Вопросы по курсу «Высшая математика

Вопросы к экзамену по курсу “Высшая математика”
второй семестр, специальность “Общая химия”
1. Построение определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функций.
2. Свойства определенного интеграла.
3. Классы интегрируемых функций. Абсолютно интегрируемая функция. Кусочно-непрерывная
функция.
4. Суммы Дарбу. Понятие площади фигуры.
5. Интегральная теорема о среднем.
6. Теорема Барроу.
7. Формула Ньютона–Лейбница.
8. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы (по определению).
9. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.
10. Формула интегрирования по частям определенного интеграла.
11. Несобственные интегралы первого и второго рода: с бесконечным пределом интегрирования,
от неограниченных функций. Свойства несобственных интегралов.
12. Приложения определенных интегралов для вычисления длины дуги плоской кривой,
площадей, объемов тел.
13. Приложения определенных интегралов для решения задач механики.
14. Приложения определенных интегралов для решения физико-химических задач.
15. Евклидовы пространства. Свойства метрики.
16. Определение функции многих переменных. Сходимость последовательности в n-мерном
евклидовом пространстве.
17. Предел и непрерывность функции двух переменных. Свойства пределов функций многих
действительных переменных.
18. Обобщение теорем о непрерывности функций Вейерштрасса и Коши для функции многих
действительных переменных.
19. Определение дифференцируемой функции двух переменных. Частная производная.
Дифференцирование функций двух переменных.
20. Квадратичные формы. Полный дифференциал функции двух переменных.
21. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости в точке.
22. Производная сложной функции двух переменных.
23. Производная обратной функции двух переменных.
24. Экстремум функции двух переменных: необходимое условие, достаточное условие
экстремума функции двух переменных.
25. Условный экстремум, его необходимое и достаточное условия, функция Лагранжа.
26. Метод наименьших квадратов (МНК). Аппроксимация функций многих переменных. Выбор
базисных функций. Матрица Грама.
27. МНК для степенного базиса. Построение с помощью МНК аппроксимирующей функции двух
переменных.
28. Двойной интеграл. Построение, геометрический смысл и свойства двойного интеграла.
29. Вычисление двойных интегралов сведением к повторному интегралу, заменой переменных,
якобиан замены переменных.
30. Приложения двойного интеграла в физике и химии.
31. Тройной интеграл. Построение, геометрический смысл и свойства тройного интеграла.
Вычисление тройных интегралов сведением к повторному интегралу, заменой переменных,
якобиан замены переменных.
32. Приложения тройного интеграла в физике и химии.
33. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общее решение (общий интеграл)
уравнения. Частные решения задач для ОДУ.
34. Задача Коши для ОДУ. Геометрический смысл.
35. Существование и единственность решения задачи Коши для ОДУ первого порядка. Особые
решения.
36. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
37. ОДУ первого порядка. Линейные уравнения.
38. ОДУ первого порядка. Однородные уравнения.
39. ОДУ первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах.
40. ОДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. <Уравнение Риккати>.
41. Линейные ОДУ n-го порядка. Существование и единственность решения. Особые решения.
42. Некоторые уравнения n-го порядка, допускающие интегрирование; уравнения с правыми
частями специального вида.
43. Системы независимых функций. Функциональный определитель Вандермонда.
44. Линейные ОДУ n-го порядка. с постоянными коэффициентами.
45. Общее и частное решения однородных уравнений.
46. Общее и частное решения неоднородных уравнений.
47. ОДУ второго порядка. Задача Коши.
48. ОДУ второго порядка. Задача Штурма-Лиувилля.
49. Метод вариации произвольных постоянных.
50. Задачи физики и химии, приводящие к краевым задачам для ОДУ второго порядка.
51. Системы ОДУ. Методы решений.
52. Решение химических задач с последавательно-параллельными и последовательными
реакциями k-го порядка.
53. Ряды. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Остаток ряда.
54. Знакопостоянные числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Ряд Дирихле.
55. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признак (1) сравнения, предельный
признак сравнения, признак Д’Аламбера, признак Коши, интегральный признак.
56. Действия над рядами.
57. Знакопеременные ряды и их сходимость. Достаточное условие Лейбница. Абсолютно
сходящиеся ряды. Условная сходимость.
58. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Мажорирующий ряд.
Признак Вейерштрасса.
59. Степенные ряды. Радиус сходимости. Признак Абеля.
60. Действия над степенными рядами.
61. Формула Тейлора (и Маклорена).
62. Ряд Тейлора (и Маклорена). Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.
63. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций, интегралов.
64. Применение степенных рядов к решению ОДУ.
65. Криволинейные интегралы первогорода (кри-1). Построение, геометрический смысл, свойства
кри-1.
66. Криволинейные интегралы второго рода (кри-2). Построение, геометрический смысл,
свойства кри-2.
67. Вычисление кри-1 и кри-2.
68. Приложения криволинейных интегралов.
69. Поверхностные интегралы первого и второго рода (пови-1 и пови-2). Построение,
геометрический смысл и свойства пови-1 и пови-2.
70. Вычисление пови-1 и пови-2. Приложения поверхностных интегралов.
71. Элементы теории поля. Скалярные и векторные поля. Градиент. Дивергенция. Ротор.
Свойства операций первого и второго порядка. Операторы Гамильтона и Лапласа
72. Элементы теории поля. Скалярные и векторные поля. Запись системы уравнений Максвелла в
дивергентной форме.
73. Формула Грина-Остроградского.
74. Теорема Стокса.
75. Теорема Гаусса–Остроградского.
76. Элементы теории поля. Запись системы уравнений Максвелла в интегральной форме.
77. История развития и предмет теории вероятностей.
78. Случайные события. Действия над событиями. Полная группа событий.
79. Определение вероятности события. Статистическое определение вероятности. Классическое
определение вероятности. Комбинаторный метод решения задач.
80. Геометрическое определение вероятностей.
81. Основные теоремы теории вероятностей для случайных событий. Условная вероятность
события. Теорема о независимых событиях. Теоремы умножения. Теоремы сложения.
82. Основные теоремы теории вероятностей для случайных событий. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
83. Случайные величины (с.в.). Функции распределения случайных величин. Свойства функции
распределения.
84. Дискретные случайные величины.
85. Непрерывные (абсолютно непрерывные) случайные величины. Плотность распределения
вероятностей.
86. Вероятность попадания значений случайных величин в заданный интервал.
87. Функции случайных величин.
88. Совместное распределение случайных величин. Условная вероятность. Дискретные
двумерные случайные величины.
89. Непрерывные двумерные случайные величины. Плотность распределения вероятностей
двумерных. Условная вероятность. Формулы умножения плотностей.
90. Вероятность попадания значений n-мерных случайных величин в заданный интервал.
91. Числовые характеристики с.в. и их свойства. Характеристики положения: математическое
ожидание, мода медиана, квантили, критические точки.
92. Характеристики рассеяния: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент
вариации, коэффициент осцилляции.
93. Начальный и центральный моменты k-го порядка.
94. Числовые характеристики и их свойства двухмерных случайных величин.
95. Корреляционный момент двухмерных случайных величин и его свойства.
96. Коэффициент корреляции двухмерных случайных величин и его свойства. <Ковариационная
матрица>.
СОСТАВИЛ
доцент кафедры
общей математики и информатики БГУ
В.И. Яшкин