О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ РЕШЕНИЯМИ
В ОПЕРАТИВНО-ДИСПЕТЧЕРСКОМ УПРАВЛЕНИИ
Р. В. Воронов, Е. А. Корольков, В. В. Поляков, С. В. Поляков
ПетрГУ, Петрозаводск
Задачи оперативно-диспетчерского управления (ОДУ) актуальны для любого
крупного предприятия, в том числе и для предприятий целлюлозно-бумажной
промышленности, поэтому интерес к разработке их математического и программного
обеспечения не уменьшается [1, 2]. Тем не менее до сих пор остается проблемным
создание автоматизированных систем, поддерживающих процедуры принятия решений в
целях ОДУ и применимых для решения широкого круга задач на производствах
различного профиля.
Для решения рассматриваемого класса задач требуются математические модели,
адекватно описывающие протекающие производственные процессы. Однако, несмотря на
то что на сегодняшний день разработано множество математических моделей,
ориентированных на применение в целях планирования и управления производственными
процессами, на практике они используются редко, ввиду не всегда полной их
адекватности реальной ситуации, отсутствия удобной программной реализации задачи и
ряда других причин.
Попытаемся выявить основные проблемы, препятствующие распространению и
эффективному практическому использованию методов математического моделирования в
ОДУ, и наметить пути решения этих проблем.
Задачи ОДУ чаще всего формулируются в виде задач оптимизации [3], связанных с
выбором из множества возможных оптимального по некоторому критерию плана работы
на определенный период времени, учитывающего существующие ограничения на
реализацию техноло-гий. При этом общепринятый подход заключается в стремлении
разработать как можно более точную, учитывающую максимально возможное количество
факторов, модель и создать программное средство, обеспечивающее решение
возникающих задач на основе этой модели. От пользователя требуется лишь настройка на
текущую ситуацию, заключающаяся в выборе необходимых соотношений математической
модели и задании исходных данных, на основе которых рассчитываются значения
параметров модели.
Однако, несмотря на типичность многих оптимизационных задач ОДУ и их
относительно небольшую размерность – десятки ограничений и переменных, что делает
их весьма привлекательными, производственные ситуации на разных предприятиях
различаются множеством деталей, зачастую существенных, и вследствие этого имеют
уникальную для каждого производства специфику, без учета которой решение задачи
теряет смысл. Трудно ожидать, что когда-либо удастся сформулировать универсальную
математическую модель производственного комплекса, применимую в подавляющем
большинстве случаев.
Выходом из такой ситуации могло бы стать участие в построении моделей
управленческого персонала, хорошо представляющего специфику возникающих задач и
способного быстро реагировать на изменение ситуации. Однако сформулировать новую или
хотя бы подкорректировать уже известную модель, учтя новые значимые ограничения,
непросто, если человек не имеет опыта математического моделирования (а в условиях
производства мы имеем именно такую ситуацию).
Таким образом, одна из проблем заключается в том, что оперативно-диспетчерский
персонал предприятий, как правило, не имеет достаточных навыков моделирования. Даже
поверхностное исследование показывает, что среди названной категории лиц доля тех, кто
имеет высшее техническое образование и некоторый опыт математического
моделирования, не превышает нескольких процентов. Среди управленческого персонала
более высокого звена (начальники цехов, производств) доля таких лиц гораздо выше, но
специалистов в области математического моделирования и здесь практически нет.
Поэтому, если мы хотим привлечь к построению математических моделей
производственный персонал, необходим выбор интуитивно понятного человеку класса
математических задач, моделированию в рамках которого нетрудно обучиться.
Применительно к задачам оптимизации с этой точки зрения представляются
приемлемыми задачи линейного программирования, точность которых для целей ОДУ,
согласно многим исследованиям [3, 4, 5], вполне достаточна.
Однако не только неточность моделей приводит к получению неприемлемых
результатов. Не менее значимой проблемой является невозможность поддержания
параметров технологической системы строго соответствующим оптимальным из-за
влияния на систему множества различных факторов. Данное обстоятельство способно
обесценить получаемые результаты, так как даже незначительное отклонение параметров
технологического оборудования от расчетных значений может сделать режим работы
недопустимым и привести к аварийным ситуациям. Для задач выпуклой оптимизации, к
которым относятся задачи линейного программирования, отклонение значения хотя бы
одного управляемого параметра от оптимального означает, что с вероятностью не менее ½
решение станет недопустимым.
Здесь возможный выход заключается в "погружении" искомого решения внутрь
области допустимых решений, что позволяет "поглощать" неточности как моделирования,
так и реализации оптимальных решений. К задачам такого вида относятся задачи
оптимизации с интервальными значениями искомых параметров – переменных,
предлагаемые авторами. Эти задачи имеют три подмножества переменных: подмножество
N обычных (точечных) переменных x и два подмножества N' и N" интервальных
переменных x' и x". В состав задачи включается целевая функция вида:
F(x, x', x") → extr
(1)
и два множества ограничений (M' и M"). Ограничения вида:
gi(x) = bi ,
iM'
(2)
включают только переменные xj (jN). Ограничения вида:
gi(x, x', x")  bi ,
iM"
(3)
должны выполняться для всех значений переменных xj (jN), определяемых
ограничениями вида (2), и любого набора значений переменных xj (jN' + N"), если
значения xj попадают в интервал
xj[xj – σj; xj + σj],
jN'
(4)
в случае ширины интервала, равной 2∙σj, задаваемой как абсолютное значение (σj –
положительная величина), или в интервал
xj[xj∙(1 – δj); xj∙(1 + δj)],
jN" (5)
в тех случаях, когда ширина интервалов 2∙δj задается как относительная величина (δj –
положительная, не превышающая единицы величина).
Значения x' и x" являются срединными значениями каждого интервала допустимых
значений интервальных переменных.
Под класс задач интервальной оптимизации подпадают многие задачи ОДУ, прежде
всего задачи координации работы технологического оборудования, для которых
первоочередным является обеспечение сбалансированного плана работы всех
управляемых элементов технологической системы в течение заданного периода времени,
а критерии оптимальности отступают на второй план. В то же время обучить
управленческий персонал и специалистов предприятий формулированию математических
моделей, приводящих к задачам вида (1)–(5), представляется посильной задачей.
Как одно из следствий, становится целесообразным создание универсальных систем
моделирования, ориентированных на решение задач линейной оптимизации с
интервальными решениями. В силу малой размерности практически важных задач, как
отмечалось выше, не требуется создания специализированных методов решения для
каждого частного случая. Поэтому рассмотрим один из возможных методов,
позволяющий получать псевдооптимальные интервальные решения для случая, когда
ограничения (3) являются линейными.
Пусть aj – коэффициент при xj (jN + N' + N") в выражении gi(x, x', x"):
gi(x, x', x") =  aj∙xj.
jN + N' + N".
Введем обозначения:
a'j = aj,
j N + N',
a'j = aj∙(1 + δj), jN"t: at  0,
a'j = aj∙(1 – δj), jN"t: at < 0,
N1 = t  N': at  0,
N2 = t  N': at < 0,
b'i = bi –  aj∙σj +  aj∙σj,
iM".
jN1 jN2
или
b'i = bi –  |aj|∙σj,
iM".
j N
Заменим в gi(x, x', x") значения aj на a'j и обозначим полученное выражение через g'i(x, x',
x"):
g'i(x, x', x") =  a'j∙xj.
jN + N' + N".
Построим ограничения вида:
g'i(x, x', x")  b'i ,
iM". (6)
Назовем задачу (1), (2), (6) вспомогательной задачей интервальной оптимизации.
Для решения задачи (1)–(5) необходимо решить вспомогательную задачу, решение
последней равносильно решению исходной.
Таким образом, для решения задачи с интервальными ограничениями необходимо
решить обычную задачу математического программирования, при этом размерность
(число переменных и ограничений) вспомогательной задачи совпадает с размерностью
исходной задачи.
Полученное решение будет допустимым для любых значений переменных x' и x",
удовлетворяющих условиям (4), (5). Однако представляется маловероятным, что все
переменные одновременно примут крайние значения (максимальные или минимальные, в
зависимости от знака aj), поэтому имеет смысл решать задачу интервальной оптимизации
с более мягкими условиями (например, с максимальным допустимым отклонением
взвешенной суммы переменных).
Литература
1. Кузнецов В. А. О реализации оптимизационных моделей в автоматизированных
системах
оперативно-диспетчерского
управления
целлюлозно-бумажной
промышленности / В. А. Кузнецов, В. М. Кириллов, В. В. Поляков //
Математическое
обеспечение
ЭВМ
и систем управления / Петрозаводск. гос. ун-т. Петрозаводск, 1985. С. 69–77.
2. Воронин А. В. Математические модели и методы в планировании и управлении
предприятием ЦБП / А. В. Воронин, В. А. Кузнецов. Петрозаводск: Изд-во
ПетрГУ, 2000. 256 с.
3. Ицкович Э. Л. Оперативное управление непрерывным производством: задачи,
методы, модели / Э. Л. Ицкович, Л. Р. Соркин. М.: Наука, 1988. 160 с.
4. Автоматизированные
системы
оперативно-диспетчерского
управления
предприятиями целлюлозно-бумажной промышленности / Под ред. И. Е.
Вьюкова. М.: Лесная промышленность, 1978. 248 с.
5. Дудников Е. Е. Типовые задачи оперативного управления непрерывным
производством / Е. Е. Дудников, Ю. М. Цодиков. М.: Энергия, 1979. 272 с.