Контрольная работа № 3.

Контрольная работа № 3.
1. Найдите сумму внешних углов: а) треугольника; б) выпуклого четырехугольника;
в) выпуклого одиннадцатиугольника; г) выпуклого многоугольника.
2. Докажите, что если в треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, в два
раза меньше стороны ВС, то  BAC  900 .
3. Биссектриса угла, смежного с углом С треугольника АВС, пересекает продолжение
стороны АВ за точку В в точке D, а биссектриса угла, смежного с углом А,
пересекает продолжение ВС за точку С в точке Е. Известно, что DC=CF=AE.
Найдите углы треугольника АВС.
4. Точки А, В и С, лежащие на окружности, служат вершинами равностороннего
треугольника. на окружности взята точка D, причем точки С и D расположены по
разные стороны от прямой АВ. Найдите угол ADB.
5. Две окружности касаются друг друга в точке А. Произвольная прямая, проходящая
через А, вторично пересекает окружность в точке В, а другую – в точке С.
Докажите, что центральные углы этих окружностей, соответствующие хордам АВ
и АС, равны.
6. Концы отрезка постоянной длины перемещаются по двум перпендикулярным
прямым. Какую линию описывает середина этого отрезка?
7. В треугольники АВС и СDA(В и D по одну сторону от CA) вписаны окружности.
Найдите длину общей внешней касательной к этим окружностям, если:
а) АВ+5, ВС=7, СD=DA;
б) АВ=7, ВС+СD, DA=9.
8. Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника. радиусы
окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найдите радиус
окружности, вписанной в исходный треугольник.
9. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно
1
вычислить по формуле r  (a  b  c).
2
10. Средняя сторона треугольника на 1 больше наименьшей и на 1 меньше наибольшей
2
стороны. Косинус среднего угла равен . Найдите периметр этого треугольника.
3
11. стороны треугольника а, b и с; m a - длина медианы, проведенной к стороне а.
1
докажите, что ma  (2b 2  2c 2  a 2 ). *
4
12. В треугольнике АВС известны стороны АВ=2, СА=4. В каком отношении делит
сторону АС окружность, проходящая через вершины В, С и середину АВ?.