Перевод на 2 курс 3 семестр

Аттестационные испытания при переводе, восстановлении, поступлении на второе высшее
образование на математический факультет
Информатика с дополнительной специальностью Математика.
Перевод на 2 курс 3 семестр.
ИНФОРМАТИКА
Классификация языков программирования: компилируемые, исполняемые на виртуальных
машинах и интерпретируемые ЯП. Язык программирования C++. Стандарт языка. Стандартная
библиотека. Структура простейшей программы на C++.
Базовые типы C++. Константы и переменные.
Оператор присваивания. Арифметические операторы. Операторы сравнения и логические
операторы. Порядок действий (приоритет операторов).
Условный оператор и оператор множественного выбора. Операторы для организации циклов.
Стандартные потоки ввода/вывода. Средства работы с потоками ввода/вывода. Специальные символы (символ перевода строки, символ табуляции, символ конца строки).
Псевдослучайные числа. Генерация псевдослучайных чисел на C++.
Массивы в C++. Алгоритмы сортировки. C-строки (символьные массивы). Многомерные
массивы.
Указатели в C++. Операция разыменования. Константные указатели и указатели на константы. Указатели и массивы. Операции над указателями. Ссылки в C++.
Статическая, автоматическая и динамическая память. Создание и удаление динамических
объектов. Типичные ошибки, возникающие при использовании динамической памяти («утечка
памяти»).
Функции в C++. Прототип и описание функции. Формальные и фактические параметры.
Передача параметров в функции по значению, по ссылке, по указателю. Параметры функций со
значениями по умолчанию. Перегрузка функций. Рекурсия. Шаблоны функций.
Объектно-ориентированный подход. Абстракция данных. Наследование. Инкапсуляция.
Контроль доступа к свойствам и методам (public, private, protected). Полиморфизм и шаблоны
классов. Конструкторы и деструкторы. Перегрузка операторов.
Аппаратное и программное обеспечение
Архитектура ЭВМ, ресурсы компьютера: виды и организация памяти, устройства ввода-вывода
информации, принципы Джона фон Неймана. Программное обеспечение ЭВМ, классификация.
Свободное ПО.
Системное программное обеспечение. Операционные системы.
Классификация, реализация многозадачности, файловая система,
функции операционной системы.
Операционная система Linux
Семейство UNIX, причины популярности Unix, основные характеристики системы.
История Linux, пользовательский интерфейс, файловые системы, архитектура, процесс загрузки.
Инсталляция системы, установка оборудования.
Задания: В своем домашнем каталоге создать командный файл, который:
a) создает в домашнем каталоге дерево каталогов
~
К1— К2—K3
└K4
б) в каталоге К2 создаeт два текстовых файла: FIO (в него записывается ФИО) и ADR (в него
записывается адрес). В K1 создайте файл INFO, перенаправляя вывод из файлов FIO и ADR.
в) копирует все файлы, имя которых заканчиваются на od, из каталога /bin в каталог К4.
г) копирует файлы, у которых второй символ имени v, а длина не более 8 символов из каталога /usr/bin, в каталог К2.
д) перемещает файл INFO в родительский каталог.
Е) В каталоге К1 создает файл list, который будет содержать список всех файлов, содержащихся в домашнем каталоге и его подкаталогах, в алфавитном порядке.
Ж) В файле command в К3 записывает список команд встречающихся как в каталоге /bin, так
и в каталоге /usr/bin.
файл информацию о возрасте студента.
И) В каталоге К2 создает файл Link, в котором для каждого файла каталога К4 будут указаны
количество жестких ссылок и имя файла.
Операционные оболочки
Программы-оболочки. Назначение. Основные характеристики.
Задания:
В MC:
a) создать в домашнем каталоге дерево каталогов
а:\ — К1
│
└K2—K3
└—K4
б) в каталоге К4 создает текстовый файл user, в который пользователь может ввести свои данные.
в) копирует все файлы, имя которых начинается с символов а-с и длина имени не превышает
5 символов, из каталога /home/teach/manyahina/bin в каталог К3.
д) перемещает файл user в надкаталог.
Е) просмотр дерева каталогов
Ж) показать историю команд
Обработка текстовой информации на ЭВМ.
Представление текстовой информации в ЭВМ. Программы обработки текста. Назначение. Основные возможности. Классификация. Универсальные форматы для представления текста и документов.
Задания:
1. В OOo Writer отформатируйте текст по образцу, рисунки создайте при помощи встроенного
графического редактора.
2. Наберите представленные формулы в TeX (см. образцы).
Табличные процессоры.
Назначение. Основные возможности. Общие принципы работы с табличными процессорами.
Задания:
В ООо Calc создайте таблицу значений функции и постройте ее график.
Литература:
1. Стенли Б. Липпман, Ж. Лажойе, Б. Му «Язык программирования C++. Вводный курс»;
2. Д. Райан Стефенс, К. Диггинс, Д. Турканис и Д. Когсуэлл «С++. Сборник рецептов»;
3. Герберт Шилдт «C++ для начинающих»;
4. Литвиненко Н. А. «Технология программирования на С++. Начальный курс».
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предмет математического анализа. Исторические сведения. Связь со школьным курсом математики.
Действительные числа и их свойства. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Сложение, умножение и сравнение действительных чисел. Аксиома непрерывности.
Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями и изображение действительных чисел на прямой.
Примеры числовых множеств: интервалы, отрезки, промежутки и др. Ограниченные и неограниченные множества. Неограниченность сверху множества натуральных чисел. Верхняя и
нижняя грани числового множества. Теорема существования верхней и нижней граней. Свойства
верхних и нижних граней числовых множеств.
История возникновения и развития понятия функции. Числовые функции. Способы задания
и график функции. Арифметические операции над функциями. Композиция функций. Обратная
функция. Монотонные функции. Периодические функции. Чётные и нечётные функции. Основные
элементарные функции. Степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателями.
Определение степени с действительным показателем. Показательная функция и её свойства. Логарифмическая функция и её свойства. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Задачи, приводящие к понятию предела последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Ограниченные и неограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Бесконечно
малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их связь с
бесконечно малыми. Арифметические свойства предела последовательности; теоремы о пределе
суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе
промежуточной последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число е. Теорема Кантора. Подпоследовательности.
Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса. Использование предела последовательности для измерения геометрических величин в школьном курсе математики.
Задачи, приводящие к понятию предела функции. Определение предела функции. Примеры. Предел функции по Гейне. Арифметические свойства предела функции; теоремы о пределе
суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе
промежуточной функции. Теорема о пределе композиции. Предел отношения синуса к аргументу,
стремящемуся к нулю. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие и их связь
с бесконечно малыми. Расширение понятия предела функции на бесконечно удалённые точки. Показательно-степенная функция. Пределы, связанные с числом е. Пределы функции слева и справа.
Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Примеры непрерывных и
разрывных функций. Свойства непрерывных функций; непрерывность суммы, произведения,
частного и композиции. Теорема о непрерывности обратной функции. Точки разрыва и их классификация. Точки разрыва монотонной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, теоремы об ограниченности и о наибольшем и наименьшем значениях. Равномерная непрерывность функции на множестве. Примеры равномерно и неравномерно непрерывных функций. Свойства равномерно непрерывных функций. Теорема о равномерной
непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение дифференцируемости функции
и производной. Производные основных элементарных функций. Геометрический и физический
смыслы дифференцируемости и производной. Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Свойства дифференцируемых функций. Дифференцирование суммы, произведения, частного, композиции и обратной функции. Дифференциал, его геометрический и физический смыслы. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей типа 0/0 и /. Формула Тейлора. Вычисление приближённых значений функций с помощью
формулы Тейлора.
Экстремум функции. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремум с помощью производной. Выпуклые функции и точки перегиба. Необходимое и достаточное условие
выпуклости дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
Асимптоты.
Различные способы задания кривых на плоскости. Параметрически заданные кривые. Примеры. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах. Примеры. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Нахождение касательных к параметрически заданным
кривым на плоскости.
Определение первообразной функции и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов основных элементарных функций. Свойства неопределённого интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрирование суммы. Интегрирование по частям
и замена переменных в неопределённом интеграле. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических функций. Неопределённый интеграл в школьном курсе математики.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральные суммы Римана и
определённый интеграл. Простейшие свойства определённого интеграла: вынесение постоянного
множителя за знак интеграла, интегрирование суммы, интегрирование неравенств. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Критерий интегрируемости.
Верхний и нижний интегралы функции. Аддитивность определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной функции и ограниченной функции, имеющей конечное множество точек разрыва. Интегрируемость монотонной функции.
Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Непрерывность
определённого интеграла как функции верхнего предела. Дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определённом интеграле. Определённый интеграл в школьном курсе математики.
Понятие квадрируемой фигуры на плоскости и её площади. Свойства квадрируемых фигур.
Критерий квадрируемости. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Нахождение площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного
уравнением в полярных координатах.
Понятие спрямляемой кривой на плоскости и её длины. Вычисление длины гладкой кривой
с помощью определённого интеграла.
Понятие кубируемого тела в пространстве и его объёма. Вычисление объёма тела вращения
с помощью определённого интеграла. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Приложение определённого интеграла к нахождению некоторых физических величин: пути, массы, работы, статических моментов и координат центра тяжести и др.
Студенты должны уметь
1. Строить эскизы графиков функций, используя линейные и модульные преобразования графиков.
2. Исследовать ограниченность множеств и находить их грани.
3. Используя определение предела, доказывать сходимость и расходимость последовательностей.
4. Вычислять пределы последовательностей.
5. Используя определение предела, доказывать равенства, связанные с пределом функции.
6. Вычислять пределы функций.
7. Доказывать по определению непрерывность функции в точке.
8. Находить и классифицировать точки разрыва функций.
9. Дифференцировать функции.
10. Находить производные высших порядков.
11. Вычислять пределы функций с помощью правил Лопиталя и формулы Тейлора.
12. Исследовать функции и строить их графики.
13. Вычислять неопределённые и определённые интегралы.
14. Вычислять площади плоских фигур, длины плоских кривых, объёмы и площади поверхностей тел вращения с помощью определённого интеграла.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2,3. – М.: Дрофа, 2003-2006.
2. Архипов Г.И., В.А. Садовничий, Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. –
М: Дрофа, 2004.
3. Зорич В.А. Математический анализ, т.1,2. – М.: МЦНМО, 2007.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, т.1,2. – М.: Физматлит, 2006.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1,2. – СПб.: Лань, 2006.
6. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001.
7. Асланов Р.М., Джабраилов М.С., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Математический анализ,
ч.1,2. – М.: Изд-во МПГУ, 2005-2006.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: АСТ,
2005.
9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу, т.1,2,3. – М.: Физматлит, 2003.
10. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн.1, 2. – М.: Высшая школа, 2002.
11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: ЛКИ, 2008.
12. Брайчев Г.Г., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Интегральное исчисление функций нескольких
переменных. – М.: Прометей, 2002.
13. Колягин С.Ю., Быкова О.Н. Практические занятия по математическому анализу, ч.1. –
М.: Изд-во МПГУ, 2009.
АЛГЕБРА
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия
над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня nой степени из комплексного числа. Корни n-ой степени из единицы. Первообразные корни.
2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактормножество. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Композиция функций.
3. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ
Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Алгоритм
Евклида. Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел. Каноническое
разложение натурального числа.
Свойства отношения сравнимости по натуральному модулю. Классы вычетов по модулю n.
Операции над классами вычетов.
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Область целостности.
Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей. Подполе.
5. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ НАД ПОЛЕМ
Полиномы над полем. Степень полинома. Теорема о делении с остатком. Теорема Безу.
Схема Горнера. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение
полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
6. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Кольцо квадратных матриц. Обратимость квадратных матриц, обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.
Определитель матрицы и его свойства Определитель произведения двух матриц. Способы
вычисления определителей n-го порядка.
7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение и
исследование системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвест-
ных. Общее решение системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных
уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
Матричная запись решения систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
8. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Изоморфизмы векторных пространств. Необходимое и достаточное условие изоморфизма
конечномерных векторных пространств.
Подпространства. Линейные многообразия. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Условие, при котором сумма подпространств является прямой.
Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора, ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Матрица оператора в данном базисе. Матрица перехода от
базиса к базису. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Условия
приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Векторное пространство со скалярным умножением, примеры. Ортогональная система векторов, ее независимость. Процесс ортогонализации.
Евклидово векторное пространство. Норма вектора.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Исследовать отображение на инъективность, сюръективность:
а) f: N  {0}  Z 2, x  < x2, |x|+4 > ; б) f: N 2  Q, < x, y > 
3
8
1
x 
y 
7
15
4
2
.
2. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами: x - (1 + i)x + 6+3i = 0.
3. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа, если заданы ограни
чения на модуль или аргумент: а) 1  | z - 2i | < 2; б) 2 < | z |  3, 0  arg z < 4 .
30
9
4. Выполнить указанные действия над комплексными числами: а) (1  i ) ; б)  3  i  .


(1  i ) 7
 1i 
5. Найти все обратимые элементы и все делители нуля в данном кольце классов вычетов:
а) Z12; б) Z40; в) Z23.
6. Разложить полином f(x) по степеням двучлена х - х0 с помощью схемы Горнера:
f(x)= x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 1, x0 = -1
7. Определить кратность корня -2 для полинома x5 + 7х4 + 16x3 + 8x2 - 16x - 16 с помощью
схемы Горнера.
8. Найти рациональные корни целочисленного полинома:
а) 6х4 + 19x3 - 7x2 - 26х+ 12; б) х5 - 2х4 - 4x3 + 4x2 - 5х+ 6; в) 24х5 + 10х4 - x3 - 19x2 - 5х+ 6.
9. Найти НОД данных полиномов и его линейное выражение: f(x)= x4 + x3 +4x2 -2x -1, g(x)= 2x3 x2 +3x -2.
10. Определить, является ли множество группой (кольцом) относительно данных операций:
а) является ли множество G={<a, b> | a0, a, bQ} группой относительно операции ,
определенной следующим образом: <a, b>  <c, d> = <ac, ad+b> ?
б) является ли множество P1 = {<m, n> | m, nN} кольцом относительно операций  и ,
заданных следующим образом <m, n>  <k, l> = <m+k, n+l> , <m, n>  <k, l> = <mk +nl, ml+nk>?
11. Найти базис системы векторов и координаты всех векторов системы в найденном базисе:
a1 = (2, 1, -3, 1), a2 = (2, 2, -6, 2), a3 = (6, 3, -9, 3), a4 = (1, 1, 1, 1).
12. Найти ранг матрицы:
2
3
 1

1
3/ 2
1 / 2
1 / 3 2 / 3
1

1 / 4 1 / 2 3 / 4

4 

2 .
4 / 3

1 
13. Найти базис и размерность суммы и пересечения данных подпространств:
L1= <(2, -1, 0, -2), (3, -2, 1, 0), (1, -1, 1, -1)> и L2= <(3, -1, -1, 0), (0, -1, 2, 3), (5, -2, -1, 0)>.
14. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
х1 + 2х2 + 4х3 - 3х4 = 0,
3х1 + 5х2 + 6х3 - 4х4 = 0,
4х1 + 5х2 - 2х3 + 3х4 = 0,
3х1 + 8х2 + 24х3 -19х4 = 0.
15. Вычислить обратную матрицу для матрицы
3

1
5

2
3
3
2

1
4 
с помощью элементарных преобразо-
ваний и с помощью алгебраических дополнений.
16. Вычислить определитель 4-го порядка:
4
3
3
3
4
2
3
3
5
5
2
4
2
4
2
3
17. Найдите матрицу линейного оператора, переводящего стандартный базис е1 = (1, 0, 0), е2 =
(0, 1, 0), е3 = (0, 0, 1) в набор векторов а1, а2, а3, относительно стандартного базиса:
а) а1 = (1, 0, 3), а2 = (1, 1, 4), а3 = (0, 9, 5); б) а1 = (7, -10, 3), а2 = (-2, 9, 1), а3 = (5, -1, 4).
18. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданных в некотором базисе матрицей:
 2 1 1 

.
  1 2  1
 0
0
1 

3
5  4 2
19. Найти размерность ядра (образа) линейного оператора, заданного матрицей  2 4  6 3  .


11 17  8 4 


РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.:Наука, 1977.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.:
Просвещение, 1993.
5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во
"Лань", 2005.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1970.
7. Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
8. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.:Факториал, 1999.
9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
10. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1980.
1.
2.
3.
4.
ГЕОМЕТРИЯ
Векторы. Сложение векторов и его свойства. Разность векторов. Теорема о разности векторов. Произведение вектора на число и его свойства. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах. Компланарные векторы.Теорема о компланарных векторах.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Теорема о линейной зависимости систем, состоящих из одного, двух и трех векторов. Базис векторного пространства. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора от-
носительно базиса и их свойства координат вектора. Теорема о вычислении длины вектора по
его координатам в ортонормированном базисе.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Теорема о вычислении скалярного произведения по координатам в ортонормированном базисе. Векторное подпространство. Двумерное
векторное подпространство.
Система координат на плоскости. Простейшие задачи в координатах. Деление отрезка в
данном отношении.
Определители матрицы перехода от одного базиса к другому и их свойства.
Ориентация двумерного векторного подпространства.
Направленный угол между векторами. Теорема о геометрическом смысле координат векторов в ортонормированном базисе. Формулы преобразования координат. Частные случаи.
Полярная система координат. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами.
Алгебраическая линия, ее порядок. Уравнение окружности. Уравнения прямой, заданной
разными способами. Теорема об общем уравнении прямой. Условие параллельности вектора и
прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C. Теоремы о взаимном расположении
двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Угол
между двумя прямыми. Ориентированный угол между двумя прямыми на плоскости. Формулы
для вычисления тангенса направленного угла между прямыми.
Движения плоскости. Примеры. Основная теорема о движении плоскости. Свойства движений плоскости. Теорема о двух видах движения плоскости. Примеры движений 1 и 2 рода. Вывод
формул движения плоскости Теорема о формулах движения. Инвариантные точки и прямые движения плоскости. Классификация движений первого и второго рода на плоскости. Представление
движений в виде композиции осевых симметрий. Группа движений плоскости и ее подгруппы.
Группа симметрий геометрической фигуры
Гомотетия плоскости и ее свойства. Подобие плоскости. Его свойства и формулы. Примеры. Представление подобия в виде композиции гомотетии и движения. Классификация подобий.
Группа подобий плоскости и ее подгруппы.
Аффинные преобразования плоскости. Основная теорема об аффинных преобразованиях.
Свойства аффинных преобразований плоскости. Вывод формул аффинных преобразований плоскости. Теорема о формулах аффинного преобразования.
Перспективно-аффинные преобразования плоскости и их свойства. Сдвиг, косое сжатие и
их свойства. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Директориальные свойства эллипса, гиперболы. Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
Линия второго порядка. Векторы и прямые асимптотического направления относительно
линии 2-го порядка, тип линии, теорема об асимптотических направлениях. Лемма о векторе
асимптотического направления параболического типа. Лемма о координатах середины хорды, теорема о центре линии 2-гопорядка. Центральные и нецентральные линии
Касательная к линии 2-го порядка. Обыкновенные и особые точки. Уравнение касательной
к линии 2-го порядка. Теорема о диаметре линии 2-го порядка, свойства, сопряженные диаметры.
Сопряженные направления относительно линии 2-го порядка, их свойства. Главные направления
относительно линии 2-го порядка, формула для нахождения главных направлений линии 2-го порядка. Главные диаметры линии 2-го порядка, свойства, уравнения диаметров. Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
Координаты точек в пространстве. Простейшие задачи в координатах.
Определители перехода и их свойства. Ориентация пространства. Формулы преобразования
координат в пространстве.
Смешанное произведение векторов. Теорема о смешанном произведении. Свойства. Векторное произведение векторов. Теорема о связи векторного и смешанного произведения. теорема о
вычислении координат векторного произведения..Свойства.
Уравнения плоскости, заданной различными способами. Теоремы об общем уравнении
плоскости. Условие параллельности вектора и плоскости. Взаимное расположение плоскости и
системы координат. Геометрический смысл знака четырехчленна Ax+Вy+Cz+D. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Взаимное расположение трех плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Угол
между плоскостями. Способы задания прямой в пространстве. Лемма о направляющем векторе
прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Метрические задачи теории прямых. Метод сечений.
Поверхности вращения. Эллипсоид и его свойства. Однополостный гиперболоид и его
свойства. Двуполостный гиперболоид и его свойства. Эллиптический параболоид и его свойства.
Гиперболический параболоид и его свойства. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка. Цилиндрические поверхности и их уравнения. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности и их уравнения. Конические поверхности второго порядка.
n-мерное векторное пространство. Задание подпространства векторного пространства. Билинейная форма. Теорема о существовании в Vn базиса с сопряженными базисными векторами.
Евклидово n-мерное векторное пространство. Свойства скалярного произведения. Теорема о существовании ортонормированного базиса
Аффинное n-мерное пространство. Свойства Аn. Формулы преобразования системы координат.
К-мерные плоскости. Способы задания. Теорема об общем уравнении к-плоскости. Задание
плоскости системой линейно независимых точек. Взаимное расположение к-плоскостей. Гиперплоскость.
Евклидово n-мерное пространство.
Квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Теоремы о каноническом и нормальном
виде квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Признак положительно определенной квадратичной формы.
Квадрики. Центр квадрики. Цилиндрические квадрики и конические квадрики. Теорема о
приведении квадрики к нормальному виду. Классификация нецилиндрических квадрик.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ:
1. Даны векторы и . Постройте векторы
5
,
.
ABCDA1B1C1D1
2. Дан параллелепипед
, О – точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
Найдите координаты векторов
в базисе {
.
3. a (5,-2,0), b (0,-3,4), c (-6,0,1). Образуют ли векторы a , b , c базис?
4. Являются ли векторы компланарными a (3,-4,1), b (-2,1,1), c (-1,3,-2)?
5. Представить вектор d (3,-2,14) как линейную комбинацию векторов a , b , c , если a (-1,5,4),
b (0,1,0), c (2,-3,5).
6. Пусть { , , } - ортонормированный базис. При каких значениях  векторы a  2i  j  3 k и
b   2 i  4 j  3k перпендикулярны?
7. Дана аффинная система координат
. Постройте точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), D(-5, ½).
8. АВСD – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найдите координаты вершины D.
9. Будет ли угол АВС острый, прямой, или тупой, если А(0,0), В(2,0), С(1, 3 ) (ПДСК)?
10. Точка С лежит на отрезке АВ и АС : СВ = 2 : 3. а) Найдите простое отношение (АВ,С); б)
зная координаты точек А(1, 1) и В(2, -1), найдите координаты точки С.
11. Зная координаты вершин треугольника АВС А(5,-4), В(-1,2), С(5,1) в прямоугольной декартовой системе координат, найдите длину медианы АМ.
12. Найдите параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку Р(-2,3) параллельно
прямой 2х-5у+1=0; б) проходящей через точки М1(0, -2) и М2(3, - 4); в) проходящей через
точку М0(1, -3) и параллельной оси Ох.
13. Даны две вершины треугольника АВС А(-1, 5), В(3,2) и точка Н(5, -3) пересечения его высот
(
). Составьте уравнения сторон этого треугольника.
14. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых:
а) х+3у-3=0 и 2х-2у-6=0; б) х+2у+1=0 и 2х+4у+3=0;
в) у=3 и х+у=0;
г) х-у-3=0 и 2х-2у-6=0; д) х=1+t, у=2- t и х=2t, у=3-2t; е) х+2у+3=0 и х=1- t, у=2+2t.
15. Вычислите расстояние от точки М до прямой l, если М(2, 4) и l: 3х+4у+3=0.
16. Найдите уравнения касательных к окружности
5, проходящих через точку М(-1, 3).
17. В аффинной системе координат даны координаты вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 :
А(2,-1,1), В(1,3,4), А1(4,2,0), D(6,0,1). Найдите координаты остальных вершин.
18. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
, если {
- ортонормированный базис.
19. Найдите отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, ребрами которого служат
диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.
20. Найдите длину высоты DH тетраэдра ABCD , если А(2, 4, -1), В(2, 5, 0), С(6, 4, 0), D (5, 10, -1).
21. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах
,
22. Дан параллелепипед
и , если
,
.
ABCDA1B1C1D1
. Найдите рассто-
,
яние между прямыми AB и A1C .
23. Найдите
длину высоты
параллелепипеда,
построенного
на
векторах
,
,
, где { ,
}- ортонормированный базис.
24. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
x  y  z  1  0 и 2 x  3 y  z  2  0 , и перпендикулярной к плоскости x  y  2 z  1  0 (ПДСК).
25. Через точку А(-5,16,15) проведены плоскости: одна содержит ось Ox , другая - Oy . Найдите
угол между этими плоскостями (ПДСК).
26. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку К(2, 1, -1), которая перпендикулярна
прямым x  y  3  0, x  2 y  z  0 и x  1  4t , y  2  7t , z  1  t (ПДСК).
27. Найдите уравнения проекции прямой 2 x  y  z  1  0, 2 x  2 y  z  1  0 на плоскость
x  y  2 z  2  0 в направлении вектора p  2,1,1 (аффинная система координат).
28. Найдите уравнения прямой, проходящей через точку А(2,-1,0), которая пересекает под прямым
углом прямую x  t , y  1  3t , z  1  2t (ПДСК).
29. Через точку В(0, 0, 1) проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости x  z  2  0 и об
разующую с плоскостью x  4 y  8 z  12  0 угол 4 (ПДСК).
x  2 y 1 z


4
2 и x  7  6t , y  1  8t , z  3  4t (ПДСК).
30. Найдите расстояние между прямыми 3
31. Написать каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом   3 и большой полуосью
3
a  3.
32. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее директрисами равно
8
и   3.
3
2
33. Написать уравнения асимптот линии второго порядка 4 x 2  12 xy  9 y 2  36 x  100  0 .
2
34. Дана парабола y  10 x . Найти касательные к этой параболе в точках ее пересечения с прямой
y  4x  5 .
35. Найти касательную к гиперболе
x2
y2

1
9
4
,
проходящую через точку
 3,1 .
x2
y2

1
16
4
,
36. Написать уравнения двух сопряженных диаметров эллипса
один из которых паx

2
y

1

0
раллелен прямой
.
37. Написать уравнение главного диаметра и найти координаты вершины параболы
x 2  2 x  y  1  0 (ПДСК).
38. Определить вид линии второго порядка, не приводя ее уравнение к каноническому виду
2
2
а) 2 xy  4 x  2 y  5  0 ; б) 9 x  24 xy  16 y  29 x  110 y  50  0 ;
39. Составить уравнение конуса с вершиной (0,0,3), направляющая которого задана уравнениями
x2
y2

 1, z  0
2
4
(ПДСК).
2
2
40. Составить уравнения цилиндра, если его направляющая имеет уравнения 2 y  3z  1  0, x  1,
p 1, 2,3
а образующая параллельна вектору 
(АСК).
41. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида
4 x 2  y 2  16 z , которые пересекаются в точке А(2,0,1) (ПДСК).
42. Составить
2
2
уравнения
прямолинейных
образующих
однополостного
гиперболоида
2
x
y
z


1
9
4 16
, перпендикулярных оси Oy (ПДСК).
43. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического
4x 2  y 2  z , которые образуют с прямой x  y  0, z  0 угол 450 (ПДСК).
44. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостью
2
2
и поверхностью x  y  z .
x y
 1
2 2
,
параболоида
плоскостями координат
45. Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данной прямой и
окружности делился точкой пополам.
46. Построить квадрат, если дан его центр и две точки, принадлежащие противоположным сторонам квадрата.
47. Написать формулы движения, единственная инвариантная прямая которого параллельна пряB  0,1  B  2,1
мой x  y  6  0 и
.
48. Найти уравнение прообраза прямой 3x  y  2  0 при движении 1 рода, при котором прямая
2 x  y  0 инвариантна, а прямая 4 x  3 y  0 переходит в прямую 4 x  3 y  4  0 .
M  6, 2
49. Найти образ точки
при движении, не имеющем инвариантных точек и переводящем

A  0,1  A  3, 2 B  1,0  B  2,1
,а
.
 3, 2  при движении первого рода, для которого точка
50. Найти координаты прообраза точки
 0, 0  инвариантна, прямая x  3 y  1  0 переходит в прямую 3x  y  1  0 .
51. Доказать, что формулы, записанные в ПДСК, задают движение, определить его вид и задающие элементы, записать уравнения инвариантных прямых, найти образ и прообраз прямой
2
2
x  y  1  0 при этом движении, образ и прообраз окружности  x  1   y  1  1 .
2
2
2
2
1
3
3
3
1
1
x
y, y  
x
y
x   x 
y
, y 
x y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2;
1)
;
2)
1
3
3
3
1
1
x  x 
y
, y 
x y


x

x

2,
y

y

6
2
2
2
2
2
2 ; 5) x   x  2, y   y  2 ;
3)
; 4)
x 
M 1, 2
52. Найти уравнение прообраза прямой 5 x  3 y  0 при гомотетии с центром в точке 0   , которая переводит прямую 2 x  y  1  0 в прямую 2 x  y  5  0 .
53. Построить прообраз данной прямой при гомотетии, заданной парой соответствующих точек
A  A и инвариантной прямой b .
a  a a a
54. Сдвиг задан парой соответствующих прямых
и инвариантной прямой b . Построить образ данного треугольника (квадрата, параллелограмма) при данном сдвиге. Сколько
решений имеет задача?
55. Определить вид движения пространства x '  y, y '   z  2, z '  x .

