Лекция № 3. Основные характеристики и законы распределения

Лекция № 3. Основные характеристики и законы распределения случайных
величин
Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие
случайные величины.
Время: 2 часа.
Вопросы:
1. Характеристики случайных величин, используемых в теории надежности
2. Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории
надежности.
1. Характеристики случайных величин, используемых в теории надежности
В теории надежности приходится иметь дело с двумя классами случайных величин —
дискретными и непрерывными. Примеры дискретных случайных величин: число отказов или
число восстановлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных
величин: наработка объекта до отказа, наработка объекта между двумя отказами, время
восстановления, ресурс. В соответствии с этим рассмотрим два класса распределений:
дискретные и непрерывные.
Центральным понятием теории надежности является понятие «отказ», заключающийся
в нарушении работоспособного состояния объекта. Хотя сам факт отказа объекта — явление
детерминированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей
среде процессов приводят к вероятному характеру отказов, т.е. отказ объекта может быть
вызван разными причинами и иметь различный характер и природу. Так как время появления
отказа — величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с применением разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в
теории надежности методов теории вероятностей, математической статистики и теории
случайных процессов. Поэтому в целесообразно повторить основные положения этих
математических методов.
1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может
принять то или иное значение, неизвестное заранее – какое именно.
Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными.
Примеры дискретных величин: число появлений орла и решки при бросании монет, число
отказов элементов в системе.
Примеры непрерывных величин: время безотказной работы прибора.
2. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и
соответствующими им вероятностями.
Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены
возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Х
1
Х
Х
2
P
1
…
3
P
.
n
…
P
2
X
3
.
P
n
Такую таблицу будем называть рядом распределения случайной величины Х.
При графическом изображении получаем многоугольник распределения.
Р
f
x
Х
Рисунок 3.1
Рисунок 3.2
3. Функция распределения случайных величин – функция некоторой текущей
переменной: F(x) = P(X<x), где х – некоторая текущая переменная. Ее называют
интегральной функцией распределения. Это самая универсальная характеристика случайной
величины ( для непрерывных случайных величин).
4. Плотность распределения случайной величины - производная функции
распределения f(x)=F’(x) – характеризует плотность, с которой распределяются значения
случайной величины в данной точке. Кривая f(x) , изображающая плотность распределения
случайной величины x (рис. 3.2) называется кривой распределения.
Выражение функции распределения через плотность:
x
F ( x) 
 f ( x)dx ,
(3.1)

где F(x) –геометрическая плотность кривой распределения, лежащая левее точки х.
5. Математическое ожидание – одна из характеристик положения случайной величины,
которое иногда называют средним значением случайной величины. Механическая
интерпретация: пусть на оси абсцисс расположены точки с координатами х1, х2, х3,…, хn , в
которых сосредоточены соответственно массы р1 , р2 , р3 , ….., рn, причем ∑ рi =1. Тогда
2
математическое ожидание не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы
материальных точек.
Математическое ожидание – сумма произведений всех возможных значений случайной
величины на вероятность этих значений или среднее взвешенное значение случайной величины.
n
М Х   хi p i
(3.2)
i 1
Математическое ожидание случайной величины x (обозначается Мx) есть предел
lim Mxn  lim
n 
k k
k  1
P  x 
,
n 
n
k  n


где xn _ последовательность дискретных случайных величин, определяемых
равенством x = k/n, если к/п < x < (к + 1)/n; к = 0, ±1, ±2, ...; n = 1, 2, ....
Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам:
1) М ( x1  x2 )  Мx1  Мx2 ;
2) М (x)  Мx для всех λ;
3) если Р(x 1 +x 2 ) = 1, то Мx 1 = Мx 2 ;
4) если x≥0, то Мx ≥0;
5) если Р{x = с} = 1, то Мx = с.
Для вычисления математического ожидания используются формулы
М 

 xdF (x)
и М 


 xf  ( x)dx .
( 3.3 )

6. Модой (μ) случайной величины называется ее наибольшее вероятное значение.
f(x)
μ
x
Рисунок 3.3
7.
Моменты
случайных
величин
служат
для
описания
свойств
плотности
распределения случайной величины ξ. Моменты содержат меньше информации о
случайной величине по сравнению с плотностью распределения, но часто более удобны
при решении прикладных задач. Величина
М k 

x
k
dF ( x), k  1,2,......
(3.4)

3
называется k-м моментом величины ξ (если указанное математическое ожидание
существует).
Наиболее часто используют в качестве характеристик случайной величины первым
начальным моментом - математическое ожидание и второй - дисперсию случайной
величины.
7. Дисперсия случайной величины. Особую роль играет второй центральный момент
ч2 = Dx, который называется дисперсией случайной величины x – это математическое
ожидание квадрата соответствующей центральной величины x
Dx  M ( x  Mx)2
(3.5)

D x   ( x  mx ) 2 f ( x)dx .
(3.6)

Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины ξ, в
окрестности ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает рассеивание.
Механическая интерпретация – момент инерции заданного распределения масс относительно
центра тяжести (математического ожидания).
Наряду с дисперсией Dξ в качестве меры рассеивания широко используется среднее
квадратичное отклонение случайной величины ξ, (СКО) σ =
D или σ X  D X .
2. Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории
надежности.
В теории надежности приходится встречаться со множеством величин, случайных по
своей природе. К ним относятся:
 наработка до отказа для однотипных объектов;
 наработка между соседними отказами для восстанавливаемого объекта;
 суммарная наработка объекта до среднего (капитального) ремонта;
 время восстановления ремонтируемых объектов;
 суммарная стоимость ремонтов и др.
Наиболее полно случайная величина может быть охарактеризована законом
распределения случайной величины в виде функции распределения F(t) = P(T < t) или
плотности распределения (для непрерывной случайной величины)
dF (t )
f (t ) 
.
dt
В зависимости от характера самих объектов, условий работы и способов соединения
элементов в соответствии с работой (5) имеют место следующие наиболее распространенные
законы распределения случайных величин:

нормальный закон распределения (закон Гауса);

экспоненциальный (показательный) закон;

закон распределения Вейбулла;
4

распределение Пуассона.
Экспоненциальное распределение
Распределение случайной положительной величины называется экспоненциальным,
если его плотность распределения вероятности имеет вид
(3.7)
f (t )  e  t , t ≥ 0,
где λ – параметр распределения, λ > 0.
Характер изменения f(t) для различных λ показан на рис. 3. Из рисунка видно, что чем
больше λ, тем быстрее уменьшается во времени f(t).
Рисунок 3.4
Пусть λ(t) = x, тогда f (t )  e  x . Математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, удовлетворяющей уравнению (3.7) , находят по формулам:
1
(3.8)
M (t )  ;

 2 (t ) 
1
2
Экспоненциальное распределение часто используется при рассмотрении внезапных
отказов в тех случаях, когда явления износа и старения выражены настолько слабо, что ими
можно пренебречь. Наработка до отказа многих невосстанавливаемых элементов
радиоэлектронной аппаратуры подчиняется экспоненциальному распределению.
После окончания периода приработки поток отказов у восстанавливаемых объектов
часто становится простейшим. В этом случае
наработка между соседними отказами имеет экспоненциальное распределение.
В ряде случает в первом приближении принимают, что время восстановления ТУ
распределено по экспоненциальному закону.
Распределение Вейбулла.
5
Случайная положительная величина имеет распределение Вейбулла, если для
плотности распределения справедливо уравнение
t
b t b1 ( a )b
(3.9)
f (t )  ( ) e ,
a a
где а и b – параметры распределения.
Параметры a и b могут очень сильно менять вид кривой. На рис. 3.5 показан характер
изменения f(t) при изменении b. При b = 1 распределение Вейбулла вырождается в
экспоненциальное распределение.
Рисунок 3 5.
Для математического ожидания и дисперсии случайной величины, удовлетворяющей
уравнению (3.8) справедливы формулы:
1
(3.10)
M (t )  aГ (1  ) ,
b
1
1
(3.11)
 2 (t )  a 2  Г (1  )  Г 2 (1  )  ,
b
b

где Г ( Р ) 
x
P 1  x
e
, а х – табличная гамма – функция.
0
Наработка до отказа у многих невосстанавливаемых объектов имеет распределение
Вейбулла. К таким объектом относятся, например, подшипники качения, отдельные типы
электронных ламп, полупроводниковых приборов, приборы СВЧ, некоторые объекты, у
которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения.
Нормальное распределение.
Плотность вероятности нормального распределения находят по уравнению:

1
f (t ) 
e
 2
( t a )2
2 2
; t ≥ 0,
(3.12)

< 0,25.
а
В общем случае нормально распределенная случайная величина изменяется в
интервале
(-∞, ∞), а время t не имеет отрицательного значения, поэтому необходимо выполнение
условия
где а и σ – параметры распределения, a > 0, σ > 0,
6

< 0,25. В этом случае практически весь диапазон изменения случайной величины
а
будет иметь положительные значения.
Вид кривой плотности распределения для нормального закона изображен на рис. 4.6.
Из рисунка видно, что этот закон симметричен относительно а и обладает максимальной
плотностью в точке t = a.
Рисунок 3.6
Параметры закона а и σ являются его числовыми характеристиками:
M(t) = a,
σ 2 (t) = a2.
Наработка до отказа невосстанавливаемых объектов иногда приближенна распределена
по нормальному закону (Гаусса).
Это характерно для объектов, подверженных старению и износу. Суммарная наработка
восстанавливаемого объекта до капитального ремонта и время восстановления
ремонтируемых объектов в ряде случаев приближенно распределены по нормальному
закону.
Нормальное распределение часто используют для приближенных расчетов в тех
случаях, когда имеет место биноминальное распределение или распределение Пуассона.
Распределение Пуассона.
Случайная величина имеет распределение Пуассона тогда, когда вероятность, что она
принимает целое положительное значение, находится по формуле
1
P( x1 )  a xi e a ,
(3.13)
x1!
где а – параметр распределения, а > 0.
Для математического ожидания и дисперсии имеют место уравнения:
M(t) = a,
(3.14)
2
2
σ (t) = a .
(3.15)
Распределение Пуассона является частным случаем биноминального распределения,
когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность наступления события А в одном
испытании достаточно мала (Р < 0,1). Этот закон называют еще «редких событий» из – за
малости Р.
7
При больших значениях  функцию распределения для закона Пуассона можно
приближенно
заменить
функцией
нормального
распределения
с
числовыми
характеристиками, вычисленными по формулам (3.14) и (3.15).
Закону Пуассона подчиняются следующие случайные величины:

число отказов элементов за время t, если наработка до отказа у каждого из
однотипных элементов распределена по экспоненциальному закону;

число отказов за время t для восстанавливаемого объекта, у которого промежутки
времени между соседними отказами имеют экспоненциальное распределение;

число дефектных изделий в выборке, если доля дефектных изделий q < 0,1 и др.
8