1. Понятие алгебраической операции и числового поля. Понятие матрицы

1. Понятие алгебраической операции и числового поля. Понятие матрицы
над полем P. Перестановки и их свойства. Определение определителей
2-го, 3-го, n-го порядков.
2. Свойства определителей, доказать одно из них. Теорема о разложении
определителя по элементам строки (столбца). Следствия из этой
теоремы.
3. Операции над матрицами и их свойства, доказать одно из них.
4. Матрица, обратная к данной матрице. Доказать, что у каждой обратной
матрицы существует единственное обращение.
5. Матрица, обратная к данной матрице. Доказать, что для обратных
матриц A, B, C одного порядка справедливо равенство (ABC) -1 =
A-1B-1C-1.
6. Матрица, обратная к данной матрице. Доказать, что (A’) -1=(A-1)’
7. Блочные матрицы, сложение и умножение блочных матриц.
Квазитреугольные и квазидиагональные матрицы. Теорема об
определителе квазитреугольной матрицы.
8. Теорема об определителе произведения матриц.
9. Теорема о существовании обратной матрицы.
10.Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
достаточное условие равенства нулю определителя.
Необходимое
и
11.Теорема о ранге матрицы.
12.Метод вычисления ранга матриц: метод окаймляющих миноров, метод
элементарных преобразований.
13.Применение элементарных преобразований только строк (или только
столбцов) к отысканию обратной матрицы.
14.Системы линейных уравнений. Критерий совместности.
15.Системы линейных уравнений. Критерий определённости.
16.Решение определённой СЛУ (формулы Крамера).
17.Решение неопределённой СЛУ.
18.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ОСЛУ имела
ненулевое решение.
19.Теорема о существовании ФСР для ОСЛУ.
20.Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих
однородных систем.
21.Понятие вектора. Равенство векторов. Линейные операции над
векторами и их свойства.
22.Теорема о существовании и единственности разности векторов.
23.Определение базиса на плоскости, в пространстве и на прямой.
Теорема о разложении по базису.
24.Линейная зависимость векторов, свойства этого понятия. Величина
вектора на оси. Основная теорема о величинах вектора на оси.
Величина прямоугольной проекции вектора на ось. Величина проекции
линейной комбинации на ось.
25.Декартовы системы координат. Декартова прямоугольная система
координат. Координаты линейной комбинации векторов.
26.Вывод формул, выражающих координаты точки в одной Д.С.К. через
координаты этой же точки в другой Д.С.К.
27.Скалярное произведение векторов: определение и основные свойства,
доказать одно из них. Выражение скалярного произведения через
координаты перемножаемых векторов.
28.Векторное произведение векторов: определение и основные свойства,
выражение
векторного
произведения
через
координаты
перемножаемых векторов.
29.Определение смешанного произведения 3х векторов. Теоремы,
выясняющие геометрический смысл смешанного произведения.
30.Выражение смешанного произведения 3х векторов через координаты
перемножаемых векторов.
31.Двойное векторное произведение. Доказать, что[a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b).
32.Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности
порядка алгебраической линии и алгебраической поверхности.
33.Доказать, что в ОДСК на плоскости (в пространстве) каждая прямая
линия (плоскость) может быть задана линейной уравнением; обратно,
каждое линейное уравнение в ОДСК на плоскости (в пространстве)
определяет прямую линию (плоскость).
34.Общие уравнения плоскости и прямой на плоскости. Параметрическое
уравнение прямой, параметрическое уравнение плоскости.
35.Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их
параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов
A,B,C в общем уравнении плоскости (прямой на плоскости) в ДПСК.
36.Исключение параметра из параметрических уравнений прямой.
37.Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости,
проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору в ПДСК.
38.Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому
виду (ПДСК).
39.Уравнение прямой проходящей через две точки. Уравнение плоскости,
проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и
плоскости. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
40.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости.
41.Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от данной
плоскости.
42.Расстояние от точки до прямой. Нормальное уравнение прямой на
плоскости. Отклонение точки от данной прямой.
43.Расстояние между параллельными прямыми. Вычисление углов: между
2-мя прямыми, меду прямой и плоскостью, между двумя плоскостями.
44.Пучок прямых, связка и пучок плоскостей.
45.КВП. Вывод канонического уравнения эллипса. Параметрическое
уравнение эллипса.
46.КВП. Вывод
гиперболы.
канонического
уравнения
гиперболы.
Асимптоты
47.КВП. Вывод канонического уравнения параболы.
48.Классификация КВП. Основная теорема о КВП (идея доказательства).
49.Поверхности 2-го порядка, 15 типов ПВП. Метод параллельных
сечений построения геометрических образов, соответствующих
каноническим уравнениям ПВП.
50.Основная теорема о ПВП (без доказательства). Поверхности вращения.
51.Определение линейного пространства. Следствия из аксиом линейного
пространства. Примеры линейных пространств.
52.Линейная зависимость и независимость системы векторов линейного
пространства. Размерность линейного пространства. Показать, что
линейное пространство упорядоченных наборов из n вещественных
чисел n-мерно.
53.Базис линейного пространства. Теорема о единственности разложения
вектора по базису. Понятие линейного подпространства линейного
пространства (примеры).
54.Определение евклидова пространства. Примеры. Длина вектора, угол
между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство
Коши-Буняковского для векторов пространства R”.
55.Теорема
Пифагора.
Неравенство треугольника.
треугольника для векторов пространства R”.
Неравенство
56.Ортогональный базис, ортонормированный базис. Скалярное
произведение векторов, заданных своими координатами в
ортонормированном базисе.