Lectures on Probability Theory

Доказательство теоремы Пуассона
Нам осталось доказать теорему Пуассона. В доказательство будут использоваться только
свойства устойчивости биномиального и пуассоновского распределений относительно операции
суммирования. Никакие разделы, связанные с числовыми характеристиками с. в., сходимостями
или характеристическими функциями, нам в доказательстве не понадобятся.
Вспомним утверждение, которое мы собрались доказывать. Теперь, когда мы знакомы с
термином «распределение», можно сформулировать теорему Пуассона так:
Теорема Пуассона с оценкой погрешности
Пусть A ⊆ {0, 1, 2, . . . , n} — произвольное множество целых неотрицательных чисел,
случайная величина νn имеет биномиальное распределение Bn,p с параметрами n и p,
случайная величина µn имеет распределение Пуассона с параметром λ = np. Тогда
X
X λk
λ2
n−k
k k
−λ Cn p (1 − p)
−
| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | = e 6 np2 =
.
k!
n
k∈A
k∈A
Иначе говоря, требуется доказать, что
sup | P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 np2 .
A
Доказательство проведем, используя так называемый «метод одного вероятностного пространства». Нам нужно оценить сверху разницу между двумя распределениями, а именно:
доказать, что для любых множеств A ⊆ {0, 1, 2, . . . , n} разницу между вероятностями попадания в множество A биномиальной (с параметрами n и p) и пуассоновской (с параметром np)
случайных величин можно оценить величиной np2 .
Заметим, прежде всего, что разность
X
X λk
n−k
Cnk pk (1 − p)
−
e−λ | P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | = k!
k∈A
k∈A
никак не зависит от того, каким образом величины νn и µn взаимосвязаны и на каком вероятностном пространстве заданы, если только одна из этих величин имеет биномиальное, а вторая
— пуассоновское распределение с нужными параметрами. Совместное распределение этих величин тут никак не участвует, поэтому данная разность не изменится, если заменить νn и µn
на другие случайные величины с теми же распределениями.
Первое, что мы сделаем — докажем, что для двух случайных величин ξ и η (где угодно заданных) «расстояние
распределениями», то есть supA | P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) |, не больше,
между
˜
˜ η̃ с данными распределечем вероятность P ξ 6= η̃ двум произвольным случайным величинам ξ,
ниями не совпадать. Понятно, что эти новые с. в. должны быть заданы на одном вероятностном
пространстве, и наилучшая оценка сверху получится, если нам удастся так задать на одном
˜ распределенную как ξ, и η̃, распределенную как η, чтобы
вероятностномпространстве
с. в. ξ,
˜
вероятность P ξ 6= η̃ была наименьшей.
Лемма 1 (Неравенство каплинга). Пусть ξ и η — произвольные с. в. Пусть случайная величина ξ˜ одинаково распределена с ξ, случайная величина η̃ одинаково распределена с η, и величины
˜ η̃ заданы на одном вероятностном пространстве. Тогда
ξ,
sup | P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) | 6 P ξ˜ 6= η̃ .
A⊆R
Замечание 1. Каплингом (coupling) двух с. в. ξ и η называют задание на одном вероятностном
˜ распределенной как ξ, и η̃, распределенной как η.
пространстве случайных величин ξ,
Доказательство неравенства каплинга. Воспользуемся равенством P(C) = P(C ∩B)+P(C ∩B),
а также тем, что вероятность пересечения двух событий не превосходит вероятности любого
1
из них. Для любого множества A ⊆ R
P(ξ ∈ A) = P ξ˜ ∈ A = P ξ˜ ∈ A, ξ˜ = η̃ + P ξ˜ ∈ A, ξ˜ 6= η̃ =
= P η̃ ∈ A, ξ˜ = η̃ + P ξ˜ ∈ A, ξ˜ 6= η̃ 6
6 P (η̃ ∈ A) + P ξ˜ 6= η̃ = P (η ∈ A) + P ξ˜ 6= η̃ ,
то есть
P(ξ ∈ A) − P (η ∈ A) 6 P ξ˜ =
6 η̃ .
Поменяем местами ξ и η и получим, что для любого множества A ⊆ R
| P(ξ ∈ A) − P(η ∈ A) | 6 P ξ˜ 6= η̃ .
Займемся заданием на одном вероятностном пространстве величин ν̃n и µ̃n , распределенных
как νn и µn , соответственно.
Пусть ξ1 , . . . , ξn — независимые случайные величины, имеющие распределение Бернулли с
параметром p. Тогда их сумма ν̃n = ξ1 +. . .+ξn имеет биномиальное распределение с параметрами
n и p, то есть одинаково распределена с νn .
Пусть η1 , . . . , ηn — независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона
с параметром p. Тогда их сумма µ̃n = η1 + . . . + ηn также имеет распределение Пуассона с
параметром, равным сумме параметров слагаемых, то есть np, и одинаково распределена с µn .
Мы будем считать, что эти наборы с. в. сразу заданы на одном вероятностном пространстве, и
позже построим их.
Тогда, в силу неравенства каплинга,
!
n
n
X
X
ηi .
| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 P (ν̃n 6= µ̃n ) = P
ξi 6=
i=1
i=1
Заметим теперь, что если две суммы с неотрицательными слагаемыми не равны друг другу, то
хотя бы одно слагаемое в первой сумме отличается от соответствующего слагаемого в другой
сумме (иначе...). Поэтому
!
!
n
n
n
n
X
X
[
X
| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6 P
ξi 6=
ηi 6 P
{ξi 6= ηi } 6
P (ξi 6= ηi ) .
(1)
i=1
i=1
i=1
i=1
В последнем неравенстве использовано, что вероятность объединения не превосходит суммы
вероятностей.
Осталось теперь так задать на одном вероятностном пространстве ξi и ηi , чтобы минимизировать P (ξi 6= ηi ).
Пусть множество элементарных исходов Ω есть n-мерный куб, стороны которого — отрезки
[0, 1] на осях координат, вероятность есть просто мера Лебега, заданная на σ-алгебре борелевских множеств.
Вот ровно сейчас тот, кто поленился о них прочитать, должен об этом пожалеть!
То есть мы наудачу выбираем точку ω = (ω1 , . . . , ωn ) в кубе, или, что то же самое, каждую из
координат ωi выбираем наудачу и независимо от других на [0, 1].
Построим для каждого i = 1, . . . , n по ωi случайные величины ξi = ξi (ωi ) и ηi = ηi (ωi ) с нужными распределениями, чтобы они, к тому же, совпадали с большой вероятностью. Положим
(
0, если 0 6 ωi < 1 − p,
ξi (ωi ) =
1, если 1 − p 6 ωi 6 1.
Эта с. в. имеет распределение Бернулли: P(ξi = 0) = P(0 6 ωi < 1 − p) = 1 − p, P(ξi = 1) = P(1 − p 6
ωi 6 1) = p.
Случайная величина ηi должна иметь распределение Пуассона с параметром p, то есть pk =
pk −p
P(ηi = k) =
e при k = 0, 1, 2, . . .. Сумма этих вероятностей равна 1, поэтому можно разбить
k!
тот же самый отрезок [0, 1] на отрезки, длина k-го из которых равна pk при k = 0, 1, 2, . . ., и
2
положить ηi = k, если ωi принадлежит отрезку с номером k:
...
6
3
ηi
2
1
ξi
+
p0
+
p0
если 0 6 ωi < p0 ,
если p0 6 ωi < p0 + p1 ,
если p0 + p1 6 ωi < p0 + p1 + p2 ,
если p0 + . . . +pk−1 6 ωi < p0 + . . . +pk ,
1 ωi
+
p1
p1
p
−
e
=
p0 p
1−
...

0,





1,



2,
ηi (ωi ) =

...





k,



...
-
p2
С очевидностью, получим с. в. с распределением Пуассона:
P(ηi = k) = P(p0 + . . . + pk−1 6 ωi < p0 + . . . + pk−1 + pk ) = pk ,
k = 0, 1, 2, . . . .
6
1@
@
1
e−p
@
−
p
p0 −p
e = e−p . Докажем, что e−p >
Отметим, что p0 =
0!
1 − p при p > 0.
0
@
@
1 @ p
Действительно,
а) при p = 0 значения функций совпадают: e−0 = 1 − 0 = 1;
б) производные в нуле у e−p и 1 − p также совпадают (и равны −1)
в) при p = 1 левая часть больше правой: e−1 > 1 − 1 = 0;
г) функция e−p выпукла (ее производная отрицательна всюду), так что коснувшись однажды
прямой 1 − p, она ее не перекает нигде, оставаясь всегда больше.
Посмотрим, с какой вероятностью с. в. ξi и ηi не совпадают. Это происходит при 1 − p 6
ωi < e−p — на этом интервале ξi = 1, а ηi = 0, а также при ωi > p0 + p1 = e−p + pe−p — на этом
интервале ξi = 1, а ηi > 2. Поэтому
P(ξi 6= ηi ) = P(1 − p 6 ωi < e−p или e−p + pe−p 6 ωi 6 1) =
= e−p − (1 − p) + 1 − e−p + pe−p = p 1 − e−p 6 p2 .
В последнем неравенстве мы снова воспользовались тем, что e−p > 1 − p, или 1 − e−p 6 p.
Итак, при каждом i = 1, . . . , n мы построили пару с. в. ξi , ηi , отличающихся с вероятностью не
более p2 . При разных i эти с. в. независимы, так как построены по независимым координатам
точки, выбранной наудачу в кубе. Окончательно, из неравенства (1) получим:
| P(νn ∈ A) − P(µn ∈ A) | 6
n
X
i=1
3
P (ξi 6= ηi ) 6 np2 .