Изучение случайных величин и их числовых характеристик на
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
филиал в г. Славянске-на-Кубани
Факультет математики, информатики и технологии
специальность 050201.65 «Математика»
с дополнительной специальностью
050202.65 «Информатика»
кафедра математики, информатики и МП
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Изучение случайных величин и их числовых
характеристик на факультативных занятиях в 11 классе
Выполнила
Научный руководитель
студентка 5 курса
к.п.н, доцент
Попкова Надежда
Радченко Светлана
Павловна
Александровна
(подпись)
(подпись)
Славянск-на-Кубани
2012
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Обзор и анализ учебных пособий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Анализ государственного образовательного стандарта по теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. «Алгебра и начала анализа, 10» под редакцией С.М. Никольского . . . . . 9
1.3. «Алгебра и начала анализа, 10–11» под редакцией А.Г. Мордковича . . 10
1.4. «Алгебра. Начала математического анализа. Проф. уровень. 10–11 классы» под редакцией М.И. Шабунина, А.А. Прокофьева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.5. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика», школьный курс математики под редакцией Я.С. Бродского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. «Теория вероятностей и статистика» под редакцией Ю.Н. Тюрина . . . 16
Глава II. Методика организации факультативных занятий по теме «Случайные величины и их числовые характеристики в 11 классе» . . . . . . . . . . . .17
2.1. Психолого-педагогическая характеристика учащихся 11-х классов . . . . 17
2.2. Программа факультативного курса по теме «Случайные величины и их
числовые характеристики в 11 классе» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Разработка факультативных занятий по теме «Случайные величины и
их числовые характеристики в 11 классе». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.4. Разработка учебно-методического электронного пособия . . . . . . . . . . . . . 69
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Приложение №1. Теория по теме «Случайные величины и их числовые
характеристики» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Введение
В обыденной жизни, на производстве, в деловой жизни и научных исследованиях постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда
интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств. Сколько автомобильных аварий произойдет в некотором населенном пункте за предстоящие сутки? На этот вопрос
нельзя дать строго определенного ответа, так как число аварий подвержено случайным колебаниям. Точно так же нет возможности указать, сколько
дефектных изделий обнаружится при контроле n изделий. Это число является случайным. В каждом случайном испытании (контроль n изделий
является случайным испытанием) оно принимает вполне определенное значение, но при повторении эксперимента число дефектных изделий меняется случайным образом. Объем продаж в следующем месяце характеризуется
некоторым числом, значение которого точно неизвестно, но находится среди некоторого набора значений. Число космических частиц, регистрируемых
счетчиком, — случайно. Все рассмотренные величины — число аварий, число
дефектных изделий, объем продаж, число космических частиц — являются
примерами случайных величин, т. е. величин, значения которых различны
в зависимости от случая.
Вероятностно-статистическая линия сравнительно недавно появилась в
школьной программе по математике. Ученики получают первые представления об элементах статистики, вероятности и комбинаторики. Как мы знаем,
решения, которые принимаются государственными органами в образовании,
медицине, технике, бизнесе и других отраслях, во многом зависят от анализа
имеющихся или собранных данных. Следовательно анализ данных необходимо сделать для старшеклассников предметом более глубокого изучения в
школе.
Статистическая культура человека является неотделимой составляющей
его общей культуры.
4
В ВКР исследуется тема «Случайные величины и их числовые характеристики в 11 классе».
Объектом исследования является методика обучения случайным величинам и их числовым характеристикам в 11 классе.
Предметом исследования является процесс организации внеклассной
учебной деятельности учащихся 11 классов.
Целью данной работы является разработка факультативного курса по
теме «Случайные величины и их числовые характеристики» для учащихся
11 классов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
1. изучить, проанализировать и обобщить учебно-методическую и учебную литературу по теме «Случайные величины и их числовые характеристики»;
2. разработать методику и рекомендации по проведению факультативных
занятий по теме «Случайные величины и их числовые характеристики»;
3. разработать комплекс факультативных занятий по теме «Случайные
величины и их числовые характеристики».
Для достижения цели и поставленных задач использовались следующие
методы исследования:
1. изучение и анализ психолого-педагогической, научно-методической, математической литературы по теме исследования;
2. теоретический анализ изученной литературы с целью разработки и
формирования методических положений по изучению темы «Случайные величины и их числовые характеристики» в 11 классах;
3. обобщение и систематизация материала по данной теме.
Практическая значимость работы состоит в том, что:
5
1. в соответствии с психолого-педагогическими особенностями учеников
11 классов даны методические рекомендации для учителей средней
школы по изучению темы «Случайные величины и их числовые характеристики»;
2. разработаны примерное тематическое планирование и факультативные
занятия по теме «Случайные величины и их числовые характеристики»
в 11 классах;
3. разработан электронный учебник в помощь учителям и студентам педагогических вузов для организации факультативных занятий в средней
школе по теме «Случайные величины и их числовые характеристики».
Результаты могут использоваться как учителями средних школ, так и
студентами при самостоятельной подготовке к практическим занятиям по
методике преподавания теории вероятностей, а также совершенствоваться и
дополняться новыми технологиями.
6
Глава 1. Обзор и анализ учебных пособий
Для успешного течения образовательного процесса важнейшую роль играет правильный выбор учебного пособия. Поэтому перед каждым учителем
стоит вопрос — какой учебник использовать для создания занятий. При изучении любой новой темы в основном курсе школы встает проблема изложения
данной темы в школьных учебниках. Проанализируем учебные пособия, два
из которых являются базовыми в школе, третий профильного уровня, а два
других представляет из себя учебник для углубленного изучения математики
и служит основой для подготовки курсов по выбору.
• «Алгебра и начала анализа, 10 класс» под редакцией С.М. Никольского,
М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина;
• «Алгебра и начала анализа, 10 – 11 классы» под редакцией А.Г. Мордковича;
• «Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. 10–
11 классы» под редакцией М.И. Шабунина, А.А. Прокофьева;
• «Статистика. Вероятность. Комбинаторика», школьный курс математики под редакцией Я.С. Бродского;
• «Теория вероятностей и статистика» под редакцией Ю.Н. Тюрина, А.А.
Макарова, И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко.
7
1.1. Анализ государственного образовательного стандарта по
элементам логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Рассмотрим, как представлен обязательный минимум для основного общего образования по элементам логики, комбинаторики, статистики и теории
вероятностей в государственном образовательном стандарте.
1. Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры
решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
2. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм,
графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе
на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.
3. Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и
подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
По окончании изучения курса математики выпускник должен понимать
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, уметь
приводить примеры статистических закономерностей и выводов.
В результате изучения элементов логики, комбинаторики, статистики и
теории вероятностей учащийся должен уметь:
• извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах,
графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;
• вычислять среднее значения результатов измерений;
• находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
• находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях;
8
• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
– анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц;
– решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
– сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;
– понимания статистических утверждений [1].
9
1.2. «Алгебра и начала анализа, 10 класс» под редакцией С.М.
Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина
Рассмотрим, насколько удачно в учебнике Никольского раскрыта тема
«Случайные величины и их числовые характеристики».
Материал в учебнике изложен достаточно кратко. Лишь необходимое для
первичного ознакомления учеников с теорией вероятностей. Тема «Случайные величины» частично раскрывается в §14. В пункте 14.1. сначала дается
определение случайной величины и после рассматривается её характеристика — математическое ожидание. Несмотря на краткость изложения теоретического материала, практической части в учебнике уделяется достаточно
внимания. На пяти примерах ученики тренируются в определении математического ожидания случайной величины. К сожалению, здесь не даются примеры случайных величин, в результате чего у учеников может не сложится
полноценное понимание того, о чём идёт речь. Необходима работа по принципу: привести пример случайной величины, а является ли данная величины
случайной и т.д.. После примеров дается 9 задач на самостоятельную работу.
Дисперсия не разбирается.
В пункте 14.3. ученики изучают формулу Бернулли без подробного вывода, учатся применять её при решении задач.
По сравнению с остальными учебниками базового уровня в этом учебнике
наиболее полно даны элементы теории вероятностей [2].
10
1.3. «Алгебра и начала анализа, 10–11 классы» под редакцией А.
Г. Мордковича
Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей даются в 9 главе этого учебника.
На изучение данной главы отводится в среднем от 11 до 15 часов.
§50 весьма близко связан с содержанием § 19 из учебника «Алгебра, 9
класс» А. Г. Мордковича. Поэтому, для тех, кто обучается строго по учебникам Мордковича, в этом параграфе повторяется ранее изученная статистическая терминология. Но даже если ученик ранее не был знаком с этой темой,
он не встретит трудностей, потому что текст учебника организован для тех
учащихся, которые впервые касаются с подобного рода учебным материалом.
Новым материалом являются сведения о «дисперсии» и «среднем квадратическом отклонении» результатов измерения, находящиеся в конце параграфа. Автор ограничился примером 8 сравнения точности и надежности
трёх ружей, дал описательное определение того, за что отвечает дисперсия,
привел алгоритм ее вычисления и показал этот алгоритм разбором случая,
описанного в примере.
На описательном уровне: если x1 , x2 , . . . , xn — результаты измерения и M
- их среднее значение, тогда дисперсия D вычисляется следующим образом:
D=
(x1 − M )2 + (x2 − M )2 + . . . + (xn − M )2
.
n
В §50 рассматриваются простейшие задачи по темам: вероятность как модель случайных событий, классическое определение вероятности, алгоритм
вычисления вероятности по этому определению, связь между вероятностью
события и противоположного ему события.
Здесь совершенно сознательно не используется термин «случайная величина», потому что автор учебника не рассматривает вопросы, связанные с
алгеброй событий и пространством элементарных событий. По мнению автора, определение — «случайная величина есть числовая переменная величина,
11
принимающая свои значения с различными вероятностями» — ничего не проясняет и, более того, может сильнее запутать. Поэтому тривиальные задачи
про случайные величины почти всегда возможно переформулировать и без
случайных величин.
Приведем пример:
Задача с использованием термина «случайная величина»: Найдите закон
распределения случайной величины, которая равна сумме очков, выпавших
при двукратном бросании игрального кубика.
Аналогичная задача без использования термина «случайная величина»:
Найдите вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика
сумма выпавших очков равна 3? равна 7? Создайте таблицу распределения
вероятностей для всех возможных значений такой суммы [3].
Следует сделать вывод, что тема «Случайные величины» представлена в
данном учебнике в недостаточном объеме, лишь упоминанием смысла дисперсии. Не дано конкретного определения случайной величины, а именно,
оно прикрыто аналогией в целях наименьшей путаницы учеников.
12
1.4. «Алгебра. Начала математического анализа. Профильный
уровень. 10–11 классы» под редакцией М.И. Шабунина, А.А.
Прокофьева
Комплект курса «Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень» предназначен для преподавания в 11-х классах
физико-математического и естественно-научных профилей в объеме 6 часов
в неделю.
Комплект включает в себя:
• учебник для 11 класса
• методическое пособие для 11 класса
• задачник для 10 – 11 классов
Учебник, задачник и методическое пособие являются частью учебнометодического комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики.
Каждый параграф в учебнике содержит теоретический материал, примеры решения задач и упражнения для самостоятельной работы.
В задачнике главы соответствуют главам соответствующих учебников. Задачи по темам расположены в порядке возрастания трудности (3 уровня). В
них включены задачи из вариантов выпускных экзаменов и ЕГЭ, а также
варианты вступительных письменных экзаменов в высшие учебные заведения, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке
абитуриентов [5].
Главы методического пособия соответствуют главам учебника. В них содержатся краткие теоретические сведения, примеры с решениями, методические рекомендации и дидактические материалы. Предназначено для учителей, работающих в классах физико-математического и естественно-научных
профилей.
13
Теме «Случайные величины и их числовые характеристики» посвящён
§5. Теория дается кратко. Автор частично знакомит с понятиями случайной
величины, дискретной случайной величины, непрерывной случайной величины, закона распределения дискретной случайной величины. Таблицу распределения ДСВ он представляет в виде матрицы, в первой строке которой
перечисляются все возможные значения СВ, а во второй — соответствующие
вероятности их реализации.
Подробно рассматриваются характеристики СВ и их свойства. Всё подкреплено многочисленными примерами и задачами для самостоятельного
изучения.
14
1.5. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика», школьный курс
математики под редакцией Я.С. Бродского
Теме «Случайные величины» посвящена четвертая глава. Автор знакомит
нас со случайными величинами двух типов: дискретными и непрерывными.
Больший акцент делает на ДСВ, утверждая, что математический аппарат,
который необходим для их исследования, может быть ограничен материалом,
изучаемым в средней школе.
Рассматриваются следующие темы:
- случайная величина, закон ее распределения (вводит определение СВ и закон распределения конкретно-индуктивным способом, сначала рассматривает пример, затем формирует определение);
- математическое ожидание СВ. Аналогично предыдущему параграфу сначала вводится пример;
- свойства математического ожидания;
- формула Бернулли. Досконально изучается эта тема;
-дисперсия СВ и ее свойства;
- независимые случайные величины;
- числовые характеристики биномиального распределения;
- неравенство Чебышёва;
- закон больших чисел;
- нормальное распределение.
В пособии допускаются различные уровни обоснования: уровень здравого смысла (примеры и сравнения), «прикладной уровень», формальнологический уровень. Книга адресована широкому кругу читателей — старшеклассникам, студентам. Для старшеклассников книга представляет интерес,
так как стохастическая (вероятностно-статистическая) линия сравнительно
недавно стала полноправной составляющей школьной программы по математике,а в ней материал изложен очень доступно.
Все стороны, касающиеся случайных величин, автор освещает подробно,
15
снабжая всё многочисленными примерами, опытами, рассуждениями. Изложение теоретического материала сопровождается решением типовых задач.
Иногда изложение прерывается вопросами к читателю, цель которых проверить, усвоено ли изложение теоретического материала, понятно ли решение
примера. К каждому параграфу приводятся контрольные вопросы, ориентированные на активное усвоение основных понятий. В конце каждой главы
приведены дополнительные задачи. Их назначение - обеспечить уровневую и
профильную дифференциацию обучения стохастике. Даны задания базового и более сложного уровней. Пособие может быть использовано учителями
общеобразовательных школ в классах с повышенной математической подготовкой, а также для проведения факультативных занятий в общеобразовательных старших классах [7].
Из всех проанализированных учебников этот учебник отличается наивысшим качеством изложения материала, простотой и доступностью, наличием
многочисленных примеров и большим количеством задач. Поэтому именно
эта книга использовалась нами для создания факультативных занятий по
теме «Случайные величины и их числовые характеристики».
16
1.6. «Теория вероятностей и статистика» под редакцией Ю.Н.
Тюрина, А.А. Макарова, И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко
Материал XI и XII глав этого учебника на сегодняшние дни не входит в
образовательный стандарт, но введен в курс глав, посвященных случайным
величинам и их применению в статистике, так как считается, что без этого
материала курс получается логически не завершенным. Большая часть материала предыдущих тем уже подготовила учащихся к работе со случайными
величинами. Так, имея в виду события, связанные с одной костью, с суммой
очков на двух костях, с числом (успехов) в испытаниях Бернулли, по сути, обсуждается распределение вероятностей случайных величин. Полагается, что
этот материал, в том виде как он изложен в пособии, не вызовет трудностей в усвоении, может быть использован на факультативных занятиях для
расширения мировоззрения учеников.
В XII главе идет речь о числовых характеристиках случайной величины
— математическом ожидании и дисперсии. Изучение этих понятий поможет в
дальнейшем установить связь между математическим описанием случайной
величины, её распределением и числовыми характеристиками наборов чисел
(чисел, подверженных случайной изменчивости), которые рассматривались в
главе III. Понятия математического ожидания и дисперсии также позволяют
уяснить, почему в качестве приближенного значения вероятности события
возможно рассматривать его частоту [8].
17
Глава 2. Методика организации факультативных занятий по
изучению темы "Случайные величины и их числовые
характеристики"
2.1.Психолого-педагогическая характеристика учащихся 11-х
классов
Старший школьный возраст содержится в интервале от 15–16 до 18–19
лет и относится к ранней юности.
Социальная ситуация развития характеризуется главным образом тем,
что старший школьник находится на пороге вступления в самостоятельную
жизнь. Ему предстоит отправиться на путь трудовой деятельности и найти
свое место в жизни. В связи с этим меняются требования и условия к старшему школьнику, в которых происходит его становление как личности: он
должен быть подготовлен к труду, к семейной жизни, к следованиям гражданских обязанностей.
В центре психологического развития старшего школьника находится профессиональное самоопределение.
Меняется отношение и к отметке. Отметка начинает терять ранее имеющийся смысл. Если раньше она выступала как основной побуждающий мотив учения, то теперь старший школьник перестает учиться за «отметку»,
ему становятся важны сами знания как таковые. Учитывая ярко выраженное стремление к независимости с сочетанием глубинной связи с учителем
и потребность в психологической поддержке, необходимо совместить самостоятельную работу учащихся с активным периодическим вмешательством.
Организовать партнерские отношения на занятиях, процесс совместного поиска и исследования [9].
В случае факультативного курса по теории вероятностей мы должны учитывать важность его введения в систему образования. В быту и на работе
выпускник средней школы постоянно сталкивается с необходимостью получения и оформление некоторых сведений. На уроках физики, химии, био-
18
логии при выполнении лабораторных и практических работ ученик должен
уметь оформить результаты наблюдения и опытов; на уроках географии истории, обществоведения ему необходимо пользоваться таблицами и справочниками, воспринимать информацию, представленную в графической форме.
Эти умения необходимы каждому человеку, т. к. со статистическим материалом, представленном в различной форме, он постоянно встречается во всех
источниках информации, рассчитанных на массовую аудиторию, — в газетах,
журналах, книгах, по телевидению и т. п.
Понимание характера изучаемого стохастического явления связано с умением выделять главное, видеть особенности и тенденции при рассмотрении
таблиц, диаграмм и графиков. Простейшие навыки при «чтении» таблиц и
графиков позволяют подметить некоторые закономерности наблюдаемых явлений, увидеть за формами представления статистических данных конкретные свойства явлений с присущими им особенностями и причинными связями.
Типические черты изучаемых явлений, их общие тенденции могут быть
выявлены с помощью средних статистических характеристик. Умение пользоваться ими характеризует наличие у учащегося представлений, связанных
с центральными тенденциями в мире случайного.
Стохастический характер окружающих явлений не может быть раскрыт
без понимания степени изменчивости. Поэтому возникает необходимость в количественной оценке разброса статистических данных, которая способствует
более глубокому пониманию сущности явлений и процессов, дает возможность сравнивать статистические совокупности по степени их вариации.
Одним из важнейших компонентов стохастического мышления является понимание устойчивого в мире случайностей, упорядоченности случайных
фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей.
19
Центральное место занимают здесь представления, связанные с различными экспериментальными представлениями закона больших чисел. Самый
простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении
числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и
понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом, приходим к
вычислению вероятностей в классической схеме.
В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не
развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения.
Одной из важных целей изучения вероятностно-статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень
часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях
подтверждения той или иной гипотезы и т. п. представление о вероятности,
которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем
представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
Отметим при этом, что равно неэффективны и даже опасны как ранняя формализация, так и другая крайность, получившая сейчас отражение
в некоторых экспериментальных программах — бесконечные рассуждения о
вероятности вне курса математики, вне построения вероятностных моделей
[10].
20
2.2. Программа факультативного курса по теме «Случайные величины и их числовые характеристики в 11 классе»
Пояснительная записка
Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь
внимание учащихся 10–11 классов, которые имеют интерес к математике и
ее приложениям и желают глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями. Данный курс освещает не проработанные в общем курсе
школьной математике вопросы, демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого
человека. Программа факультативных занятий составляется таким образом,
чтобы все вопросы изучались синхронно с изучением основного курса.
Темы «Случайные величины» и «Числовые характеристики случайных
величин» в значительной степени избыточны и могут не включаться учителем в курс основной школы или даваться обзорно. Однако именно этот материал, включая закон больших чисел, устанавливает обратную связь между
понятиями теории вероятностей и статистики. Если этот материал не включается учителем в программу в 7 – 9 классах, то рекомендуется изучить в
10–11 классах. Отметим, что первое неявное представление о случайных величинах дается нами при изучении элементов статистики. Оно формализуется для дискретных случайных величин. Вводятся понятия распределения
случайной величины и его числовых характеристик — математического ожидания и дисперсии. Одной из важнейших случайных величин, которую следует рассматривать в этом разделе является «число успехов» в испытаниях
Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии для «числа
успехов» дают нам возможность сформулировать один из основных законов
теории вероятностей — закон больших чисел.
Успешное освоение учениками данного факультативного курса должно
способствовать их всестороннему математическому развитию. Школьники
смогут приобрести умения (компетентности), которые позволят им быть
21
успешными на следующей ступени образовательной вертикали.
Цели курса:
- сформировать понимание необходимости знаний темы в повседневной жизни;
- способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной
ориентации и решения практических проблем.
Задачи курса:
- сформировать умения находить случайные величины в окружающем мире;
- решать основные задачи на нахождение числовых характеристик случайных
величин;
- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной
перспективы.
Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решения типовых задач, самостоятельную работу. Логический анализ содержания темы «Случайные величины и их числовые характеристики»
позволили выделить группы задач, которые и составили основу изучаемого
курса. Кроме того, рассматриваются задачи с практическим содержанием,
связанные с повседневной жизнью.
В программе проводится примерное распределение учебного времени,
включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего)
решения. Основные формы организации учебных занятий: рассказ, беседа.
Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо сюжеты другими. Программа мобильна, т. е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме
при установлении степени достижения результатов.
Факультативный курс «Случайные величины и их числовые характери-
22
стики» рассчитан на 5 часов для учащихся 10–11 классов. Запланированный
данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для
осмысления ими таких понятий, как случайная величина и числовые характеристики случайной величины.
В силу практической значимости данный курс вызывает интерес, является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств
личности учащихся. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной
склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.
Примерное тематическое планирование факультативных занятий по теме «Случайные величины и их числовые характеристики» в 11 классе
№
Тема
1
Понятие и виды случайной величины, Урок изучения и пер- 1
закон распределения СВ
Тип
вичного
Часы
закрепления
новых знаний
2
Числовые характеристики СВ — мате- Комбинированный
1
матическое ожидание
3
Числовые характеристики СВ — дис- Комбинированный
1
персия
4
МО числа успехов в серии испытаний Комбинированный
1
Бернулли. Дисперсия числа успехов
5
Обобщение темы «Случайные величи- Повторительно-
1
ны и их числовые характеристики» в обобщающий
форме игры
На всех занятиях используются красочные презентации, благодаря которым тема «Случайные величины и их числовые характеристики» будет усвоена учениками наиболее успешно. Обеспечиваем визуальность, наглядность,
23
объясняем решение задач, последовательно выводя шаг за шагом на слайдах.
Организация и проведение аттестации учеников Для того чтобы
оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценке.
Помимо этого, знание учителем уровня владения его учениками теорией и
навыками ее применения помогает вносить определенные коррективы в учебный процесс.
Также необходимо накопление оценок для итоговой аттестации, оценивания общих успехов учащихся в освоении выбранного ими курса.
Однако особенность материала факультативного курса по теме «Случайные величины и их числовые характеристики» такова, что аудиторное выполнение письменных работ должно использоваться крайне осмотрительно и
весьма осторожно, чтобы избежать ненужный и вредный стресс у учеников
[11].
Именно поэтому обобщающее занятие данного курса составлено в виде
игры, с помощью которой ученики смогут оценить уровень усвоения материала без лишних переживаний, которые наблюдаются в ходе традиционных
контрольных работ. Игра состоит из трех туров: теоретический штурм, придумай задачу по выпавшей теме, решение задач. По окончании соревнования
подсчитываются баллы и вручаются три медали согласно месту. Остальные
же баллы учитываются для итоговой аттестации учащихся по данному курсу.
Возможные критерии оценок
Критерии при выставлении оценок могут быть следующие: Оценка «отлично» — учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение,
сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при
решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними за-
24
даниями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.
Оценка «хорошо» — учащийся освоил идеи и методы данного курса в
такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашнее задание прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.
Оценка «удовлетворительно» —учащийся освоил наиболее простые идеи
и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые
задания [12].
Методические рекомендации
Понятие «случайная величина» является третьим фундаментальным понятием теории вероятностей. Если учащийся не имеет знаний в области математического анализа, то корректное изучение этого понятия его свойств
невозможно. Есть смысл остановиться только на изучении дискретной случайной величины. Имея достаточный уровень математических знаний, учащийся может более детально изучить понятие непрерывной случайной величины.
Введение определения случайной величины желательно провести
конкретно-индуктивным способом. Привести несколько примеров случайных величин, сформулировать определение понятия случайной величины (переменная, принимающая числовые значения в зависимости от исхода некоторого опыта; подчеркнуть, что случайная величина принимает числовые
значения, заранее неизвестные. Другой подход для определения случайной
величины — функциональный. Её можно рассматривать как функцию элементарного события, областью определения (множество событий).
Так как при анализе учебников математики было выявлено, что данная тема рассматривается недостаточно расширенно, появилась необходимость создания факультативного курса с использованием проанализирован-
25
ных учебных пособий. Введение понятия случайной величины проводится
на основе примеров. Полезно, чтобы учащиеся сами могли находить примеры
случайных величин в окружающем их мире.
При изучении темы «Распределение вероятностей случайной величины» случайные величины связываются с событиями. Мы неоднократно подчеркиваем эту мысль, что случайное событие наступает лишь в результате проведения случайного опыта. Случайные величин возникают в тех
опытах, результатом которых являются числа и, следовательно, говоря о случайной величине, задавая случайную величину, необходимо описать условия
случайного опыта. У события (случайная величина приняла значение xk )
есть некоторая вероятность. Описание всех значений и соответствующих вероятностей мы называем распределением случайной величины, избегая при
этом определений, чтобы не вдаваться в обсуждение, какие бывают величины
и их распределения. Распределение понимается в общечеловеческом смысле
— вероятность распределяется между значениями. Повсюду в тексте, когда
речь идет о распределениях случайных величин, подразумеваются случайные
величины с конечным или счетным множеством значений. Последние возникают, например, когда рассматривают число выстрелов в мишень до первого
попадания (или первого промаха).
В качестве частично знакомого примера приводится случайная величина
(сумма очков, выпавших на двух костях) и строится ее распределение в виде
таблицы и в виде диаграммы. Обращаем внимание на то, что в таблице дроби
даны в несокращенном виде, что позволяет их легче сравнивать. Диаграмма
напоминает равнобедренный треугольник.
Элементарными событиями в рассматриваемых опытах являются события вида (случайная величина приняла одно конкретное значение). Поскольку сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, учащихся легко
подвести к заключению о том, что сумма вероятностей в распределении также равна 1.
26
Интересным примером здесь может стать распределение случайной величины (число выстрелов в мишень до первого промаха) в предположении,
что попадание в мишень происходит с вероятностью p , где 0 < p < 1 (или
можно взять конкретное значение, скажем, 32 ). Этот пример можно и нужно
рассмотреть, если к этому времени учащиеся знакомы с темой (сумма бесконечной геометрической прогрессии). Обозначив вероятность промаха через
q = 1 − p , получим, что вероятность того, что будет сделано n выстрелов
равна qpn−1 (n − 1 раз попали, а в последний n − раз промахнулись). Таким
образом, вероятности образуют геометрическую прогрессию. Верно ли, что
сумма всех вероятностей равна 1? Проверим:
q + qp + qp2 + . . . = q
1
1
= (1 − q)
= 1.
1−p
1−p
Во многих упражнениях к этому параграфу требуется воспользоваться
свойством p1 + p2 + . . . + pn = 1 .
Рассказ о распределении Бернулли продолжает начатую ранее тему испытаний Бернулли. Приведены два примера распределений - симметричное
p = q = 0, 5 и несимметричное p = 0, 25 . Кстати, последнее распределение
есть распределение числа правильных ответов в части A Единого государственного экзамена по математике в 2004 году при полностью случайном
выборе ответов.
Математическое ожидание распространяет представление о среднем
арифметическом на (взвешенные) значения случайных величин, вероятности которых не равны между собой. Изложение темы "Математическое
ожидание случайной величины" в отличие от большинства предыдущих
тем является довольно лаконичным, поскольку изучение этой темы предполагает уже серьезную математическую грамотность учащихся. При изучении
темы стоит подчеркнуть мысль: если значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим.
Важно приводить примеры из жизни. К примеру, задача расчета ожидаемого
27
выигрыша для некоторой упрощенной лотереи.
Достаточно рассмотреть два свойства математического ожидания:
свойство линейности и аддитивности.
Свойства линейности математического ожидания можно освещать без доказательства, однако оно несложно. Учитель всё же может его разобрать, если
имеет достаточно времени, предварительно дав объяснение, как получается
таблица распределения СВ Y = aX из таблицы распределения СВ X.
Рассматривать доказательство аддитивности МО не рекомендуется.
Определения дисперсии D и стандартного отклонения σ =
√
D да-
ются как меры рассеивания. Следует обратить внимание учащихся на тот
факт, что дисперсия измеряется не в тех единицах, в каких измеряется сама
случайная величина. Поэтому при оценке разброса чаще используется стандартное отклонение.
Во многих отраслях науки и производства принято, что случайная величина не должна отклоняться от своего среднего значения на больше, чем на
σ или 2σ в зависимости от степени (опасности отклонения). Эти (границы
отклонения), разумеется, условны, но вполне обоснованы для величин, имеющих нормальное распределение или близкое к нормальному. Дело в том,
что для нормально распределенной величины, событие, состоящее в том, что
значение величины отклонилось от ожидания больше, чем на 3σ , является
практически невозможным.
Следом вводятся основные свойства дисперсии. Помимо формулыопределения D = M (X − M 2 ) предлагается более удобная формула D =
M (X 2 ) − M 2 (X).Еще два свойства D(aX) = a2 D(X) и D(X + a) = D(X)
также могут быть доказаны при работе в классе или мотивированными учащимися в качестве самостоятельной домашней работы.
Перед тем, как разбирать тему «Математическое ожидание и дисперсия в серии испытаний Бернулли» (число успехов в серии испытаний
Бернулли), следует повторить тему «Распределение Бернулли», «Вероятно-
28
сти событий в испытаниях Бернулли».
При выводе формулы для дисперсии числа успехов применяется свойство
линейности дисперсии независимых случайных величин. О независимых случайных величинах раньше речь не шла, поскольку этот рассказ сильно увел
бы нас в сторону. Независимость случайных величин учащиеся должны понимать на интуитивном уровне - значения одной величины не оказывают
никакого влияния на значения другой. Классическое определение дается с
помощью схемы событий: любые два события, одно из которых связанно с
первой случайной величиной, а другое - со второй, являются независимыми
событиями. Доказательство формулы D(X1 + X2 ) = D(X1 ) + D(X2 ) и ее
обобщения на сумму нескольких величин опирается на неизвестную учащимся мультпликативность математического ожидания независимых случайных
величин: M (X1 X2 ) = M (X1 ) · M (X2 ) . Поэтому доказательство можно не
приводить [13].
29
2.3. Разработка факультативных занятий по теме «Случайные
величины»
Факультативное занятие 1.
Тема: «Понятие и виды случайной величины, закон
распределения СВ»
Тип занятия: изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цели занятия:
Образовательные:
• ввести понятие случайной величины, рассмотреть виды случайных величин, закон распределения случайной величины;
• закрепить полученные знания с помощью примеров и задач.
Развивающие:
• развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и
усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов);
• развивать дивергентный тип мышления, внимание, математическую
речь, познавательный интерес к математике;
• расширить кругозор учеников, совершенствовать умения логически
мыслить и выражать свои мысли вслух;
• развить умение работать в группе, стремление к достижению цели.
Воспитательные:
• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;
• воспитывать интерес к предмету.
30
Методы обучения:
- словесные;
- наглядные;
- аналогия.
Формы обучения:
- коллективная;
- фронтальная.
Оборудование и дополнительные материалы: ПК, проектор, презентация,
монета.
Ожидаемые результаты.
Учащийся должен:
• понимать сущность случайных величин;
• уметь приводить примеры случайных величин из жизни;
• выделять на интуитивном уровне из множества различных случайных
величин дискретные.
• понимать, что такое распределение вероятностей случайной величины
и уметь составлять таблицы распределения для случайных величин с
небольшим числом возможных значений.
План занятия
1. Организационный момент (2 мин.);
2. Подготовка учащихся к усвоению (5 мин.);
3. Изучение нового материала и первичное закрепление (14 мин.);
4. Контроль и самопроверка знаний (15 мин.);
5. Подведение итогов урока (2 мин.);
6. Информация о домашнем задании (2 мин.).
ХОД ЗАНЯТИЯ
31
I. Организационный момент (2 мин.)
Учитель приветствует учащихся. Отмечает того, кто отсутствует.
Ребята записывают тему в тетради и слушают учителя.
II. Подготовка учащихся к усвоению (5 мин.)
Повторение изученного материала.
Вопросы:
1). Что понимается под случайным опытом?
Предполагаемый ответ: под случайным опытом, или случайным испытанием, будем понимать любое действие, которое можно повторить большое
количество раз в приблизительно одинаковых условиях и результаты которого предсказать невозможно, следующие термины являются синонимами:
случайный опыт, случайный эксперимент и случайное испытание.
2). Приведите несколько примеров случайных опытов.
Предполагаемый ответ: одноразовое или двукратное подбрасывания монеты; приобретение лотерейного билета; стрельба по мишени.
3). Дайте определение случайного события.
Предполагаемый ответ: любой исход случайного опыта есть случайное
событие, в результате такого опыта случайное событие может или произойти,
или не произойти.
4). Приведите примеры случайных событий.
Предполагаемый ответ: «выпадение двух гербов» при подбрасывании
двух монет, «попадание в цель» при выстреле, «выигрыш» при приобретении лотерейного билета).
5). Что такое пространство элементарных исходов?
Предполагаемый ответ: перечень всех возможных результатов случайного
опыта — выборочное пространство, или пространство элементарных исходов.
III. Изучение нового материала и первичное закрепление (14
мин.)
К доске вызывается желающий для проведения случайного испытания.
32
Рассмотрим опыт, заключающийся в трехкратном подбрасывании правильной монеты. Результатом этого опыта можно считать число выпавших
гербов. Эта величина зависит от исходов опыта и меняется случайно. Для ее
исследования построим ПЭИ опыта, приняв в качестве элементарных исходов
результаты трех подбрасываний.
ПЭИ опыта имеет вид:
U=ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.
Число выпавших гербов вполне определяется исходом эксперимента. Каждому элементу ПЭИ можно поставить в соответствие число выпавших гербов.
Ученик строит на доске таблицу ПЭИ при активном участии класса
Исходы
ГГГ
ГГЦ ГЦГ ГЦЦ ЦГГ ЦГЦ ЦЦГ ЦЦЦ
Число гербов
3
2
2
1
2
1
1
0
Ученик садится на место. Учитель продолжает объяснение.
Эта таблица задает некоторую функцию X(u) на ПЭИ. Ее область определения - множество U, множество значений 0, 1, 2, 3.
{Вводим определение случайной величины:}
Случайная величина — это величина, которая принимает в результате
опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Это числовая
функция, определенная на пространстве элементарных исходов. Обозначают
случайные величины прописными латинскими буквами:
X = X(u), Y = Y(u), Z = Z(u), a их значения — соответствующими строчными
буквами.
Если случайному событию (случайному опыту) можно поставить в соответствие определенную величину, то говорят, что задана случайная величина.
В нашем примере случайной величиной является число выпавших гербов. Тот факт, что случайная величина Х принимает значение х, является
случайным событием. Будем обозначать его (Х = х).
33
{Вводим определение дискретной случайной величины:}
Мы рассмотрели дискретные случайные величины — число гербов,
выпавших при трех подбрасываниях монеты, так как мы смогли перечислить все возможные значения, которые она может принимать в результате
наблюдений.
Попробуйте привести примеры дискретных случайных величин (количество неисправных устройств, которые будут выпущены за определенный промежуток времени, число дефектных изделий из n проверенных, число аварий
на перекрестке, число космических частиц, зарегистрированных счетчиком).
{Вводим определение непрерывной случайной величины:}
Случайная величина является непрерывной, если она может принимать
любое значение из некоторого интервала. Например, изменение веса определенного человека. Приведите свои примеры (результат измерения физической величины (массы, напряжения, температуры), урожайность культуры у определенного фермера, размеры и массы отдельных представителей
биологического рода). На случайные величины распространяются все правила действий над функциями, заданными на числовом множестве: их можно
складывать, вычитать, перемножать и т. п.
Для задания случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать, с какими вероятностями она принимает
эти значения.
{Вводим определение закона распределения случайной величины:}
Законом распределения случайной величины называют соотношение между возможными значениями и их вероятностями.
Вернемся к нашему опыту. В опыте с трехкратным подбрасыванием правильной монеты элементарные исходы можно считать равновозможными, т.
е. их вероятности равны: 18 . Событие (X = 1) означает, что число выпавших
гербов равно 1, оно состоит из исходов ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ. Его вероятность
по определению вероятности события равна P (X = 1) =
3
8.
Аналогично
34
P (X = 2) = P (ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ)= 83 . Итак, получим следующую таблицу:
Число гербов
0
1
2
3
Вероятность
1
8
3
8
3
8
1
8
Законом распределения дискретной случайной величины Х называют числовую функцию, которая каждому значению х случайной величины Х ставит в соответствие вероятность P(X = х). В общем случае закон
распределения случайной величины записывают следующим образом:
Значение x
x1
x2
...
xn
Вероятность x
p1
p2
...
pn
Здесь x1 , x2 , . . . , xn - все различные значения случайной величины X, a
pk = P (X = xk ), k = 1, 2, . . . , n вероятности, с которыми X принимает эти
значения.
Всякая ли таблица данного вида задает закон распределения дискретной
случайной величины? Чтобы дать ответ на этот вопрос, заметим, что события
(X = x1 ), . . . , (X = xn ) попарно несовместны и сумма их является достоверным событием. Поэтому сумма вероятностей этих событий p1 + p2 + . . . + pn
равна 1. Данное равенство можно использовать для проверки правильности
составления закона распределения случайной величины [7, c. 304].
Распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине. Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные сведения о случайной величине. Таковыми, в частности,
являются числовые характеристики случайной величины: математическое
ожидание, дисперсия и др. [14]. (делаем ссылку на следующий урок, связь
с сегодняшней темой)
Функцией распределения F (x) случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:
F (x) = p{X < x}.
Свойства функции распределения:
1. F (−∞) = 0.
35
2. F (+∞) = 1.
3. F (x1 ) ≤ F (x2 ), x1 < x2 .
Многоугольник вероятностей есть графическое изображение ряда распределения вероятностей. По оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений. Для
наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения
[15].
IV. Контроль и самопроверка знаний (15 мин.)
Решение типовых задач у доски.
Задача №1. Вопрос: Дискретной или непрерывной является случайная величина:
а) число учеников, отсутствующих в классе, (дискретная);
б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле, (непрерывная);
в) среднее значение оценки за контрольную работу в классе? (дискретная).
Задача №2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
x
1
3
6
8
p
0,2
0,1
0,4
0,3
Построить многоугольник распределения.
Решение
Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей СВ
36
Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения xi , а по оси ординат — соответствующие вероятности pi . Построим точки (см. рис.1)
M1 (1; 0, 2), M2 (3; 0, 1), M3 (6; 0, 4), M4 (8; 0, 3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.[18]
Задача №3. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из
нее вынимают наудачу 3 шара. Найдите функцию распределения числа белых шаров в выборке F (x) и постройте ее график.
Решение
Возможные значения случайной величины X — числа белых шаров в выборке есть x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Вероятности их соответственно
будут p1 = P {X = 0} =
p4 =
C50 ·C53
C83
=
1
56 ,
p2 = P {X = 1} =
C51 ·C32
C83
=
15
56 ,
p3 =
10
56 .
Закон распределения запишем в виде таблицы:
x
0
1
2
3
1
15
30
10
p
56
56
56
56
Будем задавать различные значения x и находить для них
F (x) = P {X < x}:
1. Если x ≤ 0 F (x) = P {X < 0} = 0;
2. Если 0 < x ≤ 1 F (x) = P {X < x} = P {X = x} =
1
56 ;
3. Если 1 < x ≤ 2
F (x) = P {X = 0} + P {X = 1} =
1
56
+
15
56
=
16
56 ;
4. Если 2 < x ≤ 3
F (x) = P {X = 0} + P {X = 1} + P {X = 2} =
1
56
+
15
56
+
30
56
=
46
56 ;
5. Если 3 < x
F (x) = P {X = 0} + P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 2} =
46
56
+
10
56
= 1.
30
56 ,
37
Итак,
0, x ≤ 0;
1
56 , 0 < x ≤ 1;
F (x) = 16 , 1 < x ≤ 2;
56
46
56 , 2 < x ≤ 3;
1, 3 < x.
Строим график F (x) (рис.2):
Рис. 2. График функции распределения вероятностей СВ
Как видим, функция распределения дискретной случайной величины X
есть разрывная, со скачками pi в точках xi , функция, «непрерывная слева»
(при подходе к точке разрыва слева функция F (x) сохраняет значение). Ее
график имеет ступенчатый вид [16].
Задача №4. Продолжительными наблюдениями установлено, что данный
стрелок при 100 независимых выстрелах примерно 20 раз выбивает восемь
очков, 50 раз — девять и 30 раз — десять очков. Что можно сказать о числе
очков, выбиваемых стрелком при двух независимых выстрелах? Постройте
ПЭИ опыта, заключающегося в двух независимых выстрелах, и каждому
исходу опыта поставьте в соответствие число попаданий.
Решение
ПЭИ опыта, состоящего из двух независимых выстрелов, имеет вид
U = (8, 8), (8, 9), (8, 10), (9, 8), (9, 9), (9, 10), (10, 8), (10, 9), (10, 10).
Например, событие (8, 9) означает, что первым выстрелом выбито восемь
38
очков, а вторым - девять. Сумма очков полностью определяется результатом опыта. Каждому элементу ПЭИ можно поставить в соответствие число,
равное сумме выбитых очков.
Рез-ты
(8, 8)
(8, 9)
(8, 10)
(9, 8)
(9, 9)
(9, 10)
(10, 8)
(10, 9)
(10, 10)
17
18
17
18
19
18
19
20
опыта
Сумма оч- 16
ков
Таблица задает некоторую функцию X(u), определенную на ПЭИ. Она отображает область определения - множество U — на множество значений {16,
17, 18, 19, 20}.
Задача №5. Какая из таблиц не задает закон распределения случайной величины?
x
a)
p
с)
x
0
1
2
3
0,1
0,5
0,1
0,3
-1
1
2
3
б)
x
1
2
3
4
p
0,3
0,1
0,2
0,3
p
0,1
0,2
0,3
0,4
Задача №6. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых
стрелком при двух независимых выстрелах в опыте, описанном в задаче №4.
Решение
ПЭИ опыта построено. Зададим вероятности исходов этого опыта. Событие (8, 8) является произведением двух независимых событий: «при первом
выстреле выбито восемь очков» и «при втором выстреле выбито восемь очков». Вероятность каждого из этих событий равна 0,2. По теореме умножения
вероятностей P (8, 8) = 0, 2 · 0, 2 = 0, 04. Аналогично:
P (8, 9) = 0, 2 · 0, 5 = 0, 1; P (8, 10) = 0, 2 · 0, 3 = 0, 06;
P (9, 8) = 0, 5 · 0, 2 = 0, 1; (9, 9) = 0, 5 · 0, 5 = 0, 25;
P (9, 10) = 0, 5 · 0, 3 = 0, 15; P (10, 8) = 0, 3 · 0, 2 = 0, 06;
P (10, 9) = 0, 3 · 0, 5 = 0, 15; P (10, 10) = 0, 3 · 0, 3 = 0, 09.
39
Если через X обозначить сумму очков, выбитых при двух выстрелах (закон распределения этой случайной величины нам и нужно составить), то
P (X = 16) = P (8, 8) = 0, 04, P (X = 20) = P (10, 10) = 0, 09.
Событие (X = 17) происходит при одном из результатов: (8, 9) или (9, 8).
Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей
P (X = 17) = P (8, 9) + P (9, 8) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.
Аналогично:
P (X = 18) = P (8, 10) + P (9, 9) + P (10, 8) = 0, 06 + 0, 25 + 0, 06 = 0, 37;
P (X = 19) = P (9, 10) + P (10, 9) = 0, 15 + 0, 15 = 0, 3.
Итак, получаем таблицу
Сумма выбитых очков
16
17
18
19
20
Вероятность
0,04
0,2
0,37
0,3
0,09
V. Подведение итогов занятия (2 мин.)
Ребята делятся впечатлениями о новой теме, обсуждают наиболее интересные и трудные моменты.
VI. Задание на дом
1) Постройте ПЭИ опыта, заключающегося в подбрасывании двух монет,
и каждому исходу опыта поставьте в соответствие число выпавших цифр.
2) Составьте законы распределения следующих случайных величин:
а) число цифр, выпавших при подбрасывании двух правильных монет;
б) число очков, выпавших при бросании симметричного игрального кубика.
3) Повышенной сложности. Доказать, что число успехов в серии испытаний Бернулли - это случайная величина, и найти, какое она имеет распределение.
40
Факультативное занятие 2.
Тема «Числовые характеристики СВ — математическое ожидание
и его свойства»
Тип занятия: комбинированный.
Цели занятия:
Образовательные:
• повторить тему прошлого занятия «Понятие и виды случайной величины, закон распределения СВ»;
• ввести понятие математического ожидания;
• рассмотреть свойства МО;
• закрепить полученные знания с помощью примеров и задач.
Развивающие:
• развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и
усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов);
• развивать дивергентный тип мышления, внимание, математическую
речь, познавательный интерес к математике;
• расширить кругозор учеников, совершенствовать умения логически
мыслить и выражать свои мысли вслух;
• развить умение работать в группе, стремление к достижению цели.
Воспитательные:
• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;
41
• воспитывать интерес к предмету.
Методы обучения:
- словесные;
- наглядные.
Формы обучения:
- коллективная;
- групповая;
- фронтальная.
Оборудование и дополнительные материалы: ПК, проектор, презентация.
Ожидаемые результаты.
Учащийся должен:
• понимать сущность и уметь находить математическое ожидание СВ;
• уметь применять свойства математического ожидания СВ.
План занятия
1. Организационный момент (2 мин.);
2. Актуализация знаний и практических и умственных умений (7 мин.);
3. Изучение нового материала и первичное закрепление (15 мин.);
4. Обобщение и систематизация знаний и умений, связь новых с ранее полученными и сформированными (12 мин.);
5. Подведение итогов урока (2 мин.);
6. Информация о домашнем задании (2 мин.).
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент (2 мин.)
Учитель приветствует учащихся. Отмечает того, кто отсутствует.
Ребята записывают тему в тетради и готовятся слушать учителя.
II. Актуализация знаний и практических и умственных умений (7 мин.)
42
У доски выходят желающие для решения задач из домашнего задания.
Остальные учащиеся отвечают на вопросы по теме прошлого урока.
Ответьте на вопросы:
1). Дать определение случайной величины.
2). Привести пример случайной величины из жизни.
3). Объяснить разницу между дискретной и непрерывной случайными величинами.
4). Что из себя представляет закон распределения случайной величины?
III. Изучение нового материала и первичное закрепление (15 мин.)
Введем индуктивным способом определение математического ожидания.
Для этого рассмотрим пример. Выпущено 500 лотерейных билетов, причем на
40 билетов выпадает выигрыш по 10 р., 10 билетов принесут их владельцам
выигрыш по 50 р., 5 билетов - по 100 р. Остальные билеты безвыигрышные.
Какой средний выигрыш выпадает на один билет?
Средний выигрыш, приходящийся на один билет, равен сумме всех выигрышей, деленной на число выпущенных билетов:
10 · 40 + 50 · 10 + 100 · 5 + 0 · 445
=
500
40
10
5
445
= 10 ·
+ 50 ·
+ 100 ·
+0·
=
500
50
500
500
= 0 · 0, 89 + 10 · 0, 08 + 50 · 0, 02 + 100 · 0, 01 = 2, 8(p.)
В этом примере речь идет о случайной величине — выигрыше, выпадающем на один выбранный наугад лотерейный билет. Построим ее закон распределения (можно вызвать к доске ученика):
x
0
10
50
100
p
0,89
0,08
0,02
0,01
Обратите внимание, чему равен средний выигрыш? (сумме произведений
значений случайной величины на вероятности, с которыми она принимает эти
значения)
43
Обобщение этого наблюдения позволяет определить среднее значение произвольной случайной величины X, имеющей закон распределения:
Значение x
x1
x2
...
xn
Вероятность p
p1
p2
...
pn
{Вводим определение математического ожидания случайной величины:}
Сумму произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины X.
Математическое ожидание, или среднее значение, дискретной случайной
величины представляет собой некоторое определенное число, характеризующее типичное значение этой величины, подобно тому, как некоторый набор
данных характеризуется средним арифметическим значением. Обозначается
математическое ожидание символом MX :
M X = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn или M X =
Pn
i=1 xi pi .
Здесь учитель должен сделать акцент на сходство математического
ожидания и среднего арифметического по смыслу и виду. Различие этих
показателей состоит в том, что среднее арифметическое является обобщающим показателем для наблюдаемых значений случайной величины, а
математическое ожидание - для всех возможных. Понятие математического ожидания является обобщением понятия среднего арифметического.
Вводим свойства МО. Мы уже знаем, что случайные величины, как и
все числовые функции, можно складывать, перемножать, умножать на число. Довольно часто возникает необходимость вычислять среднее значение
суммы, произведения случайных величин, если известны средние значения
каждой из этих величин.
Например, известно среднее число бракованных деталей, выпускаемых
в цехе за один день. Как найти среднее число бракованных деталей, выпускаемых в этом цехе за 10 дней? Или известны средние выигрыши, выпадающие
44
на один билет в двух лотереях. Как найти средний выигрыш, выпадающий
владельцу одного билета первой лотереи и одного билета второй лотереи?
Ответы на эти и подобные вопросы помогут найти свойства математического
ожидания. Эти свойства аналогичны ранее рассмотренным свойствам арифметического среднего.
СВОЙСТВО 1. Для произвольной случайной величины Х и произвольного числа С имеет место равенство M(СX) = СMX. Интуитивно это свойство
понятно: если Х — число бракованных деталей, выпускаемых в цехе за один
день, то СХ — число бракованных деталей, выпускаемых в этом цехе за С
дней.
СВОЙСТВО 2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
М(X + Y) = MX + MY.
Пусть, например, на двух станках вырабатываются одинаковые изделия.
Известно, что в среднем на первом станке ежедневно выпускается три бракованные изделия, а на втором - два. Если каждое значение признака Z равно
сумме (разности) значений признаков Х и Y, то среднее арифметическое признака Z равно сумме (разности) средних арифметических признаков Х и Y
[7, c.315].
Доказательство первого свойства можно дать в домашней работе, потому как разбирать на уроке нецелесообразно по причине отсутствия на это
времени.
IV. Контроль и самопроверка знаний (15 мин.)
Решение типовых задач у доски.
Задача №1
Чему равно математическое ожидание случайной величины, все значения
которой имеют одинаковую вероятность?
Как можно сравнить:
а) загруженность работой двух однотипных мастерских, имея информацию
45
о количестве заказов, поступающих в эти мастерские;
б) качество работы двух рабочих, имея информацию о количестве бракованных деталей, производимых ими;
в) безопасность движения на двух перекрестках, имея информацию о количестве аварий, случающихся на них;
г) возможность выиграть в двух лотереях.
Задача №2
Пусть число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух
стрелков, имеет соответственно закон распределения:
x
8
9
10
x
8
9
10
p
0,4
0,1
0,5
p
0,1
0,6
0,3
Какой стрелок стреляет лучше?
Решение
Начинаем рассуждение с учениками. Только по виду законов распределения затруднительно ответить на этот вопрос: восемь очков первый стрелок
выбивает чаще, чем второй, вероятность попадания в «десятку» у него также
выше, но в «девятку» чаще попадает второй. Нужна именно та числовая характеристика, которая поможет оценить качество стрельбы каждого стрелка.
Итак, если Xi (i = 1, 2) - число очков, выбиваемых i-м стрелком при одном
выстреле, то
M X1 = 8 · 0, 4 + 9 · 0, 1 + 10 · 0, 5 = 9, 1;
M X2 = 8 · 0, 1 + 9 · 0, 6 + 10 · 0, 3 = 9, 2
Среднее число очков, выбиваемых при одном выстреле вторым стрелком,
несколько выше, чем у первого. Поэтому естественно признать его лучшим.
Задача №3 Для некоторого дня вероятность отсутствия заказов равна 30%,
вероятность поступления одного заказа — 50%, вероятность поступления двух
заказов — 15%, а вероятность поступления трех заказов — 5%.
Найдите среднее число ожидаемых заказов.
Задача №4
46
Пусть случайная величина X имеет закон распределения:
xk
-2
-1
0
1
2
pk
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2
Вычислить М(3Х) двумя способами:
а) пользуясь свойством 1;
б) предварительно составив закон распределения случайной величины 3Х.
Решение
а) M X = −2 · 0, 2 + (−1) · 0, 1 + 0 · 0, 3 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 2 = 0, 1;
M (3X) = 3 · M X = 3 · 0, 1 = 0, 3.
б) Составим закон распределения случайной величины Y = 3X :
xk
-6
-3
0
3
6
pk
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2
M (3X) = −6 · 0, 2 + (−3) · 0, 1 + 0 · 0, 3 + 3 · 0, 2 + 6 · 0, 2 = 0, 3.
Задача №5
В цехе установлены два станка, на которых изготовляют одинаковые детали. Число бракованных изделий, которые могут быть изготовлены на этих
станках за сутки, имеет соответственно законы распределения:
x
0
1
2
3
x
0
1
2
3
p
0,6
0,2
0,15 0,05 p
0,5
0,25 0,2
0,05
а) Найти среднее число бракованных деталей, изготовленных на первом станке за 10 суток.
б) Каково среднее число изготовленных цехом за сутки бракованных деталей?
Решение
Пусть X и Y — число бракованных деталей, которые изготовляются соответственно на первом и втором станках за сутки;
M X = 0, 65; M Y = 0, 8.
а) За 10 суток на первом станке изготовляется 10x бракованных деталей;
M (10X) = 10 · M X = 6, 5.
47
б) Цех за сутки изготовляет + Y бракованных деталей;
M (X + Y ) = M X + M Y = 0, 65 + 0, 8 = 1, 45.
V. Подведение итогов занятия (2 мин.)
Ребята делятся впечатлениями о новой теме, обсуждают наиболее интересные и трудные моменты.
VI. Задание на дом
1) Доказательство свойства линейности МО (СВОЙСТВО 1)
Свойство 1. Для произвольной случайной величины Х и произвольного
числа С имеет место равенство M (X) = M X.
Доказательство. Пусть случайная величина Х принимает значения
x1 , . . . , xn с вероятностями соответственно p1 , . . . , pn . Тогда величина СХ при
C 6= 0 принимает значения Cx1 , . . . , Cxn с теми же самыми вероятностями.
Поэтому
M (CX) = (Cx1 )p1 + . . . + Cxn )pn = C(x1 )p1 + . . . + xn pn ) = CM X.
Свойство справедливо и при С = 0.
ч.т.д.
2) Случайная величина Z принимает все четные целые значения от -8 до
8 с равными вероятностями. Найдите ее математическое ожидание.
3) Найдите математическое ожидание случайной величины Z, если:
а) Z = 2X − 3Y, M X = 3, M Y = 1;
б) Z = X + 3Y + 1, M X = 2, M Y = 0.
4) Дан закон распределения случайной величины X :
Найдите M (−2 + 3):
а) пользуясь свойствами математического ожидания;
б) составив сначала закон распределения случайной величины −2X + 3.
48
Факультативное занятие 3.
Тема «Числовые характеристики СВ — дисперсия и её свойства»
Тип занятия: комбинированный.
Цели занятия:
Образовательные:
• повторить тему прошлого занятия «Числовые характеристики СВ - математическое ожидание и его свойства»;
• ввести понятие дисперсии случайной величины;
• рассмотреть свойства дисперсии СВ;
• закрепить полученные знания с помощью примеров и задач.
Развивающие:
• развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и
усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов);
• развивать дивергентный тип мышления, внимание, математическую
речь, познавательный интерес к математике;
• расширить кругозор учеников, совершенствовать умения логически
мыслить и выражать свои мысли вслух;
• развить умение работать в группе, стремление к достижению цели.
Воспитательные:
• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;
• воспитывать интерес к предмету.
49
Методы обучения:
- словесные;
- наглядные.
Формы обучения:
- коллективная;
- групповая;
- фронтальная.
Оборудование и дополнительные материалы: ПК, проектор, презентация.
Ожидаемые результаты.
Учащийся должен:
• понимать сущность и уметь находить дисперсию СВ;
• уметь применять свойства дисперсии СВ.
План занятия
1. Организационный момент (2 мин.);
2. Актуализация знаний и практических и умственных умений (7 мин.);
3. Изучение нового материала и первичное закрепление (15 мин.);
4. Обобщение и систематизация знаний и умений, связь новых с ранее полученными и сформированными (12 мин.);
5. Подведение итогов урока (2 мин.);
6. Информация о домашнем задании (2 мин.).
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент (2 мин.)
Учитель приветствует учащихся. Отмечает того, кто отсутствует.
Ребята записывают тему в тетради и готовятся слушать учителя.
II. Актуализация знаний и практических и умственных умений (7 мин.)
У доски выходит желающий для доказательства первого свойства МО.
Второй ученик по желанию готовит задачу на выбор из домашнего задания.
50
Остальные учащиеся вспоминают определение МО и его свойства, а также
делятся впечатлениями о домашней работе и разбирают вместе с учителем
затруднения в её выполнении.
III. Изучение нового материала и первичное закрепление (15
мин.)
Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые
математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим,
например, дискретные случайные величины X и Y , заданные следующими
законами распределения:
x
-0,01 0,01
x
-100
100
p
0,5
0,5
p
0,5
0,5
Найдем математическое ожидание этих величин:
M (X) = −0, 01 · 0, 5 + 0, 01 · 0, 5 = 0,
M (X) = −100 · 0, 5 + 100 · 0, 5 = 0.
Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные
значения различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y — далекие от своего математического ожидания.
Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины,
еще нельзя судить ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную
величину не характеризует.
По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие
числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического
ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией [17].
Введем индуктивным способом определение дисперсии. Для этого рассмотрим пример.
Пример 1. Пусть орудие ведет прицельный огонь по мишени, удаленной от
51
нее на расстояние a км (рис.3) (на доске должен быть готов рисунок).
Рис. 3. Огонь по мишени
Если обозначить дальность стрельбы через Х (км), то ее среднее значение,
как правило, будет равно МХ = а.
Отклонение среднего значения от а свидетельствовало бы о наличии систематической погрешности стрельбы (систематического перелета или недолета снарядов), которую можно было бы устранить, изменив соответствующим образом наклон ствола орудия. Однако отсутствие систематической
ошибки нисколько не гарантирует высокую точность стрельбы: чтобы оценить точность, необходимо также знать, насколько близко ложатся снаряды
к цели.
Итак, нужно оценить отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания МХ, т. е. случайную величину X − M X.
В качестве меры такого отклонения естественно было бы взять величину
(X − M X). Однако M (X − M X) = 0 (сделать акцент, почему так, используя
свойства МО), и этот факт интуитивно понятен, ведь имеют место отклонения обоих знаков, их среднее равно нулю.
Поэтому желательно было бы не учитывать знак отклонения. Это можно
сделать, рассмотрев величину M |X − M X| или M (X − M X)2 .
Первую из них называют средним абсолютным отклонением, вторую дисперсией случайной величины.
{Вводим определение дисперсии случайной величины и среднего квадратичное отклонения СВ:}
52
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Обозначается дисперсия символом DX: DX = M (X − M X)2 .
Аналогично при анализе успеваемости по математике в двух классах, имеющих одинаковую среднюю успеваемость, часто предпочтение будет отдано
тому классу, где разброс успеваемости меньше, т. е. наблюдается более стабильная успеваемость учащихся. Дисперсию выражают в квадратах тех единиц, в которых измеряют саму случайную величину (или ее математическое
ожидание). Поэтому наряду с дисперсией часто рассматривают характеристику, которую выражают в тех же единицах, что и случайную величину, и,
также служащую мерой «разброса» ее значений.
Средним квадратичным отклонением случайной величины на√
зывают корень квадратный из ее дисперсии: σ(X) = DX.
Отметим два наиболее важных свойства дисперсии.
СВОЙСТВО 1. DX = M X 2 − (M X)2 .
Доказательство (можно провести в классе). Для вычисления дисперсии
можно получить другую формулу, которая часто упрощает вычисления.
Пусть M X = a, тогда DX = M (X − a)2 = M (X 2 − 2ax + a2 ).
Используя свойства математического ожидания, получим
DX = M X 2 − 2aM X + a2 = M X 2 − a2 = M X 2 − (M X)2 .
Итак, свойство доказано.
СВОЙСТВО 2. Если С — постоянная величина, то
D(X + C) = DX; D(CX) = C 2 DX; DC = 0 [7, c.344].
Доказательство можно дать в домашней работе.
IV. Контроль и самопроверка знаний (15 мин.)
Решение типовых задач у доски.
Задача №1
Случайная величина X имеет закон распределения:
53
x
-3
-2
-1
0
1
2
p
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины
X.
Решение
Предварительно найдем MX :
M X = (−3) · 0, 1 + (−2) · 0, 1 + (−1) · 0, 2 +
+ 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 3 = 0, 1.
Составим закон распределения случайной величины
y
(−3, 1)2
(−2, 1)2
(−1, 1)2
(−0, 1)2
(0, 9)2
(−1, 9)2
p
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
Воспользовавшись определением, вычислим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
DX = M (X − 0, 1)2 = 9, 61 · 0, 1 + 4, 41 · 0, 1 + 1, 21 · 0, 2 +
+ 0, 01 · 0, 1 + 0, 81 · 0, 2 + 3, 61 · 0, 3 = 2, 89;
√
σ(X) = DX = 1, 7.
Задача №2
Решить предыдущую задачу, используя свойство дисперсии (Свойство 1).
Решение
Закон распределения случайной величины имеет вид
y
0
1
4
9
p
0,1
0,4
0,4
0,1
M X 2 = 0 · 0, 1 + 1 · 0, 4 + 4 · 0, 4 + 9 · 0, 1 = 2, 9;
DX = 2, 9 − (0, 1)2 = 2, 89.
Задача №3
СВ X имеет закон распределения:
Найти DX.
Решение
x
457
500
525
p
0,6
0,3
0,1
54
Случайная величина X принимает довольно большие значения. Вычитая
из всех значений одно и то же число 500, мы фактически изменяем начало отсчета. Разделив все значения на 25, по существу изменим единицу масштаба.
Затем обратными преобразованиями можно вернуться к исходной случайной
величине.
y
-1
0
1
p
0,6
0,3
0,1
Итак, введем случайную величину Y =
X−500
25 .
Законы распределения Y и Z
имеют соответственно вид:
z
0
1
p
0,3
0,7
M Y = −1 · 0, 6 + 0 · 0, 3 + 1 · 0, 1 = −0, 5;
M Y 2 = 1 · 0, 7 + 0 · 0, 3 = 0, 7;
DY = M Y 2 − (M Y )2 = 0, 7 − (−0, 5)2 = 0, 45.
Так как X = 25Y + 500, то, воспользовавшись свойством 2, получим
DX = D(25Y + 500) = D(25Y ) = 625DX = 625; 0, 45 ≈ 281.
V.Подведение итогов занятия (2 мин.)
Ребята делятся впечатлениями о новой теме, обсуждают наиболее интересные и трудные моменты.
VI. Задание на дом
1) Если С - постоянная величина, то
D(X + C) = DX; D(CX) = C 2 DX; DC = 0.
Доказательство
Добавление к случайной величине постоянной С означает сдвиг всех ее
значений (а значит, и среднего значения) на одну и одну и ту же величину С,
поэтому разброс значений около среднего остается неизменным. Умножение
случайной величины на С эквивалентно изменению масштаба измерений на
С. При этом математическое ожидание умножается на С, а дисперсия — на
C 2.
55
Смысл равенства DC = 0 состоит в том, что у случайной величины, принимающей одно значение С с вероятностью, равной 1, математическое ожидание равно С и разброса значений около среднего нет.
Докажем свойство 2:
D(X + C) = M ((X + C) − M (X + C))2 = M (X − M X)2 =
= M (X − M X)2 = DX;
D(CX) = M (CX − M (CX))2 = M (C(X − M X))2 =
C 2 M (X − M X)2 = C 2 DX;
DC = M (C − M C)2 = 0
2) Найдите дисперсию случайной величины, если ее закон распределения
имеет вид:
x
-2
-1
0
2
p
0,1
0,2
0,5
0,2
3) Дисперсия случайной величины X равна 3. Найдите D(Y ), где:
а) Y = 3X; б) Y = X + 5; в) Y = −4X; г)Y = 2X − 1; д) Y = 5 − 3X;
е)Y = −5X − 7.
56
Факультативное занятие 4.
Тема «МО числа успехов в серии испытаний Бернулли.
Дисперсия числа успехов»
Тип занятия: комбинированный.
Цели занятия:
Образовательные:
• повторить тему двух предыдущих занятий;
• вспомнить серию испытаний Бернулли;
• рассмотреть математическое ожидание в серии испытаний Бернулли и
дисперсию числа успехов;
• закрепить полученные знания с помощью примеров и задач.
Развивающие:
• развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и
усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов);
• развивать дивергентный тип мышления, внимание, математическую
речь, познавательный интерес к математике;
• расширить кругозор учеников, совершенствовать умения логически
мыслить и выражать свои мысли вслух;
• развить умение работать в группе, стремление к достижению цели.
Воспитательные:
• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;
57
• воспитывать интерес к предмету.
Методы обучения:
- словесные;
- наглядные;
-самостоятельная работа.
Формы обучения:
- коллективная;
- фронтальная.
Оборудование и дополнительные материалы: ПК, проектор, презентация.
Ожидаемые результаты.
Учащийся должен:
• знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов
в серии испытаний Бернулли;
• уметь применять их при решении задач.
План занятия
1. Организационный момент (2 мин.);
2. Актуализация знаний и практических и умственных умений (10 мин.);
3. Изучение нового материала и первичное закрепление (12 мин.);
4. Обобщение и систематизация знаний и умений, связь новых с ранее полученными и сформированными (12 мин.);
5. Подведение итогов урока (2 мин.);
6. Информация о домашнем задании (2 мин.).
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент (2 мин.)
Учитель приветствует учащихся. Отмечает того, кто отсутствует.
Ребята записывают тему в тетради и готовятся слушать учителя.
58
II. Актуализация знаний и практических и умственных умений (10 мин.)
Самостоятельная работа (6 мин.)
Задача №1
Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей
на двух кубиках.
Решение
Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Для одного кубика M (x) = 3, 5. Значит, для двух кубиков:
Mx+y = Mx + My = 7, Mxy = Mx · My = 3, 52 = 12, 25.
Задача №2
Найдите D(2X + 3), если закон распределения случайной величины X
имеет вид:
x
-1
0
2
3
p
0,2
0,1
0,1
0,6
После самостоятельной работы вспоминаем схему независимых испытаний Бернулли (4 мин.). Проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо «успехом» либо «неуспехом», в каждом
испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1 − p.
Вероятность того, что в серии будет реализовано ровно k «успехов» вычисляется по формуле: Pn (m) = Cnm pm q n−m , m = 0, 1, 2, . . . , n.
Решим задачу: стрелок производит три независимых выстрела по мишени.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найти вероятность
того, что стрелок ровно два раза попадет в цель.
P3 (2) = 0, 92 · 0, 1 + 0, 92 · 0, 1 + 0, 92 · 0, 1 =
= 3 · 0, 92 · 0, 1 = C32 · 0, 92 · 0, 1 = 0, 243.
59
III. Изучение нового материала и первичное закрепление (12
мин.)
Математическое ожидание числа успехов в серии испытаний Бернулли
Если S - число успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли с
вероятностью успеха p, то M (S) = np.
Докажем это утверждение. Найти M(S) по определению оказывается весьма непросто. Проще пойти обходным путем, используя свойства математического ожидания.
Обозначим число успехов в первом испытании через X1 . В одном испытании результатов может быть только два — либо успех с вероятностью p, либо
неудача с вероятностью q. Поэтому X1 принимает всего лишь два значения
0 и 1 с вероятностями q и р соответственно.
Число успехов во втором испытании обозначим через X2 . И снова ясно,
что X2 принимает значения 0 и 1 с теми же вероятностями q и р.
Точно так же поступим для каждого из n испытаний. Пусть Xi — число
успехов в испытании с номером i. Составим таблицу распределения для Xi :
k
0
1
P (Xi = k)
q
p
Математическое ожидание M (Xi ) найти несложно:
M (Xi ) = 0 · q + 1 · p = p.
Общее число успехов при n испытаниях складывается из числа успехов
при каждом испытании: S = X1 + X2 + X3 + . . . + Xn .
По свойству 2 математического ожидания получаем
M (S) = M (X1 + X2 + X3 + . . . + Xn ) =
= M (X1 ) + M (X2 ) + M (X3 ) + . . . + M (Xn )
откуда M (S) = p + p + p + . . . + p = np.
|
{z
}
n
Пример. Найдем ожидаемое среднее число удач при n = 20 испытаниях
Бернулли с вероятностью успеха = 0, 4 в одном испытании.
Решение. Воспользуемся формулой: M (S) = np = 20 · 0, 4 = 8.
60
Полученный результат вполне ожидаем: если в среднем наступает 4 успеха
в 10 попытках, то в среднем должно быть 8 успехов в 20 попытках.
В этом пункте мы узнали, зачем нужны свойства математического
ожидания, и применили их для вычисления математического ожидания
числа успехов в серии испытаний Бернулли.
Дисперсия числа успехов
Дисперсия числа успехов S в серии из n испытаний Бернулли вычисляется
по формуле D(S) = npq.
Выведем эту формулу тем же способом, что и формулу математического
ожидания.
Опять воспользуемся тем, что S = X1 + X2 + . . . + Xn . Поскольку
отдельные испытания Бернулли независимы, значения случайных величин
X1 , X2 , . . . , Xn также независимы в том смысле, что не оказывают влияния
друг на друга.
Верно свойство: дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X1 + X2 + . . . + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + . . . + D(Xn ).
Поэтому достаточно найти дисперсии для каждого испытания и затем
сложить их. Воспользуемся формулой
D(Xi ) = M (Xi2 ) − M 2 (Xi ).
Случайная величина Xi2 принимает те же значения 0, 1, что и Xi . Поэтому
распределение у нее такое же. И математическое ожидание такое же:
D(Xi ) = p − p2 = p(1 − p) = pq.
Следовательно,
D(S) = pq + pq + pq + . . . + pq = npq.
|
{z
}
n
Мы рассказали еще об одном свойстве дисперсии для независимых случайных величин. Пользуясь этим свойством и уже известными нам свойствами дисперсии, мы смогли вычислить дисперсию числа успехов в серии
испытаний Бернулли [8].
61
IV. Контроль и самопроверка знаний (15 мин.)
Решение типовых задач у доски.
Задача №1
В пруду 2000 окуней и 1000 карасей. Рома ловит рыбу, но каждую пойманную
рыбу отпускает снова в пруд. Найдите ожидаемое число карасей, если всего
Рома поймал 30 рыб.
Задача №2
По полу рассыпали содержимое коробки, в которой лежало сто канцелярских кнопок. Сколько следует ожидать «опасных» кнопок, лежащих острием
вверх, если вероятность выпадения кнопки острием вверх равна 0,45?
Задача №3
По полу рассыпали содержимое коробки, в которой лежало сто кнопок. Кнопка падает острием вверх с вероятностью 0,36. Найдите дисперсию и стандартное отклонение величины «число кнопок, упавших острием вверх».
Задача №4
Игральную кость бросили 13 500 раз. Рассмотрим случайную величину X,
равную числу бросков, при которых: а) выпавшее число очков кратно 3; б)
выпала пятерка. Найдите D(X).
V.Подведение итогов занятия (2 мин.)
Ребята делятся впечатлениями о новой теме, обсуждают наиболее интересные и трудные моменты.
VI. Задание на дом
1) Игральную кость бросили 120 раз. Найдите ожидаемое число наступления события:
а) «число очков кратно 3»; б) «выпала пятерка».
2) В тесте из 16 задач каждая задача снабжена 4 вариантами ответа, но
только один ответ из четырех верный. Миша не готов к тесту и выбирает ответы наугад. Найдите ожидаемое число правильных ответов, которые Миша
угадает.
62
Факультативное занятие 5.
Тема «Обобщение темы «Случайные величины и их числовые
характеристики» в форме игры»
Тип занятия: повторительно-обобщающий.
Проводится в виде игры-соревнования. Выигравшие получают медали: 1
место — король случайных величин, 2 место — любитель случайных величин,
3 место — друг случайных величин.
Цели занятия:
Образовательные:
• закрепить ранее усвоенный материал в процессе решения задач в игровой форме;
• уметь определять тематику задачи.
Развивающие:
• развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и
усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов);
• развивать дивергентный тип мышления, внимание, математическую
речь, познавательный интерес к математике;
• расширить кругозор учеников, совершенствовать умения логически
мыслить и выражать свои мысли вслух;
• развить умение работать в группе, стремление к достижению цели.
Воспитательные:
• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;
63
• воспитывать интерес к предмету.
Методы обучения:
- словесные;
- наглядные;
-самостоятельная работа.
Формы обучения:
- коллективная;
- игра-соревнование;
- фронтальная.
Оборудование и дополнительные материалы: ПК, проектор, презентация,
раздаточный материал.
Ожидаемые результаты.
Учащийся должен:
• обобщить полученные теоретические знания;
• отточить знания, умения и навыки при решении задач по теме «Случайные величины и их числовые характеристики».
План занятия
1. Организационный момент, вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изученной темы, сообщает цель и план урока
(3 мин.);
2. Выполнение учащимися индивидуально и коллективно различного рода устных и письменных заданий обобщающего и систематизирующего характера, вырабатывающих обобщенные умения, формирующих обобщеннопонятийные знания, на основе обобщения фактов, явлений, проверка выполнения работ, корректировка (при необходимости)(30 мин.);
3. Оценка результатов урока, подведение итогов(5 мин.);
4. Задание на дом (не всегда)(2 мин.).
64
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята. За предыдущие три урока мы узнали многое о случайных величинах и их числовых характеристиках, научились решать задачи
и на опытах и примерах получили наглядное представление о них в повседневной жизни. Сегодня же мы подошли к заключительному этапу и постараемся за этот урок обобщить все полученные ранее знания. Но сделаем мы это
не типичным способом: теоретическим опросом или же контрольной работой,
а в виде игры «Царство случайных величин».
В конце будет ясно, кто же из вас наиболее глубоко осознал суть случайных величин и вручим три медали: 1 место — король случайных величин,
2 место — любитель случайных величин, 3 место — друг случайных величин. Игра состоит из трех раундов: теоретический штурм, придумай задачу
и расшифруй слово. Итак, приступим к первому раунду.
II. Игра
Первый раунд. Теоретический штурм.
Каждому ученику раздаются листовки с тестовыми заданиями, на которые он должен ответить в течение 6 минут. Затем ребята меняются листовками и проверяют (2 мин.), сравнивая с ответами на слайде.
Тестовые задания:
1) Случайная величина — это (1 балл)
а) событие, которое зависит от случая;
б) величина, случайно происшедшая в процессе жизнедеятельности;
в) величина, которая зависит от случая;
г) случай, который зависит от величины.
2) Какие величины являются случайными:1. сумма двух чисел; 2. напряжение в бытовой электрической сети; 3.число успехов в серии испытаний
65
Бернулли; 4. день недели 12 апреля 2011 года. (2 балла)
а) 1 и 2; б) 1 и 4; в) 1,2 и 3; г) 2 и 3.
3) Как полностью описать случайную величину? (1 балл)
а) надо указать все ее значения;
б) надо указать, с какими вероятностями она принимает значения;
в) доказать, что она возникает как результат случайного опыта;
г) полностью описать ее невозможно по причине ее случайности.
4) Испытание Бернулли — это: (2 балла)
а) случайный эксперимент с двумя возможными исходами - успехом и неудачей;
б) случайный эксперимент с тремя возможными исходами - успехом, неудачей и отсутствием результата;
в) распределение вероятностей случайной величины в честь Якоба Бернулли;
г) случайное распределение вероятностей величины в честь Якоба Бернулли.
5) В каком случае распределение Бернулли симметрично? (1 балл)
а) вероятности успеха и неудачи отличаются на 0,1;
б) вероятности успеха и неудачи одинаковы;
в) вероятность успеха больше вероятности неудачи;
г) вероятность успеха меньше вероятности неудачи.
6) Математическим ожиданием случайной величины X называют число:
(1 балл)
а)M (X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + . . . + xn pm ;
б)D(X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + . . . + xn pn ;
в)M (X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + . . . + xn pn ;
г)M (X) = x1 p2 + x2 p1 + . . . + xn pm .
7) Дисперсией случайной величины X называют: (1 балл)
а) математическое ожидание случайной величины (X − M (X))2 ;
б) математическое ожидание случайной величины (X − M (X)2 );
в) математическое ожидание случайной величины M ((X − M (X 2 )));
66
г) математическое ожидание случайной величины M ((X − M (X)2 )).
8) Установите верные свойства для математического ожидания и дисперсии. (2 балла)
Математическое ожидание:
Дисперсия:
а) Пусть X — случайная величина.
Рассмотрим случайную величину Y = aX, где a — некоторое число. Тогда
D(Y ) = a2 D(X);
б) Пусть X — случайная величина.
Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда D(Y ) = D(X + a);
в) Пусть U и V — две случайные величины. Тогда U + V — также случайная
величина, и при этом: M (U + V ) = M (U ) + M (V );
г) Пусть X — случайная величина.
Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда D(Y ) = D(X);
д) Пусть X — случайная величина, a — некоторое число.
Рассмотрим случайную величину Y = aX. Тогда M (Y ) = aM (X); е) Пусть
U и V — две случайные величины. Тогда U +V — также случайная величина,
и при этом M (U + V ) = U + V .
9) Если S — число успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли
с вероятностью успеха p, то (несколько ответов): (1 балл)
а) M (S) = np; б) D(S) = np; в) M (S) = Snp;
г) D(S) = npq; д) D(S) = Spq; е) M (S) = npq.
10) Распределение Бернулли: (1 балл)
а) Pn (m) = Cnm pm q n−m , m = 0, 1, 2, . . . , n.;
б) Pn (m) = Cnm pm q n , m = 0, 1, 2, . . . , n.;
в) Pn (m) = C m pm−n q m , m = 0, 1, 2, . . . , n.;
n m
г) Pn (m) = Cm
p , m = 0, 1, 2, . . . , n..
II раунд. Придумай задачу.
По классу разносятся карточки с темой, по которой ребята должны при-
67
думать и решить свою задачу.
Первые три ученика по очереди у доски рассказываю свои задачи. Первые
три получают баллы: первый — 6, второй — 5, третий — 4.
III раунд. Расшифруй слово.
Ученики решают самостоятельно задачи и сравнивают ответы с таблицей
в течение 15 минут. В результате решения всех задач сложится искомое слово.
Первые три получают баллы: первый — 10, второй — 8, третий — 6.
Задачи для решения:
1. В таблицах дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найдите ее. (рассчитывать как 2
буквы в слове)
Значения
1
2
3
4
5
6
Вероятность
1
9
1
3
1
6
?
1
4
1
8
Значения
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Вероятность
0,05
0,1
0,15
0,18
?
0,18
0,15
0,1
0,05
2. Когда распределение числа успехов в серии испытаний Бернулли будет
симметрично? Если вероятность успеха: а) p = 0, 2; б) p = 0, 7; в) p = 0, 5?
3. Случайная величина A принимает все целые значения от -15 до 15 с
равными вероятностями. Найдите ее математическое ожидание.
4. Случайная величина X принимает целые значения от -3 до 7 с равными вероятностями. Случайная величина Y принимает целые значения от
1 до 9 также с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание
случайной величины Z, если: Z = x − y.
5. Дано распределение случайной величины X:
Значения
-2
0
1
3
Вероятность
0,3
0,3
0,3
0,1
68
Вычислите дисперсию этой случайной величины.
6. В тесте из 16 задач каждая задача снабжена 4 вариантами ответа, но
только один ответ из четырех верный. Миша не готов к тесту и выбирает ответы наугад. Найдите ожидаемое число правильных ответов, которые Миша
угадает.
Таблица для составления слова по результатам решенных задач:
-2
1
72
Ш Ч
4
6
5
-1
19
72
1
2
12
5
18 0
-6
1
25
1
17
25
2
17
О
М С
И
Д
Н
К
Х
У
Ц
П
Л
Р
Ответы: №1. а)
1
72
и б)
1
25 ;
Е
№2. 12 ; №3. 0; №4. -1; №5.
12
5;
№6. 4.
Слово: чудесно.
III. Оценка результатов занятия, подведение итогов
Суммируются все полученные баллы и выявляются победители (3 места).
Ребята делятся своими впечатлениями об уроке.
IV. Задание на дом (не всегда)
В процессе данного урока подразумевается полное усвоение темы. В ходе
игры и самостоятельной работы ученики доводят до совершенства полученные ранее знания. Возможно, именно этот урок позволит им осознать то, что
до этого было не совсем понятно. Поэтому домашнее задание учитель может
дать по своему усмотрению, что необязательно.
69
2.6. Разработка учебно-методического электронного пособия по
теме «Случайные величины и их числовые характеристики»
Сегодня наблюдается все больший рост процессов информатизации современного общества и тесно связанных с ними процессов информатизации всех
форм образовательной деятельности, что сопровождается совершенствованием и массовым распространением современных информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Эти технологии необходимы для передачи
информации и обеспечения взаимодействия преподавателя и обучаемого в
современных системах образования. Современный преподаватель должен не
только иметь знания в области ИКТ, но и быть специалистом по их применению в своей профессиональной деятельности. В современных системах образования широкое применение получили универсальные офисные прикладные
программы и средства ИКТ: текстовые процессоры, электронные таблицы,
программы подготовки презентаций, системы управления базами данных, органайзеры, графические пакеты и т.п.
Был разработан электронный учебник в помощь учителям и студентам
педагогических вузов для организации факультативных занятий в средней
школе по теме «Случайные величины и их числовые характеристики».
Данное электронное пособие создано средствами языка гипертекстовой
разметки HTML с использованием фреймов, таблиц, ссылок и прочих возможностей этого языка. Стиль отдельных элементов страницы назначался с
помощью каскадных таблиц стилей (CSS). Не обошлось дело и без JavaScript,
с помощью которых были созданы кнопки перемещения по страницам учебника, учитывая историю.
Электронный учебник оформлен в приятных мягких тонах, снабжен красочными рисунками, что положительно сказывается на работу с ним. Информация систематизирована и качественно упорядочена.
После запуска учебника через web browser вниманию пользователя предоставляется главная страница, на которой содержится информация, характе-
70
ризующая цель создания данного пособия (см. рис. 4).
Рис. 4. Главная страница
Слева находится удобное меню с основными пунктами по теме, оформленное с помощью блочного тега <DIV> и каскадных таблиц стилей CSS (см.
рис. 5).
Рис. 5. Меню учебника
Очень удобно использовать готовые факультативные занятия по теме.
Здесь каждый урок открывается на отдельной странице и предоставляются
71
ссылки для скачивания или открытия конспекта в формате pdf, презентации
и раздаточного материала. Пользователь может как открыть информацию,
так и скачать на компьютер.
В электронном учебнике содержится задачник. В случае если останется
свободное время на занятии, учитель может обратиться к нему и выбрать
задачу по интересующей теме. В задачнике содержится 50 задач.
В дополнение к методическому пособию разработаны тесты по теме «Случайные величины и их числовые характеристики» также средствами HTML,
CSS и JavaScripts. Учитель может использовать тесты для проверки знаний
учеников как во время подготовки к изучению нового материала, так и в
роли контрольного теста. Или же раздать ученикам для самостоятельного
прохождения дома. Вход по файлу index.html. В учебнике три теста по основным темам факультатива (см. рис.6).
Рис. 6. Тесты по СВ
Также к факультативному занятию №1 разработан учебник для разбора задачи по трехкратному подбрасыванию правильной монеты. Основа этого учебника — вывод анимации из списка с помощью Java Scripts, функции
Random. Шесть анимаций (процесс подбрасывания монеты) создано в программе Macromedia Flash Professional. Для проведения опыта не обязательно
72
иметь монету, а достаточно по нажатии ссылки провести случайное испытание, в результате которого на экране появится случайная анимация. Опыт
с красочными анимациями интереснее типичного и скучного подбрасывания
монеты.
Созданные электронные учебники желательно открывать с помощью следующих web browsers: Mozilla Firefox, Google, Opera, чтобы в полной мере
ощутить качество созданного электронного учебника. Было приложено немало усилий, чтобы пользователь мог найти в электронном учебнике интересующую информацию по теме «Изучение случайных величин и их числовых
характеристик на факультативных занятиях в 11 классе».
73
Заключение
Изучение и понимание теории вероятностей и статистических проблем
необходимо в нашей перенасыщенной информацией жизни. Но включение
стохастической линии в школьный курс столкнулось с рядом трудностей, вопервых, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие конкретной методики и школьных учебников.
Современная концепция математического образования в школе главным
образом ориентирована на учет индивидуальности ученика, его интересов
и склонностей, которыми определяются критерии отбора содержания, разработка, внедрение новых, интерактивных методик образования, пересмотр
требований к математической подготовке ученика. Поэтому, когда речь идет
не только об обучении предмету математики, но и развитию личности с помощью математики, необходимость формирования у школьников вероятностной
интуиции и статистического мышления становится важной задачей.
В ходе выполнения ВКР была достигнута поставленная цель, т.е. разработана программа и содержание факультативного курса в 11 классе по теме
«Случайные величины и их числовые характеристики» и выполнены задачи,
а именно:
• проанализированы учебные пособия по теории вероятностей, выявлены
преимущества и недостатки;
• разработан факультативный курс по теме «Случайные величины и их
числовые характеристики» для 11 класса;
• разработано учебно-методическое электронное пособия по данной теме.
74
Список использованной литературы
1. Стандарт основного общего образования по математике // Математика.
Летний тематический номер. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / под
редакцией А.С. Соловейчик. — 2004. — № 14.— 4 с.
2. Никольский, С.М., Потапов, М. К., Решетников, Н. Н., Шевкин, А.
В. Алгебра и начала анализа 10 класс// Учебник для общеобразовательных
учреждений: базовый и профильный уровни. — М.: Просвещение, 2009. — 348
с.
3. Мордкович, А.Г., Семенов, П.В. Алгебра и начала математического анализа 10–11 (Базовый уровень)// Методическое пособие для учителя. — М.:
Мнемозина, 2010. — 72 с.
4. Мордкович, А.Г., Семенов, П.В. Алгебра и начала математического анализа 10–11//Базовый уровень. — М.: Мнемозина, 2009. — 297 с.
5. Шабунин, М.И., Прокофьев, А.А., Олейник, Т. А. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11
класса. — М.: БИНОМ, 2010. — 327 с.
6. Шабунин, М.И., Прокофьев, А.А. Алгебра. Начала математического
анализа. Профильный уровень. 10-11 классы. — М.: БИНОМ, 2008. — 373 с.
7. Бродский, Я.С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. — М.: Оникс:
Мир и Образование, 2008.
8. Тюрин, Ю.Н., Макаров, А. А., Высоцкий, И. Р., Ященко, И. В. Теория
вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО: Московские учебники, 2004. —
199 с.
9. ООО «Олбест» // URL:
http://revolution.allbest.ru/psychology/00272582_0.html
10. Мир работ // URL:
http://www.mirrabot.com/subjects/subject_1749014.html
11. Элективные курсы а профильном обучении// Образовательная область «Математика»/ под ред. А. Г. Каспржака. — М.:НФПК, 2004. — 35
75
с.
12. Студенецкая, В. Н., Сагателова, Л. С. Сборник элективных курсов//
Математика 8-9 классы. – М.: Учитель, 2006. — 14 с.
13. Ященко, И.В. Проект МЦНМО // URL:
http://teorver.mccme.ru/tmvy/metod/m4/index.shtml
14. Андронов, А.М., Копытов, Е.А., Гринглаз, Л.Я. Теория вероятностей
и математическая статистика: Учебник для вузов. — СПб.: Питер, 2004. — 81
с.
15. Волковец, А.И., Гуринович, А. Б. Теория вероятностей и математическая статистика: конспект лекций. — М.: БГУИР,2003 — 21 с.
16. Письменный, Д. М. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Академия, 2004. — 63 с.
17. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2003. — 85 с.
18. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2004. — 53 с.
76
Приложение №1. Теоретические основы темы: «Случайные величины и их
числовые характеристики»
Глава I. Случайные величины
п.1. Примеры случайных величин. В теории вероятностей, кроме
случайных событий, изучаются случайные величины.
Случайная величина — это величина, значение которой зависит от случая.
В ходе некоторого случайного опыта или наблюдения случайная величина
принимает то или иное числовое значение. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Предположим, некто кидает игральную кость. Случайной величиной X будем считать число выпавших очков. Поскольку кубик имеет
шесть граней и число очков на каждой грани — целое число от 1 до 6, случайная величина X принимает значения из множества 1;2;3;4;5;6.
Пример 2. Важным примером случайной величины является число успехов в серии испытаний Бернулли. Пусть, например, проводится 10 испытаний
Бернулли. Число успехов в этой серии может принимать любое целое значение 0 до 10. Число неудач также является случайной величиной.
Замечание. Если значения какой-либо величины поддаются точному вычислению, то ее не рассматривают как случайную и изучают другими методами. Например, можно точно сказать, каким днем недели будет 23 сентября
2010 г.: здесь нет случайности.
Пример 3. Можно точно вычислить, чему равна сумма
5
6
и 38 . Поэтому
значение этой суммы не является случайной величиной. Однако если дать
эту задачу на контрольной работе в школе, то полученные ответы могут отличаться от верного ответа непредсказуемым образом. Поэтому ответ школьника можно рассматривать как случайную величину.
B этом пункте рассказано, что помимо случайных событий теория вероятностей изучает случайные величины, и приведены примеры случайных
величин.
п.2. Распределение вероятностей случайной величины. Случай-
77
ная величина возникает как результат случайного опыта. Предположим, что
случайная величина X в некотором опыте может принимать несколько значений. Чтобы полностью описать случайную величину , надо указать, с какими вероятностями она принимает эти значения. Если,
например, величина может принять значение 5, то нужно указать вероятность события «X равно 5». Если величина может принять значение -4, то
нужно указать вероятность события «X равно -4». Такие события принято
обозначать (X = 5), (X = −4) и т. д.
Указать вероятность каждого значения можно с помощью таблицы, графика, диаграммы или формулы. В следующем примере указаны значения
случайной величины и вероятности этих значений с помощью таблицы.
Пример 1. Случайная величина Y равна числу очков, выпавших при однократном бросании игрального кубика. Таблица значений этой случайной
величины и их вероятностей выглядит так:
Значение
1
2
3
4
5
6
Вероятность
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
В этом примере все вероятности одинаковые. Вероятность поровну распределена между шестью возможными значениями.
Рассмотрим еще одну случайную величину.
Пример 2. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта нам известна. По горизонтали указано число очков, выпавшее на первой кости, по вертикали - на второй.
1
2
3
4
5
6
1
1; 1
1; 2
1; 3
1; 4
1; 5
1; 6
2
1; 2
2; 2
2; 3
2; 4
2; 5
2; 6
3
1; 3
3; 2
3; 3
3; 4
3; 5
3; 6
4
1; 4
4; 2
4; 3
4; 4
4; 5
4; 6
5
1; 5
5; 2
5; 3
5; 4
5; 5
5; 6
6
1; 6
6; 2
6; 3
6; 4
6; 5
6; 6
78
Сумма выпавших очков — случайная величина. Возможные значения этой
суммы — натуральные числа от 2 до 12. С помощью таблицы элементарных
событий можно вычислить распределение вероятностей между возможными
значениями нашей случайной величины.
Вычислим, например, вероятность того, что сумма очков равна 7. Выделим желтым цветом элементарные события, благоприятствующие этому
событию. Их 6. Так как в этом опыте 36 равновозможных элементарных событий, вероятность каждого из них равна
1
36
«сумма очков равна 7» оказывается равна 6 ·
. Поэтому вероятность события
1
36
=
1
6
.
Таким же способом можно вычислить остальные вероятности и заполнить
таблицу
Значение
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Вероятность
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Вероятности в таблице для лучшего понимания приведены в виде несокращенных дробей.
Это распределение вероятностей можно представить и в виде диаграммы
(см. рис. 7).
Рис. 7. Диаграмма распределения вероятностей СВ
Высота каждого столбца диаграммы равна вероятности того, что случайная
величина примет соответствующее значение.
Основное свойство распределения заключается в том, что сумма всех
вероятностей равна 1.
79
Объясняется это тем, что сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента.
В природе значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы прибора или изделия (телевизора,
стиральной машины, автомобиля) может оказаться любым (положительным)
числом.
Любым числом может оказаться рост наудачу взятого человека. Можно
привести другие примеры. Такие случайные величины называются непрерывными. Для непрерывных случайных величин распределение вероятностей между возможными значениями описывают с помощью функций.
В этом пункте мы познакомились с очень важным понятием — распределением вероятностей случайной величины. Распределение вероятностей
показывает, какую вероятность имеет каждое значение случайной величины.
п.3. Распределение Бернулли. Вернемся к уже знакомым нам испытаниям Бернулли. Напомним, что испытанием Бернулли называется случайный
эксперимент с двумя возможными исходами - успехом и неудачей. Вероятность успеха обычно обозначают через p, а вероятность неудачи q - через
q = 1 − p. Очевидно, справедливо равенство .
Напомним также, что вероятность одного какого-нибудь элементарного
события, при котором наступает ровно k успехов, равна pk q n−k .
Кроме того, мы знаем, что число элементарных событий, благоприятствующих наступлению k успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли,
равно Cnk .
Пусть случайная величина S - число успехов в серии из n испытаний
Бернулли. S может принимать целые значения от 0 до n.
Тогда событие (S = k) состоит в том, что в результате серии испытаний
наступило k успехов. Поэтому P (S = k) = Cnk pk q n−k .
Эта формула дает распределение случайной величины S.
80
Определение. Распределение вероятностей случайной величины S называют распределением Бернулли - в честь Якоба Бернулли, который
триста лет назад изучил эксперимент с двумя исходами.
Пример 1. Распределение Бернулли для n = 3 при p = 0, 2.
По формуле q = 1 − p находим, что q = 0, 8.
Тогда
P (S = 0) = C30 p0 q 3 = 1 · 1 · 0, 83 = 0, 512,
P (S = 1) = C31 p0 q 2 = 3 · 0, 2 · 0, 82 = 0, 384,
P (S = 2) = C32 p0 q 1 = 3 · 0, 22 · 0, 8 = 0, 096,
P (S = 3) = C33 p0 q 0 = 1 · 0, 23 · 1 = 0, 008.
Получаем таблицу распределения:
k
0
1
2
3
P (S = k)
0,512
0,384
0,096
0,008
Убедитесь, что сумма вероятностей в таблице равна единице.
Пример 2. Таблица распределения Бернулли для n = 16 при p = 0, 5.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P (S = k)
0
0
0,002
0,009
0,028
0,067
0,122
0,175
0,196
0,175
k
10
11
12
13
14
15
16
P (S = k)
0,122
0,067
0,028
0,009
0,002
0
0
Как видно из таблицы, распределение вероятностей симметрично относительно значения 0,196. Это объясняется тем, что вероятности успеха и
неудачи одинаковы: p = q = 0, 5. Наиболее вероятное значение случайной
величины S равно 8. Наглядно форма распределения Бернулли для n = 16
при p = 0, 5 показана в виде столбиковой диаграммы на рис. 8.
81
Рис. 8. Столбиковая диаграмма распределения вероятностей СВ
Теперь мы знаем, что число успехов в серии испытаний Бернулли - это
случайная величина, и знаем, какое она имеет распределение.
Глава II. Числовые характеристики случайных величин
Как мы знаем, распределение вероятностей случайной величины — это
таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности.
Для практики не всегда нужно изучать всю таблицу распределения. Достаточно знать некоторые ее числовые характеристики. Мы расскажем о двух
наиболее важных из них. Это математическое ожидание и дисперсия.
п.1. Математическое ожидание случайной величины. Рассмотрим случайную величину X. Ее математическое ожидание обычно обозначают M (X).
Пусть распределение вероятностей случайной величины X задано таблицей:
Значение величины x
x1
x2
x3
...
xn
Вероятность
p1
p2
p3
...
pn
Определение. Математическим ожиданием случайной величины X
называют число M (X) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn . Математическое ожидание
M (X) называют также ожидаемым значением случайной величины X,
средним значением случайной величины X.
82
Если значения случайной величины измеряются в каких-либо единицах
(например, рост — в сантиметрах, температура — в градусах), то ее математическое ожидание измеряется в этих же единицах (средний рост — в сантиметрах, средняя температура — в градусах).
Пример. Возьмем в качестве случайной величины X число очков, выпавших на одной игральной кости. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны
1
6
. Поэтому
M (x) = 1 · 16 + 2 · 16 + 3 · 16 + 4 · 16 + 5 · 61 + 6 ·
1
6
=
1+2+3+4+5+6
6
= 3, 5.
Этот пример показывает, что если все значения случайной величины
равновероятны, то математическое ожидание — это просто среднее
арифметическое значений.
п.2. Свойства математического ожидания. Решение некоторых
задач предыдущего пункта можно упростить, если воспользоваться свойствами математического ожидания. Отметим наиболее важные свойства.
Свойство 1. Пусть X — случайная величина, a — некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y = aX. Тогда M(aX) = aMX.
Свойство 2. Пусть U и V — две случайные величины. Тогда U + V —
также случайная величина, и при этом: M (U + V ) = M (U ) + M (V ).
Это значит, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Пример 1. Вернемся еще раз к сумме числа очков, выпавших на двух игральных костях. Найдем математическое ожидание этой случайной величины. Обозначим число очков, выпавших на первой кости, через U , а на второй
- через V . Найдем математическое ожидание случайной величины S = U +V .
Нам известно, что M (U ) = M (V ) = 3, 5.
Следовательно, по свойству 2 мы получаем
M (S) = M (U ) + M (V ) = 3, 5 + 3, 5 = 7.
Используя свойство математического ожидания, мы избежали громоздких вычислений.
83
Свойство 2 верно и для произвольного числа слагаемых. Во многих случаях это свойство позволяет вычислять математическое ожидание, не составляя
таблицу распределения вероятностей.
Пример 2. В некоторых настольных играх игроки по очереди бросают игральную кость. Фишка игрока передвигается по игровому полю на столько
шагов, сколько очков выпало на кости. Спрашивается, как далеко сможет
продвинуться игрок, скажем, за десять шагов? Ответить на этот вопрос точно невозможно. Если удастся выкинуть десять шестерок подряд, то можно
продвинуться на 60 шагов. Однако 10 шестерок подряд случается крайне
редко. Так же редко выпадает и 10 единиц подряд. Скорее всего, за десять
бросков на кости выпадут различные значения. Например, результат десяти
бросаний кости может выглядеть так:
5; 6; 3; 6; 4; 1; 4; 6; 3; 2
или так:
1; 2; 6; 3; 1; 3; 4; 2; 2; 5.
Сумма очков в первой серии из десяти бросков равна 35, а во второй
серии сумма равна 29. А можно ли указать, чему эта сумма будет равняться
в среднем?
Чтобы найти среднее, нет необходимости кидать игральную кость много
раз. Среднее можно рассчитать теоретически как математическое ожидание
случайной величины.
Обозначим через X1 , X2 , X3 , ..., Xn число очков на кости во время каждого
броска, а через S - их сумму. Тогда
M (S) = M (X1 + X2 + X3 + . . . + X10 ) = M (X1 ) + M (X2 ) + M (X3 ) + . . . +
M (X10 ) = 10 · 3, 5 = 35.
Заметим, что в этом примере полученное число лежит посередине между
наименьшим возможным продвижением на 10 шагов и наибольшим возможным на 60.
B этом пункте рассказано о двух важных свойствах математического
84
ожидания.
п.3. Дисперсия и стандартное отклонение. Иногда среднее значение оказывается не самым главным показателем. Более важную роль играет
постоянство значений, их кучность. Когда говорят о том, что средние показатели вроде бы хорошие, но на самом деле ничего не показывают, часто
употребляют меткое выражение «средняя температура по больнице нормальная». Это очень красочный пример бессмысленности среднего показателя в
некоторых случаях: у одного больного температура 40◦ , у другого −33, 2◦ ,
оба при смерти, а их средняя температура нормальная −36, 6◦ . И кажется,
что все здоровы.
Теперь сделаем общие выводы. Чтобы судить о поведении случайной величины, мало знать ее математическое ожидание. Нужна числовая характеристика для рассеивания или разброса ее значений. В теории вероятностей в
качестве меры разброса используют дисперсию случайной величины.
Этот пункт посвящен рассказу о том, почему кроме среднего нужно
знать разброс, и приводится пример, когда разброс более важен, чем среднее
значение. Наиболее употребительной мерой рассеивания случайной величины
является дисперсия.
Определение. Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины D(X) = M ((X − M (X))2 ).
Обозначают дисперсию случайной величины через D(X). Итак, по определению D(X) = M ((X − M (X))2 ).
Очевидно, что D(X) ≥ 0. Чем меньше дисперсия, тем более кучно значения случайной величины группируются около математического ожидания
M (X). Если же D(X) = 0, то случайная величина X принимает единственное значение. В таком случае говорят, что случайная величина постоянна.
Пример. Найдем дисперсию случайной величины X «число очков при однократном бросании игральной кости».
Решение. Известно, что M (X) = 3, 5. Построим распределение случайной
85
величины X − M (X):
Значение
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
Вероятность
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Тогда
D=
(x1 −M )2 +(x2 −M )2 +...+(xn −M )2
.
n
У дисперсии также есть недостаток: дисперсия измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина. Например, если случайная величина
X — расстояние, то она измеряется в метрах. В этом случае D(X) будет
измеряться в квадратных метрах.
А если X - напряжение и измеряется в вольтах? Тогда дисперсию D(X)
придется измерять в квадратных вольтах?..
По этой причине вместо дисперсии часто используется мера рассеивания,
которая называется средним квадратичным или стандартным отклонением и равна арифметическому квадратному корню из дисперсии. Стандартное отклонение часто обозначают греческой буквой σ (сигма).
p
σ = D(X).
В рассмотренном примере стандартное отклонение
√
σ = 2, 917 ≈ 1, 71.
B этом пункте мы узнали, что дисперсия случайной величины - это
средний квадрат отклонения от математического ожидания. Дисперсия
показывает разброс значений случайной величины. Еще мы узнали, что такое стандартное отклонение.
п.4. Свойства дисперсии. В предыдущем пункте мы установили, что
дисперсия является характеристикой рассеивания случайной величины. Дисперсия вычисляется по формуле
D(X) = M ((X − M (X))2 ).
Существует еще одна формула для вычисления дисперсии, которая обычно удобнее: D(X) = M (X 2 ) − M 2 (X).
86
Выведем эту формулу:
D(X) = M ((X − M (X))2 ) = M (X 2 − 2X · M (X) + M 2 (X))
По свойству 2 математического ожидания получаем
D(X) = M (X 2 ) − M (2XM (X)) + M (M 2 (X)).
Заметим, что M (X), 2M (X) и M 2 (X) постоянные числа. Применив свойство 1 математического ожидания, получим
D(X) = M (X 2 ) − 2M (X)M (X) + M 2 (X) = M (X 2 ) − 2M 2 (X) + M 2 (X) =
M (X 2 ) − M 2 (X).
Вывод окончен.
Отметим два наиболее важных свойства дисперсии.
Свойство 1. Пусть X — случайная величина. Рассмотрим случайную
величину Y = aX , где a — некоторое число. Тогда D(Y ) = a2 D(X).
Свойство 2. Пусть X - случайная величина. Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда D(Y ) = D(X).
B этом пункте мы нашли способ вычислять дисперсию по более простой
формуле и познакомились с двумя свойствами дисперсии.
п.5. Математическое ожидание числа успехов в серии испытаний Бернулли. Если S - число успехов в серии из n независимых испытаний
Бернулли с вероятностью успеха p, то M (S) = np.
Докажем это утверждение. Найти M (S) по определению оказывается
весьма непросто. Проще пойти обходным путем, используя свойства математического ожидания.
Обозначим число успехов в первом испытании через X1 . В одном испытании результатов может быть только два — либо успех с вероятностью p, либо
неудача с вероятностью q. Поэтому X1 принимает всего лишь два значения
0 и 1 с вероятностями q и соответственно.
Число успехов во втором испытании обозначим через X2 . И снова ясно,
что X2 принимает значения 0 и 1 с теми же вероятностями q и p.
Точно так же поступим для каждого из n испытаний. Пусть Xi - число
87
успехов в испытании с номером i. Составим таблицу распределения для Xi :
k
P (Xi = k)
Математическое ожидание M (Xi ) найти несложно:
M (Xi ) = 0 · q + 1 · p = p
Общее число успехов при n испытаниях складывается из числа успехов
при каждом испытании: S = X1 + X2 + X3 + . . . + Xn .
По свойству 2 математического ожидания получаем
M (S) = M (X1 +X2 +X3 +. . .+Xn ) = M (X1 )+M (X2 )+M (X3 )+. . .+M (Xn ),
откуда
M (S) = p + p + p + . . . + p = np.
|
{z
}
n
Пример. Найдем ожидаемое среднее число удач при n = 20 испытаниях
Бернулли с вероятностью успеха p = 0, 4 в одном испытании.
Решение. Воспользуемся формулой:
M (S) = np = 20 · 0, 4 = 8.
Полученный результат вполне ожидаем: если в среднем наступает 4 успеха
в 10 попытках, то в среднем должно быть 8 успехов в 20 попытках.
В этом пункте мы узнали, зачем нужны свойства математического
ожидания, и применили их для вычисления математического ожидания
числа успехов в серии испытаний Бернулли.
п.6. Дисперсия числа успехов. Дисперсия числа успехов S в серии из
n испытаний Бернулли вычисляется по формуле D(S) = npq.
Выведем эту формулу тем же способом, что и формулу математического
ожидания.
Опять воспользуемся тем, что S = X1 + X2 + X3 + . . . + Xn . Поскольку
отдельные испытания Бернулли независимы, значения случайных величин
X1 , X2 , X3 . . . , Xn также независимы в том смысле, что не оказывают влияния
друг на друга.
88
Верно свойство: дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий:
D(X1 + X2 + X3 + . . . + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + D(X3 ) + . . . + D(Xn ).
Поэтому достаточно найти дисперсии для каждого испытания и затем
сложить их. Воспользуемся формулой
D(Xi ) = M (Xi2 ) − M 2 (Xi ).
Случайная величина Xi2 принимает те же значения 0, 1, что и Xi . Поэтому
распределение у нее такое же. И математическое ожидание такое же:
M (Xi2 ) = M (Xi ) = p.
Поэтому
D(Xi = p − p2 = p(1 − p) = pq.)
Следовательно,
D(S) = pq + pq + pq + . . . + pq = npq
|
{z
}
n
Мы рассказали еще об одном свойстве дисперсии для независимых случайных величин. Пользуясь этим свойством и уже известными нам свойствами дисперсии, мы смогли вычислить дисперсию числа успехов в серии
испытаний Бернулли [8].
