{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа – теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя – производные и дифференциалы высших порядков - примеры } Лемма. Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0 . Если эта производная f | ( x 0 ) 0 ( f | ( x 0 ) 0 ) , то для значений x, достаточно близких к x0 справа будет справедливо f ( x ) f ( x 0 ) ( f ( x ) f ( x 0 )) , а для значений x0 слева - f ( x ) f ( x 0 ) ( f ( x ) f ( x 0 )) . Теорема. Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке ( a, b ) и во внутренней его точке с принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная f | (с) в этой точке, то необходимо f | (с) = 0 . f(с) y dy 0 dx Pierre de Fermat 1601 - 1665 0 a ( df dx dy 0 dx с ) b x 0 x c Теорема. Пусть функция f(x) имеет конечную производную в промежутке ( a ,b ) - df , эта производная функция принимает промежуточные значения между dx значениями в точках a и b . y f(x) Michel Rolle 1652 - 1719 0 Y/ Jean Gaston Darboux 1842 - 1917 0 ( a ( a df dx ) b ) b x x Теорема. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b] ,, в промежутке существует конечная производная f | (x) , на концах отрезка функция принимает равные значения: f (a) = f (b) . Тогда в промежутке ( a, b ) найдется точка c ( a < c < b ), в которой f | (с) = 0 . Доказательство По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке принимает на нем наименьшее m и наибольшее значение M . y f(а) f(b) M m f ( x ) const f | ( x ) 0 c [ a ; b ] M m 0 [ a c1 c3 c2 ] b x f( a) f(b) По теореме Ферма c [ a ; b ] f | ( c ) 0 Теорема. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b] , в промежутке существует конечная производная f | (x) . Тогда в промежутке ( a; b ) найдется точка c ( a < c < b ) , такая что для неё выполняется равенство: f ( b ) f ( a ) f | (c) b a Доказательство Зададим F ( x ) f ( x ) f ( a ) f ( b ) f ( a ) ( x a) b a # F( a) F(b) Функция определена и непрерывна на отрезке [ a, b] , в промежутке существует конечная производная F | (x) , на концах отрезка функция принимает равные | значения: F (a) = F (b) . Следовательно существует точка c , в которой F ( c ) 0 . F |( c ) f |( c ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) f ( a ) f | (c) 0 b a b a f ( b ) f ( a ) f | (c) b a y f (b) - f(a) Y f ( a ) ( X - a) b-a f(с) f(b) f (b) - f(a) f(а) 0 [ a Y f ( c ) f | (c)( X - c) c ] b b-a x Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a , b] , в промежутке существует конечная производная f | (x) и g | (x) , последняя величина не обращается в ноль на (a , b) . Тогда в этом промежутке найдется точка c ( a < c < b ) , такая что для неё выполняется равенство: f ( b ) f ( a ) f | (c) | g ( b ) g ( a ) g (c) Частный случай теоремы Коши – теорема Лагранжа. Для доказательства необходимо положить g = x . Формула может быть использована для нахождения пределов, с неопределенностью типа : 0 f( x) f | (x) lim lim | x a g( x ) x a g (x) 0 x x Раскрытие неопределенностей типа 0 и . 0 Теорема. Пусть функции f , g : a, b R дифференцируемы в точке a , | f (a) = g (a) = 0 и производная g ( a ) 0 . Тогда f ( x ) f | (a) lim | x a 0 g ( x ) g (a) f ( x ) f | (a) | xlim a 0 g ( x ) g (a) Теорема. Пусть функции f , g : a, b R f ( x ) f | (a) lim | x a g ( x ) g (a) и выполнены условия: a) f | , g | x ( a ; b ) b) f ( x ), g ( x ) 0 при x a 0 | | f (x) с) g ( x ) 0 при x ( a ; b ) d) lim | R x a 0 g ( x ) f( x ) f |( x ) lim | Тогда существует и предел lim x a 0 g ( x ) x a 0 g ( x ) Теорема. Пусть функции f , g : [a; ) R и выполнены условия: a) f | , g | x ( a ; ) b) f ( x ), g ( x ) 0 при x с) g | ( x ) 0 при x ( a ; ) | d) lim f ( x ) R x g | ( x ) f( x ) f |( x ) lim | Тогда существует и предел lim x g ( x ) x g ( x ) f( x) f |( x ) lim lim | x a g( x ) x a g ( x ) f( x) f |( x ) lim lim | x g( x ) x g ( x ) @ ax 1 Найти lim x 0 x Решение ax 1 (a x 1 ) | 0 lim lim | x 0 x 0 x x 0 a x ln a lim ax ln a ln a x 0 x o 1 ax 1 0 lim a x 1 t , x log a ( 1 t ), x 0 , t 0 x 0 x 0 t 1 1 1 lim lim ln a 1 1 t 0 log ( 1 t ) t 0 log a e a log a ( 1 t ) t log a lim ( 1 t ) t t 0 Если функция f(x) дифференцируема при всех x (a; b) , то мы можем рассмотреть функцию f | : (a, b) R , сопоставляющую каждой точке x | | значение производной f (x) . Эта функция f называется производной функции f, или первой производной от f . Саму исходную функцию (0) называют нулевой производной и обозначают как f (x) . | Функцию g1 = f (x) можно дифференцировать и получить вторую | || производную g 1 = f (x) . Если предположить, что вторая производная существует на множестве x (a; b) , то можно найти третью производную, четвертую и т.д. f ( x ) f | ( x ) f || ( x ) f ||| ( x ) ....... f ( n ) ( x ) ( f ( n 1 ) ( x )) | d nf d d n 1f ( ) n n 1 dx dx dx f (n)( x ) @ Найти производную второго порядка x 2 y 2 1 Решение x2 y2 1 dy d 2y ? ? dx dx 2 dy x dy x y 1 2x 2y 0 dx y dx dy dy 2 1 y x d d y 1 dy d 2y x dx dx 3 ( ) 2 2 2 dx y dx y dx dx y x y x y y2 x2 d 2y y2 x2 2 2 y y3 dx y3 2 2 @ Найти производную второго порядка для заданной в параметрической форме функции x cos t y sin t Решение x cos t dy (sin t )t| cos t dy d 2y ? ? 2 y sin t dx sin t dx dx (cos t )t| d 2y 2 dx ( dy | cos t | ) ( ) dx t sin t t | | xt (cos t )t sin 2 t cos 2 t 1 sin 3 t sin 3 t d 2y 1 dx 2 sin 3 t Используя определение дифференциала функция df(x) первого порядка можно найти дифференциалы старших порядков, при дифференцировании полагая, что dx (дифференциал аргумента) есть величина постоянная. df f | ( x ) dx d 2 f d ( df ) d ( f | ( x ) dx ) (f || (x)dx)dx f || (x)dx 2 d 3 f ( x ) d ( d 2 f ) (f || (x)dx 2 ) | dx f ||| (x)dx 3 . .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... d nf ( x ) d ( d n 1f ) (f (n - 1) (x)dx n - 1 ) | dx f (n) (x)dx n d d n 1f d nf n 1 n d f ( dx ) dx dx dx dx n 1 dx n n n d f( x ) d nf ( x ) dx n n dx @ Найти дифференциал второго порядка функции ln( x 2 1 ) Решение y ln( x 2 1 ) d( d 2 y d ( d (ln( x 2 1 ))) 2x 2x | 2 dx ) ( ) dx 2 2 x 1 x 1 2 2x 2 ( x 1 ) 2 x( 2 x ) 2 ( 2 ) | dx 2 dx 2 2 x 1 ( x 1) 2 2x2 2 d y dx ( x 2 1 )2 2 f ( x ) Tn ( x ) o (( x a ) n ) A0 A1 ( x a ) A2 ( x a ) 2 .. An ( x a ) n Rn ( x ) Tn ( a ) A0 f ( a ) f | ( x ) Tn | ( x ) A1 2 A2 ( x a ) ..... nAn ( x a ) n 1 f ( a ) Tn ( a ) A1 | | A0 f ( a ) A1 f | ( a ) f || ( x ) Tn || ( x ) 2 A2 ..... ( n 1 ) nAn ( x a ) n 2 f ( a ) Tn ( a ) 2 A2 || || f ( n ) ( x ) Tn ( n ) ( x ) 1 2 ( n 1 ) nAn f || ( a ) A2 1 2 (n) (n) f (a) f (a) An 1 2 n n! f |( a ) f || ( a ) f (n)( a ) 2 f( x ) f( a) ( x a) ( x a ) ..... ( x a ) n Rn ( x ) 1! 2! n! f ( k )( a ) f( x ) ( x a ) n Rn ( x ) Tn ( x ) Rn ( x ) k! k 0 n f f | ( x0 ) x ( x ) f ( x ) f ( a ) df ( x ) o ( x a ) Линейная аппроксимация функции: f ( x ) f ( a ) f | ( a )( x a ) Представление функции в виде многочлена n – ой степени, коэффициенты которого определяются производными соответствующего порядка. f |( a ) f || ( a ) f (n)( a ) 2 f( x ) f( a) ( x a) ( x a ) ..... ( x a ) n Rn ( x ) 1! 2! n! f ( k )( a ) f( x ) ( x a ) k Rn ( x ) k! k 0 n Остаточный член: f ( k )( 0 ) k f( x ) x Rn ( x ) k! k 0 n Формула Маклорена f ( n 1 ) ( a ( x a )) в форме Лагранжа Rn ( x ) ( x a ) n 1 , 0 1 ( n 1 )! в форме Пеано Rn ( x ) o (( x a ) n ) при x a e x x x2 xn 1 ..... , 1! 2! n! e x Rn ( x ) ,0 1 ( n 1 )! x3 x5 x 2 n 1 n 1 sin x x ..... ( 1 ) , 3! 5! ( 2n 1 ) ! sin ( 2 n 1 ) ( x ) 2 n 1 R2 n ( x ) x , 0 1 ( 2n 1 ) ! x2 x3 ( 1 ) n 1 n ln( 1 x ) x ..... x , 2 3 n ( 1 ) x n 1 x n 1 Rn ( x ) , 0 1 , Rn ( x ) n 1 n 1 ( n 1 )( 1 x ) 1 1 x x 2 x 3 ..... ( 1 ) n x n , 1 x x (-1;1) x [0;1] @ Представить функцию многочленом Маклорена f ( x ) sin( x ) f |( 0 ) f || ( 0 ) 2 f (n) n Tn ( x ) f ( 0 ) x x ..... x 1! 2! n! (n) sin ( k ) ( 0 ) k cos( 0 ) sin( 0 ) 2 (x) n n sin Tn ( x ) x sin( 0 ) x x ..... ( 1 ) x k! 1! 2! n! k 0 n 0, k -1 an (-1) ( 2 k 1 )! n 2k, k 0,2,..... n 2k - 1, k 1,3,..... sin ( 2 k 1 ) ( x ) 2 k 1 x ,0 1 ( 2 k 1 )! x3 x5 x7 x9 sin( x ) x ..... 6 120 5040 362880