Георг Фридрих Бернхард Риман Интеграл Римана Выполнила студентка группы 2У00 Нагорнова Е.А. Георг Фридрих Бернхард Риман • • Георг Фридрих Бернхард Риман (нем. GeorgFriedrich-Bernhard Riemann, 17 сентября 1826, немецкий математик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. Биография • Родился в семье бедного пастора, вторым из шести его детей, в деревне Брезеленц, недалеко от Данненберга. Мать Римана умерла от туберкулёза, когда он ещё учился в школе; от этой же болезни умерли две его сестры. • Наклонности к математике проявлялись у молодого Римана ещё в детстве, но, уступая желанию отца, Риман поступил в 1846 году в Гёттингенский университет для изучения филологии и богословия. Однако здесь он слушает лекции Гаусса и принимает окончательное решение стать математиком. • 1847: переходит в Берлинский университет, слушает лекции Дирихле, Якоби и Штейнера. • 1849: возвращается в Гёттинген. Знакомится с Вебером, который становится его учителем и близким другом. Годом позже приобретает ещё одного друга — Дедекинда. • 1851: защищает докторскую «Основания теории функций комплексной переменной». В ней Риман ввёл понятие, позже известное как риманова поверхность. Научная деятельность • В знаменитом докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (нем. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegеп) Риман определил общее понятие nмерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы. • Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье. Интеграл Римана • Интегра́л Ри́ мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла. Неформальное геометрическое описание • Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке. Определения • Через интегральные суммы • Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. • Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков δR =max(Δxi), называется шагом разбиения, где Δxi = xi − xi − 1-длина элементарного отрезка. • Отметим на каждом отрезке разбиения по точке • Интегральной суммой называется выражение • Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора • то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. • В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b]. Свойства • Невырожденность: • Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a,b] также неотрицателен. • Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция αf + βg тоже интегрируема, и • Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и • (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.) • Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом • Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). • Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: • , где C - произвольная константа. История • Такое определение интеграла дано Коши, но применялось только для непрерывных функций. • Риман в 1854 году дал это же определение без предположения непрерывности. •Спасибо за внимание!!