23 Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи

Ãðåêîâ Ì. À.
23
Óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è Ïóàññîíà. Ôîðìóëà Ãðèíà.
Çàäà÷è Äèðèõëå è Íåéìàíà, èõ ñâåäåíèå ê èíòåãðàëüíûì
óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà
1. Óðàâíåíèå âèäà
∆u =
m
X
∂ 2u
k=1
∂x2k
=0
(1)
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Ñîîòâåòñòâóþùåå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå
∆u = −f (x), x = (x1 , x2 , . . . , xm )
(2)
íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà.
Çäåñü f (x) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ òî÷êè x ∈ Ω åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rm , ∆ îïåðàòîð Ëàïëàñà, x1 , x2 , . . . , xm äåêàðòîâû êîîðäèíàòû. Îáëàñòü Ω èìååò êóñî÷íî
ãëàäêóþ ãðàíèöó è â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ìíîãîñâÿçíîé.
Ñ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ
u(x) íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, åñëè u ∈ C 2 (Ω) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1); u(x) ãàðìîíè÷åñêàÿ â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè Ω, åñëè u ∈ C 2 â ëþáîé
êîíå÷íîé òî÷êå x ∈ Ω, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1), è ïðè x → ∞ ñïðàâåäëèâà
îöåíêà
C
|u(x)| ≤ m−2 , C = const.
(3)
|x|
Äëÿ m = 2 ãàðìîíè÷åñêàÿ â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà íà áåñêîíå÷íîñòè.
Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ äâóõ òî÷åê x è ξ

1


 (m − 2)rm−2 , m > 2,
E(x, ξ) =
(4)


ln 1 ,
m = 2,
r
ãäå r = |x − ξ| ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è ξ , ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â ëþáîé êîíå÷íîé, à â ñëó÷àå m > 2 è â áåñêîíå÷íîé îáëàñòè, íå ñîäåðæàùåé òî÷êè ξ .
Äåéñòâèòåëüíî, èç (4) íàõîäèì
∂ 2E
= −r−m + mr−m−2 (xk − ξk )2 , k = 1, 2, . . . , m.
∂x2k
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ E óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà (1). Òàê êàê
E(x, ξ) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî x è ξ , òî îíà ãàðìîíè÷íà è ïî ïåðåìåííîé ξ . Çàìåòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ïðè m = 3 ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïîòåíöèàëîì ýëåêòðè÷åñêîãî
çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êå x èëè ξ .
1
Ôóíêöèÿ E(x, ξ) íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì (òàêæå ýëåìåíòàðíûì, èëè ñèíãóëÿðíûì) ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Ðàññìàòðèâàÿ åå êàê ôóíêöèþ èç êëàññà îáîáùåííûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
∆u = |S1 |δ(x − ξ).
(5)
Çäåñü δ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, |S1 | ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè m-ìåðíîãî øàðà
åäèíè÷íîãî ðàäèóñà.
2. Äëÿ äâóõ ôóíêöèé u, v ∈ C 2 (Ω), íåïðåðûâíûõ è èìåþùèõ íåïðåðûâíûå ïåðâûå
ïðîèçâîäíûå âïëîòü äî ãðàíèöû Γ = ∂Ω êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, âòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà
ïðèìåíèòåëüíî ê îïåðàòîðó Ëàïëàñà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
¶
Z
Z µ
∂v
∂u
dΓ,
(6)
(v∆u − u∆v)dΩ =
v
−u
∂n
∂n
Ω
Γ
ãäå n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå Γ.
Âîçüìåì â êà÷åñòâå v ôóíêöèþ E è ïðèìåíèì ôîðìóëó (6) ê îáëàñòè Ω\(Ω ∩ B),
ãäå B = {ξ : |ξ − x| ≤ ε}. Òîãäà â ïðåäåëå ïðè ε → 0 ïðèõîäèì ê èíòåãðàëüíîìó
ïðåäñòàâëåíèþ ôóíêöèè êëàññà C 2 , êîòîðîå òàêæå íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Ãðèíà
äëÿ òàêèõ ôóíêöèé
Z
Z
Z
∂E(x, ξ)
∂u(ξ)
ωu(x) = u(ξ)
dΓ − E(x, ξ)
dΓ + E(x, ξ)∆u(ξ)dΩ.
(7)
∂ν
∂ν
Γ
Γ
Ω
Âåëè÷èíà ω îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ãàóññà


x ∈ Ω+ ,
Z
−|S1 |,
∂E(x, ξ)
ω=
dΓ = −|S1 |/2, x ∈ Γ,

∂ν

Γ
0,
x ∈ Ω− .
(8)
 (8) ïðè x ∈ Γ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü Γ äîëæíà áûòü ëÿïóíîâñêîé.  îñòàëüíûõ
äâóõ ñëó÷àÿõ ïîâåðõíîñòü Γ ìîæåò áûòü êóñî÷íî ãëàäêîé.
Îïðåäåëåíèå.
Ïîâåðõíîñòü Γ â ïðîñòðàíñòâå Rm íàçûâàåòñÿ ëÿïóíîâñêîé, åñëè
îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì Ëÿïóíîâà:
1.  ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Γ ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ íîðìàëü.
2. Åñëè x è ξ òî÷êè ïîâåðõíîñòè Γ, r = |x − ξ| ðàññòîÿíèå
ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè, ϑ óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè n è ν ê Γ â
ýòèõ òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå
ïîñòîÿííûå A è α, ÷òî
ϑ ≤ Arα .
(9)
3. Ñóùåñòâóåò ÷èñëî d, îäíî è òî æå äëÿ âñåõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè,
îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì: ïàðàëëåëè ê íîðìàëè â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ñ ÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè, íàõîäÿùåéñÿ âíóòðè ñôåðû ðàäèóñà d ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå, òîëüêî îäèí ðàç.
2
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíû ôóíêöèè µ(ξ) = ∂u(ξ)/∂ν è σ(ξ) = u(ξ) ïðè ξ ∈ Γ è
ôóíêöèÿ ρ(ξ) = ∆u(ξ) ïðè ξ ∈ Ω, òî ôîðìóëà Ãðèíà (7) âûðàæàåò çíà÷åíèå ôóíêöèè
u âíóòðè îáëàñòè Ω ÷åðåç çíà÷åíèÿ òðåõ ôóíêöèé: ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ V ñ
ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) σ(ξ), ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî
ñëîÿ W ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) µ(ξ) è îáúåìíîãî
ïîòåíöèàëà U ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ (çàðÿäîâ) ρ(ξ)
Z
Z
1
∂E(x, ξ)
1
V (x) =
dΓ, W (x) =
σ(ξ)
E(x, ξ)µ(ξ)dΓ,
|S1 |
∂ν
|S1 |
Γ
Γ
1
U (x) =
|S1 |
Z
E(x, ξ)ρ(ξ)dΩ.
(10)
Ω
Åñëè u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, òî U = 0 è ôîðìóëà Ãðèíà ïðèíèìàåò âèä
u(x) = W (x) − V (x), x ∈ Ω,
(11)
ïðè÷åì u ∈ C ∞ (Ω), â ñèëó âîçìîæíîñòè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêîëü óãîäíî ðàç ïîä
çíàêàìè ïåðâûõ äâóõ èíòåãðàëîâ â (10).
3. Îñíîâíûìè êðàåâûìè çàäà÷àìè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1) ÿâëÿþòñÿ ïåðâàÿ
êðàåâàÿ çàäà÷à, èëè çàäà÷à Äèðèõëå, â êîòîðîé èùåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ôóíêöèÿ
u ∈ C(Ω ∪ Γ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ
¯
u(x)¯Γ = ϕ(x),
(12)
è âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, èëè çàäà÷à Íåéìàíà, â êîòîðîé ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ôóíêöèÿ
u ∈ C 1 (Ω ∪ Γ) è
∂u ¯¯
(13)
¯ = ψ(x).
∂n Γ
Çäåñü ϕ(x) è ψ(x) çàäàííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà ãðàíèöå Γ, à óñëîâèå (13)
ïðåäïîëàãàåò ñóùåñòâîâàíèå íîðìàëè â òî÷êå x.  äåéñòâèòåëüíîñòè, óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ìîãóò áûòü ñëåãêà îñëàáëåíû.
Åñëè ôóíêöèÿ u èùåòñÿ â êîíå÷íîé îáëàñòè Ω, òî ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âíåøíèìè. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ âíåøíèõ
çàäà÷ ôóíêöèÿ u äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (3).
Àíàëîãè÷íûå êðàåâûå çàäà÷è ñòàâÿòñÿ è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (2). Ïîäñòàíîâêà
u = v + U,
(14)
ãäå ôóíêöèÿ U îïðåäåëåíà â (10) ïðè ρ = f , ñâîäèò âíóòðåííèå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ê ñîîòâåòñòâóþùèì âíóòðåííèì êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, åñëè f ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω ∪ Γ). Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
ñîîòâåòñòâóþùåìó êðàåâîìó óñëîâèþ ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (14).
Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà íå âñåãäà ðàçðåøèìà. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2), (13) äëÿ êîíå÷íîé îáëàñòè Ω ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå
3
ðàâåíñòâà, êîòîðîå âûòåêàåò èç ôîðìóëû Ãðèíà (6)
Z
Z
f (x)dΩ + ψ(x)dΓ = 0.
Ω
(15)
Γ
 ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1) óñëîâèå (15) ïðèíèìàåò âèä
Z
Z
∂u
dΓ = ψ(x)dΓ = 0,
∂n
Γ
Γ
à ïðè íóëåâûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ
Z
Z
f (x)dΩ = ∆udΩ = 0.
Ω
Ω
Èìåþò ìåñòî äâå òåîðåìû:
Òåîðåìà 1. Ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå, âíóòðåííåé èëè âíåøíåé, åäèíñòâåííî.
Òåîðåìà 2. Ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà, èìåþùåå íåïðåðûâíûå âïëîòü äî
ãðàíèöû ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïðè m > 2 åäèíñòâåííî, à ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è ïðè m = 2 è ðåøåíèå âíóòðåííåé çàäà÷è îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû.
4.  ôîðìóëå Ãðèíà (11) ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω ôóíêöèÿ u îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè è åå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé íà ãðàíèöå
Γ. Îäíàêî, êàê ñëåäóåò èç òåîðåì åäèíñòâåííîñòè, ýòè çíà÷åíèÿ íåëüçÿ çàäàòü ïðîèçâîëüíî, è çàðàíåå èçâåñòíà íà ãðàíèöå ìîæåò áûòü ëèáî ñàìà ôóíêöèÿ (çàäà÷à
Äèðèõëå), ëèáî åå íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (çàäà÷à Íåéìàíà).
Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ Äèðèõëå è Íåéìàíà ÿâëÿåòñÿ
ñâåäåíèå ýòèõ çàäà÷ ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà
ïîòåíöèàëîâ äâîéíîãî è ïðîñòîãî ñëîÿ.
Ïóñòü Γ çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü Ëÿïóíîâà, îãðàíè÷èâàþùàÿ äâå îáëàñòè: âíóòðåííþþ (êîíå÷íóþ) Ω+ è âíåøíþþ Ω− . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû î ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèÿõ:
Òåîðåìà 3. Åñëè ïëîòíîñòü σ(ξ) ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ V íåïðåðûâíà íà Γ, òî
ñóùåñòâóþò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà V + è V − íà Γ, êîòîðûå
îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì
1
V ± (x0 ) = ∓ σ(x0 ) + V (x0 ), x0 ∈ Γ.
(16)
2
 (16) ïî îïðåäåëåíèþ V ± (x0 ) = lim V (x) ïðè x ∈ Ω± , x0 ∈ Γ; V (x0 ) ïðÿìîå
x→x0
çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ íà ïîâåðõíîñòè Γ
Òåîðåìà 4. Åñëè ïëîòíîñòü µ(ξ) ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ W íåïðåðûâíà íà Γ, òî
ñóùåñòâóþò ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà ∂W + /∂n è ∂W − /∂n íà Γ, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ïî ôîðìóëå
1
∂W (x0 )
∂W ± (x0 )
= ± µ(x0 ) +
.
∂n
2
∂n
4
(17)
Çäåñü ∂W ± (x0 )/∂n = lim ∂W (x)/∂n ïðè x ∈ Ω± , x0 ∈ Γ.
x→x0
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (17) íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì çíà÷åíèåì íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ. Ýòî çíà÷åíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, äèôôåðåíöèðóÿ
âûðàæåíèå äëÿ W â (10) ïî âíåøíåé íîðìàëè n ê Γ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x. Ïðè
x = x0 ∈ Γ ïîëó÷èì
Z
∂W (x0 )
∂E(x0 , ξ)
= µ(ξ)
dΓ.
(18)
∂n
∂n
Γ
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïëîòíîñòü µ(ξ) èçìåðèìà è îãðàíè÷åíà, òî èíòåãðàë â
(18) ñõîäèòñÿ.
5. Ïîñòàâèì ñðàçó ÷åòûðå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (1): íàéòè
ôóíêöèþ u(x), ãàðìîíè÷åñêóþ â Ω+ èëè Ω− è óäîâëåòâîðÿþùóþ ëèáî óñëîâèþ çàäà÷è Äèðèõëå (12), ëèáî óñëîâèþ çàäà÷è Íåéìàíà (13). Ôóíêöèè ϕ(x) è ψ(x) áóäåì
ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûìè íà çàìêíóòîé ëÿïóíîâñêîé ïîâåðõíîñòè Γ, îãðàíè÷èâàþùåé
ðàññìàòðèâàåìûå îáëàñòè.
Ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå áóäåì èñêàòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ
u(x) = V (x), x ∈ Ω+ (Ω− ),
(19)
à ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ
x ∈ Ω+ (Ω− ),
u(x) = W (x),
(20)
ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè σ(x) è µ(x) áûëè íåïðåðûâíû íà Γ.
Ëþáàÿ èç ôîðìóë (19), (20) äàåò ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ u êàê â Ω+ , òàê è â Ω− .
Îñòàëîñü óäîâëåòâîðèòü òîëüêî êðàåâûì óñëîâèÿì. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå
âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå íå âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (19), òàê êàê îíî ìîæåò
èìåòü ïîðÿäîê óáûâàíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè O(|x|2−m ), â òî âðåìÿ êàê ïîòåíöèàë V
óáûâàåò áûñòðåå è èìååò ïîðÿäîê O(|x|1−m ).
Ïåðåéäåì â (19) è (20) ê ïðåäåëó ïðè x → x0 ∈ Γ èç Ω+ è Ω− . Òîãäà ïðè ó÷åòå
(12), (13), (16) è (17), çàìåíèâ îáîçíà÷åíèå x0 íà x, ïîëó÷èì ÷åòûðå èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòåé σ è µ, íåïðåðûâíûõ íà Γ
Z
2
∂E(x, ξ)
σ(x) −
σ(ξ)
dΓ = −2ϕ(x), x ∈ Γ,
(21)
|S1 |
∂ν
Γ
2
µ(x) +
|S1 |
σ(x) +
µ(x) −
2
|S1 |
2
|S1 |
Z
µ(ξ)
∂E(x, ξ)
dΓ = 2ψ(x), x ∈ Γ,
∂n
(22)
σ(ξ)
∂E(x, ξ)
dΓ = 2ϕ(x),
∂ν
(23)
Γ
Z
x ∈ Γ,
Γ
Z
µ(ξ)
∂E(x, ξ)
dΓ = −2ψ(x),
∂n
Γ
5
x ∈ Γ.
(24)
Óðàâíåíèÿ (21) è (22) îòâå÷àþò âíóòðåííèì çàäà÷àì Äèðèõëå è Íåéìàíà ñîîòâåòñòâåííî, à (23) è (24) ñîîòâåòñòâóþùèì âíåøíèì çàäà÷àì.
ßäðà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (21)(24) ∂E/∂ν è ∂E/∂n èìåþò ñëàáóþ îñîáåííîñòü. Äåéñòâèòåëüíî
∂E
∂E
cos (ν, r) ∂E
cos (n, r)
=
cos(ν, r) = − m−1 ,
= − m−1 .
∂ν
∂r
r
∂n
r
(25)
Äëÿ ëÿïóíîâñêîé ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî îöåíêà
| cos (ν, r)| ≤ Crα , | cos (ν, r)| ≤ Crα , C = const, 0 < α ≤ 1.
(26)
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (21)(24) èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñî ñëàáîé (èíòåãðèðóåìîé) îñîáåííîñòüþ (ïîðÿäîê îñîáåííîñòè ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ïîâåðõíîñòè
Γ). Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà
âòîðîãî ðîäà, è ïîýòîìó èõ òàêæå íàçûâàþò ôðåäãîëüìîâñêèìè. Òàê, åñëè â äâóìåðíîì ñëó÷àå ïåðåéòè îò êîîðäèíàò òî÷åê x, ξ íà Γ ê èõ äóãîâûì êîîðäèíàòàì, òî
ÿäðà óðàâíåíèé îêàçûâàþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè íîâûõ êîîðäèíàò è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ôðåäãîëüìîâñêèìè. Òåì ñàìûì òåîðèÿ, ðàçâèòàÿ äëÿ ðåøåíèÿ
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, ïðèìåíèìà è ê óðàâíåíèÿì (21)
(24).
Âàæíûì ñâîéñòâîì ýòèõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî óðàâíåíèÿ (21) è (24), à
òàêæå (22) è (23) ïîïàðíî ñîïðÿæåííûå. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ÿäðà ∂E/∂ν è
∂E/∂n âåùåñòâåííû è ïîëó÷àþòñÿ îäíî èç äðóãîãî ïåðåñòàíîâêîé àðãóìåíòîâ, òî îíè
ñîïðÿæåííûå.
Èññëåäîâàíèå êàæäîé èç ýòèõ ïàð èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñëó÷àÿ ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Γ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ëÿïóíîâñêîé ñ ïîêàçàòåëåì
α = 1, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó:
1◦ . Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå ðàçðåøèìà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
ϕ(x), è ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (19).
2◦ . Ïðè m > 2 âíåøíÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà ðàçðåøèìà äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè ψ(x), è ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ (20).
3◦ . Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà ïðè m = 2, à òàêæå âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà ïðè ëþáîì m ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
ψ(x)dΓ = 0,
(27)
Γ
êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü çàäàííàÿ íà Γ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ψ(x). Ðåøåíèå
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ.
4◦ . Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Z
ϕ(x)µ0 (x)dΓ = 0,
Γ
6
(28)
êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü çàäàííàÿ íà Γ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x). Çäåñü
µ0 (x) íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ (22) äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ,
óáûâàþùåå íà áåñêîíå÷íîñòè êàê |x|1−m .
Åñëè ðàâåíñòâî (28) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå íåëüçÿ
ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ. Îäíàêî ðàçðåøèìîñòü âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå âñå æå èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ϕ(x), ïðè ýòîì
ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå
Z
Z
1
∂E(x, ξ)
1
u(x) =
σ(ξ)
dΓ +
σ(ξ)dΓ.
(29)
|S1 |
∂ν
|S1 ||x|m−2
Γ
Γ
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Áèöàäçå À. Â. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1982. 336 ñ.
2. Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1971.
3. Êîøëÿêîâ Í. Ñ., Ãëèíåð Ý. Á., Ñìèðíîâ Ì. Ì. Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1970.
4. Ìèõëèí Ñ. Ã. Ëåêöèè ïî ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ì.: Ôèçìàòãèç,
1959. 232 ñ.
5. Ìèõëèí Ñ. Ã. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1968, ÑÏá., 2002.
6. Ïåòðîâñêèé È. Ã. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ì., 1961.
7. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 2, 5.
8. Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.-Ë., 1950.
9. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1972.
7