Моделирование срочной структуры процентных ставок

Сергей ИВЛИЕВ,
руководитель, Prognoz Risk Lab, к.э.н.
Г
,
.Э
-
— ZERO COUPON YIELD CURVE. С
-
.К
.
Моделирование срочной
структуры процентных
ставок российского рынка
Виктор ЛАПШИН,
научный сотрудник,
FERM Lab НИУ-ВШЭ,
к.ф.-м.н.
Ñðî÷íàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê îòðàæàåò æåëàíèå ðûíêà äàâàòü â
äîëã èëè ïðèíèìàòü ñðåäñòâà íà îïðåäåëåííûé ñðîê ïîä òå èëè èíûå ïðîöåíòû. Îäíàêî íà ðàçëè÷íûõ ðûíêàõ
ýòà ñòðóêòóðà íåîäèíàêîâà. Ñèòóàöèþ
îñëîæíÿåò òîò ôàêò, ÷òî ðàçëè÷íûå
ðûíêè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â ïðåäåëàõ
îäíîé ôèçè÷åñêîé áèðæè. Ðûíêè îáëèãàöèé è êðàòêîñðî÷íûõ çàèìñòâîâàíèé
— ðàçíûå ïî ñâîåé ñóòè, è ñëåäóåò ñ
áîëüøîé îñòîðîæíîñòüþ ïîäõîäèòü ê
èñïîëüçîâàíèþ äàííûõ ñ íèõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðî÷íîé ñòðóêòóðû ïðîöåíòíûõ ñòàâîê. Òàê, íàïðèìåð, ïðè ïðî÷èõ
ðàâíûõ öåíà îáëèãàöèè áóäåò âûøå (òî
åñòü áóäåò ïîäðàçóìåâàòü ìåíüøóþ äîõîäíîñòü âëîæåíèé íà äàííûé ñðîê),
òàê êàê îáëàäàíèå îáëèãàöèåé íåñåò
äîïîëíèòåëüíûå ïðåèìóùåñòâà. Òàê,
âëàäåëåö îáëèãàöèè ìîæåò îñòàâèòü
åå â çàëîã, îñóùåñòâèòü ñäåëêó ÐÅÏÎ
è òàê äàëåå. Ïîìèìî ýòîãî, íà öåíû (à
ñëåäîâàòåëüíî, è íà ïðîöåíòíûå ñòàâêè) íåïîñðåäñòâåííî âëèÿþò òàêèå
ïàðàìåòðû, êàê êðåäèòíîå êà÷åñòâî è
ëèêâèäíîñòü.
Áåñêóïîííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè,
îïðåäåëåííàÿ íà ãîñóäàðñòâåííûõ îáëèãàöèÿõ èëè èíñòðóìåíòàõ, íå ñîäåðæàùèõ êðåäèòíûé ðèñê, íàçûâàåòñÿ
áåçðèñêîâîé (risk-free) è ïðèìåíÿåòñÿ â
êà÷åñòâå áåí÷ìàðêà ñðî÷íîé ñòðóêòóðû
ïðîöåíòíûõ ñòàâîê öåíòðàëüíûìè áàíêàìè è íàäçîðíûìè îðãàíàìè ðàçëè÷íûõ ñòðàí (BIS, 2005).
ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ
Ðàññìîòðèì áàçîâûå ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ îáëèãàöèé íà îñíîâå áåñêóïîííîé êðèâîé äîõîäíîñòè. Áåñêóïîííóþ êðèâóþ äîõîäíîñòè ñïîò áóäåì
îáîçíà÷àòü r(t) .
Ïîä îáëèãàöèåé ïîíèìàåòñÿ îáðàùàþùååñÿ íà âòîðè÷íîì ðûíêå îáÿçàòåëüñòâî,
ðàñïèñàíèå ïëàòåæåé ïî êîòîðîìó çàðàíåå
èçâåñòíî (òî åñòü ìû ðàññìàòðèâàåì îáëèãàöèè ñ ôèêñèðîâàííûì êóïîíîì è áåç
âñòðîåííûõ îïöèîíîâ). Ýòè ïëàòåæè ìîãóò
áûòü êàê ïðîöåíòàìè, òàê è ÷àñòè÷íûì èëè
ïîëíûì ïîãàøåíèåì îñíîâíîãî äîëãà.
Äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ãðóïïó îáëèãàöèé îäíîãî êðåäèòíîãî êà÷åñòâà (íàïðèìåð, âûïóùåííûå îäíèì ýìèòåíòîì) è ïðèìåðíî îäíîé ëèêâèäíîñòè.
Êîýôôèöèåíòû äèñêîíòèðîâàíèÿ è
ïðîöåíòíûå ñòàâêè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé
ìîíîòîííîé ôóíêöèåé, îïðåäåëÿåìîé â
çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ (êîíâåíöèè).
Âðåìåííàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê õàðàêòåðèçóåòñÿ êðèâîé ìãíîâåííûõ
ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê f(t). Ýòî,
â íåêîòîðîì ñìûñëå, «ïëîòíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ». Îíà ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé
äèñêîíòèðîâàíèÿ d(t) è êðèâîé ïðîöåíòíûõ
ñòàâîê r(t) ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
1 t
r ( t) =
f (s)ds,
t 0
∫
−
d( t) = e
t
∫ f(s)ds
0
×òîáû èñïîëüçîâàòü êîòèðîâêè îáëèãàöèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðî÷íîé ñòðóê-
апрель 2011
CBONDS REVIEW
53
ИНСТРУМЕНТАРИЙ
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
òóðû ïðîöåíòíûõ ñòàâîê, íåîáõîäèìî
îïðåäåëèòü ñâÿçü ìåæäó ýòèìè îáúåêòàìè. Ðàññìîòðèì áåñêóïîííóþ îáëèãàöèþ
íîìèíàëîì 1 ñî ñðîêîì äî ïîãàøåíèÿ t.
Áåñêóïîííàÿ îáëèãàöèÿ — ýòî òà, ïî êîòîðîé áóäåò ïðîâåäåíà âñåãî îäíà âûïëàòà. Ïóñòü ýòà âûïëàòà èìååò ðàçìåð 1 è
ïðîèçîéäåò ÷åðåç âðåìÿ t. Ïðåäïîëîæèì
òàêæå, ÷òî îáëèãàöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåçðèñêîâîé, òî åñòü îòñóòñòâóþò êðåäèòíûå ðèñêè (ðèñêè íåóïëàòû), ðèñêè ëèêâèäíîñòè
(íåâîçìîæíîñòè ïðîäàòü áóìàãó) è äðóãèå. Òîãäà åå òåêóùàÿ ñòîèìîñòü áóäåò
ðàâíà d(t). Êðèâàÿ äîõîäíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèè äèñêîíòèðîâàíèÿ
Рисунок 1
Пример бескупонной
кривой доходности
US Treasuries, r(t)
1
r(x) = − ln d( t),
t
áóäåò áåçðèñêîâîé.
Åñëè ó íàñ òåïåðü åñòü ðåàëüíàÿ áåñêóïîííàÿ îáëèãàöèÿ, åå öåíà áóäåò íèæå,
÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü âîçìîæíûå ðèñêè, à áåñêóïîííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè,
ïîñòðîåííàÿ ïî òàêèì îáëèãàöèÿì, áóäåò
ëåæàòü âûøå áåçðèñêîâîé áåñêóïîííîé
Рисунок 2
Пример функции
дисконтирования
US Treasuries, d(t)
1.2
1
0.8
êðèâîé äîõîäíîñòè. Òåì íå ìåíåå, äëÿ
îöåíêè ôèíàíñîâûõ èíñòðóìåíòîâ, ñõîæèõ ñ äàííîé îáëèãàöèåé ïî êðåäèòíîìó
êà÷åñòâó è ëèêâèäíîñòè, ñêîðåå ïîäîéäåò
èìåííî ýòà êðèâàÿ, à íå áåçðèñêîâàÿ.
Åñëè îáëèãàöèÿ êóïîííàÿ, òî åñòü ïî
íåé èìåþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå âûïëàòû
ïðîöåíòîâ (êóïîíîâ), èëè àìîðòèçàöèîííàÿ, òî åñòü îñíîâíîé äîëã âûïëà÷èâàåòñÿ ïî ÷àñòÿì, òî ïîòîêîâ ïëàòåæåé
áóäåò áîëüøå. Ïóñòü èìååòñÿ n ïîòîêîâ
ïëàòåæåé âî âðåìåíà τ1,...,τn ðàçìåðàìè
F1,...,Fn ñîîòâåòñòâåííî. Ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü1, ÷òî ñòîèìîñòü òàêîé îáëèãàöèè
áóäåò ðàâíà ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ (íàáîðà) èç n áåñêóïîííûõ îáëèãàöèé ñî
ñðîêàìè äî ïîãàøåíèÿ τ1,...,τn è íîìèíàëàìè F1,...,Fn ñîîòâåòñòâåííî. Â òàêîì
ñëó÷àå ñòîèìîñòü P êóïîííîé îáëèãàöèè
áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì
n
P=
∑F d(τ ).
s
s
(1)
s=1
Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ãðàôèê áåñêóïîííîé êðèâîé äîõîäíîñòè US Treasuries
ïðèâåäåí íà Ðèñóíêå 1.
Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
äèñêîíòèðîâàíèÿ ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû íà îñíîâå óðàâíåíèÿ d(t)=exp(-r(t)t) è
áóäóò èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà Ðèñóíêå 2.
Èñïîëüçóåì íàéäåííóþ ôóíêöèþ äèñêîíòèðîâàíèÿ, ÷òîáû îïðåäåëèòü òåîðåòè÷åñêóþ öåíó ãèïîòåòè÷åñêîé áåçðèñêîâîé äîëëàðîâîé îáëèãàöèè ñ êóïîííûìè
âûïëàòàìè â 10% êàæäûé ãîä è ñðîêîì
äî ïîãàøåíèÿ òðè ãîäà.
P=10d(1)+10d(2)+110•d(3)=10•0.997+
10•0.9865+110•0.9676=126.27(%)
Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ öåíà ÿâëÿåòñÿ ãðÿçíîé (gross), òî åñòü âêëþ÷àåò â ñåáÿ
íàêîïëåííûé êóïîííûé äîõîä (ÍÊÄ).
 ðåàëüíîñòè íà öåíîîáðàçîâàíèå
î÷åíü ñèëüíîå âëèÿíèå îêàçûâàþò âîïðîñû êðåäèòíîãî êà÷åñòâà, ëèêâèäíîñòè,
íàëîãîîáëîæåíèÿ. Ó÷åò êðåäèòíîãî êà÷åñòâà îáëèãàöèè âîçìîæåí ñ èñïîëüçîâàíèåì êðåäèòíûõ ñïðåäîâ. Ëèêâèäíîñòü
0.6
1
0.4
Ýòî ñòàíäàðòíîå ïðåäïîëîæåíèå, è îáñóæäåíèå åãî
ïðàâäîïîäîáíîñòè âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ìåòîäèêè.
Óêàæåì ëèøü, ÷òî âëàäåíèå ïîðòôåëåì áåñêóïîííûõ
0.2
îáëèãàöèé äàåò áîëüøå âîçìîæíîñòåé, íåæåëè âëàäåíèå
îäíîé êóïîííîé îáëèãàöèåé: òàê, ïîðòôåëü ìîæíî ïðîäàòü ÷àñòÿìè, à êóïîííóþ îáëèãàöèþ òîëüêî öåëèêîì.
0
0
54
5
CBONDS REVIEW
10
15
апрель 2011
20
25
30
Ê òîìó æå, êóïîííûå ïëàòåæè è ïîãàøåíèå îñíîâíîãî
äîëãà ìîãóò ïî-ðàçíîìó îáëàãàòüñÿ íàëîãîì.
æå è íàëîãîîáëîæåíèå îáû÷íî íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ââèäó
îòñóòñòâèÿ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü àäåêâàòíîãî èõ îïèñàíèÿ
(êàê ìàòåìàòè÷åñêîãî, òàê è ýêîíîìè÷åñêîãî).
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèâîé äîõîäíîñòè ó íàñ èìååòñÿ
«ìîìåíòàëüíûé ñíèìîê» ðûíêà. Ýòî íàáîð îïèñàíèé îáëèãàöèé (ìîìåíòîâ è îáúåìîâ îáåùàííûõ ïëàòåæåé) è èõ
òåêóùèõ ðûíî÷íûõ öåí.
Íà ñàìîì äåëå, íà ðûíêå íåò «öåíû îáëèãàöèè» êàê òàêîâîé. Âìåñòî ýòîãî ó÷àñòíèêó ðûíêà äîñòóïíî íåñêîëüêî
ïîêàçàòåëåé, â òîì ÷èñëå:
• Öåíà ïðîäàâöà (ask price) — ýòî íàèìåíüøàÿ
öåíà, ïî êîòîðîé âûñòàâëåíà çàÿâêà íà ïðîäàæó, òî
åñòü öåíà, ïî êîòîðîé áóìàãó ìîæíî íåìåäëåííî êóïèòü. Îáúåì ýòîé çàÿâêè — îòäåëüíûé âîïðîñ: âïîëíå
âîçìîæíî, ÷òî äëÿ ïîêóïêè èíòåðåñóþùåãî íàñ êîëè÷åñòâà îáëèãàöèé íåîáõîäèìî çàïëàòèòü áîëüøå, òàê
êàê ïî óêàçàííîé öåíå ìîæåò ïðîäàâàòüñÿ ëèøü ìàëûé
îáúåì, à îñòàëüíîå ïðèäåòñÿ äîêóïàòü ïî áîëåå âûñîêèì öåíàì.
• Öåíà ïîêóïàòåëÿ (bid price) — ýòî íàèáîëüøàÿ öåíà,
ïî êîòîðîé âûñòàâëåíà çàÿâêà íà ïîêóïêó.
• Öåíà ïîñëåäíåé ñäåëêè (last price) — ýòî öåíà, ïî êîòîðîé áûëà ïðîâåäåíà ïîñëåäíÿÿ ñäåëêà ñ ýòîé áóìàãîé.
Åñëè äîñòóïíû äàííûå ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ ëèøü ðàç â
äåíü, òî ýòè öèôðû ðàññ÷èòûâàþòñÿ áèðæåé íà êîíåö òîðãîâîãî äíÿ ïî ñïåöèàëüíîìó àëãîðèòìó.  òàêîì ñëó÷àå
òàêæå äîñòóïíû ñòàòèñòè÷åñêèå âåëè÷èíû: ñðåäíåå, ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ öåíû.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äîñòóïíû
ñëåäóþùèå äàííûå:
• Êîëè÷åñòâî íàáëþäàåìûõ îáëèãàöèé N. Îòäåëüíûå
îáëèãàöèè áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ èíäåêñîì k=1,...,N.
• Ìîìåíòû îáåùàííûõ âûïëàò, îáùèå äëÿ âñåõ îáëèãàöèé: τs,s=1,...,n.  ñëó÷àå åñëè ìîìåíòû âûïëàò ïî ðàçëè÷íûì îáëèãàöèÿì íå ñîâïàäàþò, äîïîëíèòåëüíî ââîäèòñÿ
íóëåâàÿ âûïëàòà â íóæíûé ìîìåíò.
• Îáåùàííûå îáúåìû âûïëàò (âîçìîæíî, íóëåâûå) ïî k-é
îáëèãàöèè â s-é ìîìåíò âðåìåíè: Fs,k,s=1,...,n,k=1,...,N.
• Öåíû îáëèãàöèé Pk,k=1,...,N, âçÿòûå äî âû÷åòà íàêîïëåííîãî êóïîííîãî äîõîäà.
• Êîòèðîâêè íà ïîêóïêó è íà ïðîäàæó: bk,ak,k=1,...,N.
Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íàáëþäàåìûå öåíû Pk íå òî÷íî
îòðàæàþò òåêóùóþ ïðèâåäåííóþ ñòîèìîñòü ïîòîêîâ ïëàòåæåé ïî îáëèãàöèè, íî îòëè÷àþòñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòè íà íåêîòîðóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (îøèáêó, øóì). Ýòà âåëè÷èíà, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ
õàðàêòåðèñòèêîé ëèêâèäíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé áóìàãè,
òàê êàê ÷åì ìåíüøå ëèêâèäíîñòü, òåì áîëüøå îòëè÷àåòñÿ
öåíà, ïî êîòîðîé óäàåòñÿ ñîâåðøèòü ñäåëêó, îò ñïðàâåäëèâîé îöåíêè ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòè.
Èç ïîêàçàòåëåé ëèêâèäíîñòè íàì äîñòóïåí, êàê ïðàâèëî, ëèøü bid-ask ñïðåä, õàðàêòåðèçóþùèé êàê ðàçáðîñ âîçìîæíûõ öåí ñäåëêè. Äîâîëüíî åñòåñòâåííî,
÷òî öåíà ñäåëêè ìîæåò ñâîáîäíî è ñëó÷àéíî êîëåáàòüñÿ êàê â ïðåäåëàõ bid-ask ñïðåäà, òàê è â ðàçóìíîé ñòåïåíè çà åãî ïðåäåëàìè. Ëîãè÷íî áûëî áû òðåáîâàòü,
÷òîáû âû÷èñëåííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè äàâàëà ðàñ÷åòíûå öåíû äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ îáëèãàöèé, áëèçêèå (â
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå) ê íàáëþäàåìûì ñ ó÷åòîì bid-ask ñïðåäà.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðèáëèæåíèÿ íàáëþäàåìûõ íà
ðûíêå öåí îáëèãàöèé ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
1
∑ w (P
N
2
k
k =1
k
~
− Pk
) ⎯⎯⎯→ min.
2
(2)
r (.)
ãäå Pk — íàáëþäàåìàÿ öåíà k-é îáëèãàöèè,
~
P k – ðàñ÷åòíàÿ öåíà,
~
Pk =
n
n
∑
Fs,k d(τ s ) =
s=1
∑F
s,k
exp(−r(τ s ) ⋅ τ s ) ,
s=1
wk — âåñ, õàðàêòåðèçóþùèé ðàçáðîñ öåí k-é îáëèãàöèè,
íàïðèìåð
wk =
ak − bk
.
2
 îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à (2) ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé â ñèëó òîãî, ÷òî êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê r(τs) â ìîìåíòû τs,s=1,...,n çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâî íàáëþäàåìûõ öåí Pk,k=1,...,N.
Äëÿ óìåíüøåíèÿ ðàçìåðíîñòè çàäà÷è ÷àñòî âûáèðàåòñÿ
òî èëè èíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äëÿ ìãíîâåííûõ
ôîðâàðäíûõ ñòàâîê f(.) è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñïîò-ñòàâîê
r(.). Îäíîé èç íàèáîëåå ïîïóëÿðíûõ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, ïðåäëîæåííàÿ â ðàáîòå Íåëüñîíà–Çèãåëÿ.
Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà Íåëüñîíà-Çèãåëÿ äëÿ ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ñòàâîê èìååò ñëåäóþùèé âèä:
⎛
f ( t) = β0 + ⎜ β1 + β2
⎝
t⎞
⎛
⎟ exp⎜ −
τ⎠
⎝
t⎞
⎟
τ⎠ ,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìà ñïîò-ñòàâîê áóäåò èìåòü âèä:
τ⎡
⎛ t⎞
⎛ t ⎞⎤
r( t) = β0 + (β1 + β2 ) ⎢1− exp⎜ − ⎟⎥ − β2 exp⎜ − ⎟
t⎣
⎝ τ⎠ .
⎝ τ ⎠⎦
 êà÷åñòâå äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ìîäåëè â 1995 ãîäó â
ðàáîòå Ñâåíññîíà áûëà ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìû Íåëüñîíà-Çèãåëÿ:
⎛
f ( t) = β0 + ⎜ β1 + β2
⎝
t⎞
⎛
⎟ exp⎜ −
τ⎠
⎝
⎛ t ⎞
t⎞
t
exp⎜⎜ − ⎟⎟
⎟ + β3
τ⎠
τ2
⎝ τ2 ⎠ .
Äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ åùå îäíîé
êîìïîíåíòû, îòâå÷àþùåé çà êðèâèçíó, ïîçâîëÿåò áîëåå
ýôôåêòèâíî îïèñàòü äîëãîñðî÷íûå ñòàâêè. Îòíîñèòåëüíàÿ ïðîñòîòà ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìû Íåëüñîíà-Çèãåëÿ è
Ñâåíññîíà è ñïîñîáíîñòü ìîäåëåé îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå
ôîðìû ñðî÷íîé ñòðóêòóðû ñòàâîê ñòàëè ïðè÷èíîé âûñîêîé ïîïóëÿðíîñòè ìîäåëåé êàê ñðåäè ðåãóëÿòîðîâ (BIS,
2005), òàê è â ïðîôåññèîíàëüíîé ñðåäå.
 Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ñðî÷íàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê ðàññ÷èòûâàåòñÿ íà îñíîâå G-êðèâîé, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé Íåëüñîíà-Çèãåëÿ, ïîëó÷åííîé çà
ñ÷åò äîáàâëåíèÿ òðåõ êîððåêòèðóþùèõ ÷ëåíîâ äëÿ áîëåå
òî÷íîãî îïèñàíèÿ íà÷àëüíîãî ó÷àñòêà êðèâîé (Ãàìáàðîâ
è äð., 2006):
τ⎡
⎛ t⎞
⎛ t ⎞⎤
r( t) = β0 + (β1 + β 2 ) ⎢1− exp⎜ − ⎟⎥ − β2 exp⎜ − ⎟ +
t⎣
τ
⎝ τ⎠
⎝
⎠⎦
2⎞
⎛
⎛ ( t − 1)2 ⎞
⎛ t2 ⎞
⎟ + g 3 exp⎜ − ( t − 2) ⎟.
+ g1 exp⎜ − ⎟ + g 2 exp⎜ −
⎟
⎜
⎜
⎜ 2⎟
2 ⎠
2 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
апрель 2011
CBONDS REVIEW
55
ИНСТРУМЕНТАРИЙ
12.5
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
7.5
0
5
10
Рисунок 3
Пример артефактов
параметрической
формы G-кривой на
18.03.2009
«
МЕТОД
МОДЕЛИРОВАНИЯ
КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ
SES ПОЗВОЛЯЕТ
ГАРАНТИРОВАТЬ
ВЫПОЛНЕНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРИНЦИПОВ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
ЛИКВИДНОСТИ
И ОТСУТСТВИЯ
АРБИТРАЖНЫХ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ, А
ТАКЖЕ ОБЕСПЕЧИТЬ
НАИЛУЧШУЮ
ГЛАДКОСТЬ КРИВОЙ
И ТОЧНОСТЬ
ПРИБЛИЖЕНИЯ ЦЕНЫ
»
56
CBONDS REVIEW
15
20
25
30
G-êðèâàÿ â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ÌÌÂÁ è åæåäíåâíî
ïóáëèêóåòñÿ íà ñàéòå Áàíêà Ðîññèè1.
Ê äîñòîèíñòâàì G-êðèâîé ìîæíî
îòíåñòè âîçìîæíîñòü ïåðåñ÷åòà â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè è ïðèçíàíèå
ðåãóëÿòîðîì, ÷òî ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü
åå áåí÷ìàðêîì âðåìåííîé ñòðóêòóðû
â Ðîññèè.
Îñíîâíûì íåäîñòàòêîì, ïî íàøåìó
ìíåíèþ, ÿâëÿåòñÿ âûáîð ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìû, êîòîðûé ìîæåò ïðèâîäèòü ê àðòåôàêòàì ïðè îïèñàíèè
íà÷àëüíîãî ó÷àñòêà êðèâîé â îáëàñòè
ñðîêîâ îò îäíîãî äî òðåõ ëåò, âûçâàííûì èñïîëüçîâàíèåì êîððåêòèðóþùèõ ÷ëåíîâ.
Íà Ðèñóíêå 3 ïðèâåäåíû ãðàôèêè
G-êðèâîé 2 çà 18.03.2009 è 17.03.2009.
Òî÷êàìè íà ãðàôèêå îáîçíà÷åíû ôàêòè÷åñêèå äîõîäíîñòè âûïóñêîâ ÎÔÇ,
òîðãîâàâøèõñÿ 18.03.2009.
Ê íåäîñòàòêàì âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ
ìåòîäîâ ìîæíî òàêæå îòíåñòè è òî, ÷òî
îíè íå ãàðàíòèðóþò îòñóòñòâèå àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé è âûïîëíåíèå
ïðèíöèïà ïðåäïî÷òåíèÿ ëèêâèäíîñòè.
Ýòî ìîæåò ïðèâîäèòü ê òîìó, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòèõ êðèâûõ ïðè öåíîîáðàçîâàíèè îáëèãàöèé èëè, ÷òî åùå áîëåå
âåðîÿòíî, ïðîèçâîäíûõ ôèíàíñîâûõ
èíñòðóìåíòîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííûì ïîãðåøíîñòÿì.
МЕТОД SES ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ
Ðàññìîòðèì ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ
êðèâîé äîõîäíîñòè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèå ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ ïðåäïî÷òåíèÿ
ëèêâèäíîñòè è îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé, à òàêæå îáåñïå-
апрель 2011
÷èòü íàèëó÷øóþ ãëàäêîñòü êðèâîé è
òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ öåíû.
Ðåçóëüòèðóþùàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè áóäåò ýêîíîìè÷åñêè îñìûñëåííîé,
åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ôóíêöèÿ äèñêîíòèðîâàíèÿ áóäåò íåâîçðàñòàþùåé
ôóíêöèåé îò ñðîêà. Ýòî ðàâíîñèëüíî
íåîòðèöàòåëüíîñòè ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê.
Ìû òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâàÿ
ïðîöåíòíûõ ñòàâîê îáëàäàåò â íåêîòîðîì ñìûñëå ìàêñèìàëüíîé ãëàäêîñòüþ.
Ýòî ïîçâîëèò íàì ïîëó÷àòü ïðèÿòíûå
ãëàçó è ðåàëèñòè÷íûå êðèâûå äîõîäíîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî óñëîâèå ìîæåò
âûðàæàòüñÿ ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ìîæíî âûáðàòü ëþáîé èç íèõ.
Çàìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèÿ êà÷åñòâà
ïðèáëèæåíèÿ è ãëàäêîñòè, ïî ñóòè,
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîòèâîðå÷àùèå
äðóã äðóãó öåëè: ÷åì òî÷íåå êðèâàÿ îòðàæàåò íàáëþäàåìûå öåíû, òåì áîëåå
ïðè÷óäëèâóþ ôîðìó åé ïðèõîäèòñÿ
ïðèíèìàòü, ÷òîáû îòðàçèòü â òîì ÷èñëå è ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû öåí. Î÷åâèäíî, ÷òî íóæåí ðàçóìíûé êîìïðîìèññ ìåæäó êà÷åñòâîì ïðèáëèæåíèÿ
è ãëàäêîñòüþ êðèâîé. Ìû ââåäåì ñïåöèàëüíûé ïàðàìåòð α, êîòîðûé áóäåò
îòðàæàòü îòíîñèòåëüíûé âåñ êðèòåðèÿ
ãëàäêîñòè â ñðàâíåíèè ñ êðèòåðèåì
òî÷íîñòè. ×åì áîëüøå α, òåì áîëåå
ãëàäêóþ êðèâóþ ìû õîòèì ïîëó÷èòü
(âîçìîæíî, â óùåðá òî÷íîñòè).
Âûáîð ïàðàìåòðà α (åãî íàçûâàþò
ïàðàìåòðîì ðåãóëÿðèçàöèè) ñîîòâåòñòâóåò ôèêñèðîâàíèþ íàøèõ ïðåäïî÷òåíèé â ïëàíå áàëàíñà êà÷åñòâà
ïðèáëèæåíèÿ öåí è âèçóàëüíîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè êðèâîé. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ïîìèìî
âèçóàëüíîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè, áîëåå
ðåàëèñòè÷íà, òàê êàê ïðåäïî÷òåíèÿ è
íàñòðîåíèÿ èíâåñòîðîâ íà ðûíêå íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò ñðîêà äî ïîãàøåíèÿ, ÷òî îçíà÷àåò ìàëóþ èçìåí÷èâîñòü
ìãíîâåííîé ôîðâàðäíîé ïðîöåíòíîé
ñòàâêè f(t), ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàåò
íåîáõîäèìóþ ãëàäêîñòü.
Âîçìîæíîñòü àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïîäîáíîé çàäà÷è âïåðâûå ïîêàçàíà â ðàáîòå Ñìèðíîâà è Çàõàðîâà. Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé êóñî÷íî-çàäàííóþ ôóíêöèþ,
ñîñòîÿùóþ èç ñèíóñîèäàëüíûõ è ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ, ÷òî äàëî íà-
1
http://www.cbr.ru/GCurve/Curve.asp.
2
http://www.micex.ru/marketdata/indices/
state/yieldcurve/chart.
«
8
РЫНКИ ОБЛИГАЦИЙ
И КРАТКОСРОЧНЫХ
ЗАИМСТВОВАНИЙ
РАЗНЫЕ ПО СВОЕЙ СУТИ,
И СЛЕДУЕТ С БОЛЬШОЙ
ОСТОРОЖНОСТЬЮ
ПОДХОДИТЬ К
ИСПОЛЬЗОВАНИЮ
ДАННЫХ С НИХ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СРОЧНОЙ СТРУКТУРЫ
ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
7
6
5
»
çâàíèå ìåòîäó — SES (ñîêðàùåíèå îò
Sinusoidal-Exponential Splines).
Ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è
îñíîâûâàåòñÿ íà àïïàðàòå îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, èçëîæåííîãî â ïóáëèêàöèè Òèõîíîâà 1979 ãîäà. Ñ âûâîäîì
ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ðàáîòå Ëàïøèíà. Îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïëàéí íåêîòîðîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà:
(
)
f ( t) = p s −1φ λ (τ s − t) + p s φ λ ( t − τ s −1) 2 ,
s
s
t ∈ [τ s −1,τ s ),
(3)
ãäå
⎧
sinh λ s t
⎪
, λ s > 0,
⎪ sinh λ s (τ s − τ s−1)
⎪
sin − λ s t
⎪
, λ s < 0,
φ λ ( t) = ⎨
s
sin
− λ s (τ s − τ s−1)
⎪
⎪
t
, λ s = 0.
⎪
τ s − τ s−1
⎪
⎩
(3)
Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå êðèâîé
äîõîäíîñòè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ps,s=0,...,n è λs,s=1,...,n
ïî íàáëþäàåìûì äàííûì. Òàêæå ìîæåò
áûòü ïîêàçàíî, ÷òî íàáîðû λs,s=1,...,n
è ps,s=0,...,n íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè. Ôóíêöèÿ f(t), îïðåäåëÿåìàÿ (3),
äîëæíà áûòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé â óçëàõ ñêëåéêè τ s,s=1,...,n,
à ÷èñëà λs äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðîìó óñëîâèþ, êîòîðîå íå ïðèâîäèòñÿ çäåñü â ñèëó ñâîåé ãðîìîçäêîñòè.
Ñàì íåïîñðåäñòâåííûé ïîèñê ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ëþáûì ìåòîäîì íåëèíåéíîé îïòèìèçàöèè.
4
3
2
0
2
NDF/CCS
4
6
8
G-Curve
Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ óñòðîåíà òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ýêîíîìè÷åñêóþ ñîñòîÿòåëüíîñòü è íàèëó÷øóþ ãëàäêîñòü ïðè çàäàííîé òî÷íîñòè.
Íà Ðèñóíêå 4 ïîêàçàíà êðèâàÿ äîõîäíîñòè, âû÷èñëåííàÿ íà 1 èþëÿ
2010 ãîäà ðàññìàòðèâàåìûì ìåòîäîì,
G-êðèâàÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ÌÌÂÁ íà
òó æå äàòó, è êðèâàÿ, ïîëó÷åííàÿ íà
îñíîâå ñãëàæèâàíèÿ êîòèðîâîê NDF
(non-deliveribale forwards) è CCS (cross
currency swaps), êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ áåí÷ìàðêîì áåçðèñêîâîãî óðîâíÿ
ñòàâîê â ðóáëÿõ.
Òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ óêàçàííûõ
êðèâûõ ìîæíî îöåíèòü, ðàññ÷èòûâàÿ
ñðåäíåå ðàñõîæäåíèå ôàêòè÷åñêèõ öåí
âñåõ ÎÔÇ è ìîäåëüíûõ öåí.
 öåëîì â ðàññìàòðèâàåìîì ïåðèîäå
ìåòîä SES äàåò áîëåå òî÷íóþ îöåíêó (â
ñðåäíåì 0.59% îò íîìèíàëà) ïî ñðàâíåíèþ ñ G-êðèâîé (0.9% îò íîìèíàëà)
è NDF/CCS (1.47% îò íîìèíàëà).
Äëÿ òîãî ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ,
êàêîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ áåñêóïîííîé
êðèâîé âûáðàòü, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèòüñÿ, äëÿ êàêèõ çàäà÷ ïëàíèðóåòñÿ èñïîëüçîâàòü êðèâóþ.
Òàê, íàïðèìåð, òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü
ñóùåñòâåííî áóäåò ðàçëè÷àòüñÿ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ïðîöåíòíûì ðèñêîì,
öåíîîáðàçîâàíèè îáëèãàöèé è öåíîîáðàçîâàíèè ïðîèçâîäíûõ ôèíàíñîâûõ êîíòðàêòîâ.
Îïèñàííûé íàìè ìåòîä SES ÿâëÿåòñÿ
íà äàííûé ìîìåíò îäíèì èç íàèáîëåå
ìîùíûõ ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü áîëåå âûñîêóþ
òî÷íîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ àíàëîãàìè,
ãàðàíòèðîâàòü
íåîòðèöàòåëüíîñòü
ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ
ñòàâîê è ïðè ýòîì èìåòü íàèëó÷øóþ
ãëàäêîñòü.
10
SES
Рисунок 4
Сравнение различных
кривых доходности в
рублях на 01.07.2010
«
ВЫБИРАЯ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ
БЕСКУПОННОЙ
КРИВОЙ,
НЕОБХОДИМО
ОПРЕДЕЛИТЬСЯ,
ДЛЯ КАКИХ ЗАДАЧ
ПЛАНИРУЕТСЯ ЕЕ
ИСПОЛЬЗОВАТЬ.
ТРЕБУЕМАЯ ТОЧНОСТЬ
БУДЕТ СУЩЕСТВЕННО
РАЗЛИЧАТЬСЯ В
ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
ПРОЦЕНТНЫМ
РИСКОМ,
ЦЕНООБРАЗОВАНИИ
ОБЛИГАЦИЙ И
ЦЕНООБРАЗОВАНИИ
ПРОИЗВОДНЫХ
ФИНАНСОВЫХ
КОНТРАКТОВ
апрель 2011
»
CBONDS REVIEW
57