Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì
çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû
îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ÿíâàðÿ 2008 ãîäà ïî àäðåñó:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè
ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå
«Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹5–2007» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå,
íàïðèìåð «Ì2056» èëè «Ô2063».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé).
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì2056, Ì2057, Ì2059, Ì2063, Ì2064 ïðåäëàãàëèñü íà IV ýòàïå, à çàäà÷è Ì2060 – Ì2062,
Ì2065 – íà V ýòàïå XXXIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.
Çàäà÷è Ì2056 – Ì2065, Ô2063 – Ô2072
Ì2056.  íàòóðàëüíîì ÷èñëå À ïåðåñòàâèëè öèôðû,
K1 .
ïîëó÷èâ ÷èñëî Â. Èçâåñòíî, ÷òî A - B = 11
{
N åäèíèö
Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå N.
Í.Àãàõàíîâ
Ì2057. 25 ìàëü÷èêîâ è íåñêîëüêî äåâî÷åê ñîáðàëèñü
íà âå÷åðèíêå è îáíàðóæèëè çàáàâíóþ çàêîíîìåðíîñòü.
Åñëè âûáðàòü ëþáóþ ãðóïïó íå ìåíüøå ÷åì èç
10 ìàëü÷èêîâ, à ïîòîì äîáàâèòü ê íèì âñåõ äåâî÷åê,
çíàêîìûõ õîòÿ áû ñ îäíèì èç ýòèõ ìàëü÷èêîâ, òî â
ïîëó÷èâøåéñÿ ãðóïïå ÷èñëî ìàëü÷èêîâ îêàæåòñÿ íà
1 ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî äåâî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî íåêîòîðàÿ äåâî÷êà çíàêîìà íå ìåíåå ÷åì ñ 16 ìàëü÷èêàìè.
Ñ.Âîë÷¸íêîâ
Ì2058.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïÿòü èç âîñüìè
îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ñ ñåðåäèíàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî âñå âîñåìü
îòðåçêîâ ðàâíû.
Í.Àãàõàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ
Ì2059. Áåñêîíå÷íàÿ âîçðàñòàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ
ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæèò òî÷íûé êóá íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî
îíà ñîäåðæèò è òî÷íûé êóá, íå ÿâëÿþùèéñÿ òî÷íûì
êâàäðàòîì.
È.Áîãäàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ
Ì2060. Âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ABC
êàñàåòñÿ ñòîðîí ÂÑ, ÀÑ, À â òî÷êàõ A1 , B1 , C1
ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçîê AA1 âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå Q. Ïðÿìàÿ l ïàðàëëåëüíà
ÂÑ è ïðîõîäèò ÷åðåç À. Ïðÿìûå A1C1 è A1B1 ïåðåñå-
êàþò l â òî÷êàõ Ð è R ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî
ÐPQR = ÐB1QC1 .
À.Ïîëÿíñêèé
Ì2061.  òàáëèöå 10 ´ 10 ðàññòàâëåíû ÷èñëà îò 1 äî
100: â ïåðâîé ñòðî÷êå – îò 1 äî 10 ñëåâà íàïðàâî, âî
âòîðîé – îò 11 äî 20 ñëåâà íàïðàâî è ò.ä. Àíäðåé
ñîáèðàåòñÿ ðàçðåçàòü òàáëèöó íà ïðÿìîóãîëüíèêè 1 ´ 2 ,
ïîñ÷èòàòü ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â êàæäîì ïðÿìîóãîëüíèêå è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå 50 ÷èñåë. Îí ñòðåìèòñÿ
ïîëó÷èòü êàê ìîæíî ìåíüøóþ ñóììó. Êàê åìó ñëåäóåò
ðàçðåçàòü êâàäðàò?
À.Áàäçÿí
Ì2062. Ôîêóñíèê Àðóòþí è åãî ïîìîùíèê Àìàÿê
ñîáèðàþòñÿ ïîêàçàòü ñëåäóþùèé ôîêóñ. Íà äîñêå
íàðèñîâàíà îêðóæíîñòü. Çðèòåëè îòìå÷àþò íà íåé 2007
ðàçëè÷íûõ òî÷åê, çàòåì ïîìîùíèê ôîêóñíèêà ñòèðàåò
îäíó èç íèõ. Ïîñëå ýòîãî ôîêóñíèê âïåðâûå âõîäèò â
êîìíàòó, ñìîòðèò íà ðèñóíîê è îòìå÷àåò ïîëóîêðóæíîñòü, íà êîòîðîé ëåæàëà ñòåðòàÿ òî÷êà. Êàê ôîêóñíèêó äîãîâîðèòüñÿ ñ ïîìîùíèêîì, ÷òîáû ôîêóñ ãàðàíòèðîâàííî óäàëñÿ?
À.Àêîïÿí, È.Áîãäàíîâ
Ì2063. Íàçîâåì ìíîãîãðàííèê õîðîøèì, åñëè åãî
îáúåì (èçìåðåííûé â ì 3 ) ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè åãî
ïîâåðõíîñòè (èçìåðåííîé â ì2 ). Ìîæíî ëè êàêîéíèáóäü õîðîøèé òåòðàýäð ðàçìåñòèòü âíóòðè êàêîãîíèáóäü õîðîøåãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
Ì.Ìóðàøêèí
Ì2064. Îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû  è Ñ
òðåóãîëüíèêà ABC è ïåðåñåêàåò ñòîðîíû ÀÂ è ÀÑ â
òî÷êàõ D è Å ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè CD è BE
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î. Ïóñòü Ì è N – öåíòðû
ÊÂÀÍT 2007/¹5
îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â òðåóãîëüíèêè ADE è ODE
ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíà ìåíüøåé äóãè
DE ëåæèò íà ïðÿìîé MN.
Ì.Èñàåâ
Ì2065.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( xn ) ïåðâûé ÷ëåí x1 – ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, è
1
ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n. Äîêàæèòå,
xn +1 = xn +
[ xn ]
÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü öåëîå ÷èñëî.
À.Ãîëîâàíîâ
Ô2063. Ôèãóðêó èç ìåòàëëà âçâåøèâàþò íà î÷åíü
òî÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ çîëîòûå ãèðüêè, – èçìåðåííàÿ
ìàññà ñîñòàâèëà 47,98 ã. Êîãäà âîçäóõ ïîä êîëïàêîì
âåñîâ îòêà÷àëè äî 0,1 àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ, ïîëó÷èëîñü ïðàêòè÷åñêè òî÷íî 49 ã. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì
äàííûì, èç êàêîãî ìåòàëëà ñäåëàíà ôèãóðêà.
Í.Ïðîñòîâ
Ô2064. Äëèííàÿ òîíêàÿ ïðîçðà÷íàÿ òðóáêà çàïîëíåíà ãëèöåðèíîì, ïîñðåäèíå òðóáêè íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé âîçäóøíûé ïóçûðåê. Êîãäà òðóáêà âåðòèêàëüíà,
ïóçûðåê âñïëûâàåò ïðàêòè÷åñêè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 1 ñì/ñ. Ñäåëàåì òðóáêó ãîðèçîíòàëüíîé, ïîäîæäåì äîñòàòî÷íî äîëãî – ïîêà âñå óñïîêîèòñÿ, à ïóçûðåê ïåðåñòàíåò äâèãàòüñÿ. Òåïåðü ðàçãîíèì òðóáêó
âäîëü åå îñè äî ñêîðîñòè 10 ñì/ñ è ïðîäîëæèì
äâèãàòü åå ñ ýòîé ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå ñìåùåíèå ïóçûðüêà îòíîñèòåëüíî åãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ñ÷èòàòü ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè
ïóçûðüêà îòíîñèòåëüíî æèäêîñòè.
À.Ïîâòîðîâ
Ô2065. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ïîêîèòñÿ
êëèí ìàññîé Ì, åãî íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Ìàëåíüêàÿ øàéáà ìàññîé m
äâèæåòñÿ ïî ñòîëó ñî ñêîðîñòüþ v0 è «âúåçæàåò» íà
íàêëîííóþ ïîâåðõíîñòü êëèíà. Ñ÷èòàÿ, ÷òî íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò ïëàâíîå êîðîòêîå ñîïðÿæåíèå
ñ ãîðèçîíòàëüþ, íàéäèòå âðåìÿ ïîäúåìà øàéáû äî
âåðõíåãî ñâîåãî ïîëîæåíèÿ. Íàéäèòå òàêæå ñìåùåíèå
êëèíà ê ýòîìó ìîìåíòó. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò.
Ã.Ïàíüêåâè÷
Ô2066. Òåëåæêè ñ ìàññàìè m = 1 êã è Ì = 2 êã ñâÿçàíû
ëåãêèì óïðóãèì øíóðîì äëèíîé L = 0,3 ì. Âíà÷àëå
òåëåæêè íåïîäâèæíû, à øíóð ïî÷òè íàòÿíóò. Ëåãêîé
òåëåæêå óäàðîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 = 2 ì ñ â íàïðàâëåíèè âäîëü ñîåäèíÿþùåãî èõ øíóðà (ðèñ.1).
×åðåç êàêîå âðåìÿ ïðîèçîéäåò óäàð òåëåæåê äðóã î äðóãà? Æåñòêîñòü øíóðà k =
= 20 Í/ì.
Ðèñ. 1
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ô2067. Öèêë òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ñ èäåàëüíûì ãàçîì, ñîñòîèò èç äâóõ èçîõîðè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ è
äâóõ èçîòåðìè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ ñ îòíîøåíèåì òåìïåðàòóð T1 : T2 = 3 . Èçâåñòíî, ÷òî íà ó÷àñòêå èçîõîðè÷åñêîãî íàãðåâàíèÿ ãàç ïîëó÷àåò ñòîëüêî æå òåïëà, ñêîëüêî
è íà ó÷àñòêå èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ. Íàéäèòå
ÊÏÄ ýòîãî öèêëà.
Ñ.Ïðîñòîâ
Ô2068. Ïðîñòîé îììåòð
ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ìèëëèàìïåðìåòðà ñ òîêîì ïîëíîãî îòêëîíåíèÿ 1 ìÀ,
áàòàðåéêè íàïðÿæåíèåì
1,5 Â è ïåðåìåííîãî ðåçèñòîðà (ðèñ.2). Ðåãóëèðóÿ ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî Ðèñ. 2
ðåçèñòîðà, ìû ïðîèçâîäèì «óñòàíîâêó íóëÿ» îììåòðà
– ïðè çàìêíóòûõ âûâîäàõ îììåòðà ñòðåëêó ïðèáîðà
óñòàíàâëèâàåì â êðàéíåå ïðàâîå ïîëîæåíèå («íóëü
îììåòðà»). Ïðè ðàçîìêíóòûõ âûâîäàõ òîê
íóëåâîé – ýòî ñîîòâåòñòâóåò «áåñêîíå÷íîìó»
èçìåðÿåìîìó ñîïðîòèâëåíèþ. Ìîæíî ëè ïðè
ïîìîùè ýòîãî ïðèáîðà
èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèÿ
ðåçèñòîðîâ Rx ïîðÿäêà
1 Îì; 1êÎì; 1 ÌÎì?
Êàêîå ñîïðîòèâëåíèå
ïîêàæåò ýòîò îììåòð, Ðèñ. 3
åñëè ê åãî âûâîäàì ïîäêëþ÷èòü ïîëóïðîâîäíèêîâûé äèîä, âîëüò-àìïåðíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 3?
À.Ñòàðîâ
Ô2069.  ñõåìå íà ðèñóíêå 4 «ãîðèçîíòàëüíàÿ» áàòàðåéêà èìååò íàïðÿæåíèå 1 Â, òðè èç ÷åòûðåõ êîíäåíñàòîðîâ èìåþò îäèíàêîâûå
åìêîñòè, à ïîñëåäíèé –
âäâîå áîëüøóþ. Êàêèì ìîæåò áûòü íàïðÿæåíèå âòîðîé, «âåðòèêàëüíîé» áàòàðåéêè, ÷òîáû õîòÿ áû îäèí
êîíäåíñàòîð â ýòîé ñõåìå
îñòàëñÿ íåçàðÿæåííûì? Äî
ïîäêëþ÷åíèÿ áàòàðååê âñå Ðèñ. 4
êîíäåíñàòîðû çàðÿæåíû íå
áûëè.
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2070. Íà îäèíàêîâûå òîðîèäàëüíûå ñåðäå÷íèêè,
ñäåëàííûå èç ìàòåðèàëà ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ, íàìîòàíû òîíêèì ïðîâîäîì êàòóøêè, îäíà
èç íèõ ñîäåðæèò âäâîå áîëüøå âèòêîâ, ÷åì äðóãàÿ.
Êàòóøêà ñ ìåíüøèì ÷èñëîì âèòêîâ èìååò èíäóêòèâíîñòü 0,5 Ãí. Êàòóøêè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, ê
âûâîäàì êàòóøåê ïðèñîåäèíåíû êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 10 ìêÔ è áàòàðåéêà íàïðÿæåíèåì 6 Â ñ âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì 10 Îì
(ðèñ.5). Êîãäà òîêè â öåïè
ïðàêòè÷åñêè ïåðåñòàëè èçìåíÿòüñÿ, áàòàðåéêó îòêëþ÷àþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå çàðÿäà
êîíäåíñàòîðà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ
â êàæäîé êàòóøêå ïîñëå Ðèñ. 5
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
îòêëþ÷åíèÿ áàòàðåéêè? Ïðîâîä, êîòîðûì íàìîòàíû
êàòóøêè, èìååò î÷åíü ìàëåíüêîå ñîïðîòèâëåíèå.
À.Çèëüáåðìàí
Ô2071. Íà äâóõ îäèíàêîâûõ ëåãêèõ ïðóæèíàõ æåñòêîñòüþ k, ïðèêðåïëåííûõ ê ïîòîëêó, âèñÿò îäèíàêîâûå
ãðóçû ìàññîé Ì. Íà îäèí èç ãðóçîâ àêêóðàòíî ñòàâÿò
ãðóçèê ìàññîé m, à ïîñëå òîãî, êàê êîëåáàíèÿ ïðåêðàòÿòñÿ, áûñòðî ïåðåíîñÿò ãðóçèê íà äðóãîé ãðóç. ×åðåç
êàêîå âðåìÿ ãðóçû ïîðàâíÿþòñÿ? À ÷åðåç êàêîå âðåìÿ
ñêîðîñòè ãðóçîâ âïåðâûå áóäóò íàïðàâëåíû â îäíó
ñòîðîíó?
À.Ãðóçîâ
Ô2072. Êîðïóñ ñâåòîèçëó÷àþùåãî äèîäà îòøòàìïîâàí
èç ïðîçðà÷íîé ïëàñòìàññû (ðèñ.6). Íà îäíîì åãî êîíöå
ñôîðìèðîâàíà ëèíçà,
èçëó÷àþùàÿ îáëàñòü
ïðåäñòàâëÿåò êðóæîê
äèàìåòðîì 2 ìì. Îöåíèòå äèàìåòð ñâåòëîãî
ïÿòíà íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì íà îñè
èçëó÷åíèÿ íà ðàññòîÿÐèñ. 6
íèè 20 ñì îò äèîäà.
Îòðàæåíèÿìè ñâåòà âíóòðè ïëàñòìàññîâîãî êîðïóñà
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
À.Ñâåòîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2036 – Ì2040,
Ô2048 – Ô2057
Ì2036. Àíäðåé, Áîðÿ è Ñàøà ïîäåëèëè 20 ìîíåò òàê,
÷òî íå âñå ìîíåòû äîñòàëèñü îäíîìó èç íèõ. Ïîñëå
ýòîãî êàæäóþ ìèíóòó îäèí èç ðåáÿò îòäàåò ïî îäíîé
ìîíåòå äâóì äðóãèì. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ó Àíäðåÿ, Áîðè è Ñàøè îêàçàëîñü a, b è c ìîíåò ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ òðîåê
(a, b, c).
Îòâåò: 76.
Ïóñòü â êàêîé-òî ìîìåíò òðîéêà èìåëà âèä (x, ó, z) (ò.å.
ó Àíäðåÿ, Áîðè è Ñàøè áûëî õ, ó è z = 20 – õ – ó ìîíåò
ñîîòâåòñòâåííî). Ñðåäè ÷èñåë x, ó, z íå áîëåå îäíîãî
íóëÿ, òàê êàê ïîñëå êàæäîé îïåðàöèè õîòÿ áû ó äâóõ
ìàëü÷èêîâ åñòü ìîíåòû. ×èñëà x, ó è z íå ìîãóò äàâàòü
òðè ðàçëè÷íûõ îñòàòêà ïðè äåëåíèè íà 3, èíà÷å ñóììà
x + ó + z äåëèëàñü áû íà 3. Çíà÷èò, ñðåäè ÷èñåë x, ó,
z äâà ÷èñëà äàþò ðàâíûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3;
ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ýòî ïåðâûå äâà ÷èñëà. Áóäåì
íàçûâàòü òðîéêè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ,
õîðîøèìè. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè õîðîøàÿ òðîéêà (x, ó, z) ïåðåõîäèò â îäíó èç òðîåê (x – 2, ó + 1,
z + 1), (õ + 1, ó – 2, z + 1), (x + 1, ó + 1, z – 2), êàæäàÿ
èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé. Íåòðóäíî ïîñ÷èòàòü
êîëè÷åñòâî õîðîøèõ òðîåê (x, ó, z): ïðè x = 3k ó = 3l,
0 < k + l £ 6 , – 27 âàðèàíòîâ, ïðè x = 3k + 1 y =
= 3l + 1, 0 £ k + l £ 6 , – 28 âàðèàíòîâ, ïðè x = 3k + 2
ó = 3l + 2, 0 £ k + l £ 5 , – 21 âàðèàíò; âñåãî 76 òðîåê.
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç 76 õîðîøèõ òðîåê
ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ëþáîé äðóãîé.
Åñëè x + ó > 2, òî ñ õîðîøåé òðîéêîé (x, ó, z) ìîæíî
«ÊÂÀÍÒÀ»
ñäåëàòü îäíó èç îïåðàöèé (x, ó, z) ® (x – 2, ó + 1,
z + 1) è (x, ó, z) ® (x + 1, y – 2, z + 1); ïðè ýòîì ñóììà
õ + ó óìåíüøàåòñÿ. Çíà÷èò, çà êîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàöèé
ìû ìîæåì ïðèéòè ê õîðîøåé òðîéêå ( x ¢, y ¢, z ¢) , â
êîòîðîé x ¢ + y ¢ £ 2 , ò.å. ê òðîéêå (1, 1, 18).
Íî îò òðîéêè (1, 1, 18) ìû ìîæåì ïðèéòè ê ïðîèçâîëüíîé õîðîøåé òðîéêå, òàê êàê îïåðàöèÿ «îáðàòèìà». Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîä îò òðîéêè (x – 2, ó + 1,
z + 1) ê òðîéêå (x, ó, z) ìîæíî ïðîèçâåñòè çà äâå
îïåðàöèè: (x – 2, ó + 1, z + 1) ® (õ – 1, ó – 1, z + 2)
® (x, y, z), åñëè ó > 0, èëè (x – 2, ó + 1, z + 1) ®
(x – 1, ó + 2, z – 1) ® (x, ó, z), åñëè ó = 0.
Èòàê, èç ïðîèçâîëüíîé õîðîøåé òðîéêè ìû ìîæåì
ïðèéòè ê òðîéêå (1, 1, 18), à èç íåå – ê ëþáîé äðóãîé
õîðîøåé òðîéêå.
Ï.Êîæåâíèêîâ
Ì2037. Äèàãîíàëè âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå E; òî÷êè K è M –
ñåðåäèíû ñòîðîí AB è CD; L è N – ïðîåêöèè òî÷êè E
íà ñòîðîíû BC è AD.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå KM è LN ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Ïóñòü X è Y – ñåðåäèíû îòðåçêîâ ÀÅ è BE
(ñì. ðèñóíîê). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà AEN èìååì
XN = ÀÅ/2, îòñþäà
XN = YK. Àíàëîãè÷íî, YL = XK. Äàëåå,
ÐKXN = ÐKXE + ÐEXN = ÐBEC + 2ÐCAD =
= ÐAED + 2ÐCBD = ÐKYE + ÐEYL = ÐKYL .
Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ KXN è KYL, îòêóäà KN = KL.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì, ÷òî MN = ML.
Òðåóãîëüíèêè KML è KMN ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì,
çíà÷èò, òî÷êè L è N ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé KÌ, îòêóäà KM ^ LN .
Ï.Êîæåâíèêîâ
Ì2038. Ôîìà è Åðåìà äåëÿò êó÷ó èç êóñêîâ ñûðà.
Ñïåðâà Ôîìà, åñëè õî÷åò, âûáèðàåò îäèí êóñîê è
ðåæåò åãî íà äâà. Çàòåì îí ðàñêëàäûâàåò ñûð íà äâå
òàðåëêè. Ïîñëå ýòîãî Åðåìà âûáèðàåò îäíó òàðåëêó,
è îíè äåëÿò ñûð íà íåé, áåðÿ ñåáå ïî î÷åðåäè ïî êóñêó;
íà÷èíàåò Åðåìà. Òî÷íî òàê æå îíè äåëÿò ñûð ñî
âòîðîé òàðåëêè, òîëüêî ïåðâûì íà÷èíàåò Ôîìà.
Äîêàæèòå, ÷òî Ôîìà âñåãäà ìîæåò äåéñòâîâàòü
òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü íå ìåíåå ïîëîâèíû ñûðà (ïî
âåñó).
Îòìåòèì âíà÷àëå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ äåëåæà
íà îäíîé òàðåëêå. Ïóñòü íà òàðåëêå 2k èëè 2k – 1 êóñêîâ
ñûðà âåñîì x2k ³ x2k -1 ³ K ³ x1 (åñëè êóñêîâ 2k – 1, òî
ïîëàãàåì x1 = 0 ). Åñëè äâîå äåëÿò ñûð íà íåé, áåðÿ
êóñêè ïî î÷åðåäè, òî ïåðâûé ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå
ñóììàðíûé âåñ íå ìåíåå x2k + x2k - 2 + K + x2 , à âòîðîé
– íå ìåíåå x2k -1 + x2k - 3 + K + x1 .