Îãëàâëåíèå

Îãëàâëåíèå
Ãëàâà 6. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè
Ñâîéñòâà ìàòðèöû ïëîòíîñòè . .
Ýâîëþöèÿ âî âðåìåíè. Óðàâíåíèå
Ðàâíîâåñíàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè .
3
. . . . . . .
. . . . . . .
Ëèóâèëëÿ
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
9
12
13
Ãëàâà 6
Ìàòðèöà ïëîòíîñòè
6.1. Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè
Çàïèøåì ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè
X
|Ψi =
cn |ni,
(6.1)
n
ïîëàãàÿ, ÷òî ìîæíî âûáðàòü êàêîé-ëèáî äèñêðåòíûé áàçèñ |ni:
X
X
X
f=
hn0 |c∗n0 fˆcn |ni =
c∗n0 cn hn0 |fˆ|ni =
fn0 n c∗n0 cn .
(6.2)
n,n0
n,n0
n,n0
 ôîðìóëå (6.2) ïðîèçâåäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå â äàííîì áàçèñå) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöó. Îáîçíà÷èì åå òàê:
ρnn0 = cn c∗n0 ,
(6.3)
òîãäà îïðåäåëåíèå (6.2) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå ñëåäà ïðîèçâåäåíèÿ
ìàòðèöû îïåðàòîðà è íîâîé ìàòðèöû (6.3):
X
X
f=
fn0 n ρnn0 ≡
ρnn0 fn0 n = Trfˆρ̂c ,
(6.4)
n,n0
n,n0
ãäå ââåäåí íîâûé îïåðàòîð:
ρ̂c :
ρnn0 = hn|ρ̂c |n0 i.
(6.5)
Âñïîìíèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (âåêòîð êåò ñëåâà îò âåêòîðà áðà) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîð, è ïåðåïèøåì îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà ρ̂c â äðóãîì âèäå:
X
X
X
ρ̂c =
cn c∗n0 |nihn0 | =
cn |ni
(6.6)
c∗n0 hn0 | = |ΨihΨ|.
n,n0
n
n0
4
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ââåäåííîãî òàêèì îáðàçîì îïåðàòîðà ïîëó÷àåì
X
X
hn|ρ̂c |n0 i =
ck c∗k0 hn0 |kihk 0 |ni =
ck c∗k0 δn0 ,k δk0 ,n = cn c∗n0 .
k,k0
k,k0
Çàìåòèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè ñîñòîÿíèÿ:
X
|cn |2 = 1.
n
Ââåäåííàÿ íàìè ìàòðèöà ρ̂c ýðìèòîâà, äåéñòâèòåëüíî:
X
X
ρ̂+
(cn c∗n0 )∗ (|nihn0 |)+ =
c∗n cn0 |n0 ihn| = ρ̂c .
c =
n,n0
(6.7)
n,n0
Âèäíî, ÷òî ñëåä ìàòðèöû îïåðàòîðà ρ̂c ðàâåí åäèíèöå:
X
X
Trρ̂c =
hn00 |cn c∗n0 |nihn0 |n00 i =
cn c∗n0 δn00 ,n δn0 ,n00 =
n,n0 ,n00
=
X
cn c∗n0 δn,n0 =
X
n,n0 ,n00
|cn |2 = 1,
(6.8)
n
n,n0
ñîîòâåòñòâåííî äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ñèñòåìû â äàííîì ñîáñòâåííîì ñîñòîÿíèè.
Åñëè êâàíòîâàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü îïèñàíà âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ |Ψi, ãîâîðÿò, ÷òî îíà íàõîäèòñÿ â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè. Äëÿ
çàìêíóòûõ ñèñòåì òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî âñåãäà ïî îïðåäåëåíèþ. Ââåäåííàÿ âûøå ìàòðèöà (6.3) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ, à îïåðàòîð (6.5) ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðîì ïëîòíîñòè èëè ñòàòèñòè÷åñêèì îïåðàòîðîì, êîòîðûé
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ:
2
ρ̂2c = (|ΨihΨ|) = |Ψi (hΨ||Ψi) hΨ| = |ΨihΨ| = ρ̂c .
(6.9)
Âîîáùå ãîâîðÿ, äëÿ ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ ââåäåíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè ñîâåðøåííî íå îáÿçàòåëüíî, ïîñêîëüêó ïðèâîäèò ê ïåðåïèñûâàíèþ ïðèâû÷íûõ âûðàæåíèé â äðóãîì âèäå. Îäíàêî ñèòóàöèÿ
ðàäèêàëüíî èçìåíÿåòñÿ, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó èëè ñòàòèñòè÷åñêèé àíñàìáëü îäèíàêîâûõ ñèñòåì.  ýòîì
ñëó÷àå ñèñòåìó (àíñàìáëü) óæå íåëüçÿ îïèñàòü âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ. Ïðåäñòàâèì ñåáå àíñàìáëü ñîâåðøåííî îäèíàêîâûõ çàìêíóòûõ
5
ñèñòåì. Ìû ïîíèìàåì, ÷òî ñîñòîÿíèå êàæäîé ñèñòåìû çàäàåòñÿ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ |Ψi.  ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèÿõ ýòîé ñèñòåìû îïðåäåëåí ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, îäíàêî ñàìî ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü è íåñîáñòâåííûì, à íåêîòîðîé ñóïåðïîçèöèåé (6.1), ãäå n
îáîçíà÷àåò ïîëíûé íàáîð âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Èíûìè ñëîâàìè, â äàííîì ñîñòîÿíèè |Ψi çíà÷åíèÿ
ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îïðåäåëåíû, à ïîëó÷àþòñÿ
â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé ñ îïðåäåëåííûìè âåðîÿòíîñòÿìè |cn |2 .
Ñîîòâåòñòâåííî êàæäàÿ ñèñòåìà â ðàññìàòðèâàåìîì àíñàìáëå
îäèíàêîâûõ ñèñòåì òîæå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñâîåì ñîñòîÿíèè
X
X
|Ψ(a) i =
can |ni,
|can |2 = 1
(6.10)
n
n
ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ wa , óæå íå èìåþùåé îòíîøåíèÿ ê ÷èñòî êâàíòîâûì ñâîéñòâàì ñèñòåìû, à îïðåäåëÿåìîé ñïîñîáîì ñîçäàíèÿ (ïðèãîòîâëåíèÿ) äàííîé ñèñòåìû â àíñàìáëå. Åñëè ìû òåïåðü
çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: ÷åìó ðàâíî ñðåäíåå çíà÷åíèå äàííîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû ïî àíñàìáëþ?, òî äîëæíû áóäåì óñðåäíèòü âûðàæåíèå (6.2) ïî âñåìó àíñàìáëþ, ò.å. ïðîñóììèðîâàòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
äàííîé âåëè÷èíû â êàæäîé ñèñòåìå àíñàìáëÿ
fa = hΨ(a) |fˆ|Ψ(a) i
(6.11)
ñ âåðîÿòíîñòüþ wa ñóùåñòâîâàíèÿ ñèñòåìû â äàííîì ñîñòîÿíèè â
àíñàìáëå:
X
X
X
f ans =
wa f a =
wa hΨ(a) |fˆ|Ψ(a) i,
wa = 1.
(6.12)
a
a
a
Ïîäñòàâèì â îïðåäåëåíèå (6.12) ðàçëîæåíèå âåêòîðà |Ψ(a) i ïî ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì (6.10):
X
X ∗
f ans =
(6.13)
wa
can0 can hn0 |fˆ|ni.
a
n,n0
Ïîñêîëüêó âñå ñèñòåìû àíñàìáëÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâû, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà hn0 |fˆ|ni = fn0 n íå çàâèñèò
îò èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ ïî ñèñòåìàì àíñàìáëÿ, íî çàâèñèò òîëüêî îò ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ äàííàÿ ñèñòåìà, è åãî ìîæíî
âûíåñòè èç-ïîä çíàêà ñóììèðîâàíèÿ ïî àíñàìáëþ:
X
X
X
f ans=
hn0 |fˆ|ni
wa can0 ∗ can =
fn0 n ρnn0 = Tr(fˆρ̂).
n,n0
a
n0 ,n
6
Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè àíñàìáëÿ ñèñòåì (ïîäñèñòåì):
X
ρnn0 =
wa can0 ∗ can ,
(6.14)
a
Ñîîòâåòñòâåííî
ρ̂ =
XX
wa can0 ∗ can |nihn0 |.
a
n,n0
Âû÷èñëèì, êàê è â ñëó÷àå ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ, ñëåä ìàòðèöû (6.14):
X
X
X
X
|can |2 =
wa = 1.
(6.15)
Trρ̂ =
ρnn =
wa
n
a
n
a
Çäåñü ìû ó÷ëè óñëîâèå íîðìèðîâêè ñîñòîÿíèÿ êàæäîé ñèñòåìû â
àíñàìáëå è âíîâü ïîëó÷èëè óñëîâèå (6.8). Çàìåòèì, ÷òî âñå äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû íåîòðèöàòåëüíû: ρnn ≥ 0.
Âû÷èñëèì òåïåðü êâàäðàò ìàòðèöû (6.14):
XX X
0
0
ρ̂2 =
wa wa0 can0∗ can cam0∗ cam |nihn0 ||mihm0 |.
a,a0 n,n0 m,m0
Ïîñêîëüêó ñîñòîÿíèÿ â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ àíñàìáëÿ îðòîãîíàëüíû hn0 |mi = δn0 m , ïîëó÷àåì
X
X
cam∗ can cam0∗ cam |nihm0 | =
ρ̂2 =
wa2
a
=
X
n,m,m0
wa2
a
=
X
X
can cam0∗ |nihm0 |
X
wa2
a
X
|cam |2 =
m
n,m0
cam0∗ cna |nihm0 |
6= ρ.
n,m0
Âîçüìåì ñëåä îò êâàäðàòà ìàòðèöû ïëîòíîñòè:
X
X
X
Trρ2 =
wa2
|can |2 =
wa2 ≤ 1.
a
n
(6.16)
a
Ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â åäèíñòâåííîì ñëó÷àå, òîëüêî êîãäà äëÿ
îäíîé êàêîé-òî ïîäñèñòåìû wa0 = 1, à äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ wa6=a0 =
0.
Êàê âèäèì, ïðè îïðåäåëåíèè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí
àíñàìáëü ñèñòåì ìîæíî òåïåðü ðàññìàòðèâàòü êàê îäíó ñèñòåìó,
7
íàõîäÿùóþñÿ â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè, êîòîðîå, îäíàêî, íåëüçÿ âûðàçèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè (6.1), è ïîýòîìó îíî íå ìîæåò áûòü
îïðåäåëåíî â âèäå íåêîòîðîãî âåêòîðà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåìû ìû ïîëó÷àåì íå ïðîñòî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñ
îïðåäåëåííûìè êâàíòîâûìè âåðîÿòíîñòÿìè, íî åùå ñ âåðîÿòíîñòÿìè ñòàòèñòè÷åñêèìè, îïðåäåëÿþùèìè âêëàä äàííîé ñèñòåìû
â àíñàìáëü. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþò ñìåøàííûìè, èõ ñëåäóåò
îïèñûâàòü ìàòðèöåé ïëîòíîñòè, êîòîðóþ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
X
ρ̂ =
wa |χa ihχa |,
(6.17)
a
ãäå |χa i ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ïîäñèñòåì ñóïåðïîçèöèè (6.10).
Åñëè âñå wa = 0 çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî, ïðèõîäèì ê ïðåäñòàâëåíèþ
ìàòðèöû ïëîòíîñòè äëÿ ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ (6.6).
Ñìåøàííûå ñîñòîÿíèÿ âîçíèêàþò è ïðè ðàññìîòðåíèè íåçàìêíóòûõ ñèñòåì, ò.å. ïîäñèñòåì íåêîòîðûõ ñèñòåì. Åñòåñòâåííî, â îáùåì
ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîäñèñòåìà âçàèìîäåéñòâóåò ñî âñåé ñèñòåìîé, îäíàêî âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ïîëíîé ñèñòåìû ìîæíî âñåãäà ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ñèñòåì: èíòåðåñóþùåé íàñ ïîäñèñòåìû è îñòàëüíîé ÷àñòè ïîëíîé ñèñòåìû. Îáîçíà÷èì ñîñòîÿíèÿ ïîäñèñòåìû ëàòèíñêèìè áóêâàìè |ni, à ñîñòîÿíèÿ îñòàëüíîé ÷àñòè ñèñòåìû ãðå÷åñêèìè |αi,
òîãäà ñîñòîÿíèå âñåé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
X
|Ψi =
cnα |ni|αi.
(6.18)
n,α
Ïóñòü òåïåðü íàì íóæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû f , îïèñûâàþùåé ïîäñèñòåìó, òîãäà ýòîé âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóåò
îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé òîëüêî íà ñîñòîÿíèÿ ïîäñèñòåìû. Îäíàêî
ñðåäíåå çíà÷åíèå äàííîãî îïåðàòîðà ìû äîëæíû âçÿòü ïî ñîñòîÿíèþ âñåé ñèñòåìû:
X
f = hΨ|fˆ|Ψi =
c∗n0 α0 cnα hα0 |hn0 |fˆ|ni|αi =
n0 ,α0 ,n,α
=
X
hn0 |fˆ|ni
n0 ,n
X
α0 ,α
8
c∗n0 α0 cnα hα0 |αi.
(6.19)
Âî âòîðîé ñóììå ôîðìóëû (6.19) ñòîèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ, ïîýòîìó åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óñðåäíåíèå êîýôôèöèåíòîâ ñóïåðïîçèöèè (6.18) ïî ñîñòîÿíèÿì ÷àñòè ñèñòåìû âíåøíåé, ïî îòíîøåíèþ ê ïîäñèñòåìå.  ðåçóëüòàòå òàêîãî
óñðåäíåíèÿ îñòàåòñÿ ìàòðèöà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ñîñòîÿíèé ïîäñèñòåìû:
X
ρn,n0 =
c∗n0 α cnα ,
(6.20)
α
êîòîðóþ òåïåðü ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöó îïåðàòîðà ρ̂ ïî ñîñòîÿíèÿì ïîäñèñòåìû:
ρn,n0 = hn|ρ̂|n0 i.
Ñîîòâåòñòâåííî ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (6.19) ñ ïîìîùüþ òàê ââåäåííîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïîäñèñòåìû:
X
f = hfˆi =
hn|fˆ|n0 ihn0 |ρ̂|ni =
n0 ,n
=
X
n
Ã
hn|fˆ
X
!
|n ihn | ρ̂|ni ≡ Tr(fˆρ̂).
0
0
(6.21)
n0
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì ïîëíîòû ñèñòåìû ñîñòîÿíèé:
X
ˆ
|n0 ihn0 | = I.
n0
Êàê èç ôîðìóëû (6.20), òàê è èç îïðåäåëåíèÿ (6.21) ëåãêî ïîëó÷èòü,
÷òî
X
Trρ =
|cnα |2 = 1,
(6.22)
n,α
è äëÿ fˆ = 1:
h1i = 1 = Trρ1̂ = Trρ.
6.2. Ñâîéñòâà ìàòðèöû ïëîòíîñòè
Ñôîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå îáùåé ñâîäêè ñâîéñòâ
ìàòðèöû ïëîòíîñòè.
9
1. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ýðìèòîâà:
ρ̂+ = ρ̂,
ò.å. ρn0 n = ρ∗nn0 .
(6.23)
Èç ýðìèòîâîñòè ìàòðèöû ïëîòíîñòè ñëåäóåò äåéñòâèòåëüíîñòü äèàãîíàëüíûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ρnn .
2. Cëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ðàâåí åäèíèöå:
X
ρnn = 1.
Trρ̂ =
(6.24)
n
3. Ýðìèòîâà ìàòðèöà ïëîòíîñòè âñåãäà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê
äèàãîíàëüíîìó âèäó ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Sb:
X
Skn ρkk0 Sk+0 n0 .
(6.25)
ρn δnn0 ≡ wn δnn0 =
kk0
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð ρ̂ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â äèàãîíàëüíîé ôîðìå:
X
ρ̂ =
ρν |νihν|.
(6.26)
ν
4. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Ýòî ñëåäóåò èç
òðåáîâàíèÿ íåîòðèöàòåëüíîñòè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ñ
íåîòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà ρ̂ â ïðîèçâîëüíîì
ñîñòîÿíèè ñèñòåìû |χi.  ñèëó ýðìèòîâîñòè ìàòðèöû ïëîòíîñòè åå ñðåäíåå çíà÷åíèå äîëæíî áûòü äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Âûáðàâ äèàãîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (6.26), ïîëó÷àåì:
X
X
hχ|ρ̂|χi =
ρν hχ|νihν|χi =
ρν |hν|χi|2 ≥ 0.
(6.27)
ν
ν
Èç ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèàãîíàëüíûõ
ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ïîñêîëüêó ðàññìîòðåííûé îïåðàòîð
âûäåëÿåò îïðåäåëåííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (ïîäñèñòåìû), åãî
ñðåäíåå çíà÷åíèå èìååò ñìûñë âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ñèñòåìû â äàííîì ñîñòîÿíèè, ñëåäîâàòåëüíî, äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè èìåþò ñìûñë âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè |ki, ò.å.
ρkk = wk .
10
(6.28)
P
Ñîîòâåòñòâåííî Trρ =
k wk = 1 åñòü ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü
íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â êàêîì-ëèáî èç âñåõ âîçìîæíûõ îðòîãîíàëüíûõ ñîñòîÿíèé.
5. Ñâîéñòâî 3) ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ 2) è 4) ïðèâîäèò ê âàæíîìó
ñëåäñòâèþ:
Ã
!2
X
X
X
2
2
ρnn =
wn ≤
wn
=
n
n
Ã
=
X
!2
ρnn
n
2
= (Trρ) = 1.
(6.29)
n
Ïîíèìàÿ, ÷òî ëåâóþ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (6.29) ìîæíî çàïèñàòü â ïðåäñòàâëåíèè, êîãäà ìàòðèöà ïëîòíîñòè íåäèàãîíàëüíà, ïîëó÷àåì îáîáùåíèå:
X
|ρnn0 |2 ≤ 1.
Tr(ρ̂)2 =
(6.30)
nn0
Ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â åäèíñòâåííîì ñëó÷àå, êîãäà
ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè.
Âåëè÷èíà (6.30) òàêèì îáðàçîì èìååò î÷åíü âàæíîå çíà÷åíèå
äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû, ïîýòîìó èìååò ñâîå îáîçíà÷åíèå:
Tr(ρ̂)2 = µ
−
ïàðàìåòð ÷èñòîòû.
(6.31)
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò àìïëèòóäû ïåðåõîäà ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè. Íàïðèìåð, ïóñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè |ψi, òîãäà àìïëèòóäà ïåðåõîäà â ñîñòîÿíèå |ϕi
åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ äâóõ ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâåííî
âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå åñòü êâàäðàò
ìîäóëÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà:
wψ→ϕ = |hψ|ϕi|2 .
Êàê ïîìíèì, ìàòðèöà ïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ
ïðîñòîé ôîðìóëîé (6.6), ïîýòîìó äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ìîæíî
çàïèñàòü:
wψ→ϕ =hψ|ϕi(hψ|ϕi)∗ = hψ|(|ϕihϕ|)|ψi =
³
´
=Tr|ϕihϕ||ψihψ| = Tr ρϕ ρ+
ψ .
11
(6.32)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà (6.32) åñòü ñâîé òåðìèí
delity.
6.3. Ýâîëþöèÿ âî âðåìåíè. Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ
Óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè, ïîëó÷èì, âûáðàâ äëÿ îïðåäåëåííîñòè äëÿ íåå âèä â àíñàìáëå
ïîäñèñòåì (íåêîãåðåíòíîé ñìåñè) (6.14), óêàçàâ ÿâíóþ çàâèñèìîñòü
ñîñòîÿíèé îò âðåìåíè:
X
wa |ψa (t)ihψa (t)|.
(6.33)
ρ̂(t) =
a
Âñïîìíèì, ÷òî èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ âî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ýâîëþöèè, è ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (6.33) â âèäå
X
wa U (t)|ψa (t0 )ihψa (t0 )|U + (t) =
ρ̂(t) =
(6.34)
Ã
= U (t)
a
X
!
wa |ψa (t0 )ihψa (t0 )| U + (t) = U (t)ρ̂(t0 )U + (t).
a
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (6.34) ïî âðåìåíè, ïîäñòàâèì
îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè äëÿ îïåðàòîðà ýâîëþöèè è
ïîëó÷èì
i
i hb
∂ ρ̂(t)
= − H,
ρ̂(t) .
(6.35)
∂t
~
Óðàâíåíèå (6.35) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿ. Îíî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà äëÿ ñîñòîÿíèÿ.
Çàïèøåì òåïåðü îïðåäåëåíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû:
³
´
³
´
b
b (t)ρ̂(t0 )U + (t) .
hAi = Tr Aρ̂(t)
≡ Tr AU
Âñïîìèíàÿ, ÷òî ïîä çíàêîì Tr îïåðàòîðû ìîæíî öèêëè÷åñêè ïåðåñòàâëÿòü, ïîëó÷èì
´
³
´
³
bH (t)ρ̂(t0 ) ,
b (t)ρ̂(t0 ) = Tr A
(6.36)
hAi = Tr U + (t)AU
bH (t) îïåðàòîð â ïðåäñòàâëåíèè Ãàéçåíáåðãà.
ãäå A
12
Äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû, êîãäà ãàìèëüòîíèàí ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñèò, îïåðàòîð ýâîëþöèè èìååò ïðîñòîé âèä, è ìîæíî
çàïèñàòü:
−1 b
−1 b
ρ̂(t) = e−i~ Ht ρ̂(t0 )ei~ Ht .
(6.37)
Åñëè ñîñòîÿíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ìàòðèöó ïëîòíîñòè, îáëàäàþò îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé (ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà
ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà), ïîëó÷àåì, ÷òî
äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, à íåäèàãîíàëüíûå îñöèëëèðóþò ñ ÷àñòîòàìè ïåðåõîäà ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè óðîâíÿìè ýíåðãèè:
ρnk (t) = ρnk (t0 )ei~
−1
(Ek −En )t
= ρnk (t0 )eiωkn t .
(6.38)
Ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû (6.36) òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü êàê:
X
hAi =
Akn ρnk (t0 )eiωkn t .
(6.39)
k,n
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà ïîëåçíî çàïèñàòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå (6.35) â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé â êàêîì-ëèáî îïðåäåëåííîì
äèñêðåòíîì áàçèñå:
X
∂ρnk
i~
=
(Hnm ρmk − ρnm Hmk ) .
(6.40)
∂t
m
6.4. Ðàâíîâåñíàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè
Èòàê, ìû âèäåëè, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü
ñâîéñòâà àíñàìáëÿ ñèñòåì è, òàêèì îáðàçîì, èìååò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è âåêòîð ñîñòîÿíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðè îïèñàíèè
çàìêíóòûõ ñèñòåì. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ïëîòíîñòè äîëæíà ñîäåðæàòü âñþ íåîáõîäèìóþ èíôîðìàöèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåì õàðàêòåðèçóþòñÿ
òàêîé âàæíåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé, êàê ýíòðîïèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
X
S=−
wk ln wk ,
(6.41)
k
ãäå wk âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè k. Ïîýòîìó,
åñòåñòâåííî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
X
wk = 1, 0 ≤ wk ≤ 1,
(6.42)
k
13
ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì.
Ñìûñë ýíòðîïèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî åå ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü
êàê íåêîòîðóþ ìåðó íåäîñòàòêà èíôîðìàöèè î ñèñòåìå.  ÷àñòíîñòè, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè |ν0 i, îòëè÷íî îò
íóëÿ òîëüêî wν0 = 1.  ýòîì ñëó÷àå ýíòðîïèÿ ðàâíà íóëþ: èíôîðìàöèÿ ìàêñèìàëüíà, ò.å. ïîëíàÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ (êâàíòîâîé) ìåõàíèêè.
Ïðåäñòàâèì ñåáå òåïåðü àíñàìáëü ñèñòåì, êîòîðûå ñ ðàâíûìè
âåðîÿòíîñòÿìè íàõîäÿòñÿ âî âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèÿõ. Â òàêîì
ñëó÷àå ýíòðîïèÿ ìàêñèìàëüíà, ïîñêîëüêó ìû îáëàäàåì ìèíèìàëüíîé èíôîðìàöèåé. Óáåäèìñÿ â ýòîì, âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì
íåîïðåäåëåííûõ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, ïðîâàðüèðîâàâ âûðàæåíèå
(6.41) ïðè óñëîâèè (6.42):
X
(1 + ln wk + λ) δwk = 0,
(6.43)
k
ãäå λ íåîïðåäåëåííûé ìíîæèòåëü.
Ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç âàðèàöèé δwk íåçàâèñèìà, óðàâíåíèå
(6.43) óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè
ln wk = −(1 + λ).
Êàê âèäèì, âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ, ìû íå ìîæåì ðàçëè÷èòü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì â àíñàìáëå, à ïîýòîìó íå îáëàäàåì íèêàêîé èíôîðìàöèåé. Ïîñêîëüêó λ íå çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ, ýíòðîïèÿ
ñ ïîëó÷åííûìè âåðîÿòíîñòÿìè ìàêñèìàëüíà.
Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íîðìèðîâêè
(6.42), â ðåçóëüòàòå ñóììèðîâàíèÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì ïîëó÷àåì
X
k
wk =
X
e−(1+λ) = e−(1+λ) ∆Γ = 1,
èëè
1 + λ = ln ∆Γ, (6.44)
k
ãäå ∆Γ ÷èñëî ñîñòîÿíèé â ñèñòåìå.
Âñïîìíèì òåïåðü îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòðèöû ïëîòíîñòè, ðàññìîòðåííûå â ïàðàãðàôå 6.2, à èìåííî, ñâîéñòâî (6.27) è (6.25).
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûðàçèòü ýíòðîïèþ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ
(6.41) ÷åðåç ìàòðèöó ïëîòíîñòè â äèàãîíàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè:
X
S=−
ρν ln ρν .
(6.45)
ν
14
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âûðàæåíèå (6.45) ìîæíî ïåðåïèñàòü, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (6.26):
X
S =−
hν 0 |(ρν |νihν|)|ν 00 ihν 00 |(ln ρν |νihν|)|ν 0 i =
ν,ν 0 ,ν 00
= − Trρ̂ν lnρ̂ν .
Çäåñü ρ̂ν îáîçíà÷àåò ìàòðèöó ïëîòíîñòè, çàïèñàííóþ â äèàãîíàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè.
Ïîñêîëüêó îò äèàãîíàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âñåãäà ìîæíî ïåðåéòè ê ïðîèçâîëüíîìó, çàïèøåì òåïåðü îïðåäåëåíèå ýíòðîïèè ÷åðåç îïåðàòîð ρ̂ â îáùåì âèäå:
S = −Tr (ρ̂ln ρ̂) .
(6.46)
 äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû ìàòðèöà ïëîòíîñòè
è ñòàòèñòè÷åñêèé îïåðàòîð.
Îïðåäåëèì òåïåðü âèä ñòàòèñòè÷åñêîãî îïåðàòîðà â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå, êîãäà âñå ñîñòîÿíèÿ àíñàìáëÿ ñèñòåì ðàâíîâåðîÿòíû. Ïðîâàðüèðóåì îïðåäåëåíèå (6.46) ïðè óñëîâèè ðàâåíñòâà
åäèíèöå ñëåäà îïåðàòîðà:
Tr(1 + ln ρ̂ + λ)δ ρ̂ = 0,
èëè
1
− c − ÷èñëî.
1+λ
Çàäàäèì òåïåðü äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ îá àíñàìáëå ñèñòåì.
À èìåííî, ïóñòü àíñàìáëü õàðàêòåðèçóåòñÿ ýíåðãèåé, êîòîðàÿ ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî îïðåäåëåíèþ åñòü
ρ̂ =
b
hEi = E = Trρ̂H,
(6.47)
b ãàìèëüòîíèàí ñèñòåì àíñàìáëÿ.
ãäå H
Âíîâü ïîòðåáóåì ìàêñèìóìà ýíòðîïèè, íî òåïåðü åùå ïðè îäíîì
äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè (6.47):
b ρ̂ = 0.
Tr(1 + lnρ̂ + λ + β H)δ
Ïîñêîëüêó âñå âàðèàöèè ïðîèçâîëüíû, ïîëó÷àåì
b
lnρ̂ = −1 − λ − β H,
15
èëè
b
ρ̂ = e−(1+λ) e−β H .
(6.48)
Ïåðâàÿ ýêñïîíåíòà â ôîðìóëå (6.48) ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç
ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ìàòðèöû ïëîòíîñòè Trρ̂ = 1:
b
e1+λ Tr e−β H ≡ Z.
(6.49)
Ìîæíî òåïåðü ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå (6.48), èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (6.49):
b
ρ̂ = Z −1 e−β H .
(6.50)
Îñòàâøèéñÿ íåîïðåäåëåííûé ïàðàìåòð β íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ
(6.47):
b −β Hb = − ∂ lnZ.
(6.51)
hEi = Z −1 TrHe
∂β
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð β îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñðåäíåé ýíåðãèè.  òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðåäåëå
β=
1
.
T
(6.52)
Çäåñü è äàëåå ìû èçìåðÿåì òåìïåðàòóðó â åäèíèöàõ ýíåðãèè (èëè
ïîëàãàåì ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà kB = 1).
16