Формула полной вероятности

Схема независимых
испытаний
Повторные испытания Бернулли
1
Схема независимых испытаний
• Предположим, что производятся
независимые
испытания, в каждом из которых событие A может
появиться с вероятностью p  P ( A) (вероятность
«успеха») и не появиться с вероятностью q  1  p.
(вероятность «неудачи»)
• Вопрос 1. Какова вероятность , что «успех» наступит
k -ом испытании.
только в
• Вопрос 2 : Какова вероятность , что событие A в n
испытаниях появится ровно k раз? P ( k )  ?
n
2
Формула Бернулли
• При k  n
эта вероятность Pn (n) , в силу
независимости появления события
A в каждом
n
испытании, равна p  p p  p
,
n
k  0, Pn (0)  qn.
• а при
• В общем случае искомая вероятность вычисляется по
формуле Бернулли
Pn (k )  Cnk pk qnk .
3
Комментарий к формуле Бернулли
• Коэффициенты C nk
в формуле Бернулли называются
биномиальными, в силу их совпадения с коэффициентами
бинома Ньютона
• Замечание. Справедливо равенство
n
n
k 0
k 0
k k nk
P
(
k
)

C
 n
 n p q  1,
• которое следует из формулы бинома Ньютона
1  ( p  q)  p  C p
n
n
1
n
n 1
q
n
 q   C nk p k q n k .
n
k 0
4
Пример
• Какова вероятность выпадении
герба при бросании трёх монет?
5
Решение
• Решение. Бросание трёх монет можно рассматривать
как бросание одной монеты 3 раза. Вероятность
выпадения герба p  P ( A)  1 / 2.
• Вероятность противоположного события
q  1  p  1 / 2.
• Искомая вероятность вычисляется по формуле
Бернулли
1
3 1
3
3!  1 
3
11 1
P3 (1)  C 3     
   .
1!2!  2 
8
2 2
6
Формула Пуассона
• Вычисление вероятности
Pn (k )
по формуле Бернулли при больших значениях n, k
затруднительно. Поэтому применяют асимптотические
формулы. Рассмотрим формулу Пуассона:
lim Pn (k ) 
n
k
k!
e 
• где n  p  .
• Формула Пуассона применяется, когда вероятность
«успеха»в одном испытании мала, а количество испытаний
велико, так что число   n  p незначительно   10.
7
Пример

Вероятность выхода из строя станка за смену равна 0,02.
Найти вероятность, что за смену произойдёт отказ более
двух станков, если работает 100 станков.
8
Испытания до первого «успеха»


Рассмотрим схему независимых испытаний с вероятностью
«успеха» p
в одном испытании. Обозначим через 
величину равную номеру первого успешного испытания.
Теорема. Вероятность того , что первый успех произойдёт в
испытании с номером k N {1,2,3, }, равна
P k   qk 1p .
9
Пример

Монета бросается до первого выпадения
герба. Какова вероятность, что будет
сделано не более трёх испытаний?
10
Случайные величины
Дискретные случайные
величины
11
Определение случайной величины
• Пусть  - пространство элементарных исходов с
заданной алгеброй событий  и вероятностью P.
•
Функция X ( ),    , определённая на
пространстве элементарных исходов, называется
случайной величиной.
• Таким образом, случайная величина это неизвестное
заранее число, которое появляется в результате
испытания.
12
Индикатор события
• Пусть A  
- событие из алгебры 
.
• Случайная величина
, принимающая
IA
значение 1, если событие A появляется, и 0, если
событие A не появляется, называется
индикатором события
. Таким образом
1,   A
I A ( )  
.
0,   A
13
Дискретные случайные величины
• Случайная величина, принимающая конечное число
значений или последовательность значений с
положительной вероятностью называется дискретной
случайной величиной.
• Случайная величина, определённая на конечном
пространстве элементарных исходов, является
дискретной случайной величиной.
14
Закон распределения
• Пусть дискретная случайная величина X
принимает значения
x x  x  .
1
2
k
• Законом распределения дискретной случайной
величины X
называется совокупность
всевозможных значений случайной величины и
вероятностей их появления, т.е.
p  P{   : X ( )  x }, k  1, 2, .
k
k
15
Закон распределения дискретной случайной
величины (табличная запись)
• Закон распределения дискретной случайной величины удобно
n
задавать в виде таблицы, у которой
pk  1.
• Таблица 1.
k 1

X
x1
x2
P
p1
p2
xn
pn
16
Закон распределения индикатора событий
• Таблица 2.
IA
P
p  P ( A),
0
q
1
p
q  1  p.
17
Биномиальное распределение
• Рассмотрим случайную величину n  n ( A) равную
числу появлений события A
в серии n
независимых испытаний. Распределение вероятностей
значений этой случайной величины можно вычислить по
формуле Бернулли :
P ( n  k )  Cnk pk q nk ; k  0, 1,
, n; p  q  1,
• Такой закон распределения называется биномиальным, так
как вероятности появления с.в.  n совпадают с членами
разложения бинома Ньютона
( p  q) n .
18
Пример
• Игральная кость бросается 3 раза. Найти закон
распределения выпадения 6 очков.
19
Распределение Пуассона

• Рассмотрим случайную величину
0, 1, , k ,
счётное число значений
P (  k ) 
k
k!
, принимающую
с вероятностями
e  .
• Такой закон распределения называется пуассоновским с
параметром  .
• Закон распределения Пуассона можно считать предельным для
биномиального распределения, когда вероятность появления
события A мала, а число испытаний велико n  ,
принимая   np.
20
Пример
• Вероятность поставки бракованного прибора равна
0.02.?
• Написать закон распределения числа бракованных
изделий в партии из 100 изделий.
• Какова вероятность, что в партии из 100 приборов
более двух приборов будет бракованных.
21
Геометрическое распределение
• Рассмотрим схему независимых испытаний, в которой p  P(A)
вероятность "успеха": появления события A в одном
испытании. Испытания будем проводить до тех пор, пока
произойдёт непоявление события A
, говорят что
испытания прекращаются с появлением первой
"неудачи". Пусть  число успехов до первой неудачи.
 имеет вид
Закон распределения случайной величины

0
1
…
k
…
P
q
pq
…
pk q
…
• Такое распределение называется геометрическим.
22
Пример
• Бросается игральная кость. «Успех» состоит в
выпадении 6 очков. Написать закон распределения
числа «успехов», если испытания прекращаются
после первой «неудачи».
• Какова вероятность, что число испытаний будет
более двух?
23