Лекція № 37

1
Лекція № 37
Тема лекції .Автокореляційна функція для дискретних сигналів
1.Автокореляційна функція дискретних сигналів.
2.Дискретна автокореляційна функція.
3.Розрахунок автокореляційної функції.
4. Взаимно - корреляционная функция двух сигналов ( ВКФ).
5.Розрахунок дискретної ВКФ двох сигналів.
Література: Л1 с. 92-102, Л2 с.
1. Автокорреляционная функция дискретных сигналов.
Анализируя автокорреляционную характеристику для дискретных сигналов
абстрогируемся от второстепенных подробностей изменения сигнала и
автокорреляционной характеристики и сведем к анализу изменения формы

автокорреляционной характеристики с течением времени
. Для построения
автокорреляционной характеристики для дискретных сигналов необходимо
получить описание этих сложных сигналов с дискретной структурой.
Описание сложных сигналов с дискретной структурой.
Рассмотрим построение пачки прямоугольных видеоимпульсов в соответствии с
рассмотренным раннее принципом: весь интервал времени существования нашего
сигнала разбивается на m отрезков или равных промежутков времени,
называемых : позициями. На каждой из рассмотренных позиций сигнал может
принимать только два состояния. Этим состояниям соответствуют числа +1 или –
1. В качестве примера рассмотрим построение многопозиционного сигнала при
m  3.
U (t )  1,1,1
U (t )
+1
+1
t
-1
U (t )
+1
-1
+1
t
Из рассмотренных рисунков понятно, что физическое задание облика
многопозиционного сигнала может быть различным.
В первом случае +1 соответствует положительный скачок амплитуды
прямоугольного видеоимпульса, на втором интервале значению –1 соответствует
2
отрицательный скачок амплитуды видеоимпульса и т.д. Данный тип задания
многопозиционного сигнала называется амплитудное кодирование.
На втором рисунке изображен метод фазового кодирования. Для передачи на
первом интервале времени +1 используется гармоническое колебание с нулевой
начальной фазой. Для передачи –1 фаза с нулевой меняется на противоположную
при добавке к начальной фазе180 градусов. В данном случае описаны два
различных типа сигналов по принципу кодирования, однако с точки зрения их
математических моделей, эти два сигнала полностью тождественны и


соответствуют коду U (t )  1,1,1 . При использовании многоразрядного
кодирования незанятые позиции дополняются нулями.


U (t )  0,0,0, 1 ,  1, 1 , 0, 0   20


24
23
22 21 20
Важной операцией при обработке дискретных сигналов является операция сдвига
данного сигнала на определенный момент времени, который соответствует сдвигу
на некоторое число позиций относительно исходного сигнала без изменения его
формы.
Рассмотрим примеры в которых осуществляется сдвиг на одну и две позиции.
идеальный
0
0
0
1
-1
1
0
0
…
Сдвиг+1
0
0
0
0
1
-1
1
0
…
поз.
Сдвиг+2
поз.
0
0
0
0
1
-1
1
…
2. Дискретная автокорреляционная функция.
Для получения дискретной автокорреляционной функции рассмотрим
автокорреляционную характеристику непрерывных сигналов:

0
BU ( )   U (t )U (t   )dt
(1)

Для получения автокорреляционной функции дискретных сигналов при их
многопозиционном рассмотрении интеграл необходимо заменить суммой, а
вместо сдвига по времени использовать целое число (положительное или
отрицательное) которое соответствует сдвигу нашего сигнала во времени на
позиций.
BU ( n ) 

U
i  
i
 U i n
n
(2)
Данная дискретная автокорреляционная функция обладает практически всеми
свойствами автокорреляционной функции
Так.
BU ( ) .
3
BU ( n)  BU ( n)
(3)
При нулевом сдвиге сигнала автокорреляционная функция равна энергии сигнала.
BU (0) 

2
U
 i  EU
i  
(4)
3. Рассчет автокорреляционной функции.
U  1,1,1
Рассчитаем автокорреляционную функцию при сдвиге этого сигнала на одну, две
и три позиции. Запишем исходный сигнал в восьми позиционном сигнале.
0
0
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
-1
1
При сдвиге равном нулю
n0
BU (0)  (1  1)  (( 1)  ( 1))  (1  1)  3
0
0
0
0
1
1
-1
-1
1
1
0
0
.
0
0
0
0
При сдвиге на одну позицию
n  1 BU (1)  (( 1)  1)  (1  (1))  2
0
0
0
0
1
0
-1
1
При сдвиге на две позиции
1
-1
0
1
0
0
0
0
n2
BU (2)  (1  0)  (( 1)  0)  (1  1)  (0  (1))  (0  1)  1
0
0
0
0
1
0
-1
1
1
-1
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
1
.
При сдвиге на три позиции n  3 BU (3)  0
0
0
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
На основе этих трех примеров прослеживаются явно свойства
автокорреляционной характеристики. При отсутствии сдвига сигналы имеют
максимальное наложение друг на друга, а значит максимальное значение
взаимной энергии, а значит и автокорреляционная характеристика максимальна.
При росте
прослеживается уменьшение области перекрытия позиций, а
значит и уменьшение автокорреляционной характеристики. Когда сдвиг равен
4
числу позиций сигнала перекрытие позиций отсутствует, а значит отсутствует
взаимная энергия, являющаяся мерой взаимодействия двух сигналов.
BU ( )
BU (n)
-1
-2
 1
1
0
2
n
 2
1
0
2

Сигналы Баркера.
Поиск дискретных сигналов с наилучшей структурой автокорреляционной
функции начался в 50-е и 60-е годы. Были найдены целые классы сигналов с
весьма совершенными корреляционными свойствами. Среди этих сигналов наибольшую известность получили так называемые сигналы Баркера. Эти сигналы
обладают следующим уникальным свойством: независимо от числа позиций М
значения их функции автокорреляции, вычисляемые по формуле (2), при всех
М≠0 не превосходят единицы. В то же время энергия этих сигналов, т.е. величина
EU(0), численно равна М.
Оказалось, что сигналы Баркера можно реализовать лишь при числе позиций
М=2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13. Случай М = 1 является тривиальным. Сигнал Баркера при
М = 3 только что был исследован нами в конце предыдущего раздела.
Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им автокорреляционные
функции приведены в табл.1.
Таблица 1
Модели сигналов Баркера
М
Модель сигнала
1, 1, —1
1, 1, 1, —1
1, 1, —1,1
5 1, 1, 1, — 1
7 1, 1, 1, —1,—1, 1, —1
11 1, 1, 1, —1,—1, —1, 1, —1, —1,
I, —I
13 1, I, 1, 1, 1, —1, —1, 1, 1,
—1, 1, —1,1
3
4
Функция автокорреляции
3, 0, —1
4,1,О,—1
4, —1, О, 1
5, О, 1, О, 1
7, 0, —1, О, —1. О, —1
11, 0, —1, 0, —1, 0. —1, 0, —1,
0, —1
13, О, 1, О, 1, О, I, О, 1, О,
1, 0, 1
Для иллюстрации на рис. 2 приведен вид наиболее часто используемого 13позиционного сигнала Баркера при двух способах кодирования, а также
графическое представление его функции автокорреляции.
Исследования показали, что не существует сигналов Баркера с нечетным числом
позиций, большим 13. Однако до сих пор остается неизвестным, можно ли
построить сигнал Баркера с четным М, большим четырех.
5
Рис. 2. Сигнал Баркера при М=13:
а—амплитудное кодирование; б—фазовое кодирование; s—функция автокорреляции
Отметим в заключение, что исследование некоторых свойств дискретных
сигналов и их автокорреляционных функций, проведенное в этой главе, имеет
предварительный, вводный характер. Систематическое изучение этого круга
вопросов будет предпринято при изучении конкретных устройств обработки
(фильтрации) сигналов.
В некоторых теоретических и прикладных задачах радиотехники удобно
ввести особую характеристику системы двух сигналов— их взаимную
корреляционную функцию, которая единым образом описывает как различие в
форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени.
4. Взаимно - корреляционная функция двух сигналов ( ВКФ).
ВКФ двух сигналов U (t ) и V (t ) при том, что U (t )  V (t ) называется.

BUV ( )   U (t )V (t   )d
(5)

Целесообразность использования взаимно – корреляционной функции покажем
на примерах. Пусть сигналы U (t ) и V (t ) ортогональны ( в исходном состоянии
при
  0 ) так что

(U  V )   U (t )V (t )dt  0

При прохождении данных сигналов через устройства связи явно может произойти
задержка во времени, т.е.   0 . Тогда естественно скалярное произведение  0 .
Таким образом равенство ВКХ нулю будет являться мерой ортогонализации
сигналов.
Для взаимно корреляционной функции выполняются все свойства,
рассмотренные выше.
Методика представления ВКФ на основе энергетических спектров полностью
адекватна такой же методике для АКФ. ВКФ записывается в виде.

*
UV

(6)

1
B ( ) 
2
 ( )V ( )d
U

6
 ( )  V ( )e  j
V
т.к. 
, тогда для ВКФ
1
BUV ( ) 
2

 ( )V ( )e j d
U

(7)

WUV ( )  U ( )V * ( )
1
BUV ( ) 
2

 ( )e j d
W
 UV
(8)

ВКФ может быть найдена как обратное преобразование Фурье (ОПФ) от
взаимного энергетического спектра двух сигналов
U иV .
5. Расчет дискретной ВКФ двух сигналов.
ДВКФ может быть найдена как

BUV ( n ) 
U V
i  
Пусть сигналы будут представлены как
i
i n
(9)
U i  0,0,0,1,1,1,1,0
Vi  0,0,0,1,1,1,1,0
n  0 BUV (0)  1  1  (( 1)  ( 1))  (1  ( 1))  (1  1)  2
n  1 BUV (1)  1  ( 1)  1  3
Из данного выражения видно, что при сдвиге, равном нулю ВКФ максимального
значения не принимает, однако с течением времени она все равно стремится к
нулю.
Выводы.
1.Степень сходства сигналов и его копии, смещенной по времени, описывается
автокорреляционной функцией сигнала.
2.Энергетический спектр сигнала и его функция АК взаимно связаны парой
преобразования Фурье.
3.Понятие АКФ обобщается на случай многопозиционных дискретных сигналов.
Считается, что сигнал обладает хорошими корреляционными свойствами, если
уровень уровень боковых лепестков АКФ значительно меньше уровня
центрального лепестка.