§6 Формула Ньютона Лейбница

184
Барроу Исаак (Barrow Isaac) 1630-1677 английский математик, филолог,
богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (1669-1670).
Из теоремы 4 следует, что определенный интеграл с переменным верхним
x
пределом интегрирования
∫ f ( t ) dt
является первообразной для подынтегральной
a
функции f ( x ) на отрезке [ a; b] . Но согласно теореме 2 интеграл
x
∫ f ( t ) dt
существует
a
для любого х. Таким образом теорема 4 является одновременно и теоремой существования первообразной Φ у каждой непрерывной функции f . Этой первообразной может быть определенный интеграл с переменным верхним пределом . Таким образом
∫
x
f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt + C ,
a
т.е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.
§6 Формула Ньютона Лейбница
Из результатов предыдущего параграфа следует, что непрерывная на [ a; b]
функция f ( x ) имеет на этом отрезке первообразную, например
x
Φ( x ) = ∫ f ( t ) dt .
a
Поставим теперь следующую задачу: зная одну из первообразных Φ( x ) функции f ( x ) на [ a; b] вычислить определенный интеграл от функции f ( x ) , или что тоже
самое по известному неопределенному интегралу найти определенный интеграл.
Пусть F ( x ) - любая другая первообразная функции f ( x ) на том же отрезке
[ a; b] . Так как две первообразные отличаются друг от друга постоянным слагаемым,
то получаем равенство
x
∫ f ( t ) dt = F ( x ) + C,
C ∈R .
a
Подставим в это равенство значение x = a
a
∫ f ( t ) dt = F ( a ) + C ⇒ F ( a ) + C = 0 ⇒ C = − F ( a )
a
т.е.
x
∫ f ( t ) dt = F ( x ) − F ( a )
∀x ∈[ a; b]
a
184
185
Полагая x = b и обозначая переменную интегрирования за х, получаем основную формулу интегрального исчисления:
b
∫ f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ),
(4)
a
которая называется формулой Ньтона - Лейбница.
Формула Ньтона - Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a;b] от непрерывной функции f(x)
равно разности значений любой ее первообразной , вычисленной при x = b и x = a .
Разность F ( b) − F ( a) в правой части равенства (4) обычно записывают так:
F ( x ) a . Тогда формула Ньютона - Лейбница принимает следующий вид:
b
b
∫ f ( x ) dx = F ( x )
b
a
= F ( b) − F ( a )
a
Формула 4 позволяет вычислять определенный интеграл не по определению
(т.е. вычисляя предел интегральных сумм), а сводится к задаче нахождения неопределенного интеграла.
§7 Основные методы вычисления определенного интеграла
Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона Лейбница.
Если F ( x ) - одна из первообразных непрерывной на отрезке [ a; b] функции
f ( x ) , то справедлива формула Ньютона -Лейбница
b
∫ f ( x ) dx = F ( x )
b
a
= F ( b) − F ( a )
a
Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного.
Примеры
π
1)
2
π
∫ sin xdx = − cos x 0 2 = − cos
0
1
2)
∫ ( 6x
0
2
3)
∫
1
6
4)
∫
1
2
π
2
+ cos 0 = 1 ;
+ 3) dx = ( 2 x 3 + 3x ) 0 = ( 2 ⋅ 13 + 3 ⋅ 1) − ( 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0) = 5 ;
1
dx
2
= ln x 1 = ln 2 − ln 1 = ln 2 ;
x
6
(
6
dx
−1
= ∫ (3 + x ) 2 dx = 2 3 + x = 2
1
3+ x 1
)
9 − 2 = 2;
185
186
0
5)
1
∫−1 e − 2 x dx = − 2 e − 2 x
0
−1
e2 − 1
.
2
=
Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле
Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.е. привести подынтегральное выражение к табличному виду. Имеет место
следующая теорема
Теорема 5 Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x = ϕ ( t )
непрерывно
дифференцируема
на
[t , t ] ,
отрезке
1
ϕ ( t1 ) = a, ϕ ( t 2 ) = b , то справедлива формула
b
t2
a
t1
ϕ ([ t1 , t 2 ]) = [ a; b]
причем
2
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
и
(5)
> Пусть F ( x ) - первообразная для функции f ( x ) на отрезке [a;b]. Поскольку
ϕ ( t1 ) = a, ϕ ( t 2 ) = b , то по формуле Ньтона - Лейбница имеем
b
∫
a
(
) (
)
t2
(
)
f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) = F ϕ (t1 ) − F ϕ (t 2 ) = ∫ d F (ϕ ( t )) =
t1
t2
t2
t1
t1
= ∫ F ′(ϕ ( t ))ϕ ′( t ) dt = ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t ) dt <
Формула (5) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
9
Пример 1: Вычислить
dx
∫ 1+
x
0
;
Осуществим замену переменной: x = t 2 , тогда dx = 2 tdt . Пределы интегрирования сведем в таблицу:
x
0
9
t
0
3
По формуле (5)
9
3
3
dx
2tdt
1 ⎞
⎛
∫0 1 + x = ∫0 1 + t = 2∫0 ⎜⎝1 − 1 + t ⎟⎠ dt = 2( t − ln 1 + t ) 30 = 6 − 2 ln 4 .
π
Пример 2: Вычислить
3
cos x
dx
3
x
∫
π sin
6
Произведем замену sin x = t . Тогда cos xdx = dt.
π
x
6
1
2
t
π
3
3
2
Применяем формулу (5)
π
3
cos x
∫π sin 3 x dx =
6
3
2
1
∫1 t dt = − 2t 2
2
3
−3
1
2
2
=
4⎞ 4
1⎛
⎜4 − ⎟ =
3⎠ 3
2⎝
186
187
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть u( x ) и v( x ) - дифференцируемые на отрезке [ a; b] функции. Тогда
d ( uv ) = udv + vdu . Проинтегрируем это равенство на отрезке [ a; b]
b
b
b
a
a
a
∫ d ( uv ) = ∫ udv + ∫ vdu .
(6)
С другой стороны, по формуле Ньютона - Лейбница
b
∫ d ( uv ) = uv
b
a
a
Следовательно, формула (6) принимает вид:
b
b
∫ udv = uv a − ∫ vdu
b
a
(7)
a
Формула (7) называется формулой интегрирования по частям в определенном
интеграле.
π
Пример 1: Вычислить ∫ x sin xdx .
0
π
u = x , du = dx
∫ x sin xdx = dv = sin xdx , v = − cos x = − x cos x
0
π
Пример 2: Вычислить
4
x
∫ cos
0
2
x
π
0
π
+ ∫ cos xdx = π + sin x 0 = π
π
0
dx
π
u = x, du = dx
4
π
π
x
π π
4
=
=
−
dx
xtg
x
tgxdx = tg − ln cos x 0 4 =
dx
0
∫0 cos 2 x
∫
4 4
, v = tgx
dv =
0
cos 2 x
π
π
π
2 π
= + ln cos − ln cos 0 = + ln
= − ln 2 ≈ 0,92 .
4
4
4
2
4
π
4
§ 8 Несобственные интегралы
Понятие несобственных интегралов
При введении понятия определенного интеграла как предела интегральной
суммы мы требовали выполнения двух условий :
1) пределы интегрирования a и b являются конечными;
2) подынтегральная функция f ( x ) на отрезке [ a; b] непрерывна или
имеет конечное число точек разрыва первого рода.
В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполнено интеграл называется несобственным
Несобственные интегралы являются обобщением понятия определенного интеграла в случае бесконечного промежутка или неограниченной функции.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (
первого рода )
187
188
Пусть функция f ( x ) непрерывна на промежутке [a; ∞) . Тогда она будет непрерывна на любом конечном отрезке [ a; b], a < b . Для функции f ( x ) , непрерывной на
[a; b] существует определенный интеграл I ( b) , зависящий от верхнего предела интегрирования:
b
I ( b) = ∫ f ( x ) dx .
a
Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь соответствующей
криволинейной трапеции. Будем неограниченно увеличивать верхний предел интегрирования, при этом возможны два случая: либо I ( b ) имеет конечный предел, либо
не имеет.
Определение 2 Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом
интегрирования от непрерывной функции f ( x ) на промежутке [ a; ∞) называется
предел I ( b ) при b → ∞ :
∞
b
def
∫ f ( x ) dx =
lim
b→+∞
a
∫ f ( x ) dx
(8)
a
Аналогично определяется несобственный интеграл с переменным нижним
пределом интегрирования
b
def
∫ f ( x ) dx =
−∞
b
lim
a →−∞
∫ f ( x ) dx
(9)
a
Если пределы в правых частях формул (8) и (9) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не
существуют или бесконечны, то расходящимися.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования
от непрерывной функции f ( x ) на промежутке ( − ∞; ∞) , обозначаемый
∞
∫ f ( x ) dx ,
−∞
предварительно представляем в виде
∞
c
∞
−∞
−∞
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , c ∈(− ∞; ∞) .
Тогда по определению
∞
∫
−∞
f ( x ) dx = lim
a →−∞
c
∫
a
f ( x ) dx + lim
b→+∞
b
∫ f ( x ) dx ,
(10)
c
причем этот интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют.
Интегралы (8) - (10) называются несобственными интегралами первого рода.
∞
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл
∫ f ( x ) dx
a
означает, что фигура, ограниченная кривой y = f ( x ) ≥ 0 , прямыми x = a, y = 0 и бесконечно вытянутая вдоль в направлении оси ОХ имеет конечную площадь.
∞
Пример 1 Исследовать на сходимость интеграл
dx
∫ x α ,α ∈ R .
1
188