самарский государственный аэрокосмический университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П.КОРОЛЕВА»
Немцова А.А.
Принцип двойственности
в проективной
геометрии.
Преподаватель Калугин Н.А.
Цели доклада



Познакомить с основами проективной
геометрии, в частности с принципом
двойственности.
Показать применения принципа
двойственности для основных теорем
проективной геометрии.
Показать на примерах удобство
применения принципа двойственности
для решения задач.
Основные понятия.
Назовем точку с координатами( x1 , x2 , x3 ) инцидентной прямой с
координатами a1 , a2 , a3  если имеет место равенство
a1 x1  a2 x2  a3 x3  0
При этом прямая называется инцидентной точке.
Данное определение задает отношение инцидентности между
прямыми и точками проективной плоскости. В частности, инцидентными
некоторой точке будут все прямые, проходящие через эту точку, а
инцидентными некоторой прямой являются все точки этой прямой. Поставим
теперь во взаимно однозначное соответствие каждой точке проективной
плоскости прямую, чьи проективные координаты совпадают с проективными
координатами точки. Тем самым определяется взаимно однозначное
отображение множества элементов проективной плоскости (точек и прямых)
само на себя, причем это отображение сохраняет инцидентность.
Действительно, данное отображение переводит точку в прямую , а прямую в
точку , что не изменяет условию инцидентности.
принцип двойственности для проективной плоскости.
Пусть верно какое-нибудь предложение, касающееся
точек, прямых и отношения инцидентности между ними. Тогда
будет верно и двойственное предложение, полученное из
исходного заменой слова «прямая» на слово «точка» и
наоборот.
Приведем примеры двойственных в указанном
смысле предложений
Теорема1.Для всяких двух различных точек проективной
плоскости имеется единственная прямая, им инцидентная.
Теорема1*.Для всяких двух различных прямых проективной
плоскости имеется единственная точка, им инцидентная
Теорема2.Пусть ( x1, x2 , x3 ),(a1, a2 , a3 ),(c1, c2 , c3 ) есть координаты трех
точек проективной плоскости. Необходимым и достаточным
условием того, чтобы эти три точки лежали на одной прямой
(были инцидентны одной прямой) является равенство
x1
x2
x3
a1
a2
a3  0
c1
c2
c3
Теорема2*.Пусть есть {x1, x2 , x3},{a1, a2 , a3},{c1, c2 , c3} координаты трех
прямых проективной плоскости. Необходимым и достаточным
условием того, чтобы эти три прямые проходили через одну
точку (были инцидентны одной прямой) является выполнение
равенства
x1 x2 x3
a1 a2 a3  0
c1 c2 c3
Основные теоремы проективной
геометрии
Теорема Дезарга
Если два треугольника на плоскости
расположены таким образом, что
прямые, соединяющие соответственные
вершины, конкурентны, то три точки, в
которых пересекаются продолжения
трёх пар соответственных сторон,
коллинеарны.
Двойственная ей Теорема
Если два треугольника на плоскости
расположены таким образом, что три
точки, в которых пересекаются
продолжения трёх пар соответственных
сторон, коллинеарны, то прямые,
соединяющие соответственные
вершины, конкурентны.
Теорема Паппа
Пусть A, B, C — три точки на одной
прямой, а A' , B' , C' — на
другой. Пусть три прямые АВ' ,
BC' , CA' пересекают прямые
A'B, B'C, C'A, соответственно в
точках X, Y и Z. Тогда X, Y и Z
лежат на одной прямой
Двойственная к ней
вырожденная Теорема
Брианшона
Если стороны шестиугольника
проходят поочерёдно через две
данные точки, то три диагонали,
соединяющие противоположные
вершины шестиугольника,
конкурентны
Теорема Паскаля
Если шестиугольник вписан в
окружность либо любое другое
коническое сечение (эллипс,
параболу, гиперболу, даже пару
прямых), то точки пересечения
трёх пар противоположных сторон
лежат на одной прямой
двойственная ей
теорема Брианшона
Если шестиугольник описан около
конического сечения, то три
диагонали, соединяющие
противоположные вершины
шестиугольника, конкурентны
Примеры решения задач
Спасибо за внимание