Теорема Менелая. 1. AD – медиана треугольника АВС. На AD взята точка К так, что АК:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС даны соответственно точки M и N такие, что АМ:МВ=CN:NA=1:2. В каком отношении точка S пересечения отрезков BN и СМ делит каждый из этих отрезков? 3. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? 4. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка D, а на стороне ВС точки Е и F так, что AD:DB=3:2, ВЕ:ЕС=1:3 и BF:FC=4:1. В каком отношении прямая АЕ делит отрезок DF? 5. В правильном треугольнике АВС со стороной a точка Е – середина ВС, В – середина АС, F принадлежит DC, BF пересекается с DE в точке М. Площадь четырехугольника ABMD составляет 85 от площади треугольника АВС. Найти MF, 6. Дан параллелограмм ABCD. Точка М делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Найти отношение AS:SN. 7. Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD. 8. Стороны треугольника АВС разделены точками М, N, Р так, что АМ:МВ=ВN:NC=CP:PA=1:4. Найдите отношение площади треугольника, ограниченного прямыми AN, BP, CM, к площади треугольника АВС. 9. В трапеции АВСD точки М и N – середины оснований ВС и AD. Точка К лежит на стороне АС. P, Q – точки пересечения КМ и КN с боковыми сторонами соответственно. Доказать, что PQ параллельно основаниям. (Рассмотреть 2 случая: К – на диагонали, К – на ее продолжении). 10. В параллелограмме АВСD на сторонах ВС и AD отмечены точки К и М, на сторонах АВ и CD – точки L и N так, что КМ параллельна АВ, LN – параллельна ВС. Доказать, что либо KL, АС и MN пересекаются в одной точке, либо они параллельны. Теорема Менелая. 1. AD – медиана треугольника АВС. На AD взята точка К так, что АК:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС даны соответственно точки M и N такие, что АМ:МВ=CN:NA=1:2. В каком отношении точка S пересечения отрезков BN и СМ делит каждый из этих отрезков? 3. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? 4. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка D, а на стороне ВС точки Е и F так, что AD:DB=3:2, ВЕ:ЕС=1:3 и BF:FC=4:1. В каком отношении прямая АЕ делит отрезок DF? 5. В правильном треугольнике АВС со стороной a точка Е – середина ВС, В – середина АС, F принадлежит DC, BF пересекается с DE в точке М. Площадь четырехугольника ABMD составляет 85 от площади треугольника АВС. Найти MF, 6. Дан параллелограмм ABCD. Точка М делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Найти отношение AS:SN. 7. Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD. 8. Стороны треугольника АВС разделены точками М, N, Р так, что АМ:МВ=ВN:NC=CP:PA=1:4. Найдите отношение площади треугольника, ограниченного прямыми AN, BP, CM, к площади треугольника АВС. 9. В трапеции АВСD точки М и N – середины оснований ВС и AD. Точка К лежит на стороне АС. P, Q – точки пересечения КМ и КN с боковыми сторонами соответственно. Доказать, что PQ параллельно основаниям. (Рассмотреть 2 случая: К – на диагонали, К – на ее продолжении). 10. В параллелограмме АВСD на сторонах ВС и AD отмечены точки К и М, на сторонах АВ и CD – точки L и N так, что КМ параллельна АВ, LN – параллельна ВС. Доказать, что либо KL, АС и MN пересекаются в одной точке, либо они параллельны.