введение в механику разрушения

ГЛАВА 9
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
9.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
За последние десятилетия сформировалась и активно развивается новое
направление в механике твердых тел – механика разрушения. Под этим термином будем понимать изучение условий равновесия и распространения макротрещин внутри нагруженных элементов конструкций вплоть до их полного
разрушения
С точки зрения приложений задача ставится так: задана конструкция (сооружение, судно) и условия ее эксплуатации (внешние силы, температура).
Следует дать заключение о том, будет ли данная конструкция функционировать в течение заданного времени, либо выйдет из строя сразу.
Целый ряд катастроф, имевших место с морскими судами, газгольдерами,
произошли при сравнительно невысоких уровнях напряжений. Работы английского ученого Гриффитса (1921) позволили объяснить эти катастрофы. Он
предположил, что любое твердое тело содержит маленькие трещины, которые
могут либо увеличиваться под нагрузкой, либо случайным образом оставаться
такими же.
Если материал не имеет никаких дефектов структуры, то, основываясь на
характере межатомных воздействий, физиками было установлено, что теоретическая прочность материала составляет 10...20% от Е – модуля упругости.
Например, для стекла Е = 70000 МПа. Тогда теоретическая прочность стекла
должна быть около 7000 ÷ 14000 МПа, что в 100 раз больше реальной (технической) прочности, установленной путем испытаний.
Гриффитс выполнил эксперименты со стеклом. Он нагревал стеклянные
стержни посередине, а затем растягивал их, получая волокна различного диаметра. Оказалось, что чем тоньше волокно, тем больше напряжение, возникающее при его разрыве. Экстраполируя кривую прочности в область исчезающе
малых диаметров, Гриффитс получил прочность, близкую к теоретической. Таким образом, он пришел к выводу, что в стекле имеется множество мельчайших трещин, причем в тонких волокнах они образуются реже.
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
233
Для теоретического описания развития трещин было использовано понятие концентрации напряжений. Предположим, что в растянутой полосе вырезано круглое отверстие, уменьшающее ее сечение на 10%. При этом напряжения на контуре отверстия увеличатся не на 10%, а в 3 раза. Число, показывающее, во сколько раз напряжение около отверстия превышает номинальное,
называется коэффициентом концентрации напряжений
k
 max
.

(9.1)
В случае эллиптического отверстия
a
k  1 2 .
b
(9.2)

max
b

b
а
a
Рис. 9.2

Рис. 9.1
Если предположить, что трещины – сильно вытянутые эллипсы (например, длиной 10 мк и шириной 0,1 мк), то а / b = 100 и k = 201. При такой концентрации теоретическая прочность снижается до 70 МПа, что близко к технической прочности.
9.2. ТЕОРИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Рассмотрим задачу о распространении трещины в бесконечной пластине
единичной толщины, растянутой вдоль оси y напряжениями . Для ее решения
Гриффитс использовал энергетический подход, заключающийся в следующем.
Потери энергии упругой деформации
1
 2l 2
u  v 
2
2E
(9.3)
ГЛАВА 9
234
в окрестности трещины в результате ее разгрузки компенсируются увеличением поверхностной энергии (энергии на берегах трещины)
G  2l ,
(9.4)
 – поверхностное натяжение на кончике трещины или удельная энергия, необходимая для образования единицы длины распространяющейся трещины. Для
простоты принято, что область разгруженного материала имеет форму окружности: v  l 2 .
Согласно Гриффитсу, развитие трещины происходит тогда, когда освободившаяся часть энергии деформации оказывается больше приращения поверхностной энергии, необходимого для образования новой поверхности трещины.
y
–l
l
x
2l

Рис. 9.3
Критическая полудлина трещины lc для напряжения  может быть определена из условия экстремума общей энергии W
W
 2l 2
 0, W  G  U  2l 
,
dl
2E
W
 2l 2
 2 
 0,
dl
E
отсюда
lс 
2 E
 2
.
Критические напряжения  k для заданной полудлины тещины l
(9.5)
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
235
2 E
.
l
k 
(9.6)
Если    k , то трещина развивается лавинообразно, т. к. с увеличением
длины трещины напряжения, требуемые для ее распространения, уменьшаются.
Такое развитие трещины называют неустойчивым. С учетом поперечных деформаций формула Гриффитса может быть представлена так
 lc 
2 E
 const .
1  2
(9.7)
9.3. ТЕОРИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ – СИЛОВОЙ ПОДХОД
Как уже отмечалось, поле напряжений в окрестности вершины трещины
можно оценить с помощью коэффициента концентрации напряжений k. Если
обозначить через kc коэффициент интенсивности напряжений в момент разрушения (коэффициент интенсивности разрушения), то условие разрушения принимает вид
K > Kc .
(9.8)
Развитие трещины может происходить при различных типах деформации
у вершины трещины. В соответствии с этим можно выделить трещины I, II и III
типов. В случае трещины I типа деформация происходит под прямым углом к
поверхности трещины. Для трещины II типа характерны деформации сдвига в
плоскости трещины (плоский сдвиг). Трещина III типа характеризуется деформациями по торцевой поверхности (антиплоский сдвиг).
Трещины
II
I
II
III
I
Рис. 9.4
Наибольший интерес представляет трещина отрыва; в дальнейшем объектом рассмотрения будет именно такая трещина.
Условие (9.8) теперь перепишем так
KI > KIС .
(9.10)
ГЛАВА 9
236

(а)
(б)
y
y
y (r0,  = 0)
r

l
+
x
l
r
l
b

K
y  1
2r
x
b
Рис. 9.5
Воспользуемся полярной системой координат r, , представленной на
рис. 9.5. Из решения плоской задачи теории упругости

3 

1

sin
sin

2
2
 x 
KI
 

3 
 


cos
1

sin
sin
 y

.
2
2
2
2

r
 


 xy 
 sin  cos 3 

2
2 
KI
Для сечения пластины   0 ,  y 
(рис. 9.5, (б)).
2r
(9.11)
В рассматриваемой задаче
K I   l 
(9.12)
Если пластина имеет ограниченную ширину b, то в формулу (9.12) вводят поправочный коэффициент F l , b 
K I   l  F l , b  .
(9.13)
Проведенные Ж. Ирвином и др. (1958 г.) экспериментальные исследования, в
ходе которых рассматривали различные длины трещин, замеряли разрушающее
напряжение  c , а затем по формуле
K IC   C l  F l , b 
(9.14)
определяли значение коэффициента интенсивности разрушения KIC, показали,
что величина этого коэффициента не зависит от длины трещины, а является
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
237
постоянной для материала. Это совпадает с результатом (9.7), полученным на
1
2
основе энергетического подхода. Размерность коэффициента KIC МПа · м или

3
2
Н / м . Если для материала найдено значение KIC то, при известной полудлине
трещины lc, можно легко определить разрушающее напряжение
с 
K IC
.
lc  F l0b 
(9.15)
Эта формула объясняет различное поведение трещины: либо устойчивое равновесие, либо лавинообразное распространение. На рис. 9.6 показана кривая
критического разрушения, построенная по формуле (9.15).
Пусть имеется трещина длиной 2l0 и действует напряжение  0 такое, что
отвечающая им точка А0 в осях , l лежит ниже кривой разрушения. Тогда любые случайные вариации в напряжении  или в длине трещины l не вызовут
прогрессирующего роста трещин.


1
0
A1
A0
A2
l0 l
Кривая
разрушения
l
Рис. 9.6
Иное дело, если напряжение вырастет до значения  1 ; соответствующая
точка А1 (либо точка А2 в результате подрастания длины трещины) окажется на
кривой разрушения либо близко к ней. В этом случае равновесие неустойчиво
и даже малые вариации  или  l приводят к мгновенному росту трещины и,
следовательно, к разрушению.
Отметим, что условия разрушения по Гриффитсу
G  Gc  2
и (9.10) являются эквивалентными.
Приведенная методика эффективна для расчета хрупких материалов, т.е.
в том случае, если размеры пластической области, возникающей у вершины
трещины достаточно малы, по сравнению с длиной трещины.
ГЛАВА 9
238
9.4. МЕХАНИКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
В природе не существует идеально упругих материалов. Поэтому вблизи
вершины трещины материал непременно переходит в пластическое состояние.
Для трещины I типа в пластине из упругопластического материала это означает, что более близкое к действительному распределение напряжений изображается кривыми 2 и 3, а не кривой 1, отвечающей упругому случаю (рис. 9.7).
y
y
A
1
3
k T
2
Б
l
r1
x
r2
l*
Рис. 9.7
 T – предел текучести материала при растяжении. Из условия равновесия в
направлении оси y следует, что кривая 2 получается из кривой 1 путем переноса на расстояние r2:
r1
 KI

 k T dx  k T r2 .

 2x

0

(9.16)
Левая часть равенства (9.16) А отвечает правой его части Б. Здесь r1 – расстояние от устья трещины до точки пересечения кривой 1 и прямой 3, определяемое по формуле
KI
 k T
2r1
Подставляя (9.17) в (9.16) получим
1
или r1 
2
2
 KI 

 .
k

 T
(9.17)
r2  r1  r .
Для случая плоского напряженного состояния (тонкая пластинка) k = 1.
Для плоской деформации по Ирвину k  3 . Последнее подтверждается экспериментальными измерениями длины зоны пластического течения 2r, которая
в толстых пластинах заметно меньше. Таким образом, длина пластической зоны c = 2r
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
239
 1  K 2
  I   для тонких пластин,
  
c    T 2
 1  K I 
 3     для толстых пластин.
  T
(9.18)
Параметр с носит название поправки Ирвина на пластичность. Вводя более
длинную трещину l   l  c , можно использовать решения линейной механики
разрушения. Этот подход применим для мало-масштабной пластичности, когда
с составляет не больше 20% от l.
Во многих практических приложениях размеры пластической зоны у
вершины трещины становятся настолько большими, что предположение о малости эффекта текучести уже несправедливо и линейной теорией упругости
пользоваться нельзя. В тонкостенных элементах современных кораблей, мостов, сосудов высокого давления, строительных и машиностроительных конструкций используется большое количество сталей с малыми и средними по
величине пределами прочности, так что условия плоского деформированного
состояния в вершинах трещин, как правило, не выполняются. Применить в таких случаях методы механики линейно-упругого разрушения и использовать в
критериях прочности величину K IC уже нельзя. Попытки распространить идеи
механики разрушения на случай упругопластического деформирования привели к созданию некоторых подающих надежды методов, среди которых: методы
перемещения раскрытия трещины, методы R – кривых и методы J – интеграла.
9.5. СТРАГИВАНИЕ И РОСТ ТРЕЩИНЫ
Линейная механика разрушения как аппарат для предсказания начала
разрушения представляет собой наиболее полезный раздел теории разрушения.
Имеются обоснованные экспериментальные методики, данные о свойствах
конкретных материалов, позволяющие давать оценки их пригодности.
Как уже отмечалось, важнейшей характеристикой (константой) трещиностойкости материала является коэффициент KIC – критический коэффициент
интенсивности напряжений. В литературе имеются данные о KIC, в частности
для сталей и сплавов, пластиков.
Пусть выполненная из стали пластина имеет начальную трещину длиною
2l, перпендикулярную к направлению растяжения и проходящую насквозь через образец.
Длина l мала по сравнению с шириной пластины, а по сравнению с тол1
м2

3
2
щиной велика. Задано K IC  40 МПа 
 40 МН  м ;  Т  620 МПа ;   =
200 МПа. Требуется определить начальную длину трещины l, при которой она
страгивается и растет
ГЛАВА 9
240
2
1K 
1  40 
l   IC  

  0,013 м  1,3 см .
     3,14  200 
2

2l

Рис. 9.8
Для применимости ЛМР должно выполнятся неравенство
2
K 
l  2,5 IC  .
 T 
(9.19)
Сравнивая
2
2
K 
1K 
l   IC   2,5 IC  ,
   
 T 
получим
 
T
2,5
 0,3357 T  221.
В рассматриваемой задаче   не должны превосходить 221МПа, что выпол2
1  40 
нено. Размеры зоны пластического течения c 

  0,0013, что со3,14  620 
ставляет 0,1l.
Приведенный, очень простой пример показывает возможность разрушения конструкции при действии весьма низких напряжений    0,32  Т . Очевидно также и практическая направленность методов механики разрушения,
связанная с решением проблемы выбора материала, проектированием и эксплуатацией конструкций, обеспечением их надежности и работоспособности:
1. Введение норм приемки, основанных на установлении максимума размеров зоны дефекта (начальных трещин) для оценки пригодности конструкций для эксплуатации.
2. Обоснование режимов дефектоскопического контроля при оценке качества объекта.
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
241
9.6. РАЗРУШЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВАМИ ПЛАСТИЧНОСТИ И
ПОЛЗУЧЕСТИ
Если материал не является линейно-упругим, а обладает свойствами пластичности и ползучести, то появляются ограничения, связанные с использованием коэффициента интенсивности напряжений. Одним из параметров, учитывающих вязкость таких материалов, является J-интеграл. Райс определил Jинтеграл в виде следующей зависимости (рис. 9.1):
y
d
T
u

В
x
А
Г
Рис. 9.10
Рис. 9.9
u 

J  Wdy  T ds  ,
x 


(9.20)
где W – плотность энергии деформации в точке тела x, y; T – вектор поверхностной силы, направленный по внешней нормали к контуру Г; u – вектор перемещения.
J-интеграл характеризует степень освобождения потенциальной энергии
для упругих и неупругих тел при их деформировании. Если обозначить через U
потенциальную энергию, а через l – длину трещины, на основе зависимости
(9.20) можно записать
J 
U
.
l
(9.21)
Как для упругих, так и вязких тел важной характеристикой J-интеграла является его независимость от пути. Это означает, что J-интеграл имеет постоянное
значение, не зависящее от выбора контура Г, который как можно видеть из рис.
8.13, охватывает вершину трещины, проходя от нижней кромки трещины А к
верхней – В.
Для линейно упругих тел и мало масштабной текучести, когда размер
пластической зоны d (рис.9.2) перед кончиком трещины мал по сравнению с
длиной трещины, степень освобождения потенциальной энергии представляет
собой G, то есть
(9.22)
GI  J I .
ГЛАВА 9
242
Приведенные ниже зависимости указывают также на возможность применения критерия (9.10) линейной механики разрушения к расчету тел, выполненных из упруго-ползучего материала.
Принцип Вольтерра, изложенный в п. 8.4, применим в общем случае к
задачам, где тип краевых условий остается во времени неизменным. Исключением является задача о росте трещины.
Для неподвижной трещины нормального отрыва решение плоской задачи
теории упругости (8.11) для тел, обладающих ползучестью и старением можно
представить так

3 

1

sin
sin

2
2
 x t 



3 

 K I t 
cos 1  sin sin  ,
 y t  
2
2
2
2

r
 t 

3

xy


 sin cos


2
2 
 
 
cos  n  1  2 sin 2 

u t  1   
2 
1  K  K I  r  2 
 
.






v
t
E
2

2
 
sin  n  1  2 cos 
 2 
2 
1
Выражение 1  K  K I в развернутом виде таково
E
t


1 


K I t  
K I t   E t  K t , K I  d  .
E t  

t0



(9.23)
(9.24)
(9.25)
Из этих формул вытекает, что критическое значение коэффициента интенсив
t  изменяется во времени и зависит, по крайней мере,
ности напряжений K IC
от возраста материала.
Методы механики разрушения позволяют решать важные для практики
задачи. Ю. В. Зайцев, на основе разработанной им методики квазихрупкого
разрушения, учитывающей структуру и ползучесть материала, получил следующую формулу для определения относительной длительной прочности бетона
при осевом сжатии или растяжении
  t , t0  
mt , t0 Rt 
Rt0 
1
E t 
 C t , t0 E t 
E t0 
.
(9.26)
Формула (9.26) выражает длительную прочность в момент времени t через
кратковременную прочность R(t), модули упругомгновенных деформаций E(t)
и E(t0) и меру ползучести C(t, t0). Из формулы видно, что рост со временем
подкоренного выражения уменьшает   t ,t0  , тогда как рост множителя
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ
243
Rt  Rt0  дает противоположный эффект. Функция mt ,t0  отражает влияние
предшествующего длительного нагружения на кратковременную прочность.
Таким образом, характер снижения длительной прочности зависит от темпа
нарастания кратковременной прочности и степени ползучести. Если ползучесть
выражена слабо, то и снижение длительной прочности невелико. При загружении бетона в достаточно зрелом возрасте t0  90 сут. mt ,t0  =1. Для старого
бетона, при t0  360 сут. Rt   Rt0 , Et   Et0  и
  t , t0  
1
1   t , t0 
При  t , t0   0,5  t , t0   0,815, что согласуется с опытными данными.