112 kb
advertisement
5 Оглавление ОГЛАВЛЕНИЕ Введение От редактора серии ..............................……………................................ От автора ..............……………................................................................ 8 10 Раздел 1. §1.1. §1.2. §1.3. §1.4. §1.5. §1.6. §1.7. §1.8. Векторы и линейные операции с ними ............................................... Матричные объекты ................................................................................... Направленные отрезки ............................................................................... Определение множества векторов ............................................................ Линейная зависимость векторов ............................................................... Базис. Координаты вектора в базисе ........................................................ Действия с векторами в координатном представлении.......................... Декартова система координат ................................................................... Изменение координат при замене базиса и начала координат .............. 12 12 18 21 23 28 30 34 36 Раздел 2. §2.1. §2.2. §2.3. §2.4. §2.5. §2.6. §2.7. §2.8. §2.9. Произведения векторов .......................................................................... Ортогональное проектирование ............................................................... Скалярное произведение векторов и его свойства ................................. Выражение скалярного произведения в координатах ............................ Векторное произведение векторов и его свойства ................................. Выражение векторного произведения в координатах ............................ Смешанное произведение ......................................................................... Выражение смешанного произведения в координатах .......................... Двойное векторное произведение. ........................................................... Замечания об инвариантности произведений векторов ......................... 41 41 43 45 46 49 50 52 53 54 Раздел 3. §3.1. §3.2. §3.3. §3.4. §3.5. Прямая и плоскость ................................................................................. Прямая на плоскости ................................................................................. Формы задания прямой на плоскости ...................................................... Плоскость в пространстве ......................................................................... Формы задания прямой в пространстве ................................................... Решение геометрических задач методами векторной алгебры ............. 56 56 59 65 72 75 Раздел 4. §4.1. §4.2. §4.3. §4.4. §4.5. §4.6. Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве …................. Линии на плоскости и в пространстве ..................................................... Поверхности в пространстве ..................................................................... Цилиндрические и конические поверхности .......................................... Линии второго порядка на плоскости ...................................................... Поверхности второго порядка в пространстве ....................................... Альтернативные системы координат ....................................................... 83 83 86 88 91 96 98 Раздел 5. Преобразования плоскости .................................................................... §5.1. Произведение матриц ................................................................................ §5.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости ........................................................................ 103 103 111 Лекции кафедры высшей математики МФТИ 6 “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” У м н о в А . Е . §5.3. §5.4. §5.5. §5.6. Линейные операторы на плоскости .......................................................... Аффинные преобразования и их свойства .............................................. Ортогональные преобразования плоскости ............................................ Понятие группы .......................................................................................... 113 118 127 131 Раздел 6. §6.1 §6.2 §6.3. §6.4. §6.5. §6.6. §6.7. §6.8. Системы линейных уравнений ............................................................. Определители ............................................................................................. Свойства определителей ........................................................................... Разложение определителей ....................................................................... Правило Крамера ........................................................................................ Ранг матрицы .............................................................................................. Системы m линейных уравнений с n неизвестными ............................. Фундаментальная система решений ........................................................ Метод Гаусса .............................................................................................. 132 132 133 138 142 144 148 150 157 Раздел 7. Линейное пространство .......................................................................... §7.1. Определение линейного пространства .................................................... §7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве .......................................................................... §7.3. Подмножества линейного пространства................................................... §7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении.................…………................................ §7.5. Изоморфизм линейных пространств ........................................................ 163 163 166 169 173 175 Раздел 8. §8.1. §8.2. §8.3. §8.4. §8.5. §8.6. §8.7. Линейные зависимости в линейном пространстве ........................... Линейные операторы ................................................................................. Действия с линейными операторами ....................................................... Координатное представление линейных операторов ............................. Область значений и ядро линейных операторов ..................................... Инвариантные подпространства и собственные векторы ...................... Свойства собственных векторов и собственных значений .................... Линейные функционалы ............................................................................ 183 183 184 189 194 202 207 216 Раздел 9. §9.1. §9.2. §9.3. §9.4. §9.5. §9.6. Нелинейные зависимости в линейном пространстве ....................... Билинейные функционалы ........................................................................ Квадратичные функционалы .................................................................... Исследование знака квадратичного функционала .................................. Инварианты линий второго порядка на плоскости ................................ Экстремальные свойства квадратичного функционала ......................... Полилинейные функционалы ................................................................... 222 222 225 231 237 241 242 Раздел 10. Евклидово пространство ........................................................................ §10.1. Определение и основные свойства ......................................................... §10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса .......................... §10.3. Координатное представление скалярного произведения ..................... §10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве .......................... 243 243 246 248 252 7 Оглавление §10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве ..................................................................... §10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве ......................... §10.7. Самосопряженные операторы ................................................................. §10.8. Ортогональные операторы ...................................................................... Раздел 254 258 261 266 11. Унитарное пространство ........................................................................ §11.1. Определение унитарного пространства ................................................. §11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве ................................. §11.3. Эрмитовы операторы ............................................................................... §11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора ................................................................................... §11.5. Соотношение неопределенностей .......................................................... 271 271 273 275 12. Прикладные задачи линейной алгебры .............................................. §12.1. Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду .............................................................................. §12.2. Классификация поверхностей второго порядка .................................... §12.3. Аппроксимация функций многочленами ............................................... 282 Приложение 1. Свойства линий второго порядка на плоскости ................................ §Пр.1.1. Вырожденные случаи линий второго порядка .............................. §Пр.1.2. Эллипс и его свойства ...................................................................... §Пр.1.3. Гипербола и ее свойства .................................................................. §Пр.1.4. Парабола и ее свойства .................................................................... 300 300 301 306 312 Приложение 2. Свойства поверхностей второго порядка ............................................ §Пр.2.1. Вырожденные поверхности второго порядка ................................ §Пр.2.2. Эллипсоид ......................................................................................... §Пр.2.3. Эллиптический параболоид ............................................................. §Пр.2.4. Гиперболический параболоид ......................................................... §Пр.2.5. Однополостный гиперболоид .......................................................... §Пр.2.6. Двуполостный гиперболоид ............................................................ §Пр.2.7. Поверхности вращения .................................................................... 316 316 317 317 318 320 321 322 Приложение 3. Комплексные числа ................................................................................. 324 Приложение 4. Элементы тензорного исчисления ........................................................ §Пр.4.1. Замечания об определении объектов в линейном пространстве ................................................................. §Пр.4.2. Определение и обозначение тензоров ............................................ §Пр.4.3. Операции с тензорами ...................................................................... §Пр.4.4. Тензоры в евклидовом пространстве .............................................. §Пр.4.5. Тензоры в ортонормированном базисе ........................................... 330 Рекомендуемая литература ................................................................................................ Предметный указатель ........................................................................................................ 356 357 Раздел 277 280 282 292 295 330 335 340 347 350
