Лкц 08-02

Лекция 8
2.5.3
2.5.4
2.5.5
2.5.3
План лекции
Закон Пуассона
Показательный закон распределения
Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей
Закон Пуассона (закон редких явлений)
Дискретная случайная величина X(0, 1, 2...) распределена по закону Пуассона,
если вероятность того ,что она примет определенное целочисленное значение k
выражается формулой
k
e
,
np , n
x i k 0, 1, 2,...
p xi
pk
k!
Теорема: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по закону Пуассона с параметром
,связаны соотношением m x D x
.
Доказательство. Исходим из того, что распределение Пуассона является предельным случаем биноминального распределения для n
:
X
Dx
npq
1
n
np
;
, т.к. q 1 p 1
n
1.
Практикой доказано, что распределение Пуассона хорошо описывает простейшие потоки событий.
Потоком событий называется последовательность событий,
которые происходят в случайные моменты времени.
.
Для простейших потоков характерны три свойства:
стационарность, отсутствие последействия и ординарность.
Стационарность означает, что вероятность появления k событий зависит только
значения k и длительности интервала наблюдений и не зависит от текущего
времени.
Отсутствие последействия означает, что вероятность появления события не
определяется тем, сколько их произошло в предыдущий период.
Ординарность означает пренебрежимо малую вероятность появления двух и
более событий в очень короткие промежутки времени.
Для простейших потоков событий закон Пуассона принимает вид:
k
t
t e
k!
Pt k
где
- интенсивность событий, т.е. количество событий, происходящих в единицу времени; t - интервал наблюдения.
Пример: Радиолокационная станция ОКП регистрирует цели со средней плотностью
λ = 2 объекта в минуту. Считая , что на любом отрезке времени число наблюдаемых
объектов распределено по закону Пуассона; найти:
а) вероятность регистрации за две минуты ровно трех объектов;
б) вероятность регистрации за две минуты хотя бы одного объекта;
в) вероятность регистрации за две минуты не менее трех объектов.
а) Вероятность регистрации за две минуты ровно трех объектов
( 2 2) 3 e 4
P2 (3)
6
б) Вероятность регистрации за две минуты хотя бы одного объекта
Pб
1
P2 (0)
e 4
1
1
в) Вероятность регистрации за две минуты не менее трех объектов
Pв
1
P2 (0)
2.5.4
P2 (1)
P2 (3)
Показательный закон распределения
Показательное распределение широко применяется в теории надежности .
Случайная величина распределена по показательному закону, если
e
f x
x
,x
0;
0 ,x
0.
Найдем интегральную функцию
x
Fx
x
f x dx
e
0
x
dx
e
x
x
0
1 e
x
.
Ниже представлены графики этих функций. Ecли в качестве переменной
t
R ( t ) e t - показательный
используется время , то F( t ) 1 e , где
закон надежности и λ –интенсивность отказов.
На практике отмечено, что при заданной интенсивности отказов λ
вероятность безотказной работы элемента электронной техники на интервале
времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала
рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t .
Теорема: Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром
, равны:
1
mx
x
.
Доказательство:
mx
xf x dx
x e
x
dx
x
e
x
0
0
e
x
dx
0
e
0
f ( x ) , F( x )
1
F( x )
f(x)
x
x
dx
1
;
x2 e
Dx
x
dx
1
1
2
2
x2
x
e
0
0
1
2
2
x
xe
dx
2 x
e
x
dx
0
1
2
1
2
2
2
.
0
2.5.5 Нормальный закон распределения
Это основной закон теории вероятностей. Доказано, что в пределе все законы стремятся к нормальным законам распределения. По крайней мере, сумма бесконечного числа случайных величин, распределенных по любым законам, в итоге
приобретает нормальный закон распределения.
Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если
x m
f x
1
2
2
e
2
2
;
x
.
Нормальное распределение является распределением, симметричным относительно значения xo=m и можно отметить общее свойство таких распределений.
Если случайная величина распределена симметрично относительно x o , то
математическое ожидание такой случайной величины равно x o .
Действительно,
xo
xf x dx
x
xo
x o f x dx x o
x
x o f ( x )dx
x
x o f ( x )dx
xo
Так как функция f(x) относительно x o , то оба интеграла отличаются только
знаками. Тогда m x x 0 .
У
f(x)
y=x
y=x-x0
x0
x
2
Дисперсия D x
.
Дисперсия определяет форму кривой нормального закона распределения.
f (x )
1
3
>
2
3
m
Чаще всего используют нормальный закон в нормированной форме , который
x m
получают заменой переменной x
.
1
x
e
2
x2
2
0
.
0,3889
x
-3
Fx
-2
-1
x
1a
0
3
z2
x
1
2 b
e 2 dz
x ; для x
0,5
2
1
x
2
Pa
x
b
z2
x
e
2
dz ;
0
b
a .
0
Правило «трёх сигм»
В таблице приведены результаты интегрирования на интервале (a,b)
a
-0,5
-1
-2
-3
b
0,5
1
2
3
b
0,352
0,242
0,054
0,004
Pa x b
0,3830
0,6826
0,0544
0,9974
Правило «трёх сигм» гласит: абсолютная величина отклонения нормальной величины от её математического ожидания с практической
достоверностью не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.
Это значит, что для нормального распределения величины все возможные
значения практически заключены в интервале 6 с центром в точке математического ожидания.