9. Сложность задач подсчёта

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèé, îñåíü 2015
Ñëîæíîñòü çàäà÷ ïîäñ÷¼òà
Çàäà÷åé ïîäñ÷¼òà íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè èç {0.1}∗ â
{0.1}∗ (èëè èç {0.1}∗ â N, ÷òî îïðàâäûâàåò ñëîâî ïîäñ÷¼ò â íàçâàíèè).1 Êëàññîì
FTIME(t(n)) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, êîòîðûå ðàçðåøèìû çà âðåìÿ
O(t(n)). Èíà÷å ãîâîðÿ, f ∈ FTIME(t(n)), åñëè ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà M è
êîíñòàíòà c, òàêèå ÷òî íà ëþáîì x ìàøèíà M îñòàíàâëèâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì çà ct(|x|)
øàãîâ è âîçâðàùàåò f (x). Êëàññîì FP íàçûâàåòñÿ ∪∞k=1 FTIME(nk ), ò.å. ìíîæåñòâî
çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, ðàçðåøèìûõ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Êëàññîì #P íàçûâàåòñÿ êëàññ çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ìàøèíà T ,
ðàáîòàþùàÿ ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, òàêàÿ ÷òî f (x) = |{y | T (x, y) = 1}|.
Äîêàæèòå, ÷òî FP ⊂ #P.
Êëàññîì FPf íàçûâàåòñÿ êëàññ çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, êîòîðûå ðåøàþòñÿ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ñ îðàêóëîì f , ò.å. åñëè çà îäèí øàã ìîæíî
âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ f . Àíàëîãè÷f
íûé êëàññ äëÿ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ íàçûâàåòñÿ P . Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà f íàçûâàåòñÿ NPòðóäíîé, åñëè NP ⊂ Pf . Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà f íàçûâàåòñÿ #P-òðóäíîé, åñëè #P ⊂ FPf .
Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà íàçûâàåòñÿ #P-ïîëíîé, åñëè îíà #P-òðóäíà è ñàìà ëåæèò â #P.
Ïóñòü #CYCLE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ öèêëîâ â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #CYCLE ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ CYCLE ëåæèò â P.
Ïóñòü #UCYCLE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ öèêëîâ â
íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #UCYCLE ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ UCYCLE ëåæèò â P.
Ïóñòü #MAXCLIQUE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ìàêñèìàëüíûõ
(ò.å. íåóâåëè÷èâàåìûõ) êëèê â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #MAXCLIQUE
ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ MAXCLIQUE ëåæèò
â P (â ëþáîì ãðàôå åñòü ìàêñèìàëüíàÿ êëèêà).
Êëàññîì PP íàçûâàåòñÿ êëàññ ÿçûêîâ A, òàêèõ ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïîëèíîìèàëüíîé
ìàøèíû Òüþðèíãà M è íåêîòîðîãî ïîëèíîìà p âûïîëíåíî x ∈ A ⇔ |{u ∈ {0, 1}p(|x|) |
M (x, u) = 1}| > 21 · 2p(|x|) .
Äîêàæèòå, ÷òî BPP ⊂ PP.
Äîêàæèòå, ÷òî êëàññ PP íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðè x ∈ A áûëî
âûïîëíåíî Prr {M (x, r) = 1} > 12 , ïðè x 6∈ A áûëî âûïîëíåíî Prr {M (x, r) = 1} < 12
Äîêàæèòå, ÷òî P = PP ⇔ #P = FP.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè f ÿâëÿåòñÿ #P-ïîëíîé è f ∈ FP, òî #P = FP.
Äîêàæèòå #P-ïîëíîòó çàäà÷è #SAT (çàäà÷è ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà âûïîëíÿþùèõ
íàáîðîâ äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëû ϕ).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 Âû÷èñëèòü
ôóíêöèþ
f : {0, 1}∗ → N
åñòü òî æå ñàìîå, ÷òî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî
y < f (x).
1
y ∈ N,
òàêèõ ÷òî
Äîêàæèòå NP-òðóäíîñòü çàäà÷è MAXCLIQUESIZE (çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ðàçìåðà
ìàêñèìàëüíîé êëèêè â ãðàôå G).
Äîêàæèòå NP-òðóäíîñòü çàäà÷è CHROMNUMBER (çàäà÷è íàõîæäåíèÿ õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà ãðàôà G).
10.
11.
2