554_mat_2k4с_Geom_ ekzam.docx ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (Проективная геометрия)

554_mat_2k4с_Geom_ ekzam.docx
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ (Проективная геометрия)
1. Понятие проективной плоскости.
2. Прямая на проективной плоскости. Свойства прямых на проективной плоскости.
3. Реперы на проективной плоскости. Согласованная с репером система координат.
4. Координаты точки на проективной плоскости.
5. Критерий расположенности трех точек на одной прямой на проективной плоскости.
6. Реперы и координаты точек на проективной прямой.
7. Модели проективной прямой и проективной плоскости (на классах коллинеарных векторов,
на связке прямых).
8. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Модель проективной прямой и
плоскости на расширенной евклидовой плоскости.
9. Уравнения прямых на проективной плоскости.
10. Условия совпадения и пересечения двух прямых.
11. Принцип двойственности на проективной плоскости.
12. Трехвершинники. Теорема Дезарга.
13. Сложное отношение 4-х точек прямой и его свойства.
14. Выражение сложного отношения 4-х точек через их координаты в некотором проективном
репере.
15. Алгебраические свойства сложных отношений.
16. Гармонически разделенные точки на проективной прямой. Пример построения.
17. Полный четырехвершинник на проективной плоскости, его свойства.
18. Аксиомы построения на проективной плоскости.
19. Проективные преобразования плоскости. Определение. Алшебраические свойства.
20. Геометрические свойства проективных преобразований.
21. Параметрические уравнения проективной прямой.
22. Поведение реперов при проективных преобразованиях.
23. Сохранение сложного отношения 4-х точек при проективных преобразованиях.
24. Задание проективных преобразований с помощью реперов.
25. Перспективные отображения прямой на прямую.
26. Критерий перспективности проективного отображения прямой на прямую.
27. Проективные и перспективные отображения пучка прямых на пучок прямых на проективной
плоскости. Согласованные друг с другом проективные отображения пучков и прямых.
28. Понятие линии второго порядка на проективной плоскости, их классификация.
29. Теорема: любая прямая пересекает овальную линию не более, чем в двух точках.
30. Теорема: через любую точку, не лежащую на овальной линии, можно провести прямую,
пересекающую её в двух точках.
31. Касательная к овальной линии. Определение. Теорема существования и единственности.
32. Теорема Штейнера (прямая и обратная).
33. Теорема Паскаля (прямая и обратная).
34. Задание овальной линии с помощью пяти точек общего положения.
35. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости.
36. Уравнения прямых и конических сечений в однородных координатах.
37. Внутренние и внешние точки относительно овальной линии.
38. Точки, сопряженные друг другу относительно овальной линии. Геометрический смысл
сопряженности.
39. Полюс и поляра овальной линии.
40. Проективная модель аффинной плоскости.
Основная литература
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. – М.: Учпедгиз,
1957.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть I. – М.: Просвещение, 1986.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть II. – М.: Просвещение, 1987.
4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. – Часть I.- М.:
Просвещение, 1973.
5. Атанасян Л.С., Васильева М.В. и др. Сборник задач по геометрии. – Часть 2. – М.:
Просвещение, 1975.
6. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособ. для студентов. – М.:
Просвещение, 1980. – 239 с.
7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.
8. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Крокус, 2006. – 352 с.
9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика: решебник. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 368 с.
10. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 479
с.
11. Кузнецов Б.Т. Математика. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2004. - 719 с.
12. Постников М.М. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1973. - 751 с.
13. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Часть 1. - М.: Высшая школа, 1986.
14. Клавишев В. И. Задачник – практикум по геометрии, ч. 1. – Армавир, Типография №
3, 2009.
15. Клавишев В. И. Задачник – практикум по проективной геометрии. – Армавир,
Типография № 3, 2008.
16. Клавишев В. И. Преобразования плоскости. – Армавир, Типография № 3, 2003.
17. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1,2. – СПб., 1997.
18. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М., 1969.
Дополнительная литература
1. Бортаковский А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. – М.: Высш.шк.,
2005. - 496 с.
2. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков, 1974. - 946 с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. –
243 с.
4. Оболенский А.Ю., Оболенский И.А. Лекции по аналитической геометрии. – МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 216 с.
5. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1966. - 272 с.
6. Резниченко С.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах (Алгебраические
главы). – М.: Издательство МФТИ, 2001. - 576 с.
Интернет-ресурсы
1. Примеры по курсу аналитической геометрии /
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/an/examples.asp
2. Задачи по аналитической геометрии на плоскости /
http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=aggeom
3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве /
http://www.pm298.ru/reshenie/analitpl.php
4. Электронные библиотеки по математике: www.4tivo.com/education/;
www.matburo.ru/literat.php; www.plib.ru; http://nehudlit.ru; www.gaudeamus.omskcity.com;
www.alleng.ru; www.symplex.ru; www.math.ru.