Математика и Информатика - 1

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
(МиИ-1, 2-й семестр 2009-2010 учебного года)
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
2
Отображение и преобразование; группа преобразований.
Осевая симметрия на плоскости.
Центральная симметрия на плоскости.
Параллельный перенос на плоскости; группа.
Разложение параллельного переноса на произведение 2-х осевых симметрий.
Вращение: определение, задание, уравнение.
Свойства вращения; группа.
Движение, основная теорема (с доказательством).
Уравнение движения; движения 1-го и 2-го родов; группы.
Теорема Шаля. Разложение движений в произведение осевых симметрий;
классификация движений.
Гомотетия.
Определении е преобразования подобия. Группа подобий (доказать). Подобие как композиция гомотетии и движения (теорема – с доказательством)).
Аналитическое выражение подобия. Подобия 1-го и 2-го родов. Группа
подобий 1-го рода. Свойства подобия (перечислить).
Определение аффинного преобразования. Частные виды аффинных преобразований. Основная теорема, следствие.
Аналитическое выражение аффинного преобразования. Группа аффинных
преобразований; подгруппы группы аффинных преобразований.
Неподвижные (двойные) элементы аффинного преобразования (теорема – с
доказательством). Центроаффинное преобразование, перспективно-аффинное
преобразование.
Теоретико-групповые принципы геометрии; «Эрлангенская программа»
Ф.Клейна.
Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве;
координаты векторов и точек в пространстве. Простейшие задачи в координатах (обзор).
Векторное произведение двух векторов, его координаты; вычисление площади треугольника.
Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл; вычисление смешанного произведения, приложения; условие компланарности
трех векторов.
Плоскость в трехмерном евклидовом пространстве, ее различные уравнения.
Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах общего
уравнения плоскости. Взаимное расположение 2-х плоскостей; условие параллельности 2-х плоскостей.
Угол между двумя плоскостями; условие перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, уравнения биссекторов (обзор).
Пучки и связки плоскостей (обзор).
Различные способы задания прямой; переход от одного вида задания к
другому.
1
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
2
Взаимное расположение двух прямых; условие параллельности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между
двумя прямыми; условие перпендикулярности двух прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости; условие параллельности
прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью; условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Связка прямых.
Аксиомы n-мерного аффинного пространства Аn; аффинный репер, координаты точки. k-мерная плоскость в Аn, ее уравнене.
Аксиомы n-мерного евклидова пространства Еn, ортонормированный репер.
Квадратичная форма n переменных, ее матрица и ранг; приведение квадратичной формы к каноническому виду (методы Лагранжа и Якоби).
Нормальный вид квадратичной формы; закон инерции (без доказательства).
Индексы инерции и сигнатура квадратичной формы.
Некоторые сведения из алгебры линейных преобразований: инвариантное
векторное подпространство Vm  Vn , собственный вектор и собственное
значение линейного преобразования; матрица линейного преобразования, ее
характеристическое уравнение. Случай, когда линейное преобразование
имеет n линейно независимых собственных векторов.
Самосопряженные линейные преобразования в евклидовом пространстве
Еn, свойства (обзор).
Приведение квадратичной формы к каноническому виду в Еn; пример.
Гиперквадрики в евклидовом пространстве Еn; центр (теорема) и ортогональные (метрические) инварианты гиперквадрики – в обзорном порядке.
Классификация квадрик в Е3.
Изучение поверхностей 2-го порядка методом сечения.
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида, их свойства (в обзорном порядке).
Утверждено на заседании кафедры геометрии 18 мая 2010 г. (протокол № 10).
Примечания.
1) Студенты Степанов Н.И., Тимофеева Н.В., Порфирьев П.., получившие
на коллоквиуме оценку 4 или 5 с первого захода, на экзамене освобождаются от
теоретических вопросов 1-17 (но от задач не освобождаются).
2) К экзамену допускаются студенты, получившие по результатам межсессионной аттестации (текущий рейтинг РТ) от 40 до 60 баллов.
КАФЕДРА ГЕОМЕТРИИ