжение обозначены  m1 ,  m 2 и  m(1)1 ,  m(1)2 соответственно
для исходного и деформированного состояний ( fi (0)   mi ). Теоретические (идеальные)
прочности материалов на сдвиг обозначены  m1 ,  m 2 и  m(1)1 ,  m(1)2 соответственно для
исходного и деформированного состояний ( fi ( / 2)   mi ).
Поскольку ниже будет обсуждаться переход от квазивязкого к хрупкому типу
разрушения, поясним этот переход. Относительные оценки теоретических прочностей
на растяжение  m и сдвиг  m в предельных случаях таковы: 1. для материалов,
склонных к раскалыванию, имеем  m  m ; 2. для материалов, слабо сопротивляющихся
испусканию дислокаций, имеем  m  m . Надо обратить внимание на то, что после
неупругого деформирования исходного материала может меняться тип разрушения от
квазивязкого к хрупкому типу разрушения. Например, пусть исходный материал имеет
квазивязкий тип разрушения, а после неупругого однократного деформирования
2
исходный материал превращается в материал с квазихрупким типом разрушения. На
фиг. 1 изображены четыре кривые теоретической прочности материалов: первая кривая
описывает квазивязкое поведение второго материала, так как  m 2  m 2 ; а вторая,
третья и четвертая кривые описывают квазихрупкое поведение первого материала до и
после неупругого деформирования и второго материалов после неупругого
деформирования, так как  m1  m1 ,  m(1)1  m(1)1 ,  m(1)2  m(1)2 .
Рис. 1. Кривые теоретических прочностей типа Кулона-Мора материалов волокон и
прослоек до и после неупругого деформирования.
Для пропорционального пути нагружения рассмотрим s  e диаграммы
деформирования материалов. Допустим, что вектора напряжений s  ( ; ) и
деформаций e  ( ;  ) соосны, т.е.  /   c0  const . Эти вектора имеют модули
s  s   2   2 , e  e   2   2 . Рассматриваемые s  e диаграммы являются
аналогом классических    диаграмм. На рис. 2 приведены простейшие
аппроксимации s  e диаграмм деформирования двух материалов: первая кривая
соответствует s  e диаграмме для первого материала, вторая кривая описывает s  e
диаграмму для второго материала при наличии одной площадки микропластичности и
одного залечивания. Если первая кривая состоит только из двух прямолинейных
участков, то вторая состоит из четырех прямолинейных участков. На s  e диаграммах
использованы обозначения: sm1 , sm 2 – теоретические (идеальные) прочности первого и
второго материалов в исходном состоянии, e01 , e02 – предельные относительные
удлинения первого и второго материалов в зоне упругого деформирования, e11 –
максимальное неупругое относительное удлинение первого материала, e12 –
максимальное неупругое относительное удлинение второго материала при залечивании
(1)
повреждений, sm(1)2 – теоретическая прочность второго материала после залечивания, e02
– предельное относительное удлинение второго материалов в зоне упругого
деформирования после залечивания, e12(1) – максимальное неупругое относительное
удлинение второго материала после залечивания повреждений.
3
Рис. 2. Схематизация s  e диаграмм материалов волокон и прослоек.
Обратим внимание на поведение изучаемых материалов в окрестности точек
( sm1 , e11 ), ( sm(1)1 , e12(1) ) и точки ( sm 2 , e12 ). Если первые две точки соответствуют процессу
разрушения первого и второго материалов, то третья точка соответствует залечиванию
второго материала (материала прослоек).
Лейрд и Смит [1] наблюдали упрочнение материала перед вершиной трещины. В
предлагаемой модели деформирования волокон с прослойками имеются параметры,
которые позволяют описать процесс охрупчивания материалов [1], поэтому на рис. 2
приведены четыре кривые теоретических прочностей типа Кулона–Мора для двух
материалов как в исходном состоянии, так и после неупругого деформирования. При
выбранной модели деформирования материалов под охрупчиванием понимаются два
разных явления:
1. хрупко вязкий переход, который контролируются соотношениями
для первого материала
 m(1)1 /  m(1)1   m(0)1 /  m(0)1 ,  m(1)1 /  m(1)1 1,  m(0)1 /  m(0)1 1 ,
(1)
для второго материала
 m(1)2 /  m(1)2   m(0)2 /  m(0)2 ,  m(1)2 /  m(1)2 1,  m(0)2 /  m(0)2 1 .
(2)
2. уменьшение максимального неупругого относительного удлинения при
повторных неупругих деформированиях первого и второго материалов, т.е.
e11( j 1)  e11( j ) , e12( j  2)  e12( j 1) при j  0, 1, 2, 3,... .
(3)
Выполнение ограничений (1) для первого материала побуждает трещину по I моде
распространяться прямолинейно как до так и после неупругого деформирования.
Выполнение ограничений (2) для второго материала побуждает трещину по I моде
распространяться прямолинейно только после неупругого деформирования, а в
исходном состоянии второй материал при разрушении ведет себя как квазивязкий.
Считается, что модуль упругости остается неизменным в процессе деформирования.
2.
Модель продвижения вершины макротрещины при однократном
нагружении
4
Предположим, что 1) исходная внутренняя макротрещина является острой, а ее
правая и левая вершины располагаются на границах волокно прослойка (далее
рассматривается область, примыкающая к правой вершине трещины), 2) перед
вершиной макротрещины материал не деформирован, 3) все продвижения вершины
макротрещины рассматриваются как квазистатика.
2.1
Углы ветвления трещины (необходимый критерий разрушения)
Предположим, что исходная макротрещина является острой, а ее правая вершина
находится на границе волокно прослойка. Предположим, что материал является
изотропным.
Рассмотрим силовой дискретно-интегральный критерий хрупкого разрушения
типа Нейбера–Новожилова подрастания трещин по выбранным направлениям  ,
определяемым углами ветвления,
nr
1 ii
  i ( ) 
  i (r )dr   i 

ni ri 0
.
(4)
nr
1 ii
 r i ( ) 
 r i (r  )dr   i , ni  1 2, i  1, 2

ni ri 0
Здесь Or – полярная система координат, когда начало отсчета совпадает с
вершиной реальной трещины;   i (r ) и  r i ( r   ) – нормальные и сдвиговые
напряжения, имеющие интегрируемую особенность;   i ( ) ,  r i ( ) – осредненные
нормальные и сдвигающие напряжения на выбранных направлениях  в первом i  1
 i  fi ( ) cos    i  fi ( ) sin 
или втором
материалах; обозначения
i2
используются для напряжений критических состояний, см. рис. 1. Подчеркнем, что
левые части первого и второго соотношений (4) суть функции угла  , а правые части
тех же соотношений суть функции угла  . Для трещин по I моде соотношение между
этими углами было установлено ранее    / 2 , см. [7, 8]. Для выбранной структуры
композитного материала (однонаправленные волокна, которые разделены тонкими
прослойками) имеем r1 r2 , причем r1 10 2 см - характерный линейный размер
структуры первого материала, r2 104 см - характерный линейный размер структуры
второго материала [9]. Какие-либо повреждения первого и второго материалов
отсутствуют. Первое и второе соотношение из (4) эквивалентны, если имеет место
пропорциональное нагружение   /  r  c0  const .
При  ( )    
напряжения
 r ( )    , трещина не продвигается. Когда осредненные
  ( ) ,  r ( )
совпадают с напряжениями критических состояний
     , т.е.  ( )    и  r ( )    , выполняется критерий (4) на выбранных
направлениях   и начинается 1) формирование единственной зоны предразрушения
на продолжении трещины, если    0 , 2) формирование двух зон предразрушения при
ветвлении внутренней трещины длиной 2l , если    0 . Первый случай соответствует
хрупкому и квазихрупкому разрушению, когда    0 . Второй случай соответствует
квазивязкому разрушению, когда    / 2 .
Допустим в волокнах из первого материала как до так и после неупругого
деформирования реализуется квазихрупкое разрушение из-за того, что выполняются
ограничения (1), тогда 1  1  0 .
5
Допустим в тонкой прослойке из второго материала 1) в исходном состоянии
реализуется квазивязкое разрушение из-за того, что выполняется третье сильное
неравенство из (2), тогда 2   2 / 2  / 4 , 2) после неупругого деформирования
реализуется квазихрупкое разрушение из-за того, что выполняются первое и второе
ограничения из (2), тогда 2   2  0 . Тонкая прослойка r2 r1 из второго материала в
исходном состоянии плохо сопротивляется сдвигу  m 2  m 2 [8].
Таким образом, этот необходимый критерий (4) описывает начало формирования
единственной зоны предразрушения в первом материале или двух зон предразрушения
во втором материале и позволяет определить углы   ветвления внутренней трещины.
Этот необходимый критерий (4) не может описать длины зон предразрушения.
2. 2 Достаточный критерий разрушения при обобщенном напряженном
состоянии
Для того чтобы описать разрушение с учетом накопления повреждений в зоне
предразрушения, целесообразно воспользоваться достаточным критерием разрушения,
см. [10–12]. Этот достаточный критерий удобно записывать в декартовой системе
координат Oxy , когда правая вершина отростка трещины совпадает с началом отсчета,
а ось Ox направлена вдоль этого отростка. Таким образом, всю длину отростка
занимает зона предразрушения, введем обозначения  i для длины зоны
предразрушения и ai для поперечника этой зоны для каждого из материалов, т.е.
i  1, 2 . Этот достаточный критерий имеет вид для острой трещины
1
ki ri
ni ri

0
1
 yi ( x 0)dx   
ki ri
2vi ( i ) 
2ui ( i ) 

i
 1
Gi
 1
Gi
ni ri

xyi
( x 0)dx   i  x  0, i  1, 2 ,
(5)
0
KI
i
 2vi ,
2
K II
i
 2ui ,   i  x  0, i  1, 2
2
.
(6)
Здесь  yi ( x 0) и  xyi ( x 0) – нормальные и сдвиговые напряжения на продолжении
отростка трещины, имеющие интегрируемую особенность; ni и k i – целые числа
( ni  ki , ki – число объектов структуры материала без повреждений); ni ri – интервалы
осреднения для первого i  1 и второго i  2 материалов; 2vi  2vi ( x) и 2ui  2ui ( x) –
раскрытие трещины и смещение берегов трещины; 2vi и 2ui – критическое раскрытие
трещины и критическое смещение берегов трещины;   3  4 и   (3   ) /(1   )
соответственно для плоской деформации и плоского напряженоого состояния, где  –
коэффициент Пуассона; Gi – модули сдвига; K I и K II – суммарные коэффициенты
интенсивности напряжений в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Эти
суммарные КИНы имеют вид для внутренних макротрещин
K I  K I   K I  , K II  K II   K II  .
(7)
Здесь K I  и K II  – КИНы, порождаемые напряжениями   и   , которые заданы на
бесконечности; K I  и K II  – КИНы, порождаемые напряжениями  mi и  mi ,
действующими согласно обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.
Схема силового нагружения в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла
для правого отростка трещины, занимаемого зоной предразрушения, представлена на
6
рис. 3. Подчеркнем, что длина зоны предразрушения  i определяется при решении
задачи о разрушении (5), (6), а поперечник этой зоны ai отыскивается из каких-то
дополнительных соображений для каждого материала i  1, 2 . По терминологии
Новожилова [13] критерии (4) и (5), (6) – необходимый и достаточный критерии
разрушения, эти критерии (4) и (5), (6), записанные для наноуровня, позволяют
описать решеточный захват.
Рис. 3. Схема нагружения вершины трещины в обобщенной модели ЛеоноваПанасюка-Дагдейла.
Система из первых соотношений критерия (5), (6) эквивалентна системе из
вторых соотношений критерия (5), (6), если имеет место пропорциональное
нагружение, а тензора напряжений и деформаций соосны [10, 11].
Поясним как работает достаточный критерий (5), (6). Пусть задана острая
внутреняя трещина длиной 2l0 , перед вершиной которой материал находится в
исходном состоянии, тогда зона предразрушения отсутствует и ее длина   0 .
(  ,  )  (  ,   / c0 ) . При
Рассматривается пропорциональное нагружение
пропорциональном догружении не происходит подрастания трещины до нагрузок
    0 , где  0 – критические напряжения для острых трещин, полученные по
необходимому критерию разрушения (4). Когда нагрузка превышает критические
напряжения для необходимого критерия     0 , происходит страгивание вершины
трещины и начинается неупругое деформирование материала зоны предразрушения,
причем   (  ) . Пока рассматривается простейший случай, когда зона
предразрушения расположена на продолжении трещины, а потому длина модельной
трещины вычисляется следующим образом 2l  2l0  2 . Соотношения (5)
контролируют условия страгивания вершины модельной трещины. Одновременно с
возникновением зоны предразрушения формируются силовые связи в окрестности
вершины модельной трещины согласно обобщенной модели Леонова-ПанасюкаДагдейла как на фиг. 3. Из-за действующих силовых связей в вершине трещины имеет
7
место устойчивый рост трещины 2l0  2l  2l  до определенного уровня нагружения
  , где   – критические напряжения для острых трещин, полученные по
достаточному критерию разрушения (5), (6), причем     0 , 2l   2l0  2 –
критическая длина модельной внутренней трещины,   (  ) – критическая длина
зоны предразрушения. Верхняя   и нижняя  0 оценки критических нагрузок очень
напоминают оценки аналогичных нагрузок при решеточном захвате в атомных
решетках. Соотношения (6) контролируют условия разрушения силовых связей,
ближайших к середине реальной трещины; ниже будет приведено соотношение,
которое в явном виде связывает разрушение с предельным неупругим относительным
удлинением. Подчеркнем, что предельные неупругие относительные удлинения
материала в вершине трещины сравнительно малы.
2. 3
Залечивание микротрещины обобщенного сдвига
Сначала изучается разрушение прослойки, материал которой находится в
исходном состоянии, т.е. в критериях (4) и (5), (6) i  2 . Пусть при обобщенном сдвиге
в материале прослойки выполняется необходимый критерий (4), тогда для
квазивязкого разрушения имеем  2  / 2 (  2  / 4 ). Для микротрещины по I моде
при  2   / 2 получаются следующие соотношения для обобщенного сдвига (см. [8])
 r 2 (r,  / 4) /  2 (r,  / 4)   r 2 (r,  / 4) /  2 (r,  / 4)  1 при 2   / 2 . (8)
Итак, появились микроусы в прослойке (второй материал) под прямыми углами
 2   / 2 к плоскости макротрещины.
Рис. 4. Расположение зон предразрушения в тонких прослойках.
Предстоит выяснить какова длина этих микроусов. Для этого воспользуемся
достаточным критерием (5), (6) для второго материала. Доопределим параметры
критического раскрытия 2v2 микротрещины и критического смещения 2u 2 берегов
микротрещины. Эти критические параметры определяются через поперечник зоны
предразрушения. Допустим, что поперечник зоны пластичности во втором материале
8
превосходит толщину прослойки, тогда поперечник зоны предразрушения для второго
материала совпадает с толщиной прослойки, т.е. зоны предразрушения во втором
материале занимают прямоугольники со сторонами  2 и a2  r2 , см. рис. 4. С учетом
микропластических свойств второго материала критическое раскрытие макротрещины
и критическое смещение берегов микротрещины записываются в виде
2v2  r2 (12   02 ), 2u2  r2 ( 12   02 ) .
(9)
КИНы в вершинах микротрещин при одноосном растяжении плоскости с
микротрещиной, имеющей бесконечно малые ответвления при  2   / 2 , можно
выписать в соответствии со справочником [14] в виде
(10)
K I  2  0.372   l0 , K II  2  0.348   l0 .
Из соотношений (7) КИНы K I  и K II  , порождаемые напряжениями  mi и  mi , могут
быть представлены в виде
K I   K I  ( m 2 , l0 ,  / l0 ,  2 ), K II   K II  ( m 2 , l0 ,  / l0 ,  2 ) .
(11)
Явный вид соотношений (11) в справочниках найти не удалось. Допустим, что
вычислены K I  и K II  при конкретных значениях  m 2 , l0 ,  / l0 ,  2 и  m 2 , l0 ,  / l0 , 2 .
Далее рассматривается первый класс решений, когда суммарные КИНы K I и K II в
соотношениях (7) положительны, т.е. K I  K I   K I   0 и K II  K II   K II   0 . Тогда
для второго материала все параметры критерия (5), (6) определены соотношениями (7),
(9), (10). После соответствующих преобразований систем из первых или вторых
соотношений критерия (5), (6) отыскиваются критические параметры   2 ,  2 или   2 ,
 2 .
Полученные критические параметры нагрузки   2 и длины зоны преразрушения
 2 описывают образование микроусов при первоначальном пластическом течении в
окрестности вершины трещины. После образования микроусов имеет место
залечивание второго материала после завершения процесса микропластичности при
обобщенном сдвиге (8) в точке ( sm 2 , e12 ) в соответствии с s  e диаграммой на рис. 2.
Распространение трещины обобщенного сдвига во втором материале останавливается
после выполнения соотношений (9) из-за залечивания. Критическое раскрытие 2v2
макротрещины и критическое смещение 2u 2 берегов микротрещины в материале
прослойки суть основа появления бороздок. Характерные размеры этих бороздок
определяются соотношениями (9) при обобщенном сдвиге и непосредственно связаны
с характеристиками микропластичности материала прослоек. Макротрещина по I моде
притупляется из-за 2u2  0 на микроуровне, это притупление соизмеримо с
характерным линейным размером r2 .
2. 4
Зона предразрушения макротрещины при однократном нагружении
При описании разрушения первого и второго материалов (т.е. волокон и
прослоек) перед вершиной острой макротрещины надо обратить внимание на полное
пластическое течение с охрупчиванием материала волокон и прослоек в окрестности
вершины макротрещины, что приводит к накоплению повреждений в зоне
предразрушения. Из-за того, что в материале волокон реализуется квазихрупкое
разрушение как до, так и после неупругого деформирования, а в материале прослоек
реализуется квазихрупкое разрушение только после неупругого деформирования,
использование
необходимого
критерия
(4)
дает
очевидный
результат
9
1  1(1)   2(1)  0 . Зона предразрушения расположена на продолжении острой
трещины, а критическая нагрузка  0 1 по необходимому критерию такова
 0 1
r k
 1 1 .
 m1
2l0 n1
(12)
Соотношение (12) не учитывает влияния прочностных свойств прослоек на величину
 0 1 .
Воспользуемся достаточным критерием разрушения (5), (6), в котором
используются поля напряжений и деформаций, когда 1  1(1)   2(1)  0 . Доопределим
параметры критического раскрытия 2v1 макротрещины и критического смещения 2u1
берегов макротрещины при этом пренебрежем толщиной прослоек, так как r2 r1 . Эти
критические параметры определяются через поперечник зоны предразрушения. Зона
предразрушения в первом материале занимает прямоугольник со сторонами 1 и a1 .
Отождествим поперечник a1 зоны предразрушения в первом материале с
поперечником зоны пластичности в вершине реальной трещины. Далее длина зоны
предразрушения 1 измеряется в r1 , причем s   1 / r1  – целая часть числа 1 / r1 , т.е.
s – число волокон в зоне предразрушения. По сути дела, нагружение в зоне
предразрушения таково, что s волокон растянуты (или сжаты при малоцикловом
режиме нагружения). С учетом пластических свойств первого материала критическое
раскрытие макротрещины и критическое смещение берегов макротрещины
записываются в виде, если воспользоваться характеристиками стандартной   
диаграммы первого материала,
2
5(11   01 )  K I  


2v1 
(13)

 , K I      l0 , 2u1  0, K II   0 .
4

 m1 
КИНы K I  и K II  , порождаемые напряжениями  m1  0 и  m1  0 , могут быть
представлены согласно справочника [15] в виде
 2
  
K I    m1  l0 1  arcsin 1  1   , K II   0 .
(14)
l0  

 
Подчеркнем, что K I   0 . Далее рассматривается первый класс решений, когда
суммарный КИН K I в соотношениях (7) положителен, т.е. K I  K I   K I   0 . Тогда
для первого материала все параметры критерия (5), (6) определены соотношениями (7),
(13), (14). После соответствующих преобразований системы из первых соотношений
критерия (5), (6) отыскиваются критические параметры   1 , 1 . Эти критические
параметры   1 , 1 можно выписать в простом виде, если принять во внимание, что
1 / l 
1 (по сути дела, рассматривается квазихрупкое разрушение),
 5 2 G1

(11   01 ) 

 4(  1)  m1

2
1 k12
,

2
r1 2n1 

G1
5
1   (  1)  (11   01 ) 
m1


(15)
10
r1 k1
2l  n1


.
(16)
G1
 m1 1  5
(11   01 )
 (  1)  m1
Для соотношений (15), (16) справедливо ограничение
G1
5
1
(   )  0 .
 (  1)  m1 11 01
Из сравнения явных представлений (12) и (16) для критических нагрузок следует
очевидное неравенство   1   0 1 . Полученные соотношения (15), (16) описывают
разрушение квазихрупких материалов при однократном нагружении соответственно
при реализации первого класса решений. Эти соотношения позволяют отыскать
критические параметры   1 , 1 через жесткостные, прочностные и структурные

1
параметры материала для первого класса решений. Критическая нагрузка   1 кроме
того зависят от исходной длины макротрещины l0 .
Полученные
критические
параметры
нагрузки
  2
и
длины
зоны
предразрушения  2 для микроусов существенно отличаются по механическому
смыслу от аналогичных параметров   1 , 1 для макротрещин, поскольку какие-либо
догружения макростистемы полностью исключены после достижения нагрузки   1 .
3.
Описание характеристик материала волокон при циклическом
нагружении
Изучим пульсирующее нагружение образца с макротрещиной.
Рис. 5. Пульсирующее нагружение образца с макротрещиной.
На рис. 5 приведен график единичного цикла нагружения, где  a - амплитудное
значение нагрузки. Очевидно, что  0 1   a    1 , причем амплитудное значение
11
нагрузки  a при малоцикловом нагружении соизмеримо с критической нагрузкой   1 .
Малоцикловое разрушение при наличии макротрещин в исходной конструкции
рассмотрено в справочнике [1]. Переходим к описанию прочностных характеристик
материала волокон при циклическом нагружении. На рис. 6 приведены схематизации
   диаграммы первого материала при циклическом нагружении и петель
гистерезиса этого материала при циклическом нагружении, причем    диаграмма
материала описывается тремя отрезками прямых, нарисованных жирными линиями, а
петли гистерезиса показаны штриховыми линиями.
Рис. 6. Схематизация
   диаграммы материала волокон и петель гистерезиса этого
материала при циклическом нагружении.
На рис. 6 использованы обозначения:  m1   m1 ( N ) и  m1   m1 ( N ) – условные
пределы текучести соответственно при растяжении и сжатии,  01   01 ( N )
и

 01   01
( N ) – упругие относительные удлинения соответственно при растяжении и
сжатии, 11  11 ( N ) и 11  11 ( N ) – предельные относительные удлинения
соответственно при растяжении и сжатии, N – число циклов,    ( N )       –
неупругая деформация материала в цикле, которая состоит из неупругих деформаций
при растяжении   и сжатии   . Вообще говоря,  m1   m1 ( N )   m1   m1 ( N ) ,
 01   01 ( N )   01   01 ( N ) , 11  11 ( N )  11  11 ( N ) . Предлагаемая схематизация
   диаграммы материала позволяет описать циклически упрочняющиеся
(  m1 ( N )   m1 ( N  1) ,  m1 ( N )   m1 ( N  1) ), циклически стабильные (  m1 ( N )  const ,
 m ( N )  const )
и
циклически
разупрочняющиеся
(  m1 ( N )   m1 ( N  1) ,
12
 m1 ( N )   m1 ( N  1) )
материалы.
Охрупчивание
материала
при
циклическом
нагружении описывается неравенствами 11 ( N )  11 ( N  1), 11 ( N )  11 ( N  1) . При
существенной асимметрии цикла используются упругие и неупругие участки   
диаграмм деформирования первого материала. На рис. 6 приведены петли гистерезиса
для циклически стабильного материала. Далее ради простоты рассматривается
простейший случай, когда    диаграмма обладает полной симметрией, поэтому все
верхние значки плюс и минус ниже не используются.
Допустим, что при стационарном пульсирующем циклическом нагружении
 a  const неупругая деформация материала в цикле не меняется, т.е.
   ( N )  const . Для описания разрушения волокон перед вершиной реальной
макротрещины воспользуемся двумя подходами.
Коффин [16] и его последователи, см. стр. 76-77 справочника [1],
экспериментально подметили связь между неупругой деформацией материала в цикле
и числом циклов. В простейшем случае уравнение Коффина имеет вид
N 1/ 2  C1 /   ,
(17)
где C1 – постоянная Коффина, которая может быть определена из однократного
монотонного нагружения при растяжении так C1  11   01  / 2 . Критическая величина
числа циклов N1 определяется из соотношения для первого подхода
(18)
N1   11   01  / 2  .
В другом подходе для учета накопления повреждений в материале зоны
предразрушения [17] вводится понятие критическая величина диссипируемой работы,
при которой материал разрушается. Эта критическая величина отыскивается
экспериментально. Критическая величина числа циклов N 2 определяется из
соотношения для второго подхода
(19)
N2  11   01  /  ,
если постоянную подобрать из эксперимента по однократному монотонному
нагружению, соотношение (19) соответствует линейному суммированию
повреждений.
Когда выполняются соотношения (18), (19) для волокна, ближайшего к середине
макротрещины, имеет место продвижение вершины реальной макротрещины скачком.
Соотношения первого (18) и второго (19) подходов соответствуют нелинейному и
линейному суммированию повреждений и могут быть записаны единообразно
C
(20)
N  C2  11   01  /   ,
2
3
где C2  O(1),1  C3  2 – некоторые постоянные, численные значения которых зависят
от свойств материала волокон,   – единственный параметр, характеризующий
накопление повреждений материала за единичный цикл.
4.
Накопление повреждений в зоне предразрушения при малоцикловой
усталости, гипотеза об останове макротрещины раскалывания
Основное накопление повреждений при единичном цикле нагружения связано с
неупругой деформацией
      
(21)
материала волокна зоны предразрушения, ближайшего к середине макротрещины.
Величина неупругой деформации при растяжении   зависит от уровня нагружения
13
 a . Явные выражения для   и длины зоны предразрушения 1  получаются, если в
соотношениях (15), (16) заменить   1 на  a , 11   01 на   , l  на l . После
преобразований получим
1
  
 m1 r1 k1
 a 2l n1
5
G
 (  1)  m1
 5 2 G

  

 4(  1)  m1

,
(22)
2
1  k12
.
(23)

2
r1
2n1 

5
G
  
1 
  (  1)  m1

Для соотношений (22), (23) справедливо ограничение
5
G
1
  0.
 (  1)  m1  
Величины неупругой деформации при растяжении   и длины зоны предразрушения
1  зависят от амплитуды нагрузки  a и длины исходной трещины, так как
2l  2l0  21  , причем, если для   от 2l зависимость слабая, то для 1  ярко
выражена. При повторном нагружении в зоне предразрушения 1  материалы
охрупчиваются [1].
Далее рассмотрим только квазихрупкое разрушение волокон, когда длина зоны
предразрушения макротрещины существенно меньше длины макротрещины
1  / l 1 . При таком ограничении можно нагружение при пульсирующей нагрузке
считать жестким: трещина после снятия нагрузки полностью закрывается, и второе
слагаемое в (21) исчезает, т.е.     0 : пренебрежем остаточными напряжениями и
остаточными деформациями в окрестности вершины макротрещины после снятия
нагрузки в каждом цикле. Таким образом, только один параметр   контролирует
накопление повреждений в зоне предразрушения.
Воспользуемся соотношением (20) для материала волокна. Критическая величина
числа циклов N(1) материала волокна зоны предразрушения, ближайшего к середине
макротрещины длиной 2l0 , определяется из соотношения
N( j )  C2  11   01  /     , 2l ( j )  2l0  2 j1  при j  1, 2,3,..., j  .
C3
(24)
Здесь N ( j ) и 2l ( j ) - критические величины числа циклов и длины макротрещин при
первом j  1 и последующих продвижениях вершин трещин j  2,3, 4,... , таких что

N(1)  N(2)  ...  N( j )  1 . Общее число циклов нагружения (жизнь образца)
составляет
j
N   N ( j ) .

(25)
j 1
После обрыва волокна зоны предразрушения, ближайшего к середине
макротрещины, меняется геометрия макротрещины, она становится острой.
Напомним, что макротрещина по I моде притуплена из-за появившихся микроусов.
Образовавшаяся острая макротрещина распространяется по охрупченному материалу в
зоне предразрушения. Охрупчивание материала [2] описывается соотношениями (3),
которые для трещины по I моде превращаются в соотношения
14
11( j 1)  11( j ) , 12( j  2)  12( j 1) при j  0, 1, 2, 3,... .
(26)
Поэтому, принимая во внимание, что после обрыва волокна, ближайшего к середине
макротрещины, острая макротрещина распространяется по охрупченным материалам
согласно (26), выскажем гипотезу об останове трещины: острая трещина длиной 2l0
распространяется только по охрупченным материалам, продвижение трещины
осуществляется скачком на 1  , она останавливается на границе раздела волокно
прослойка, эта прослойка – первая прослойка, расположенная за зоной
предразрушения. Далее процесс повторяется: для трещины длиной 2l (1) : при
очередном N(1)  1 цикле нагружения острая трещина притупляется из-за образования
микроусов, при последующих циклах нагружения идет накопление повреждений в
модифицированной зоне предразрушения, затем продвижение трещины длиной 2l (1)
осуществляется скачком при N (1)  N (2) цикле нагружения на модифицированную
длину зоны предразрушения и т.д.
В среднем скорость V  V ( N ) продвижения вершины макротрещины за один
цикл нагружения оценивается так, если воспользоваться соотношениями (22)-(24),
1 
.
(27)
V
C3
C2  11   01  /    
В соотношении (27) используется информация о свойствах материала волокон и
характеристиках зоны предразрушения. С возрастанием длины трещины 2l ( j ) средняя
скорость V  V ( N ) продвижения вершины макротрещины существенно увеличивается,
что и наблюдается в экспериментах [1-3]. Предложенные соотношения (22)-(25)
описывают эффект долома конструкции, когда длина 2l ( j ) трещины становится такой,
что при очередном цикле нагружения конструкция разваливается на части. После
разделения конструкции на части на изломе видны усталостные бороздки (следы
микроусов).
5.
Обсуждение предлагаемой модели и оценки констант модели
Глава 3 справочника [1] посвящена фрактографии усталостного разрушения
металлов и сплавов, методы фрактографии позволяют исследовать поверхности
разрушения и выявлять ведущие механизмы формирования новых поверхностей при
разрушении. В этой главе имеется раздел, в котором описаны модельные
представления о механизмах формирования усталостных бороздок, достаточно
подробно проиллюстрирован процесс формирования бороздок усталости в модели
Лейрда-Смита. Однако какие-либо количественные оценки глубины этих бороздок и
шага усталостных бороздок в механических моделях отсутствуют. Вероятно
предлагаемая механическая модель формирования усталостных бороздок частично
восполняет этот пробел.
Образование усталостных бороздок и их формирование подробно обсуждается в
монографии [18]: минимальные величины усталостных бороздок в сплавах на основе
Al, Ti и Fe, выявленые многочисленными исследователями, приведены в табл. 3.2 на
стр. 163 из [18]. Устойчивое формирование усталостных бороздок имеет место при
достижении шага 0.045 мкм для алюминиевых сплавов, 0.030 мкм для сталей, 0.025
мкм для титановых сплавов. В связи с тем, что перечисленные сплавы относятся к
конструкционным, целесообразно иметь более подробную информацию о
формировании излома детали с трещиной. “Наиболее распространенная модель
Лейрда рассматривает ведущую роль в формировании бороздок процесса
пластического затупления вершины трещины на восходящей ветви нагрузки. При этом
полуцикл разгрузки рассматривается как подготовительная стадия к формированию
15
усталостной бороздки”, см. стр.165 из [18]. Предлагаемая модель описывает
пластическое затупление трещины при частичном разрушении, когда формируются
микроусы, а подготовительная стадия при разгрузке связывается с охрупчиванием
материала в зоне предразрушения.
Предлагаемая модель не исчерпывает все разнообразие формирования
усталостных бороздок. Эта модель соответствует профилю усталостных бороздок по
Лейрду-Смиту, см. схему г на рис. 3.25 из [18]. В предлагаемой модели реальные
поликристаллические
тела
подменены
однонаправленным
композитом
с
квазихрупкими волокнами и тонкими прослойками, материал которых до
деформирования обладает квазивязкими свойствами при разрушении, а после
неупругого деформирования материал этих прослоек становится квазихрупким.
Переходим к сопоставлению полученных результатов в рамках предлагаемой
модели с результатами по усталости однонаправленного композита со слабой
матрицей, имеющего достаточно прочные волокна. Результаты по таким композитам
заимствуем из монографии [19]. Обсуждение влияния предельных напряжений,
провоцирующих расслоение однонаправленного композита со слабой матрицей,
приведено в разделе 9.6 из [19], подчеркнем, что материалы волокон и матрицы не
меняют свойства при деформировании. Фиг. 9.9 на стр. 377 иллюстрирует
возможность возникновения трех различных мод разрушения, последняя из мод c,
изображенная на этой фигуре соответствует схеме разрушения в предлагаемой модели
(на фиг. 9.9 изображена мода разрушения c, для которой отсутствует симметрия в
чередовании микроусов). Итак, предлагаемая модель не входит в противоречие с
известными результатами по усталости однонаправленных композитов. В
предлагаемой модели прочностные свойства прослоек существенно зависят от
процесса неупругого деформирования.
На рис. 3.23 из [18] диаграмма усталостного разрушения (кривая Пэриса)
сопоставлена с различными видами элементов рельефа усталостного излома; имеет
место существенное изменение механизмов формирования рельефа: на I стадии излом
имеет псевдоборозчатый рельеф, на II стадии реализуется процесс подрастания
трещины с образованием достаточно регулярной картины усталостных бороздок, а на
III стадии появляется тенденция к лавинообразному распространению трещины при
наличии усталостных бороздок. Малоцикловая усталость соответствет окончанию II
стадии и всей III стадии на кривой Пэриса, когда уже имеется макротрещина.
Предлагаемая модель как раз и описывает переход от II стадии к III стадии на кривой
Пэриса и процесс долома конструкции-образца. В предлагаемой модели средняя
скорость V  V ( N ) продвижения вершины макротрещины за один цикл нагружения
при стационарном пульсирующем циклическом нагружении  a  const резко
увеличивается перед исчерпанием несущей способности конструкции, см.
соотношение (27), что характерно для перехода от II стадии к III стадии на кривой
Пэриса. Таким образом, термин малоцикловая усталость используется в том смысле,
что конструкция-образец имеет весьма ограниченный срок службы при данном типе
нагружения и при наличии макротрещины, значительной длины. Предлагаемая модель
допускает рассмотрение нестационарного пульсирующего циклического нагружения,
когда  a  const .
Переходим к оценкам констант предлагаемой модели и схемам экспериментов,
которые могут помочь получить эти константы. При расчетах по предлагаемой модели
r1 , m1 ,11 ; C2 ,C3 ; e12 .
предполагается, что известны следующие параметры
Структурный r1 и прочностной  m1 параметры входят в соотношение (22),
деформационный параметр 11 и параметры обобщенного уравнения Коффина C2 , C3
используются в уравнении (27), деформационный параметр e12  ( 12 , 12 ) помогает
16
описать формирование микроусов, см. соотношение (9). Деформационный параметр
e12  ( 12 , 12 ) является вспомогательным параметром.
Структурный параметр r1 ( r1  10 2 см - средний диаметр зерна поликристалла)
металлов и сплавов может быть получен обычными методами металлофизики [6, 20].
Прочностной  m1 и деформационный 11 параметры можно заимствовать из
стандартной    диаграммы, причем параметр  m1 целесообразно отождествлять с
параметром  02 .
Параметры обобщенного уравнения Коффина C2 , C3 для уравнений
долговечности при малоцикловой усталости приведены в табл. 2.3 на стр. 77
справочника [1]. Для обычного уравнения Коффина при C3  2 (нелинейное
суммирование повреждений) параметр C2 может быть оценен так С2  0.25 из
однократного монотонного нагружения. При C3  1 (линейное суммирование
повреждений) параметр C2 может быть оценен так С2  1 из однократного
монотонного нагружения.
Вспомогательный деформационный параметр e12  ( 12 , 12 ) может быть получен
при записи s  e диаграмм материала прослоек, см. схематизацию этой диаграммы на
рис. 2. Для этого необходимо изготовить специальный микрообразец, который
позволял бы нагрузить прослойку так, чтобы при осуществлении пропорционального
пути нагружения выполнялось бы соотношение  /   1. Последнее соотношение
имеет место при формировании зон предразрушения в тонких прослойках, см. рис. 4.
Проще всего при прочностных испытаниях расположить прямолинейную прослойку
под углом в 45o к линии действия растягивающего усилия. Требования к жесткости
испытательной машины при испытании микрообразца достаточно высокие из-за того,
что поперечник прослойки имеет порядок 10 4 см.
6.
Заключение
Для материала со структурой предложена модель, описывающая продвижение
вершины трещины при малоцикловой усталости. Эта модель соответствует схеме
Лейрда-Смита [2] и описывает появление бороздок при усталости, когда уже имеется
макротрещина. Получена подробная информация о деформировании материала в зоне
предразрушения: описаны процессы формирования микроусов, залечивания материала
прослоек, накопления повреждений, продвижения вершины трещины скачками и
долома конструкции. Накопление повреждений в зоне предразрушения связывается с
неупругим деформированием материала в этой зоне. Получены простые соотношения
для критических параметров разрушения и времени жизни образца. Полученные
результаты могут оказаться полезными при 1. предсказании времени жизни
конструкции после выявления существенных трещиноподобных повреждений при
плановом осмотре, 2. анализе аварийных ситуаций по рельефу излома разрушенной
детали.
Литература
1. Романив О.Н., Ярема, С.Я., Никифорчин, Г.Н., Махутов, Н.А., Стадник, М.М. Усталость и
циклическая трещиностойкость конструкционных материалов, т. 4, 1990. Механика разрушения и
прочность материалов: В 4 т. Т. 2., в 4-х томах. Киев: Наукова думка. 680 с.
2. Laird C. and Smith, G.C. Crack propagation in high stress fatigue // The Philosophical Magazine, A. Journal
of Theor. Experim. and Aplied Physics. 1962. V. 7. N 77. P. 847-857.
3. Laird C. The influence of metallurgical structure on the mechanism of fatigure crack propagation // Fatigue
Crack Propagation, ASTM STP 415; Am. Soc. Testing Mats. 1967. P. 131-168.
17
4. Лал, Гарг, Лемей. Об эффективном коэффициенте размаха напряжений при усталости. Труды Амер.
об-ва инж. мех. Теоретич. основы инж. расчетов. 1980, т. 102, № 1. С. 98–111.
5. Корнев В. М. Двухмасштабная модель малоцикловой усталости. Переход от квазивязкого
разрушения к хрупкому // Деформация и разрушение материалов. 2008 (статья принята к печати).
6. Макклинток Ф.А., Ирвин Дж.Р. Вопросы пластичности в механике разрушенияю. В кн.: Прикладные
вопросы вязкости рахрушения. 1968. С. 143-186.
7. Корнев В. М. Разрушение хрупких и вязких кристаллов. Силовой и деформационный критерии // ПММ.
2003. Т. 67, вып. 6. С. 1029-1041.
8. Корнев В. М. Ветвление и излом траекторий трещин отрыва в поликристаллах // Физическая
мезомеханика. 2003. Т. 6. № 5. С. 37-46.
9. Kornev V.M. Rupture crack branching in solids with structural hierarchy // International Journal of
Fracture. 2004. V. 128. N 1. P. 205-214.
10. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой
прочности для сложного напряженного состояния // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9. № 5. С.
43-52.
11. Kornev V.M., KurguzovV.D. Multiparametric sufficient criterion of quasi-brittle fracture for complicated
stress state // Eng. Fracture Mechanics. 2008. V. 75. No 5. P. 1099-1113.
12. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength conditions and fracture criteria – II. Discrete
fracture // Engineering Fracture Mechanics. 1995. V. 52. N 4. P. 745-754.
13. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикл.
математика и механика. 1969. Т. 33, вып. 2. С. 212-222.
14. Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений, в 2-х т. Т. 1. М.: Мир,
1990. 448с.
15. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Механика
разрушения и прочность материалов: В 4 т. Т. 2. - Киев: Наук. думка, 1988. 619 с.
16. Coffin L.F., Jr. and Schenectady, N.Y. A Study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal //
Transations of the ASME. 1954. V. 76. N 6. P. 931-950.
17. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. – Новосибирск.
Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН и НГАСУ, 1997. – 278 с.
18. Шанявский А.А. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций. Синергетика в
инженерных приложениях. – Уфа. Изд-во научно-техн. лит. «Монография», 2003. – 802 с.
19. Bolotin V.V. Mechanics of fatigue. – Boca Raton, London, New York, Washington. CRC Press, 1999. – 463
p.
20. Шмитт-Томас К.Г. Металловедение для машиностроения. – М.: Металлургия, 1995. – 512 с.
18