Корреляционная функция

Корреляционная функция
[3] c. 50
[5] c. 61-74
[1] c. 73-86
1. Автокорреляционная функция.
2. Взаимная корреляционная функция.
-1Автокорреляционная функция (АКФ) представляет собой интеграл
произведения двух копий сигнала, сдвинутых относительно друг друга на время τ:
BS ( ) 
от

 S (t )  S (t   )dt
(5.1)

Эта функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой
копией. Чем больше эта функция, тем больше сходство.
Свойства АКФ:
1. При τ=0 АКФ равна энергии сигнала:

B S ( 0) 
S
2
(t ) dt
(5.2)

2. АКФ является чётной функцией:
BS ( )  BS ( )
3. При любом значении τ значение АКФ не превосходит энергии сигнала:
BS ( )  BS (0)
4. В зависимости от вида сигнала АКФ может иметь монотонный характер или
колеблющийся.
Пример: Вычислить АКФ прямоугольного импульса (рисунок 5.1)
S(t)
0
T
t
Рисунок 5.1
1. При 0    T (1)   0 рисунок 5.2 пункт 1 – сдвиг копии вправо относительно
основного сигнала
T
BS ( )   A 2 dt  A 2 (T   )

2. При  T    0 (2)   0 рисунок 5.2. пункт 2 – сдвиг копии влево относительно
основного сигнала. Данный пункт является избыточным т.к. автокорреляционная
функция является симметричной относительно оси у.
BS ( ) 
T 
 A dt  A
2
0
2
(T   )
Т+τ, т.к. длина равна Т в положительной части оси t остается T   , т.к. τ<0, то Т+τ.
 T
3.
BS ( )  0
1
T
τ
T+τ
2
τ
T+τ
T
Рисунок 5.2
T
τ
T+τ
τ2
T+τ2
Рисунок 5.3
На рисунке 5.3 показан сдвиг копии вправо – два случая. Из рисунка видно, что сдвиг
копии приводит к уменьшению перекрытия (заштрихованная область), а значит и к
уменьшению значения интеграла. Если сдвиг увеличить до значения равного
длительности основного сигнала (Т) и увеличивать дальше, то перекрытие будет нулевым
и интеграл равен нулю.
Объединяя результаты, можно записать:

0,   T
BS ( )   2
 A (T   ),   T
АКФ на рисунке 5.3.
А2
0
-Т
+Т
τ
Рисунок 5.4
Для периодического сигнала (у него энергия бесконечна) формула 5.1 изменяется.
BS ( ) 
1
T
T
2
 S (t )  S (t   )dt
(5.3)
T

2
Т.е. берется усреднение за один период сигнала.
-2ВКФ показывает степень схожести двух разных сигналов.
B12 ( ) 

 S (t )  S
1
2
(t   )dt
(5.4)

Видно, что АКФ – это частичный случай ВКФ при S1 (t )  S 2 (t )  S (t ) .
Свойства ВКФ:
1. B12 ( )  B21 ( ) , т.е. изменение знака τ равносильно взаимной перестановке
сигналов.
2. ВКФ не является четной функцией параметра τ:
B12 ( )  B12 ( )
3. Значение ВКФ при τ=0 не обязательно максимально, а максимум ВКФ может
находится где-угодно.
АКФ. Случай цифрового сигнала.
Для цифрового сигнала получаем не непрерывный сигнал, а набор отсчетов.
Поэтому прямоугольный импульс будет представлять собой набор одинаковых значений,
расположенных с шагом, равным периоду квантования (рисунок 5.5).
0 Т 2Т 3Т 4Т
Рисунок 5.5
t
В таком случае интеграл из формулы 5.1 превращается в сумму, и формула будет иметь
вид:

B S ( m)   S ( n )  S ( n  m)

Пример расчета АКФ для дискретного сигнала.
0 Т 2Т 3Т 4Т
t
0 Т 2Т 3Т 4Т
t
0 Т 2Т 3Т 4Т
Рисунок 5.6
t
Здесь нужно обратить внимание на то, что сдвиг происходит ТОЛЬКО на шаг
квантования, т.е. на Т: Т, 2Т, 3Т и т.д.
Для расчета воспользуемся представлением цифрового сигнала в виде набора чисел.
Примем, что амплитуда сигнала равна 1. Тогда исходный импульс будет иметь вид
s(n)={1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}
Сдвинутая копия – второй сигнал на рисунке 5.6 - s(n)={0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}
Еще один сдвиг s(n)={0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}
Тогда расчет АКФ будет выполняться так
Нулевой сдвиг – сигнал и копия одинаковы.
Исходный сигнал
Копия
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Результат: 1*1+1*1+1*1+1*1+1*1+1*1=6
Первый сдвиг копии
Исходный сигнал
Копия
1
0
1
1
1
1
Результат: 1*0+1*1+1*1+1*1+1*1+1*1+0*1=5
Второй сдвиг копии
Исходный сигнал
Копия
1
0
1
0
1
1
1
1
Результат: 1*0+1*0+1*1+1*1+1*1+1*1+0*1+0*1=4
Третий сдвиг копии
Исходный сигнал
Копия
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Результат: 1*0+1*0+1*0+1*1+1*1+1*1+0*1+0*1+0*1=3
И т.д.
Седьмой сдвиг копии
Исходный сигнал
1
Копия
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
Результат 1*0+1*0+1*0+1*0+1*0+1*0+0*1+0*1+0*1+0*1+0*1+0*1=0
Тогда АКФ имеет вид
-4Т
-2Т
-Т 0 Т 2Т 3Т 4Т
t
0
1
0
1