ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (Проективная

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (Проективная геометрия) ОЗО 4 с.
1. Понятие проективной плоскости.
2. Прямая на проективной плоскости. Свойства прямых на проективной плоскости.
3. Реперы на проективной плоскости. Согласованная с репером система координат.
4. Координаты точки на проективной плоскости.
5. Критерий расположенности трех точек на одной прямой на проективной плоскости.
6. Реперы и координаты точек на проективной прямой.
7. Модели проективной прямой и проективной плоскости (на классах коллинеарных
векторов, на связке прямых).
8. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Модель проективной прямой
и плоскости на расширенной евклидовой плоскости.
9. Уравнения прямых на проективной плоскости.
10. Условия совпадения и пересечения двух прямых.
11. Принцип двойственности на проективной плоскости.
12. Трехвершинники. Теорема Дезарга.
13. Сложное отношение 4-х точек прямой и его свойства.
14. Выражение сложного отношения 4-х точек через их координаты в некотором
проективном репере.
15. Алгебраические свойства сложных отношений.
16. Гармонически разделенные точки на проективной прямой. Пример построения.
17. Полный четырехвершинник на проективной плоскости, его свойства.
18. Аксиомы построения на проективной плоскости.
19. Проективные преобразования плоскости. Определение. Алшебраические свойства.
20. Геометрические свойства проективных преобразований.
21. Параметрические уравнения проективной прямой.
22. Поведение реперов при проективных преобразованиях.
23. Сохранение сложного отношения 4-х точек при проективных преобразованиях.
24. Задание проективных преобразований с помощью реперов.
25. Перспективные отображения прямой на прямую.
26. Критерий перспективности проективного отображения прямой на прямую.
27. Проективные и перспективные отображения пучка прямых на пучок прямых на
проективной плоскости. Согласованные друг с другом проективные отображения пучков и
прямых.
28. Понятие линии второго порядка на проективной плоскости, их классификация.
29. Теорема: любая прямая пересекает овальную линию не более, чем в двух точках.
30. Теорема: через любую точку, не лежащую на овальной линии, можно провести
прямую, пересекающую её в двух точках.
31. Касательная к овальной линии. Определение. Теорема существования и
единственности.
32. Теорема Штейнера (прямая и обратная).
33. Теорема Паскаля (прямая и обратная).
34. Задание овальной линии с помощью пяти точек общего положения.
35. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости.
36. Уравнения прямых и конических сечений в однородных координатах.
37. Внутренние и внешние точки относительно овальной линии.
38. Точки, сопряженные друг другу относительно овальной линии. Геометрический
смысл сопряженности.
39. Полюс и поляра овальной линии.
40. Проективная модель аффинной плоскости.