8. Линии второго порядка на проективной плоскости

§ 8. Линии второго порядка на проективной плоскости.
Классификация линий второго порядка
Для большей общности дополним проективную плоскость комплексными числами, то есть в выбранном репере
R  { A1, A2, A3, E } (все точки имеют действительные координаты) точкой будем называть любую тройку чисел ( x1, x2, x3 )
не равных одновременно нулю, причем ( x1, x2, x3 ) – комплексные числа.
О Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в некотором репере R удовлетворяют
уравнению вида:
a11( x1)2  a22( x2 )2  a33( x3 )2  2a12x1x2  2a13x1x3  2a23x2 x3  0 (1)
называется кривой второго порядка на проективной плоскости.
ТЕОРЕМА 8.1. Понятие линий второго порядка на проективной плоскости P2 не зависит от выбора репера R.
О Ранг квадратной формы
(2)
  g( x1, x2, x3 )  aij xi x j , i , j  1,3 ,
называется рангом линии второго порядка (1).
О Линия второго порядка называется невырожденной
(вырожденной), если rg   3 (rg   3) .
ТЕОРЕМА 8.2. Любая прямая пересекает невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.
ТЕОРЕМА 8.3. Понятие линии второго порядка и ее ранга сохраняется при любом проективном преобразовании
плоскости, то есть данные понятия являются проективными.
Классификация линий второго порядка
1
Название
Овальная линия
Уравнение
x1  x2  x3  0
2
2
2
Ранг
3
2
Нулевая линия
x1  x2  x3  0
3
3
Пара прямых
x1  x2  0
2
4
Пара мнимых прямых
x1  x2  0
2
5
Пара совпавших
прямых
x1  0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
Пусть γ невырожденная линия второго порядка, которая в репере R задается уравнением
(3)
aij xi x j  0 , i , j  1,3 ,
а d – прямая проходящая через точки P( p1, p2, p3 ) и
Q(q1, q2, q3 ) , заданная уравнением в том же репере:
 x1  λp1  μq1,

d :  x2  λp2  μq2 ,
 x  λp  μq .
3
3
 3
(4)
Найдем координаты точек A пересечения линии  с прямой
d. Для этого подставим уравнения (4) в уравнение (3). В результате получим
(5)
A11λ 2  2A12λμ  A22μ 2  0 ,
где
A11  aij pi q j ,
A12  aij pi q j ,
(6)
A22  aij pi q j .
Так как γ невырожденная линия, то d имеет с γ не более
двух общих точек, поэтому в уравнении (5) хотя бы один из
коэффициентов не равен нулю.
Решая (5) получим 3 случая:
2
 A11A22  0 , то d   в двух действительных
1. D  A12
точках.
2
 A11A22  0 , то d   в двух совпавших точках.
2. D  A12
3. D  0 , то d   в двух комплексно-сопряженных точках.
ТЕОРЕМА 8.4. В каждой точке M0 ( x10 , x20 , x30 ) невырожденной линии  второго порядка, заданной уравнением (3)
существует единственная касательная, задаваемая уравнением
3 3
(7)
0
  (aij x i ) x j  0 .
i 0 j 0