Моделирование случайной величины с заданным законом распределения. Закон редких явлений (распределение Пуассона) Случайное событие А определяется как редкое, если вероятность его появления р достаточно мала, т.е. р ≤ , где 0 – произвольно малое число. Рассмотрим процесс формирования таких событий. Пусть проводится n независимых опытов (n достаточно велико), в каждом из которых вероятность р появления редкого события А мала, т.е. p 0 при n ∞, но при этом сохраняется соотношение их скоростей изменения: np = = const ∞. Событие А состоит в появлении некоторого случайного числа, величина которого меньше заданной вероятности u < p. Таких чисел в каждом опыте будет зафиксировано ровно k штук (k = 0,1,2,3,…). При этом k случайно (поскольку появление самих чисел в каждом опыте зависит от случая), т.е. в результате проведения серии таких опытов имеет место случайная дискретная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения (Xk = 0,1,2,3,…,k,…). Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз в каждом из этих n опытов, можно рассматривать как вероятность принятия случайной величиной Xk значения равного k. Её можно определить из асимптотической формулы Пуассона P X * k k k! e (1) Соотношение (1) является предельным при p 0 и n для биномиального закона распределения (Бернулли). Для случайной величины, распределённой по закону Пуассона, справедливо равенство её математического ожидания и дисперсии: m x Dx = . Если, равномерно распределённые со средней плотностью λ на некотором множестве , случайные элементы поодиночке, независимо попадают на непересекающиеся подмножества i , то число этих элементов, попадающих в любое подмножество множества , распределено по закону Пуассона. В теории массового обслуживания, где распределение Пуассона определяет вероятность появления m событий простейшего потока за время t, его параметр , рассматриваемый как интенсивность этого потока, определяет среднее число событий, появляющихся в единицу времени. Полагают, что 10. Формула Пуассона, описывающая простейший поток событий имеет вид Pt m t e t m! . Процедурная часть 1) Проводятся N опытов с n испытаниями в каждом, т.е. генерируется заданное количество N (например, N = 300) случайных выборок, состоящих из n псевдослучайных чисел ui CCЧ(0,1), каждую из которых можно получить, используя функцию RANDOM. 2) Подсчитать в каждой из полученных выборок количество k случайных чисел ui, удовлетворяющих условию ui р. 3) Составить табл. 1. Таблица 1 k J 1 2 … J … N 0 1 … k … n 0 0 … 1 … 0 lo l1 lk … ln 4) Используя логическую переменную, отметить в каждой j-й строке появление события Аj, (см. например, строку j). 5) Инициализировать счетчики lk,, подсчитав количество единиц, в каждом из столбцов. 6) На основе табл. 1 составить табл. 2, содержащую значения lk, pk, pk*. Таблица 2 K 0 1 … n ln lk l1 l0 pk p k* p0 p 0* p1 p1* … pn p n* где pk – эмпирическая вероятность появления события А, рассчитанная на основании lk проведенных исследований pk ; N pk* – теоретическая вероятность появления события А, полученная в соответствии с асимптотической формулой Пуассона p * k k e . k! Сравнить pk и pk*. 7) Рассчитать моменты полученной случайной величины n mx M X k * pk k * pk k 1 k 0 n n 0 2 2 Dx M X (k ) * pk k 2 * pk mx 2 k 0 k 1 0 где X X mx k – центрированная случайная величина. 8) Провести исследования для двух вариантов n 10 20 p 0,2 0,025 Таблица 3 1 случай 2 2 случай 0,5 9) Сравнить mx и Dx. 10) Подобрать третий вариант исследования, в котором равенство m x Dx выполняется с точностью до двух знаков после запятой (при этом m x ). 11) Точность проводимых расчётов определяется до третьего знака после запятой.
