Домашнее задание № 1 в формате PDF

Ñòðàíè÷êà ñåìèíàðà â èíòåðíåòå:
http://gasdyn-ipm.ipmnet.ru/∼izmod/mss-2k/
Äîìàøíåå çàäàíèå 1. Ñðîê ñäà÷è 16 ôåâðàëÿ 2010 ãîäà
1
Ëàãðàíæåâî è ýéëåðîâî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ
Ïîäõîä Ëàãðàíæà.
Îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ îòäåëüíûå ÷àñòèöû
ñïëîøíîé ñðåäû, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ìàòåðèàëüíûå ÷àñòèöû, ñïëîøíûì îáðàçîì çàïîëíÿþùèå íåêîòîðûé äâèæóùèéñÿ îáúåì, çàíÿòûé ñïëîøíîé ñðåäîé (æèäêèé îáúåì). Èçó÷åíèå ñîñòîèò 1) â èññëåäîâàíèè èçìåíåíèé, êîòîðûå ïðåòåðïåâàþò ðàçëè÷íûå âåêòîðíûå è ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå äâèæåíèå íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ÷àñòèöû
æèäêîãî îáúåìà (íàïðèìåð, ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü, òåìïåðàòóðà, è ò.ä.) â
çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè; 2) â èññëåäîâàíèè èçìåíåíèé òåõ æå âåëè÷èí
ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÷àñòèöû æèäêîãî îáúåìà ê äðóãîé.
Ïîäõîä Ýéëåðà.
Îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ íå ñàìà æèäêîñòü, à
íåïîäâèæíîå ïðîñòðàíñòâî (èëè åãî ôèêñèðîâàííàÿ ÷àñòü), çàïîëíåííîå
äâèæóùåéñÿ æèäêîñòüþ, è èçó÷àåòñÿ: 1) èçìåíåíèå ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, è 2) èçìåíåíèå ýòèõ ïàðàìåòðîâ ïðè ïåðåõîäå ê äðóãèì òî÷êàì ïðîñòðàíñòâà.
Ïóñòü ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû
ëåðîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò
(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) è ââåäåíà íåïîäâèæíàÿ ýé(x1 , x2 , x3 ), òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ ñïëîøíîé
ñðåäû îïèñûâàåòñÿ
(1)
xi = fi (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t), i = 1, 2, 3.
Çàäà÷è
1.1. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ëàãðàíæåâà è ýéëåðîâà ïîäõîäîâ.
Ðåøåíèå.
Ïåðåõîä îò ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà ê ïåðåìåííûì Ýéëåðà
ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïðè ïîìîùè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (1), êîòîðûå
äîëæíû èìåòü îäíîçíà÷íûå ðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî ξ1 , ξ2 , ξ3 :
(2)
ξi = φi (x1 , x2 , x3 , t), i = 1, 2, 3,
òàê êàê äâà ïîëîæåíèÿ æèäêîãî îáúåìà â ìîìåíòû t0 è t ñâÿçàíû âçàèìîD(x1 ,x2 ,x3 )
îäíîçíà÷íûì òî÷å÷íûì ñîîòâåòñòâèåì, è îïðåäåëèòåëü D(ξ ,ξ ,ξ )
1 2 3
1
̸= 0.
Äëÿ âñÿêîé âåëè÷èíû À, ëàãðàíæåâî îïèñàíèå êîòîðîé A(ξ1 , ξ2 , ξ3 , t)èçâåñòíî,
ýéëåðîâî îïèñàíèå íàõîäèòñÿ, êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ
À(
φ1 (x1 , x2 , x3 ), φ2 (x1 , x2 , x3 ), φ3 (x1 , x2 , x3 ), t).
×òîáû ïåðåéòè îò ýéëåðîâà îïèñàíèÿ ê ëàãðàíæåâó, íàõîäÿò ðåøåíèå
ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèô. óðàâíåíèé
dxi
= vi (x1 , x2 , x3 , t), i = 1, 2, 3,
dt
óäîâëåòâîðÿþùèõ íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
xi |t=0 = ξi , i = 1, 2, 3,.
Ýòî ðåøå-
íèå è åñòü çàêîí äâèæåíèÿ, à (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) è åñòü ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû
÷àñòèö.
1.2 Äâèæåíèå ñðåäû ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó
t
t
t2
x1 = ξ1 (1 + ), x2 = ξ2 (1 + 2 ), x3 = ξ3 (1 + 2 ), τ = const
τ
τ
τ
a) Íàéòè ïîëÿ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ â ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè, á) Ãäå
íàõîäèòñÿ â ìîìåíò
t = 3τ
÷àñòèöà, êîòîðàÿ â ìîìåíò
t=τ
íàõîäèëàñü
â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ êîîðäèíàòàìè (a, b, c)?
Ðåøåíèå.
 ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè
⃗v =
∂⃗r(ξ1 , ξ2 , ξ3 , t)
∂t
∂⃗v (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t)
.
∂t
v1 = ξ1 /τ , v2 = 2ξ2 /τ , v3 = 2ξ3 t/τ 2 , a1 = a2 = 0, a3 =
⃗a =
Ñëåäîâàòåëüíî,
2ξ3 /τ 2 .
b) Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîîðäèíàòû òî÷êè â ìîìåíò
t = τ,
íàõîäèì åå ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû (a/2, b/3, c/2). Çàòåì, èç
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íàõîäèì, ÷òî â ìîìåíò
t = 3τ
÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â
òî÷êå (2à, 7b/3, 5c).
1.3 Ââåñòè ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû è íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñïëîøíîé ñðåäû, ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè, åñëè
√ ïîëå ñêîðîñòè èìååò âèä
a)
á)
â)
Q(t) x
x1
, v2 = 2π r22 , v3 = 0, r =
v1 = Q(t)
x21 + x22 , Q(t) > 0
2π r2
√
xi
vi = Q(t)
, i=1,2,3, R =
x21 + x22 + x23 , Q(t) > 0.
4π R3
v1 = −Ax1 , v2 = Bx2 , v3 = 0, A=const >0, B=const>0.
Ðåøåíèå.
2
à)Çàêîí äâèæåíèÿ ìîæíî íàéòè ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîëå ñêîðîñòè
dx1
Q(t) x1 dx2
Q(t) x2 dx3
=
,
=
,
= 0,
2
dt
2π r dt
2π r2 dt
Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà
x1 ,
âòîðîå óðàâíåíèå íà
x2
è
ñëîæèì ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ. Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïîëó÷èì
∫
x21
+
x22
t
=
0
Q(t)
dt + r02
π
êîíñòàíòó èíòåãðèðîâàíèÿ îáîçíà÷èëè êàê r02 . Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â äèô. óðàâíåíèå íà x1 è ðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïîëó÷èì
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:
√
x1 = C2 r, x2 = r
√∫
t
1 − C22 , x3 = C3 , r =
0
Q(t)
dt + r02
π
Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò êîîðäèíàòû ÷àñòèö (ξ1 , ξ2 , ξ3 )
â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0 ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîíñòàíò èíòåãðèðîâà= +
C2 = ξ1 /r0 , C3 = ξ3 . Èìååì,
√∫
√
t
rξ2
Q(t)
rξ1
, x2 =
, x3 = ξ 3 , r =
dt + r02 , r0 = ξ12 + ξ22 .
x1 =
r0
r0
π
0
íèÿ: r02
ξ12
ξ22 ,
Äâèæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøåìñÿ, òðàåêòîðèè ëåæàò â ïëîñêîñòè
x3 = ξ3 .
x2 /ξ2
 ýòîé ïëîñêîñòè òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
x1 /ξ1 =
Óðàâíåíèÿ ëèíèé òîêà èìåþò âèä:
dx1
dx2
dx3
=
=
v1
v2
v3
Ëèíèè òîêà ëåæàò â ïëîñêîñòè
x3 = const
è èìåþò âèä
x1 = cx2 ,
ãäå
ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç êîîðäèíàòû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
ξ1 /ξ2 .
c
c=
Òî åñòü ëèíèè òîêà ñîâïàäàþò ñ òðàåêòîðèÿìè.
á), â) Àíàëîãè÷íî à)
1.4 Äâèæåíèå ñðåäû ïðîèñõîäèò òàê, ÷òî òðàåêòîðèè âñåõ ÷àñòèö ëåæàò íà ëó÷àõ, èñõîäÿùèõ èç òî÷êè Î, à âåëè÷èíà ñêîðîñòè
ñðåäû
ρ
çàâèñÿò òîëüêî îò ìîìåíòà
3
t
è ðàññòîÿíèÿ
r
v
è ïëîòíîñòü
äî òî÷êè Î. Ïðè
èçó÷åíèè òàêîãî (ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî) äâèæåíèÿ â êà÷åñòâå îäíîé èç ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò
ξ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷àñòî èñïîëüçóþò
âåëè÷èíó ìàññû ñðåäû, êîòîðàÿ çàêëþ÷åíà â ìîìåíò âðåìåíè t=0 âíóòðè ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó ñôåðû ñ öåíòðîì â òî÷êå Î. Ïîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëàãðàíæåâîé êîîðäèíàòû
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â
ξ
ìîìåíò âðåìåíè t íà ðàññòîÿíèè r îò òî÷êè Î, ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå
∫
r
4πR2 ρ(R, t)dR
ξ=
0
Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè âåëè÷èíà ñêîðîñòè è ïëîòíîñòü
ñðåäû çàâèñÿò òîëüêî îò
ρ̃(ξ, t),
ξ è t. Íàéòè óðàâíåíèå äëÿ ýòèõ ôóíêöèé ṽ(ξ, t),
r(ξ, t). Èñêîìîå óðàâíåíèå ìîæíî
ñîäåðæàùèå òàêæå ôóíêöèþ
íàéòè ïðåîáðàçîâàâ óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè â ýéëåðîâîì îïèñàíèè:
∂ρ
∂ρ
∂v
ρv
+v
+ρ
+2 =0
∂t
∂r
∂r
r
Ðåøåíèå.
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ëàãðàíæåâà êîîðäèíàòà
òî÷êè, êîòîðàÿ èìååò êîîðäèíàòó
∫
âèåì:
â ìîìåíò
r0
t = 0,
ξ
ìàòåðèàëüíîé
îïðåäåëÿåòñÿ óñëî-
r0
ξ=
4πρ(R, 0)dR
0
Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè
t
ýòà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåøëà â òî÷êó
r,
ìàññà ñïëîøíîé ñðåäû ëåæàùåé âíóòðè ñôåðû, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà âûäåëåííîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé ïðè ýòîì ñîõðàíèòñÿ:
∫
∫
r
r0
4πρ(R, t)dR =
0
(3)
4πρ(R, 0)dR = ξ.
0
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ëàãðàíæåâà êîîðäèíàòà ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â ìîìåíò âðåìåíè
t íà ðàññòîÿíèè r, ðàâíà ìàññå ñðår ñôåðû. Òàê êàê
äû, êîòîðàÿ çàêëþ÷åíà âíóòðè ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
ρ(r, t)
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî ïðàâàÿ ÷àñòü (3) ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòà-
þùåé ôóíêöèåé
r
â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t. Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàùàÿ
ýòó ôóíêöèþ ìîæíî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ
r = r(ξ, t).
Îòñþäà, òàê êàê
â Ýéëåðîâîì îïèñàíèè ñêîðîñòü è ïëîòíîñòü ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè òîëüêî
r
è t, ïîëó÷àåì, ÷òî
ṽ(ξ, t) = v(r(ξ, t), t), ρ̃(ξ, t) = ρ(r(ξ, t), t).
×òîáû
∂A
∂A
ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ ýòèõ ôóíêöèé, ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ∂r è ∂ξ :
(
∂A(r(ξ, t), t)
∂ξ
)
t
4
∂r
=
∂ξ
(
∂A
∂r
)
.
t
Tàê êàê
dr =
∂r
∂r
dξ + dt
∂ξ
∂t
è â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (3)
dξ = 4πr2 ρ(r, t)dr
Ïîëó÷àåì, ÷òî
1
∂r
=
∂ξ
4πr2 ρ
Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè â ýéëåðîâîì îïèñàíèè ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå:
Ïåðåõîäÿ îò ïðîèçâîäíîé
∂ρr2 ∂ρvr2
+
=0
∂t
∂r
ïî r ê ïðîèçâîäíîé
ïî
ξ
ïîëó÷èì:
∂ ρ̃
∂ ρ̃ṽr2
+ 4π ρ̃
= 0.
∂t
∂ξ
Çäåñü
ρ̃(ξ, t) = ρ(r(ξ, t), t), ṽ(ξ, t) = v(r(ξ, t), t).
Çàäà÷à 1.5
Äâèæåíèå ñðåäû ïðîèñõîäèò ñ ïîëåì ñêîðîñòè
v1 (x, t) = at, v2 (x, t) = −u
x2
, v3 (x, t) = 0, a, u = const
x1
è ïîëåì òåìïåðàòóðû
T = T0 (1 +
Íàéòè â ìîìåíò
t=τ
t2
R2
)(1
+
), T0 , τ, R = const.
τ2
x21 + x22
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â èíäèâèäóàëü-
íîé ÷àñòèöå, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ êîîðäèíàòàìè
x1 =
Ðåøåíèå.
u2
u2
u2
, x2 = 2 , x3 = 3 .
a
a
a
Ïî óñëîâèÿì çàäà÷è ïîëå òåìïåðàòóðû çàäàíî â ýéëåðîâûõ
êîîðäèíàòàõ. ×òîáû íàéòè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â èíäèâèäóàëüíîé ÷àñòèöå âîñïîëüçóåìñÿ ïåðåõîäîì ê ëàãðàíæåâûì êîîðäèíàòàì
∂ ⃗
∂T (⃗x, t) ∑ ∂T (⃗x, t) ∂xi
∂ ⃗
T (ξ, t) = T (ξ(⃗
x, t)) =
+
∂t
∂t
∂t
∂xi ∂t
i
Îòâåò:
2T0
R2 a2
4T0 R2 a3
∂ ⃗
T (ξ) =
(1 +
)
+
(4u − τ a)
∂t
τ
5u4
25u6
5