Раздел VI. Глоссарий

Раздел VI. Глоссарий
Матрица. Совокупность
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы,
содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности
Определитель матрицы. Определителем квадратной матрицы A n-го порядка из n
называется алгебраическая сумма n! членов; каждый член есть произведение n элементов,
взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знак
члена равен (¡1)t; где t – число инверсий во вторых индексах, когда элементы члена
расположены в порядке возрастания первых индексов.
Минор матрицы. Минором Mij элемента aij определителя матрицы A называется
такой новый определитель, который получается из A вычеркиванием строки и столбца,
проходящих через данный элемент.
Ранг матрицы. Наивысший порядок r отличных от нуля миноров матрицы A
называется рангом этой матрицы.
Обратная матрица. Для невырожденной квадратной матрицы A существует
единственная обратная матрица А -1, удовлетворяющая условию: A £ A¡1 = E , где
–
единичная матрица.
Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными:
8
a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1n xn = b1
>
>
<
a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2n xn = b2
:::
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + ¢ ¢ ¢ + amn xn = bm ;
где aij – коэффициенты, bj – свободные члены, называется системой линейных
уравнений.
Предел последовательности. Число А называется пределом limn!1 an заданной
числовой последовательности fan g, если для любого заданного сколь угодно малого
положительного числа ² > 0 существует число N > 0 такое, что для любого n > N будет
выполняться следующее неравенство: jan ¡ Aj < ².
Предел функции. Число А называется пределом заданной функции limx!x0 f(x), если
для любого заданного сколь угодно малого положительного числа ² > 0 существует такая
окрестность точки x0 ±(x0 ; ²) > 0, что для любого x 2 ±(x0; ²) будет выполняться
следующее неравенство: jf (x) ¡ Aj < ².
Непрерывность функции. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если
точка x0 принадлежит области определения функции и существует limx!x0 f(x) = f (x0 ).
Производная функции. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в
окрестности точки x0, тогда, если существует конечный lim¢x!0
¢f (x)
¢x
= y , то этот предел
называется производной функции f(x) в точке x0.
Производная сложной функции. Пусть имеется сложная функция y = f('(±)), тогда
dy
dy d'(±)
.
=
¢
dx
du
dx
Необходимые условия существования экстремума в точке x0 y0 (x0 ) = 0
Достаточные условия существования экстремумов в точке х 0. Если y00(x0 ) > 0, то в
точке x0 – min; если y00(x0 ) < 0, то в точке x0 – max.
Асимптота – это прямая, к которой неограниченно приближается заданная функция, но
никогда ее не достигает.
Первообразная. Функция F (x) называется первообразной для функции f(x) в
некотором интервале, если в каждой точке интервала выполняется условие:
dF (x)
= f(x)
dx
Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных на интервале называют
неопределенным интегралом от функции f(x):
Z
f (x) dx = F (x) + C
Событие. Результат опыта или наблюдения в теории вероятности называется
событием.
Вероятность. Вероятность события A равна числу m элементарных событий,
входящих в A, деленному на число всех элементарных событий n , т.е. p(A) = m
n.
Случайная величина Х – величина, которая принимает в результате испытания то или
иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и
зависящее от случайных обстоятельств.
Закон распределения вероятности – всякое соответствие между возможными
значениями случайной величины Х и соответствующими им вероятностями.
Математическое ожидание – это некоторое среднее значение, около которого
сосредоточены все возможные значения случайной величины Х.
Дисперсия – это математическое ожидание от квадрата отклонения случайной
величины Х от ее математического ожидания.
Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – это квадратный корень
из дисперсии.
Частостью или относительной частотой варианты wx называется величина,
определяемая как доля ее в сумме всех частот:
³X
´
mx
mx = n : wx = P
mx
Интервальным вариационным рядом называется таблица, позволяющая судить о
распределении частот (частостей) между интервалами варьирования значений признака,
Полигон – графическое изображение вариационного ряда в прямоугольной системе
координат, при котором величины признака x откладываются на оси абсцисс, а
соответствующие им частоты m (частости w) – на оси ординат, полученные точки
соединяются отрезками прямой.
Гистограмма – графическое изображение вариационного ряда в прямоугольной
системе координат, при котором на оси абсцисс откладываются отрезки, изображающие
интервалы варьирования, и, как на основании, строят прямоугольники с высотами
равными частотам (частостям) соответствующего интервала.
Статистическая оценка параметров распределения – совокупность методов,
позволяющих делать научно обоснованные выводы о числовых параметрах распределения
генеральной совокупности по случайной выборке из нее.
Всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдений над случайной
величиной X , с помощью которой судят о значении параметра µ, называют оценкой
параметра µ – µ~n = f(X1; X2 ; : : : Xm ) где X1 ; X2 ; : : : Xm
– случайные величины, и µ~n –
также случайная величина.
Доверительным интервалом [µ~n1 ; µ~n2] для параметра µ называется такой интервал,
относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью P = 1 ¡ ®, близкой к
единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра µ, т. е.
P [µ~n1 < µ < µ~n2 ] = 1 ¡ ®.
Решение принимается по значению некоторой функции выборки, называемой
статистикой. Множество значений этой статистики делится на два непересекающихся
подмножества:
–
подмножество
значений
статистики,
при
которых
основная
гипотеза
H0
принимается,- называется областью принятия гипотезы (допустимой областью).
– подмножество значений статистики, при которых основная гипотеза H0 отвергается и
принимается альтернативная гипотеза H1 – называют критической областью.
Допустимая вероятность ошибки 1 рода обозначается через ® и называется уровнем
значимости.
Вопросы к зачету
1. Понятие матрицы m ´ n. Действия над матрицами и их свойства.
2. Умножение матриц.
3. Транспонирование матриц.
4. Понятие определителя n-го порядка.
5. Свойства определителей и методы их вычислений.
6. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема о вычислении определителя через
алгебраические дополнения.
7. Обратная матрица.
8. Ранг матрицы.
9. Понятие о системе линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи
системы уравнений.
10.
Теорема
Кронекера-Капелли
о
необходимых
и
достаточных
условиях
существования решений системы линейных алгебраических уравнений.
11. Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
12. Теорема Крамера о решении системы линейных уравнений.
13. Метод Гаусса.
14. Предел последовательности. Сходимость.
15. Свойства сходящихся последовательностей.
16. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.
17. Непрерывность функции в точке.
18. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями
19. Разрывы функций. Классификация разрывов.
20. Производная функции. Геометрический, физический и экономический смысл
производной.
21. Свойства производной. Таблица производных.
22. Производная от сложной функции.
23. Производная от функции, заданной в неявном виде.
24. Логарифмическая производная.
25. Дифференциал функции и его свойства.
26. Производные и дифференциалы высших порядков.
27. Формула Лейбница.
28. Формулы Тейлора и Маклорена.
29. Правило Лопиталя.
30. Основные теоремы дифференциального исчисления.
31. Экстремум функции. Точки перегиба. Асимптоты.
32. Правила исследования функций.
Вопросы к экзамену
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства интеграла.
2. Непосредственное интегрирование.
3. Метод подстановки.
4. Метод интегрирования по частям.
5. Интеграл, содержащий квадратный трехчлен.
6. Интегрирование рациональных дробей.
7. Интегрирование простейших иррациональностей.
8. Интегрирование тригонометрических функций.
9. Понятие определенного интеграла.
10. Основные свойства определенного интеграла.
11. Основные условия интегрируемости функций.
12. Формула Ньютона-Лейбница.
13. Замена переменной в определенном интеграле.
14. Вычисление определенного интеграла по частям.
15. Приложение определенного интеграла
16. Несобственные интегралы.
17. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения
дифференциального уравнения.
18.
Теорема
существования
и
единственности
решения
дифференциального уравнения. Теорема Коши.
19. Уравнения с разделяющимися переменными.
20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
21.Теория соединений. Перестановки, размещения, сочетания.
22. Случайное событие. Алгебра событий.
23. Вероятность и вероятностное пространство.
24. Свойства вероятности.
25. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
обыкновенного
26. Случайные величины. Дискретные и непрерывные.
27. Построение математической модели случайной величины.
28.
Закон
распределения
вероятностей,
плотность
распределения.
Функция
распределения.
29. Характеристики положения случайной величины. Математическое ожидание.
Свойства.
30. Характеристики рассеяния случайной величины. Дисперсия. Свойства. Среднее
квадратичное отклонение.
31. Нормальное распределение и его основные свойства.
32. Корреляционная зависимость случайных величин. Коэффициент корреляции.
33. Предельные теоремы теории вероятности.
34. Статистическая совокупность: выборочная и генеральная.
35. Первичная обработка данных. Вариационный ряд.
36. Построение эмпирической модели случайной величины.
37.Эмпирический закон и функция распределения.
38. Графическое представление вариационных рядов.
39. Средняя арифметическая. Свойства.
40. Выборочная дисперсия. Свойства. Выборочное среднее квадратичное отклонение.
41. Статистическая оценка параметров распределения.
42. Точечная оценка параметров и ее свойства.
43. Интервальная оценка параметров.
44. Построение доверительных интервалов для средней генеральной совокупности.
45. Построение доверительных интервалов для дисперсии нормальной совокупности.
46. Постановка задачи о проверке статистических гипотез.
47. Статистический критерий. Критическая область.
48. Общая схема проверки статистических гипотез.
49. Проверка гипотезы о средней генеральной совокупности.
50. Проверка гипотезы о дисперсии генеральной совокупности.
51. Критерий согласия.
Примеры тестовых заданий
1. Производная произведения x ¢ ex
a) ex; b) x2 ¢ ex; c) ex ¢ (1 + x).
2. Из слова ШКАТУЛКА выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что
это гласная ?
а) 1; b) 38 ; c) 32 ; d) 18 ; e) 12 ;
3. На рис. изображен график производной функции у = f (x ), заданной на отрезке
[1,
9 ] . Тогда точкой максимума этой функции является
а) 2 ; b)
2
; c) 4; d)нет экстремумов; e) 1 ;
3
4. Множество первообразных функции y = f(x) = cos(3x) имеет вид:
а) 3 ¢ cos(x); b) 3 ¢ sin(x); c) 13 ¢cos(3x); d) 31 ¢sin(3x); e) 31 ¢sin(x)
5. Вычислить: limx!0 sin7x5x
1
а) 15 ; b) 57 ; c) 57 ; d) 35
; e) 1;
6. Пространство элементарных событий.
а) полная группа событий - это объединение несовместных и независимых
событий;
b) объединение попарно несовместных событий называют полной группой
событий;
c) события, объединение которых есть достоверное событие, называют полной
группой событий;
d)
события образуют полную группу, если они попарно несовместны, а их
объединение является достоверным событием.
2 3
·
¸
34
1
2
1
7) . Найти A £ B , если A = 42 15, B =
301
33
2
3
·
¸
·
¸
15 6 7
967
1
2
1
а)
; b)4 5 4 35; c)
; d)нет произведения; e) 0 ;
346
301
12 6 6
¯ ¯
¯4 1¯
8) Определитель ¯¯ ¯¯ ; равен
9 5
а) 29 ; b) 0 ; c)1 ; d)19; e) 11 ;
9) Необходимое условие существования точек перегиба функции y = f(x)?
а) f 0(x) = 0; b) f(x) = 0; c) f 00 (x) = 0; d) f 0(x) = 1;
10) Что понимают под доверительным интервалом?
a) доверительный интервал есть интервал со случайными границами, где с заданной
доверительной вероятностью находится неизвестный параметр;
b) доверительный интервал есть интервал, в который попадает случайный параметр;
c) доверительный интервал есть интервал со случайными границами, куда попадает
точечная оценка параметра.
11) Какие случайные величины называют независимыми ?
a) случайные величины, совместная функция распределения представляется в виде
суммы одномерных функций распределения;
b) случайные величины, для которых совместная функция распределения может
быть представлена в виде произведения одномерных функций распределения;
c) случайные величины, которые некоррелированы;
d) случайные величины, которые не имеют совместной функции распределния.
12) Какое из утверждений является лишним:
Пусть limx!x0f1(x) = A1 и limx!x0f2(x) = A2, тогда
1. limx!x0(f1 (x) § f2 (x)) = A1 § A2;
2. limx!x0(f1 (x) ¢ f2 (x)) = A1 ¢ A2;
3. если m – действительное число, то limx!x0(mf1(x)) = mA1;
f1 (x)
4. если A2 6= 0, f2(x) 6= 0, то limx!x0 f (x)
2
а) 4 ; b) 2 ; c) 3; d) 1; e) нет лишних ;
12. Формула интегрирования по частям?
=
A1
A2 .
R
R
R
R
R
R
R
R
а) udv = vdu; b) udv = uv ¡ vdu; c) udv = udv + vdu; d) udv = u ¡ vdu;
R
R
e) udv = udv ¡ vdu;
13. Асимптота – это?
а) прямая, которая пересекается с заданной функцией;
b) прямая, к которой приближается заданная функция;
c) прямая, к которой неограниченно приближается заданная функция, но никогда ее не
достигает.
14. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0,
а) если точка x0 принадлежит области определения функции и
limx!x0f(x) = f (x0 );
b) если в точке x0 существует limx!x0f(x) = f (x0 );
c) если в точке x0 limx!x0 +0f(x) = f (x0 );
d) если в точке x0 limx!x0 ¡0f(x) = f (x0 );
e) если в точке x0 существует limx!x0f(x) = f (x0 ) = 0.
15. Вычислить
R1 p
5
0
2 ¡ xdx
p
p
p
p
а) 65 (1 ¡ 5 64); b) ¡ 65(1 + 5 64); c) 1 ; d) ¡ 56(1 ¡ 5 64); e) (2 ¡ 6 32)
существует