Задачи заключительного этапа. Разбор. 9

РАЗБОР ЗАДАЧ
2012 – 2013
9-10 классы
Задача 1 (1 балл)
1. Маша читала книгу. Каждый час число прочитанных страниц снижалось на некоторое постоянное число
процентов. Через 3 часа оказалось, что она прочла 231,25% того, что прочла за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество прочитанных страниц?
Ответ: 25
Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда
за второй час будет прочитано
A (100 − x )
2
нение
100
2
+
A (100 − x )
100
A (100 − x )
2
страниц, а за третий час -
1002
. Решив квадратное урав-
A (100 − x )
+ A = 2,3125 A , найдем x =25.
100
2. Ваня при подготовке к контрольной работе по математике решал задачи. Каждый час число решенных
задач снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что он решил 265,44%
того, что решил за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество решённых задач?
Ответ: 12
Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда
за второй час будет прочитано
A (100 − x )
2
нение
100
2
+
A (100 − x )
100
A (100 − x )
100
A (100 − x )
2
страниц, а за третий час -
1002
. Решив квадратное урав-
+ A = 2, 6544 A , найдем x =12.
3. Даша читала книгу. Каждый час число прочитанных страниц снижалось на некоторое постоянное число
процентов. Через 3 часа оказалось, что она прочла 276,64% того, что прочла за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество прочитанных страниц?
Ответ: 8
Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда
за второй час будет прочитано
A (100 − x )
2
нение
100
2
+
A (100 − x )
100
A (100 − x )
100
A (100 − x )
2
страниц, а за третий час -
1002
. Решив квадратное урав-
+ A = 2, 7664 A , найдем x =8.
4. Даня при подготовке к контрольной работе по математике решал задачи. Каждый час число решенных
задач снижалось на некоторое постоянное число процентов. Через 3 часа оказалось, что он решил 257,25%
того, что решил за первый час. На сколько процентов в час снижалось количество решённых задач?
Ответ: 15
Решение. Примем за A количество страниц, прочитанных за первый час, а за x процент снижения. Тогда
за второй час будет прочитано
A (100 − x )
2
нение
100
2
+
A (100 − x )
100
A (100 − x )
2
страниц, а за третий час -
1002
. Решив квадратное урав-
A (100 − x )
+ A = 2,5725 A , найдем x =15.
100
Задача 2 (1 балл)
1. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма
его крайних цифр равна средней цифре. Сколько существует счастливых номеров?
Ответ: 54
Решение. Если первая цифра номера 0, то две другие принимают все значения от 1 до 9. Если первая цифра
изменяется от 1 до 9, то комбинации двух других меняются от 9 до 1. Значит, счастливых номеров будет
9 +1
9+
⋅ 9 = 54.
2
2. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма
всех цифр равна квадрату средней цифры. Сколько существует счастливых номеров?
Ответ: 18
Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение
x + y + z = y 2 ⇔ y 2 − y − ( x + z ) = 0. Дискриминант уравнения D = 1 + 4 x + 4 z = a 2 , так как все переменные –
a2 − 1
. Значит, a 2 = 1; 9; 25; 49. Для каждого значения a 2 подсчитаем число комбина4
ций x и z . Получим соответственно 1; 3; 7; и 7. Их сумма и даст ответ 18.
цифры. Тогда x + z =
3. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма
его крайних цифр равна удвоенной средней цифре. Сколько существует счастливых номеров?
Ответ: 49
Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение
x+z
. Для x = 0 получим 4 комбинации, а далее при всех значениях x от 1 до 9 будем
2
иметь по 5 комбинаций, то есть всего 4 + 9 ⋅ 5 = 49 счастливых номеров.
x + z = 2y ⇔ y =
4. Каждый автомобиль имеет трехзначный номер от 001 до 999. Номер считается счастливым, если сумма
его крайних цифр равна утроенной средней цифре. Сколько существует счастливых номеров?
Ответ: 33
Решение. Если обозначить цифры номера через x, y, z , то будет иметь место соотношение
x+ z
. Для x , не кратных 3, получим по 3 комбинации, а для кратных 3 будем иметь по 4
3
комбинаций, то есть всего 7 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 = 33 счастливых номера.
x + z = 3y ⇔ y =
Задача 3 (1 балл)
1. Богатый меценат приобрел в качестве новогодних подарков 100 телефонов трёх видов на сумму 100 денежек. iPhone стоит 10 денежек, Samsung – 3 денежки, а Nokia – 0,5 денежки. Сколько телефонов каждого
вида он купил?
Ответ: 5; 1; 94
Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество телефонов, то можно составить сис z = 100 − x − y
 x + y + z = 100

⇔ 
тему уравнений 
5 ( 20 − y ) . Число 20 − y должно делиться на 19, поэтому
10
x
+
3
y
+
0,5
z
=
100

x=
19

y = 1; x = 5; z = 94.
2. Художник приобрёл в магазине 50 кистей для рисования трёх видов на 50 денежек. Большая кисть стоила
8 денежек, средняя – 1 денежку, а маленькая - 0,25 денежки. Сколько кистей каждого вида он купил?
Ответ: 3; 19; 28
Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество кистей, то можно составить систему
 z = 50 − x − y
 x + y + z = 50

⇔ 
уравнений 
3 ( 50 − y ) . Число 50 − y должно делиться на 31, поэтому
8
x
+
y
+
0,
25
z
=
50

x =
31

y = 19; x = 3; z = 28.
3. Учитель рисования купил для школы 200 карандашей трёх видов на сумму 200 денежек. Цанговый карандаш стоил 16 денежек, химический – 8 денежек, а простой – 0,5 денежки. Сколько карандашей каждого вида
он купил?
Ответ: 5; 3; 192
Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество карандашей, то можно составить сис z = 200 − x − y
 x + y + z = 2000

⇔ 
тему уравнений 
5 ( 40 − 3 y ) . Число 40 − 3 y должно делиться на 31, поэтому
16 x + 8 y + 0,5 z = 200
x =
31

y = 3; x = 5; z = 192.
4. Мама приобрела для своих детей в магазине 80 тетрадей трёх видов на сумму 80 денежек. Блочная тетрадь стоила 7 денежек, тетрадь для нот – 4 денежки, а обычная тетрадь – 0,25 денежки. Сколько тетрадей
каждого вида она купила?
Ответ: 5; 7; 68
Решение. Если обозначить через x, y, z соответствующее количество тетрадей, то можно составить систе z = 80 − x − y
 x + y + z = 80

⇔ 
му уравнений 
5 (16 − y ) . Число 16 − y должно делиться на 9, поэтому
7
+
4
+
0,
25
=
80
x
y
z

x =
9

y = 7; x = 5; z = 68.
Задача 4 (2 балла)
1. Найти все возможные значения x + y , если известно, что x = ( y − 1)( 4 − y ) .
Ответ: [0;5]
1≤ y ≤ 4

1≤ y ≤ 4



2

Решение. Перепишем соотношение в виде  x + y = − y 2 + 6 y − 4 ⇔   x + y = 5 − ( y − 3) ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 5.




2
2
 x + y = y − 4 y + 4
  x + y = ( y − 2 )
2. Найти все возможные значения x + y , если известно, что y = ( x + 1)( 6 − x ) .
Ответ: [-10;15]
Решение. Перепишем соотношение в виде
−1 ≤ x ≤ 6

−1 ≤ x ≤ 6



2

2
 y + x = − x + 6 x + 6 ⇔   y + x = 15 − ( x − 3) ⇔ − 10 ≤ x + y ≤ 15.


2
2
 y + x = x − 4 x − 6
  x + y = ( x − 2 ) − 10
3. Найти все возможные значения x + y , если известно, что x = ( y − 3)(8 − y ) .
Ответ: [-1;12]
Решение. Перепишем соотношение в виде
3≤ y ≤8

3≤ y ≤8



2

2
 x + y = − y + 12 y − 24 ⇔   x + y = 12 − ( y − 6 ) ⇔ − 1 ≤ x + y ≤ 12.



2
2
 x + y = y − 10 y + 24
  x + y = ( y − 5 ) − 1
4. Найти все возможные значения x + y , если известно, что y = ( x + 2 )( 9 − x ) .
Ответ: [-27;34]
Решение. Перепишем соотношение в виде
−2 ≤ x ≤ 9

−2 ≤ x ≤ 9



2

2
 y + x = − x + 8 x + 18 ⇔  y + x = 34 − ( x − 4 ) ⇔ − 27 ≤ x + y ≤ 34.


2
2
 y + x = x − 6 x − 18
 x + y = ( x − 3) − 27
Задача 5 (2 балла)
1. Натуральное число А имеет 61 разряд и состоит из двоек, троек и четверок. При этом двоек на 19 больше,
чем четверок. Найти остаток от деления числа А на 9.
Ответ: 2
Решение. Пусть x - количество четверок, а y - количество троек. Тогда получаем x + 19 + y + x = 61 , откуда
y = 42 − 2 x . Сумма цифр 2 ( x + 19 ) + 3 y + 4 x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учи-
тывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 164, поэтому остаток при делении на 9 равен 2.
2. Натуральное число А имеет 59 разрядов и состоит из троек, четверок и пятерок. При этом пятерок на 8
больше, чем троек. Найти остаток от деления числа А на 9.
Ответ: 1
Решение. Пусть x - количество троек, а y - количество четверок. Тогда получаем x + y + x + 8 = 59 , откуда
y = 51 − 2 x . Сумма цифр 3 x + 4 y + 5 ( x + 8 ) имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учиты-
вая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 244, поэтому остаток при делении на 9 равен 1.
3. Натуральное число А имеет 67 разрядов и состоит из двоек, троек и четверок. При этом двоек на 22 больше, чем четверок. Найти остаток от деления числа А на 9.
Ответ: 8
Решение. Пусть x - количество четверок, а y - количество троек. Тогда получаем x + 22 + y + x = 67 , откуда
y = 45 − 2 x . Сумма цифр 2 ( x + 22 ) + 3 y + 4 x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Учи-
тывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 179, поэтому остаток при делении на 9 равен 8.
4. Натуральное число А имеет 57 разрядов и состоит из троек, четверок и пятерок. При этом троек на 14
больше, чем пятерок. Найти остаток от деления числа А на 9.
Ответ: 7
Решение. Пусть x - количество пятерок, а y - количество четверок. Тогда получаем x + 14 + y + x = 57 , откуда y = 43 − 2 x . Сумма цифр 3 ( x + 14 ) + 4 y + 5x имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число.
Учитывая связь между x и y , получаем, что сумма цифр равна 214, поэтому остаток при делении на 9 равен 7.
Задача 6 (3 балла)
1. Найти угол B треугольника ABC , если угол C =
π
BC
3 +1
,а
=
.
3
AC
2
π
4
Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что
Ответ:
sin B =
AC ⋅ sin C
AC 2 ⋅ sin 2 C
⇒ sin 2 B =
=
AB
AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C
sin 2 C
.
2
BC
 BC 
1+ 
⋅ cos C
 − 2⋅
AC
 AC 
Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём
3
π
1
2
4
sin 2 B =
= ⇒ sin B =
⇒ угол B = . (Угол B не может быть тупым по за2
2
4
 3 +1 
3 +1 1 2
1 + 
⋅
 − 2 ⋅
2
2
 2 
данному соотношению сторон.)
2. Найти угол B треугольника ABC , если угол C =
2π
BC
3 −1
,а
=
.
3
AC
2
π
4
Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что
Ответ:
sin B =
AC ⋅ sin C
AC 2 ⋅ sin 2 C
⇒ sin 2 B =
=
AB
AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C
sin 2 C
2
BC
 BC 
⋅ cos C
1+ 
 − 2⋅
AC
AC


Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём
3
π
1
2
2
4
sin B =
= ⇒ sin B =
⇒ угол B = .
2
2
2
4
 3 −1 
3 −1 1
1 + 
⋅
 + 2 ⋅
2
2
 2 
3. Найти угол B треугольника ABC , если угол C =
.
π
BC
3 −1
,а
=
.
6
AC
2
3π
4
Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что
Ответ:
sin B =
AC ⋅ sin C
AC 2 ⋅ sin 2 C
⇒ sin 2 B =
=
AB
AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C
sin 2 C
.
2
BC
 BC 
1+ 
⋅ cos C
 − 2⋅
AC
 AC 
Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём
1
3π
1
2
2
4
. (Угол B должен может быть тупым
sin B =
= ⇒ sin B =
⇒ угол B =
2
2
2
4
 3 −1 
3 −1 3
1 + 
⋅
 − 2 ⋅
2
2
 2 
по заданному соотношению сторон.)
4. Найти угол B треугольника ABC , если угол C =
π
BC
= 2.
,а
4
AC
π
4
Решение. Воспользуемся вначале теоремой синусов, а затем теоремой косинусов, тогда получим, что
Ответ:
sin B =
AC ⋅ sin C
AC 2 ⋅ sin 2 C
⇒ sin 2 B =
=
2
AB
AC + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos C
sin 2 C
.
BC
 BC 
1+ 
 − 2 ⋅ AC ⋅ cos C
 AC 
Подставив заданные в условии задачи значения угла и отношения сторон, найдём
1
1
2
π
2
2
sin B =
= ⇒ sin B =
⇒ угол B = . (Угол B не может быть тупым по заданно2
2
2
4
2
1+ 2 − 2 ⋅
⋅ 2
2
му соотношению сторон.)
2
( )
Задача 7 (3 балла)
1. Решить уравнение
(x
2
− 5x + 4
)
2
(
)
− 7 x 2 − 5x + 4 + 4 = − x.
Ответ: 3 ± 5; 2 ± 6
Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде:
(
x2 − 5 x + 4 − 3
2. Решить уравнение
(x
2
(x
2
)
 x2 − 5 x + 4 − 3 = x − 3
 x2 − 6 x + 4 = 0
x = 3± 5
2
= ( x − 3) ⇔ 
⇔
⇔
.
2
2
 x − 5 x + 4 − 3 = 3 − x
 x − 4 x − 2 = 0
 x = 2 ± 6
2
− 5x + 4
)
2
)
2
(
)
− 6 x2 − 5x + 4 + 9 = − x + x2 − 5x + 4 + 5 ⇔
(
)
+ 7 x + 11 − 11 x 2 + 7 x + 11 + 20 = x.
Ответ: −3 ± 7; − 4 ± 6
Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде:
(x
(x
2
+ 7 x + 11 − 5
)
(x
2
3. Решить уравнение
2
)
(
2
)
+ 7 x + 11 − 10 x 2 + 7 x + 11 + 25 = x + x 2 + 7 x + 11 + 5 ⇔
2
 x 2 + 7 x + 11 − 5 = x + 4
 x2 + 6 x + 2 = 0
 x = −3 ± 7
2
= ( x + 4) ⇔ 
⇔
⇔
.
2
2
 x + 7 x + 11 − 5 = −4 − x
 x + 8 x + 10 = 0
 x = −4 ± 6
)
(
2
)
− 3 x + 1 − 9 x 2 − 3x + 1 + 13 = − x.
Ответ: 2 ± 5; 1 ± 6
Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде:
(x
(x
2
− 3x + 1 − 4
4. Решить уравнение
(x
2
)
2
2
)
(
2
)
− 3 x + 1 − 8 x 2 − 3 x + 1 + 16 = − x + x 2 − 3 x + 1 + 3 ⇔
 x 2 − 3x + 1 − 4 = x − 2
 x2 − 4 x − 1 = 0
x = 2 ± 5
2
= ( x − 2) ⇔ 
⇔
⇔
.
 x 2 − 3x + 1 − 4 = 2 − x
 x 2 − 2 x − 5 = 0
 x = 1 ± 6
+ 9x + 3
)
2
(
)
− 13 x 2 + 9 x + 3 + 14 = x.
Ответ: −4 ± 24; − 5 ± 23
Решение. Для выделения полного квадрата перепишем уравнение в виде:
(x
(x
2
+ 9x + 3 − 6
)
2
2
+ 9x + 3
)
2
(
)
− 12 x 2 + 9 x + 3 + 36 = x + x 2 + 9 x + 3 + 22 ⇔
 x2 + 9 x + 3 − 6 = x + 5
 x2 + 8 x − 8 = 0
 x = −4 ± 24
2
⇔
⇔
.
= ( x + 5) ⇔ 
2
2
 x + 9 x + 3 − 6 = −5 − x
 x + 10 x + 2 = 0
 x = −5 ± 23
Задача 8 (4 балла)
 4 + 6 x − x 2 = y + 1
1. При каких значениях параметра a система уравнений 
не имеет решений?
x = 8+ a y

Ответ: a > −1,5
Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а
второе – два луча, выходящих из точки A(8;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для
y ≥ 0 . Условие для не пересечения или касания лучом дуги окружности получается из решения системы
 x − 3) + ( y + 1) = 13
уравнений (
, которая сводится к квадратному уравнению
x = 8 + ay

2
( a + 1) y
2
2
2
(
)
+ (10a + 2 ) y + 13 = 0 . Это уравнение не имеет решений, когда D = ( 5a + 1) − 13 a 2 + 1 < 0 , причем
2
a < 0 . Решая уравнение 6a 2 + 5a − 6 = 0 , найдем a = −1,5 . Значит, решений не будет при a > −1,5 .
 8x − x 2 − 3 = y + 2
2. При каких значениях параметра a система уравнений 
имеет более двух решений?
 x − 0,5 + a y = 0
Ответ: a < −1,5
Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а
второе – два луча, выходящих из точки A(0, 5;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для
y ≥ 0 . Условие для пересечения лучом дуги окружности получается из решения системы уравнений
( x − 4 ) + ( y + 2 ) = 13
13
, которая сводится к квадратному уравнению a 2 + 1 y 2 + ( 7a + 4 ) y + = 0 . Это

4
x = 0,5 − ay

2
2
(
)
(
)
уравнение имеет два решение, когда D = ( 7a + 4 ) − 13 a 2 + 1 > 0 , причем a < 0 . Решая уравнение
2
1
. Второе значение не подходит при анализе уравнения. Зна18
чит, два решения (а с учетом условия y < 0 получим 4 решения) будет при a < −1,5 .
36a 2 + 56a + 3 = 0 , найдем a = −1,5 и a = −
 10 x − x 2 − 8 = y + 2
имеет решения?
3. При каких значениях параметра a система уравнений 
14 − x = a y

Ответ: a ≥ 4
Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а
второе – два луча, выходящих из точки A(14;0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для
y ≥ 0 . Условие для касания или пересечения лучом дуги окружности получается из решения системы урав-
 x − 5) + ( y + 2 ) = 17
нений (
, которая сводится к квадратному уравнению a 2 + 1 y 2 + (10a + 2 ) y + 13 = 0 .
x = 14 − ay

2
(
2
(
)
)
Это уравнение имеет решения, когда D = ( 2 − 9a ) − 68 a 2 + 1 ≥ 0 , причем a > 0 . Решая уравнение
2
13a 2 − 36a − 64 = 0 , найдем a = 4 . Значит, решения будут при a ≥ 4 .
 10 x − x 2 − 8 = y + 1
4. При каких значениях параметра a система уравнений 
не имеет решений?
x+8 = a y

Ответ: a < 4
Решение. Первое уравнение системы задает две дуги окружности, симметричные относительно оси OX , а
второе – два луча, выходящих из точки A(−8; 0) , поэтому ввиду такой симметрии задачу можно решить для
y ≥ 0 . Условие для не пересечения или касания лучом дуги окружности получается из решения системы
 x − 5)2 + ( y + 1)2 = 17
уравнений (
, которая сводится к квадратному уравнению
x = ay − 8

( a + 1) y
2
2
(
)
+ 2 (1 − 13a ) y + 153 = 0 . Это уравнение не имеет решений, когда D = (1 − 13a ) − 153 a 2 + 1 < 0 ,
2
причем a > 0 . Решая уравнение 8a 2 − 13a − 76 = 0 , найдем a = 4 . Значит, решений не будет при a < 4 .